Расчет характеристик распространения симметричных волн круглого волновода с радиально-неоднородным диэлектрическим заполнением Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.372.8

H.A. Новоселова1, С.Б. Раевский1, A.A. Титаренко2

РАСЧЕТ ХАРАКТЕРИСТИК РАСПРОСТРАНЕНИЯ СИММЕТРИЧНЫХ ВОЛН КРУГЛОГО ВОЛНОВОДА С РАДИАЛЬНО-НЕОДНОРОДНЫМ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИМ ЗАПОЛНЕНИЕМ

Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева1,

2

ФНПЦ Научно-исследовательский институт измерительных систем им. Ю.Е. Седакова

Предлагается метод расчета характеристик распространения волн круглого экранированного волновода с радиально-неоднородным диэлектрическим заполнением. Приводятся результаты расчета.

Ключевые слова: волновод, симметричные волны, диэлектрическое заполнение.

Введение

Круглые неоднородно заполненные волноводы, обладая рядом уникальных особенностей (аномальная дисперсия, комплексные волны, комплексный резонанс [1, 2]), находят [36] широкое применение при построении таких СВЧ - устройств, как аттенюаторы, линии задержки, полосовые фильтры, резонаторы для спектроскопов и т.д. Расчет и оптимизация параметров таких устройств требуют развития численно-аналитических методов исследования волноводов с произвольным диэлектрическим заполнением. Возможность расчета характеристик волноводов с заполнением, описываемым произвольными аналитическими функциями, позволяет ставить задачи параметрического синтеза, нацеленные на реализацию устройств с заданными характеристиками. Кроме того, алгоритмы расчета неоднородно заполненных круглых волноводов могут быть использованы при исследовании градиентных волоконных световодов [7].

Постановка задачи

В настоящей работе для расчета неоднородно заполненного круглого экранированного волновода предлагается использовать модификацию метода Галеркина [8,9].

Рассмотрим задачу о распространении симметричных Е и Н-волн в круглом экранированном волноводе с частичным диэлектрическим заполнением, значение диэлектрической проницаемости которого произвольным образом зависит от радиальных координат (¿'(г, (р, z) = e(r) ) (рис. 1). Значение магнитной проницаемости полагается величиной постоянной.

ад h

а Я г

Рис.1. Функция распределения диэлектрической проницаемости в поперечном сечении волновода

© Новоселова H.A., Раевский С.Б., Титаренко A.A., 2010.

Из уравнений Максвелла получаем:

го/ го1Е - к2с(г, ср)Е.

Используя соотношения:

,, ч _ дш _ 1 дщ „ дц/ grad(y/) = г — + <р-— + * — ;

дг г дер дг

СИУ(Е) -

дЕ„

- + —

1 дЕ(р дЕ2

дг г дер дг

го1 (Е) = г

1дЕ дЕа

г д<р дг ^

+ <р

ЕЕ

дг дг

+ 2

Е

г

- + -Е-

1дЕг г

уравнение (1) в компонентах цилиндрической системы координат записываем:

го1 го1 (Е)

1 д2Еа д2Е, 1 д2Е„ 1 дЕа д2Е„

г дгдер дгдг г2 дер2 г2 дер дг2

= к2£(г,<р)Ег;

го1 го1 (Е)

<р у

2 Ч>

го1 го1 (Е)

г дгдер г дер г дердг дг г дг дг

2 77 1 П77 1 Я2 Т7 гЛ 77 1 а 77 1 п2

д2Ег ^дЕ I д2Е<р д2Е2 1дЕ:

1 д1Е,

= к0е(г,ер)Е2.

(1)

(1а) (16) (1в)

дгдг г дг г дердг дг2 г дг г2 дер2 Поля волн направляющей структуры представляем в виде разложений по собственным функциям краевых задач Дирихле и Неймана для однородно заполненного круглого волновода. Связь между компонентами электрического поля устанавливается через коэффициенты рядов разложений, подставляемых в (1).

Симметричные Н-волны

В отсутствие угловой зависимости поля, полагаем — = 0, Н^ = 0, Ег= 0, Е2= 0. В

этом случае уравнения (1) сведутся к единственному уравнению относительно ф -компоненты электрического поля:

2 '

-г я 2 я ЯГ = ■

г дг г дг дг

Записывая Е (г,ер,г) = Е (г,ер)-е , получаем уравнение относительно функции попе-

речных координат:

1 8Е9

1

Еф+(к20в(г)-/32)Е= 0.

2 Ч>

дг г дг г ~ Решение уравнения (2) будем [1, 2] искать в виде

N

Е^^ЪМ"/),

п=0

где коэффициенты ап определяются из уравнения{ехпК) = 0 (так как Егр(Я) = 0). Подставив (3) в (2), получаем

N

п=0

Учитывая, что

?иаяг) 1 д^{апг) 1

Я 2 "Г я 2 иАи'п' )

дг г дг г

N N

д2иапг) , 1 диапг) 1

дг

■ +

дг

—Т1 ii.ee пг) = ii.ee пг),

(2) (3)

получаем

г

Я= 0

Я= 0

г

X Ъп {al +ß2)J, (апг) = 2 ЬХе(гМ (апг).

(4)

Умножив обе части уравнения (4) на гЗх{а^г) и проинтегрировав в пределах г е[0;7?], получаем уравнение:

N R

{a2q +ß2)ri-hi= Y.KK rJx{anr)Jx{aqr\) dr.

п О и=0 о

Здесь использовалось условие ортогональности функций Бесселя:

Kq = n,

(5)

¡х

\rJ ,(anr).J ,(a4r)dr

о

10, q Ф n,

где Г=0.5/^,/(;К/0.

Уравнение (5) можно представить в матричном виде:

1-Ь = Т-Ь, (6)

Г(сг2+/?2)Г , Ч = п, Л

где 1ч,п = \ Т = К Шг)г.1 ,((хпг).1 ,((х г)с1г.

[О, д*п, '

Записав уравнение (6) в виде (I-Т)-Ь = 0 и приравняв определитель матрицы (/-Т) нулю, получаем дисперсионное уравнение для симметричных Н-волн, распространяющихся в круглом волноводе с произвольной зависимостью в от г :

Det(ß) = \l-T\ = 0.

(7)

Отметим, что матрица Т не зависит от [3, поэтому при решении дисперсионного уравнения (7) она вычисляется лишь один раз, что существенно сокращает время поиска корней дисперсионного уравнения. Заметим, что при выводе уравнений (6), (7) никаких ограничений на вид зависимости с(г) не накладывалось, т.е. данный метод позволяет рассчитывать симметричные Н-волны при совершенно произвольном характере изменения диэлектрической проницаемости по поперечной координате, при этом в может быть и комплексной величиной, что позволяет, например, рассчитывать волноводы со сложным распределением поглощения в поперечном сечении.

Симметричные Е-волны

Для симметричных Е-волн полагаем:

А = о,£ф = о,я„=яг=о.

При этом уравнения (1) перейдут в систему двух уравнений:

я/г

гр—^ + (к1е(г)-р2)Ег= 0;

дг

,ßdEr ..1 d2Ez iß—- + iß—Er+- z

1 дЕ. ,2

+ kis(r)E= 0.

1 r I и \ / z

дг г dr r dr Для избавления от мнимых чисел введем переменную Ez = i$Ez,

дЁ.

+ (Ks(r)-ß')Er= 0;

дг

д2Е, 1 дЕ.

дг2

+ ^ + k20siJz-ß

r dr

дЕ 1

r

+ -Е.

= 0.

П= 0

П= 0

2

r

Граничные условия на идеально проводящей поверхности для тангенциальной и нор-

т-т п дЕ„

мальнои компонент электрического поля кт\ =0,

уравнению:

дп

2\ г~ К

= 0 [ 10] в данном случае приводят к

(9)

Компоненты электрического поля будем искать в виде:

~ м м

п=0

г / а т IV т

т=0

(10)

С учетом граничного условия (9) коэффициенты ап определяются уравнением

Ма„К) = 0.

Подставив (10) в (8), получаем систему двух функциональных уравнений:

- X Апап^ {апг) + (к2е(г) ~/32Уг (атг) = 0,

Гд%(апг) + 1 а^Кг) +к1е{гШоСпГ)

п=0

С учетом равенств

дг

г дг

N

Г^{атг) , 1 4

(11)

т=0

IV т

г

= 0.

дг2 г дг

Ы\{атг)

дг

= аУъ(сстг)—Л (а»'")

систему (11) можно переписать в виде:

- X К'-) + X Вт(к;Мг)~ /Г-)./, («„,/•) = о,

«=0 т=0

N N

^Ап(кое(г)-а2пУ0(апг)-/32^ВтаМатг) = 0.

(12а)

(126)

п=0 т=0

Умножая уравнение (12а) на г./До^г), а уравнение (126) на п/0(а г) и интегрируя в пределах г е , получаем систему уравнений:

N К

Ц Ц Ц и / ; /и т-0 о

л? л.

(13)

*о2Ё4 ^(ОЛКгУД^гУг-^аХ - ВцР2а Гц = 0.

п

и=0 о

Здесь использовались условия ортогональности функций Бесселя

/:/0(«„г)./0(огг)б/г = /г/, («„/;)./, («г)б/г = ^

о о 1°,

Я2

где Г, =— ^{ачг).

Систему уравнений (13) можно записать в мат

~р(0,0) 2^(0,1)'

2^(1,0) у,(1Д)

где Т(т = -а Г 8 ,

<-7.т п а п.гп 5

ричном виде:

В

= 0.

(14)

п=0

т=0

г

г

N

N

п.

С: = *о2 \rs(r)Jx(anr)Jx(aqr)dr-

о

R

= К \гс{г)-1<>(<vVo(aqr)dr- a2qTq^m,

(15)

О \ п О V^-q'

Т(1Л)=-в2а TS ,

qjn ' а а а.т5

q q q,m 1

„ - символ Кронекера.

Приравнивая определитель матричного уравнения (14) нулю, получаем дисперсионное уравнение, описывающее Е-волны круглого волновода с произвольным радиальным диэлектрическим заполнением.

Реализация алгоритма Двухслойный экранированный волновод

В качестве примера проведем с помощью уравнений (7), (14) расчет простейшей тестовой структуры - круглого волновода с однородным диэлектрическим стержнем (т.е. s^^=s = const, рис. 2) и сравним результаты с полученными классическим методом частичных областей (МЧО).

8 (г)

а

R г

Рис. 2. Круглый волновод с диэлектрическим стержнем

Расчеты проводились для волновода с параметрами: Я = 20 мм, а = 10 мм, 8 = 3, на частоте / = 10 ГГц. Классический метод расчета дает следующие результаты: для Н-волн Ря = 237.68916 м"1, для Е-волн Р£ = 227.55000 м"1.

Расчет тестовых структур с использованием предложенной методики выполнялся при

ГЗ, г < а

подстановке функции е(г) — < в уравнения (6) и (14).

[1, а < г < Я

Сходимость решений, получаемых модифицированным методом Галеркина для Е и Н-волн, представлена в табл. 1 и на рис. 3.

Таблица 1

о

№ Е-волны Н-волны

п/п (РЕ =227.5500 м-1) (Рн = 237.6892 м)

1 2 3

1 233.1366 234.7509

2 234.3096 236.5369

3 232.3624 237.2738

4 231.8978 237.4027

Окончание табл. 1

1 2 3

5 230.9273 237.5506

6 230.7095 237.5777

7 230.1335 237.6259

8 230.0207 237.6347

9 229.6397 237.655

10 229.5748 237.6586

11 229.304 237.6686

12 229.2637 237.6704

13 229.0613 237.6758

14 229.0347 237.6768

15 228.8776 237.6800

Рис. 3. Сходимость по интегральной характеристике

Рис. 4. Распределение поля Н-волны:

_____ - МЧО; _ - ММГ

Из табл. 1 и рис. 3 видно, что сходимость ММГ является монотонной и наступает достаточно быстро (уже при N=5 разница между продольными волновыми числами не превыша-

ет 1.5 %). Из рис. 3 также видно, что в случае Н-волн сходимость наступает быстрее, что, по-видимому, связано с разницей в числе решаемых уравнений (одно уравнение (2) для Н-волн и два уравнения (8) - для Е-волн).

На рис. 4 пунктирной линией приведены зависимости компонент поля Н: и Лф от координаты г, рассчитанные для Н-волны при N=5.

Из графиков видно, что распределения полей, рассчитанные различными методами, практически совпадают, что подтверждает корректность предлагаемого метода.

Волновод с градиентным диэлектрическим заполнением

На основе уравнений (15) выполнен расчет дисперсионных характеристик Е-волн, распространяющихся в круглом волноводе с частичным диэлектрическим заполнением, проницаемость которого изменяется по параболическому закону, описываемому уравнением

е(г) =

2 ^ „ г , г <а

а2 . Подставив данное выражение в (15) и рассчитав интегралы

1, а <г< Я

(численно или аналитически), получаем решение дисперсионной задачи. Отметим, что для любого с(г) расчет интегралов из (15) проводится лишь один раз, поскольку они не зависят ни от частоты, ни от продольной постоянной распространения, а определяются только параметрами заполнения. Это является безусловным достоинством данного метода, позволяющим существенно сократить время расчета структуры.

Результаты расчета дисперсионных характеристик Е-волн круглого волновода с параболическим профилем диэлектрического заполнения представлены на рис. 5.

Л = 20мм а = 10мм

£1 = 8 е2 = 2

10

15

Рис. 5. Дисперсионные характеристики Е-волн круглого волновода с параболическим профилем диэлектрического заполнения

На основе уравнений (6), (7) выполнен расчет структуры в виде круглого волновода с частичным диэлектрическим заполнением, проницаемость которого линейно изменяется (рис. 6) по радиальной координате в пределах гё[0н-а].

Расчеты проводились для волновода с параметрами: Я = 20 мм, а = 10 мм,

В — £

е(Я) = £1—1--г, 8! =6, г2=2 частота_/= ЮГГц.

а

Для сравнения проведем расчет той же самой структуры, представив линейный профиль диэлектрической проницаемости в виде ступенчатой аппроксимации (рис. 6), число ступенек при этом примем равным 20. Результаты расчета распределения поля, полученного на основе решения дисперсионного уравнения, представлены на рис. 7. Результаты расчетов,

выполненных по предлагаемой методике и с помощью МЧО, совпадают с графической точностью.

О а Я г

Рис. 6. Функция диэлектрической проницаемости

Рис. 7. Результаты расчета распределения поля Выводы

1. Предложен метод расчета характеристик симметричных волн цилиндрического волновода с осесимметричным диэлектрическим заполнением, имеющим произвольную зависимость е(г). Метод является модификацией метода Галеркина, в которой вариационная процедура применяется к функциональным соотношениям, следующим непосредственно из уравнений Максвелла.

2. На примере трех краевых задач подтверждены корректность и эффективность предложенного метода.

3. Метод является альтернативным по отношению к МЧО в тех случаях, когда последний требует многоступенчатой аппроксимации функции диэлектрического заполнения, и может быть распространен на все волноводы с координатными экранирующими поверхностями.

Библиографический список

1. Веселов, Г.И. Слоистые металло-диэлектрические волноводы / Г.И. Веселов, С.Б. Раевский. - М.: Радио и связь, 1988. - 248 с.

2. Раевский, А. С. Неоднородные направляющие структуры, описываемые несамосопряженными операторами / А.С. Раевский, С.Б. Раевский. - М.: Радиотехника, 2004. - 110 с.

3. Раевская, О.И. Предельный аттенюатор на основе круглого двухслойного волновода / О.И. Раевская,

B.А. Калмык, Ю.А. Горячев // Изв. Вузов СССР. Радиоэлектроника. 1975. №2. С. 104-106.

4. Горячев, Ю.А. Предельные аттенюаторы с малым начальным ослаблением / Ю.А. Горячев, О.И. Раевская // Техника средств связи. Сер. РТ, 1977. Вып. 5(9). С. 40-43.

5. Неганов, В.А. Теория и применение устройств СВЧ / В.А. Неганов, Г.П. Яровой. - М.: Радио и связь, 2006. - 719 с.

6. Неганов, В.А. Электродинамика и распространение радиоволн / В.А. Неганов, О.В. Осипов, С.Б. Раевский, Г.П. Яровой. - М.: Радиотехника, 2007. - 200 с.

7. Унгер, Х.Г. Планарные и волоконные оптические волноводы / Х.Г. Унгер. - М.: Мир, 1988. - 656 с.

8. Раевский, С.Б. Приближенный метод расчета дисперсии волн в волокне с периодическим изменяющимся вдоль оси показателем преломления / С.Б. Раевский, А.А. Смирнов // Антенны. 2004. №1(8).

C. 31-35.

9. Раевский, С.Б. Распространение электромагнитных волн в периодически-неоднородных средах / С.Б. Раевский, А.А. Смирнов, Г.И. Шишков // Антенны. 2005. №5(96). С. 64-72.

10. Неганов, В.А. Электродинамика и распространение радиоволн / В.А. Неганов, О.В. Осипов, С.Б. Раевский, Г.П. Яровой. - М.: Радио и связь, 2005. - 320 с.

Дата поступления в редакцию 30.03.2010

N.A. Novoselova, S.B. Raevskiy, A.A. Titarenko

CALCULATION OF CHARACTERISTICS OF SYMMETRIC MODES PROPAGATING IN A CIRCULAR WAVEGUIDE WITH RADIALLY-HETEROGENEOUS DIELECTRIC

FILLING

The method of calculation of characteristics of modes propagating in a circular shielded waveguide with radially-heterogeneous dielectric filling is introduced. The results of the calculation are presented.

Key words: waveguide, symmetric wave, dielectric filling.