CC BY
14Бюллетень науки и практики /Bulletin of Science and Practice Т. 7. №12. 2021
https://www.bulletennauki.com https://doi.org/10.33619/2414-2948/73
УДК 378.4:004.421 https://doi.org/10.33619/2414-2948/73/46
СОЗДАНИЕ ПРОГРАММЫ ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ АППРОКСИМИРУЮЩЕЙ ФУНКЦИИ ПОЛУЧЕННЫХ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
©Кадыркулова Н. К., Ошский технологический университет им. акад. М.М. Адышева,
г. Ош, Кыргызстан, kadyrkulova74@mail.ru ©Жулев В. А., Ошский технологический университет им. акад. М.М. Адышева,
г. Ош, Кыргызстан, julev@mail.ru
CREATION OF A PROGRAM FOR FINDING AN APPROXIMATING FUNCTION OF THE OBTAINED EXPERIMENTAL RESULTS BY THE METHOD OF LEAST SQUARES
©Kadyrkulova N., Osh Technological University named by M.M. Adyshev, Osh, Kyrgyzstan,
kadyrkulova74@mail.ru ©Zhulev V., Osh Technological University named by M.M. Adyshev, Osh, Kyrgyzstan,
julev@mail.ru
Аннотация. При решении инженерных и экономических задач часто возникает необходимость в получении математических зависимостей между различными параметрами, характерными для данной задачи. Как правило, все физические эксперименты сводятся к измерению зависимости некоторой величины u от одной или нескольких других величин Z1, Z2, ..., zn. Основной задачей использования метода наименьших квадратов как метода аппроксимации с точки зрения приближенного восстановления функции по известным ее значениям в ряде точек является подбор эмпирических формул, которые позволяют аналитически представить полученные данные экспериментальных измерений. В данной статье рассмотрены задачи получения данных и аппроксимация функции методом наименьших квадратов с использованием ООП.
Abstract. When solving engineering and economic problems, it is often necessary to obtain mathematical relationships between various parameters characteristic of a given problem. As a rule, all physical experiments are reduced to measuring the dependence of a certain quantity u on one or several other quantities z1, z2,..., zn. The main task of using the least squares method as an approximation method from the point of view of approximate recovery of a function from its known values at a number of points is the selection of empirical formulas that allow an analytical presentation of the obtained experimental measurement data. This article discusses the problems of obtaining data and approximating a function by the least squares method using OOP.
Ключевые слова: метод наименьших квадратов, функциональная зависимость, аппроксимация, погрешность.
Keywords: method of ordinary least squares, functional dependence, approximation error.
При решении технико-экономических задач часто бывает необходимо определить математические зависимости между различными параметрами, характерными для данной задачи [1-3].
Исходной информацией, определяющей эти зависимости, является физический эксперимент или экономические показатели. В обоих случаях мы располагаем либо табличные данные, либо точки на графике. Предположим, что есть зависимость Р^ полученная с дискретными значениями Zi. Значения Pi получены из эксперимента с некоторыми погрешностями. Необходимо найти зависимость P=f (Z) (Рисунок 1).
Рисунок 1. График зависимость Pi, полученная при дискретных значениях Zi
Поскольку, что P=f (2) имеет явно выраженную нелинейную зависимость, мы запишем уравнение кривой второго порядка.
P = X + XZ + Хг21
(1)
В этом уравнении Хо, Х1, Х2, неизвестные пока коэффициенты. Чтобы найти эти коэффициенты, запишем зависимость вида (1.1) для всех доступных значений Рг-.
P
■Х 0 + X1Z1 + Х 2 Z1
P2 = Х 0 + X1Z 2 + Х 2 Z 2
P = Х 0 + ХZ + Х 2 Z2
P = Хд + Х^7 + Х\Zq
(2)
Получена система из 7 уравнений с 3 неизвестными. Необходимо таким методом найти, Хо, Х1, Х2 чтобы зависимость (1) наилучшим образом описывала результаты, представленные на графике.
Для нахождения трех неизвестных, чтобы решить систему из 7 уравнений. Если мы отбросим какие-либо 4 лишних уравнений, мы найдем значения неизвестных, не считая эти уравнения отброшенными. С другой стороны, система (2) может быть несовместной, то есть при решая ее, мы не можем получить тождества и, подставляя найденные значения неизвестных в системные уравнения, получаем разность между левой и правой частями.
Обозначим эти разницы в соответствии с номерами уравнений через ••• ,•••,^7
и будем называть их невязками. Невязка — это разница между аналитической зависимостью и значениями Рг-, указанными в качестве исходной информации в дискретных точках Zi.
Для того чтобы аналитическая зависимость результатов эксперимента наиболее полно отражала, будем минимизировать величину:
Бюллетень науки и практики /Bulletin of Science and Practice Т. 7. №12. 2021
https://www.bulletennauki.com https://doi.org/10.33619/2414-2948/73
I=1
Невязки взяты в квадрат для того, чтобы любая невязка получалась с положительным знаком, при увеличении соотношений малых и больших невязок. Минимизация £ будет выражать наилучшее приближение аналитической зависимости в экспериментальных точках (при заданной степени полинома). Общая формулировка задачи:
необходимо решить систему и-линейных уравнений с т неизвестными.
апХ1+а12Х2+..Лащ+...а1тХт=Ь1 (4)
а21Х1+а22Х2 +...+ а2Х +... а2тХт=Ь2 ацХ1+ ai2X2+...+ayXj + ..М/тХт =Ь ап1Х1+ап2Х2 + ...+ anjXj +... аптХт Ьп
Запишем /-тое уравнение в более компактном виде:
(5)
£ aijxj = bi
j=i
Тогда
n n m
£=Е (Е ол - *.)2 (6)
1=1 1=1 ]=\
Для минимизации £ возьмем частные производные каждой переменной Хj из этого значения и равняем его 0.
^ п т (7)
2£ (£ "у*! - Ъ )ау >
°X ^ ^ j
°Xj i=1 j=1
ds
= 0, отсюда:
°x
j
(8)
x. — b \a... = 0
£ (£ ajxj— bi )ач =0=
¿=i j=i
Таких уравнений будет много, так как неизвестные Xj и получим систему n-линейных алгебраических уравнений с n неизвестными, которые можно решить методом исключения с выделением главного элемента.
Обзор программного обеспечения Реализация метода наименьших квадратов в среде Delphi 10. После запуска программы появляется окно, показанное на Рисунке 2.
Рисунок 2. Главное окно программы
При нажатии кнопки «Открыть» появится диалоговое окно открытия файла с исходным данными (Рисунок 3).
Рисунок 3. Выбор файла с экспериментальными данными При выборе файла появляется форма (Рисунок 4).
Рисунок 4. Показ исходные данные
Здесь в верхнем окне содержатся исходные данные, т. е. количество точек измерений и сами значения в выбранных точках. Нажимаем на кнопку «Подбор кривой» и «Расчет», (Рисунок 5).
Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice Т. 7. №12. 2021
https://www.bulletennauki.com https://doi.org/10.33619/2414-2948/73
Рисунок 5. Расчет графика
Теперь после нажатия на кнопку «График» и «Подобранная кривая» получаем графики экспериментальных данных и подобранной кривой (Рисунок 6).
Рисунок 6. Графики экспериментальных данных и подобранной кривой
Как видим, график экспериментальных данных и подобранной кривой практически совпадают.
Заключение
Рассмотрены одним из сложнейших разделов математики — обработка экспериментальных данных. В статье реализованы методики обучения методом наименьших квадратов, сопутствующий ему и возникающий при реализации метода наименьших квадратов и методы решения системы линейных алгебраических уравнений.
Список литературы:
1. Иванова Г. С. Объектно-ориентированное программирование. М., 2003. 367 с.
2. Мансуров К. Т. Основы программирования в среде Lazarus, М., 2010. С. 36-38.
3. Фаронов В. В. Delphi.Программирование на языке высокого уровня. СПб.: Питер, 2003. 640 с.
References:
1. Ivanova, G. S. (2003). Ob"ektno-orientirovannoe programmirovanie. Moscow. (in Russian).
2. Mansurov, K. T. (2010). Osnovy programmirovaniya v srede Lazarus. Moscow. 36-38. (in Russian).
3. Faronov, V. V. (2003). Delphi. Programmirovanie na yazyke vysokogo urovnya. St. Petersburg. (in Russian).
Работа поступила в редакцию 25.11.2021 г.
Принята к публикации 27.11.2021 г.
Ссылка для цитирования:
Кадыркулова Н. К., Жулев В. А. Создание программы для нахождения аппроксимирующей функции полученных экспериментальных результатов методом наименьших квадратов // Бюллетень науки и практики. 2021. Т. 7. №12. С. 367-372. https://doi.org/10.33619/2414-2948/73/46
Cite as (APA):
Kadyrkulova, N., & Zhulev, V. (2021). Creation of a Program for Finding an Approximating Function of the Obtained Experimental Results by the Method of Least Squares. Bulletin of Science and Practice, 7(12), 367-372. (in Russian). https://doi.org/10.33619/2414-2948/73/46
