CC BY
83
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2013 Математика и механика № 4(24)
УДК 629.78.001
Н.Н. Севастьянов СОЗДАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ВНЕШНИХ ВОЗМУЩАЮЩИХ МОМЕНТОВ ДЛЯ РЕЖИМА «ПРОГНОЗ» СПУТНИКА СВЯЗИ «ЯМАЛ-200»
Рассмотрена природа и основные составляющие внешних возмущающих моментов, действующих на находящийся на орбите космический аппарат. Показано, что только натурные экспериментальные измерения позволяют получить точные данные по действующим внешним моментам.
Ключевые слова: Спутник связи, геостационарная орбита, внешние возмущающие моменты, натурные экспериментальные измерения.
1. Постановка вопроса
Достаточно хорошо известна природа внешних возмущающих моментов, действующих на находящийся на орбите космический аппарат [1]. Основными из них являются гравитационные моменты, моменты от магнитного поля Земли, от аэродинамического воздействия атмосферы и от давления солнечного излучения. Особенностью геостационарной орбиты является полное отсутствие влияния атмосферы и сильно уменьшенные по сравнению с низколетящими космическими аппаратами (КА) величины гравитационных и магнитных моментов. Проведем некоторые их оценки.
Гравитационный момент, действующий на КА с тензором инерции JB, равен
Nгр = “Т[ x(JB • -)]> - = - • ()
r r
Моменты инерции КА «Ямал-200» в (кг м3) и конструктивных (базис В) осях:
КА Jxx Jyy Jzz Jxy Jyz Jxz
КА-201 6976,4 6837,4 1121,8 -16,8 -5,1 19,4
КА-202 6719,5 6503,4 1014,9 -5,7 -17,7 17,0
- показывают, что точность совпадения конструктивных осей с осями главных моментов инерции - не хуже единиц угловых минут. Такого же порядка и точность ориентации конструктивных осей в орбитальной системе координат (ОСК); гравитационный момент лежит в горизонтальной плоскости и с учетом того, что ц/г3 = (ю0)2 = 0,528-10-8, получаем для самой большой разности моментов инерции (Iх - 1гг), (I - ) величину ~2 -10-7 Н м на каждую угловую минуту
отклонения. Поскольку ориентация КА относительно ОСК не меняется (если не считать стабилизационных колебаний, действия от которых усредняются), то величина гравитационного момента должна быть постоянной и не превосходить ~10-6 Н м.
Магнитный момент определяется наличием токового контура (А • виток • м2 = А • м2), определяющего М - дипольный момент КА, который
взаимодействует с магнитным полем Земли, задаваемым вектором напряженности
В, равным на экваторе 3 -10-5 Тл и направленным нормально к плоскости экватора. Напряженность магнитного поля убывает с расстоянием как 1/г3; магнитный момент задается формулой
ЫМг = М х В [Нм]. (2)
Контур в 1А • м2 получит момент 1,4 -10-7 Нм. С целью исключения действия магнитных моментов предпринимаются определенные правила прокладки силовых токовых цепей. Можно видеть, что возмущающий магнитный момент мал и постоянен в связанных осях КА.
Момент солнечного давления. Общая формула для этого момента
Жс = г х /, (3)
где г - радиус вектор, идущий от центра масс к центру оптического давления; /-сила светового давления равная / = (1 + К)рЛ± , К - коэффициент отражения конструкции КА, 0 < К < 1, Л± - площадь поверхности КА, нормальной к направлению на Солнце; р = /с/с, /С = 1538 Вт/м2 - энергия излучения Солнца на расстоянии до Земли и с = 2,9979 108 м/с - скорость света.
Размер солнечных батарей КА составляет 35 кв. м, к примеру, для К = 0,5,
г = 0,1 м этот момент будет равен Ыс = 3,4 • 10-5 Н • м. Очевидно, что именно этот момент является превалирующим, и, кроме того, он изменяется в связи с изменением положения Солнца в ОСК. Так, возьмем расстояние от центра оптического давления до центра инерции величиной 0,1 м, очевидно, что оно также меняется во времени, но на Земле определить эту величину достаточно трудно. Тем не менее поскольку положение Солнца в ОСК, в которой стабилизируется КА, задается двумя углами: углом суточного вращения ОСК и углом отклонения от плоскости орбиты вследствие годового движения Земли, можно сделать определенные суждения о виде функциональной зависимости рассматриваемого момента по времени. Можно предположить, что суточные кривые моментной зависимости должны повторяться, однако при годовом движении Солнца должны быть некоторые особенности. Во-первых, это наличие теней - затмений Солнца - при прохождении плоскости экватора длительностью от 0 до 1 ч 10 мин, и, во-вторых, анализ зависимости момента от угла отклонения Солнца от плоскости , ц2 ОСК. Если принять в качестве основной составляющей момент от плоскостей солнечных батарей, ориентируемых на Солнце, то влияния этих углов отклонения быть не должно. Аналитический учет компоненты момента от корпуса КА весьма затруднителен, тем более, что в любом случае нужно экспериментальное подтверждение выполненным расчетам.
Тем самым, аналитический обзор показывает, что существует только одна возможность получить точные данные по действующим внешним моментам
МА = ^ + Жмг + , (4)
а именно - натурные экспериментальные измерения.
2. Получение экспериментальных данных о внешнем моменте КА «Ямал-200»
Значения действующих на космический аппарат внешних моментов для спутника связи, находящегося на геостационарной орбите, оказалось возможным получить по результатам обработки телеметрических данных о работе системы ориентации этих спутников на участках их штатного функционирования. Созданный для спутников этой серии новый центр управления полетом [2] позволяет структурировать и запоминать на сервере полный поток телеметрической информации о параметрах всех процессов, имевших место на каждом космическом аппарате во все время его функционирования. Благодаря этому была получена возможность провести обработку информации о длительном (два года) периоде функционирования системы ориентации. На протяжении всего этого периода поддерживалась точная ориентация КА в ОСК (погрешности не более 15 угловых минут) и была доступна для обработки информация об угловых скоростях КА и о скоростях вращения инерционных маховиков. Общая идея построения алгоритма оценки внешних моментов состояла в следующем:
- производилась оценка угловых скоростей вращения инерционных маховиков; используя обозначения статьи [3] и формулы из нее (21), возможно получить оценку кинетического момента маховиков
Нв =£/ю, , Нт = I,а, , 1 = 1,2,3. (5)
1 =1
Здесь ю,, - векторные и скалярные величины скоростей вращения маховиков;
11 - моменты инерции маховиков (известные величины);
Оценка полного кинетического момента КА
¿в = ^вв •юв + Нв , ¿в, = ^В1ав, + /,а 1, 1 = ^-,2,3 , (6)
в векторном и скалярном видах, значения тензора инерции КА приведены выше и справедлива вторая (скалярная) часть формулы (5). Компоненты вектора внешних моментов после этого могут быть вычислены (построены) согласно уравнениям движения (22) из [3]:
МЛ = ¿в1 +ав2^3 -авэ^в2,
Мё 2 = ¿¿в 2 +® в 3^1 -® B\<GB3, (7)
Мё3 = ¿¿в3 + ®в\&в2 - ®в2&в\.
Чтобы реализовать описанный подход к оцениванию суммарного возмущающего момента, необходимо располагать методом восстановления фактического движения КА по телеметрической информации. Ниже используется метод, основанный на аппроксимации вращательного движения спутника сплайнами.
Для уменьшения случайных ошибок при определении значений угловой скорости спутника использовался процесс сглаживания (аппроксимации функции), основанный на применении метода наименьших квадратов. Аппроксимация выполнялась покомпонентно с использованием решения следующей задачи. Пусть для моментов времени *т (т = 0,1,...,М), *т </т+1, известны приближенные значения хт и / (*т) некоторой гладкой функции / (*). Требуется восстановить эту функцию на отрезке *0 ^^ М .
Отыскание / (*) в предположении, что эта функция дважды непрерывно дифференцируема, сводится к решению вариационной задачи
Здесь £ - заданное положительное число. Решением задачи (8) является кубический сплайн.
Предполагалось, что измеренные значения угловой скорости имеют одинаковую точность и функция юв1 (*т) на участке измерений может быть достаточно хорошо приближена многочленом третьей степени. В результате по наблюденным значениям функции в точках измерений методом наименьших квадратов построен многочлен третьей степени, аппроксимирующий функцию юв1 (*т), и за значения
этой функции принимались значения ю'в1 (*т) полученного многочлена в точках
*т. Вычисление выполнялось по четырем точкам с использованием следующего выражения:
Такое определение угловой скорости спутника позволило уменьшить влияние ошибок измерений при последующей аппроксимации функции ю'в1 (*т), которая выполнялась для получения значений угловой скорости в требуемые моменты времени.
Аналогичный метод использовался при вычислении значений кинетических моментов маховиков Н'В1 по информации о скоростях их вращения, получаемых по сигналам прохождения ротора каждого маховика четырех точек за один оборот. При фильтрации угловых скоростей маховиков нужно учитывать стабилизационные колебания в контуре управления, так что интервал осреднения выбирался с учетом этого обстоятельства.
На рис. 1 - 3 в качестве примера представлены обработанные таким образом данные по поведению компонент кинетического момента О'В1 (1 = 1,2,3 - х, у, г) для спутника «Ямал-201». Можно видеть, что поведение составляющих кинетического момента системы хорошо иллюстрируют теорему сохранения кинетического момента: проекции кинетического момента на оси связанной системы координат, достаточно точно ориентируемой в равномерно вращающейся орбитальной системе координат, близки к гармоническим функциям по 1 и 2 каналам.
Выделенные из этих экспериментальных зависимостей величины внешних моментов согласно соотношениям (7) представлены на рис. 4 - 6, где приведены покомпонентные зависимости поведения по времени моментов, действующих на космический аппарат.
Можно видеть, что прослеживается регулярность поведения этих зависимостей по времени, соответствующая регулярному движению Солнца относительно орбитальной и соответственно связанной системы координат.
Высокую точность оценок внешних возмущающих моментов подтверждает близость измеренных значений кинетического момента спутника (серые маркеры на рис. 1 - 3) и расчётных значений, полученных путём решения системы уравне-
(8)
Ю'вг (*т ) = 35 (-3юВ1 ((2 ) + 12юв1 (*т-1 ) + 17ю(*т ) + 12юв1 (*т+1 ) - 3юв1 (*т+2 )) . (9)
Рис. 1. Суточное изменение кинетического момента (канал крена)
Рис. 2 . Суточное изменение кинетического момента (канал рысканья)
Рис. 3. Суточное изменение кинетического момента (канал тангажа)
Оценка Мк (Мх*1 е+6) Нм
V: і'
Ді 1
1 і і 10:00:00. 3.09.2005 11:00:00' 3.09.2005 12:00:00' 3.09.2005 13:00:00 3.09.2005 14:00:00 3.09.2005 15:00:00' 3.09.2005 16:00:00' 3.09.2005 Мі і 19:00:00. 3.09.2005 20:00:00' 3.09.2005 21:00:00 3.09.2005 1 і і і 00:00:00. 1.09.2005 ’ 01:00:00' *.09.2005 II а § І і 1 і 05:00:00. *.09.2005 06:00:00' *.09.2005 07:00:00' *.09.2005 1
Рис. 4. Суммарный возмущающий момент, действующий на КА «Ямал-200» № 1. Канал крена, интервал измерений - сутки
Оц0нка Му (Му*16+6) Нм
Рис. 5. Суммарный возмущающий момент, действующий на КА «Ямал-200» № 1. Канал рысканья, интервал измерения - сутки
Оценка Мг (Мг*1 е+6) Нм
Рис. 6. Суммарный возмущающий момент, действующий на КА «Ямал-200» № 1. Канал тангажа, интервал измерений - сутки
5 " К £ 8 £ 8
Рис. 7
Рис. 8
Анализ полученных в результате обработки данных показал, что основными причинами вариации внешних моментов являются суточные его изменения, как и ожидалось в аналитическом исследовании. Сравнение измерений, выполненное на трехлетнем интервале (2004 - 2006 годы), показало достаточно хорошую повторяемость суточных изменений внешнего момента, тем не менее сезонные (годовые) его изменения также необходимо было оценить.
Нужно заметить, что на представленных данных есть аномально высокие возмущения на границе 2005 - 2006 годов, не повторившиеся на следующих годах, связанные, видимо, с солнечным излучением.
Анализ этих данных показал, что хотя сезонные изменения имеют место, величина и скорость этих изменений позволяют ввести достаточно простую их аппроксимацию.
Кроме того, необходимо учитывать тот факт, что в периоды времени, близкие к весеннему и осеннему равноденствиям, появляются теневые участки орбиты, на которых внешние моменты изменяются и это нужно учитывать в математической модели.
3. Внедрение модели действующих моментов в бортовое программное обеспечение режима «прогноз»
Анализ полученных экспериментальных данных по внешним возмущающим моментам показал, что достаточно точным их представлением может служить табличное их задание в виде постоянных величин на определенном интервале времени. По результатам расчётов моментов за 3 года были сформированы табли-
цы возмущающих моментов, которые описывают изменение компонент момента в течение года с шагом 30 минут (табл. 1 иллюстрирует такое изменение в марте месяце). Был выбран интервал времени в полчаса, на котором внешний момент принимался постоянным.
Таблица 1
КА «Ямал-200» № 1
Мх (Нм) Му (Нм) М2 (Нм)
0:59:09 -2.34590058686274 10-6 0:59:09 3.19350757338138 10-6 0:59:09 1.06392140379532 10-5
1:29:09 -4.16967332770144 10-6 1:29:09 3.51510955924068 10-6 1:29:09 5.9152403540214410-6
1:59:09 -6.08148725971383 10-6 1:59:09 3.62839272766736 10-6 1:59:09 1.97664756389053 10-6
2:29:09 -7.79449936083288 10-6 2:29:09 3.54713054942499 10-6 2:29:09 -1.17585631124855 10-6
2:59:09 -9.27920755835184 10-6 2:59:09 3.33753842539316 10-6 2:59:09 -3.7691039781843410-6
3:29:09 -1.05846642919321 10-5 3:29:09 3.07641529225083 10-6 3:29:09 -6.07114866658602 10-6
3:59:09 -1.16934803901124 10-5 3:59:09 2.83877165019093 10-6 3:59:09 -8.36441033723945 10-6
4:29:09 -1.23471016290890 10-5 4:29:09 2.69070056558294 10-6 4:29:09 -1.09820247087903 10-5
4:59:09 -1.26381656328098 10-5 4:59:09 2.65498280116853 10-6 4:59:09 -1.40495822105069 10-5
5:29:09 -1.29491320699835 10-5 5:29:09 2.69353341419746 10-6 5:29:09 -1.74354596222443 10-5
5:59:09 -1.32491616355497 10-5 5:59:09 2.74413836562402 10-6 5:59:09 -2.07792554048565 10-5
6:29:09 -1.34056162303746 10-5 6:29:09 2.74043077589416 10-6 6:29:09 -2.36745736404243 10-5
6:59:09 -1.32838728117880 10-5 6:59:09 2.62816818818481 10-6 6:59:09 -2.56719950579887 10-5
7:29:09 -1.27423746946181 10-5 7:29:09 2.40412742047909 10-6 7:29:09 -2.61695456425209 10-5
7:59:09 -1.17412440740278 10-5 7:59:09 2.11519892638714 10-6 7:59:09 -2.4990580790181310-5
8:29:09 -1.04388602261808 10-5 8:29:09 1.82539400568527 10-6 8:29:09 -2.26202443302498 10-5
8:59:09 -8.98345182565423 10-6 8:59:09 1.53890252924221 10-6 8:59:09 -1.93333699626052 10-5
9:29:09 -7.50440541789356 10-6 9:29:09 1.24482579416021 10-6 9:29:09 -1.5321646868413410-5
9:59:09 -6.10717083576433 10-6 9:59:09 9 30657212129550 10-7 9:59:09 -1.09121330983690 10-5
10:29:09 -4.81019213464524 10-6 10:29:09 5.77996132939688 10-7 10:29:09 -6.95164798580219 10-6
10:59:09 -3.59606912347959 10-6 10:59:09 1.77410387009288 10-7 10:59:09 -4.02973978125100 10-6
11:29:09 -2.16723491935164 10-6 11:29:09 -2.71346017962017 10-7 11:29:09 -1.93079704472502 10-6
11:59:09 -2.80340535947495 10-7 11:59:09 -7.68875535423250 10-7 11:59:09 -2.3500363172941410-7
12:29:09 1.91725650298287 10-6 12:29:09 -1.3113297468307510-6 12:29:09 1.39414188089627 10-6
12:59:09 3.91853423297936 10-6 12:59:09 -1.88516269794861 10-6 12:59:09 3.13266539583555 10-6
13:29:09 5.18596662153281 10-6 13:29:09 -2.4539161490700410-6 13:29:09 4.91382731633138 10-6
13:59:09 5.79005302763499 10-6 13:59:09 -2.93242385518640 10-6 13:59:09 6.13628746778388 10-6
14:29:09 6.37996351033612 10-6 14:29:09 -3.2275511045396210-6 14:29:09 6.14592755340617 10-6
14:59:09 7.04641386427361 10-6 14:59:09 -3.36900292796532 10-6 14:59:09 5.29951916226987 10-6
15:29:09 7.73500304281715 10-6 15:29:09 -3.4163287403615410-6 15:29:09 4.19547356891890 10-6
15:59:09 8.37466228317082 10-6 17:59:09 -3.39373306405551 10-6 15:59:09 3.47287588096255 10-6
16:29:09 8.83753139126534 10-6 16:29:09 -3.43167208041160 10-6 16:29:09 3.91086027112148 10-6
16:59:09 9.1439276059156910-6 16:59:09 -3.4390525786201510-6 16:59:09 5.90024806746166 10-6
17:29:09 9.44650798710640 10-6 17:29:09 -3.42544449343409 10-6 17:29:09 9.29535127651703 10-6
17:59:09 9.76835174552686 10-6 17:59:09 -3.39373306405551 10-6 17:59:09 1.36620345396431 10-5
18:29:09 1.00975185926402 10-5 18:29:09 -3.3526292917103110-6 18:29:09 1.85148222258311 10-5
18:59:09 9.81649303321793 10-6 18:59:09 -3.22172697472599 10-6 18:59:09 2.36286146925611 10-5
19:29:09 9.39182828656182 10-6 19:29:09 -3.11016332131791 10-6 19:29:09 2.7882307440582410-5
19:59:09 8.74434270372166 10-6 19:59:09 -2.9956471362172410-6 19:59:09 3.02802877991046 10-5
20:29:09 7.87479866234943 10-6 20:29:09 -2.80641293938765 10-6 20:29:09 3.02032685077087 10-5
20:59:09 6.90990839138591 10-6 20:59:09 -2.48414513600020 10-6 20:59:09 2.8335778378435410-5
21:29:09 5.98456476261238 10-6 21:29:09 -1.97584167307599 10-6 21:29:09 2.5656747032988410-5
21:59:09 5.14215519198579 10-6 21:59:09 -1.26748448168853 10-6 21:59:09 2.29923044596782 10-5
22:29:09 4.06459806854379 10-6 22:29:09 -5.01805563485325 10-7 22:29:09 2.05402835631515 10-5
22:59:09 2.69332286758949 10-6 22:59:09 1.68894878743683 10-7 22:59:09 1.82887469499308 10-5
23:29:09 1.42326448201955 10-6 23:29:09 6.85666334169653 10-7 23:29:09 1.62521947464103 10-5
23:59:09 3.7496578231696710-7 23:59:09 1.08161134610087 10-6 23:59:09 1.43579776120330 10-5
0:29:09 -5.14399632579725 10-6 0:29:09 1.41463640662694 10-6 0:29:09 1.25156983079285 10-5
Такая таблица записывается в память бортовой ЦВМ, и бортовая программа использует табличные данные, сменяемые через заданные интервалы времени, для формирования виртуальной модели возмущения.
Для того чтобы учесть сезонные изменения, используется 9 таких таблиц, переход от одной к последующей также привязан к времени (годовому). Таблицы были составлены для каждого аппарата «Ямал-201» и «Ямал-202», начало временных интервалов отсчитывалось от точки начала года: 01.01.2004 г., 01.01.2005 г., 01.01.2006 г. и т.д.
Моменты в тени формировались аналогичным образом. Значения моментов для КА «Ямал-201», к примеру, оказались постоянными: Md = (0,0000008; -0,0000035; 0,000005) Н м. В бортовом программном обеспечении выполняется расчет навигационных данных для формирования углового положения ОСК, кроме того, рассчитывается факт захождения и выхода КА из тени Земли. По этому признаку осуществляется переход от одной схемы формирования момента к другой.
Стандартное отклонение полученных оценок имеет порядок 10-8...10-9 Н м. Описанный метод позволил получить достаточно точные результаты, избежав при этом необходимости делать сложные расчёты, используя аналитические выражения, содержащие величины, точные значения которых неизвестны.
ЛИТЕРАТУРА
1. Бранец В.Н., Севастьянов Н.Н., Федулов Р.В. Лекции по теории систем ориентации, управления движением и навигации космических аппаратов: учеб. пособие. Томск: ТГУ, 2013. 308 с.
2. Севастьянов Н.Н. Разработка концепции, обобщение опыта создания и практики управления космическими аппаратами связи нового поколения (на примере спутниковой системы связи «Ямал»): дис. ... канд. техн. наук / ОАО «Газком», РКК «Энергия им.
С.П. Королева. МВТУ им. Баумана. 2007. 158 с.
3. Севастьянов Н.Н. Концепция построения системы ориентации и управления движением спутника связи «Ямал». Штатная схема функционирования // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2013. № 2 (22). С. 85-96.
Статья поступила 30.05.2013 г.
Sevast'yanov N.N. Creation of A mathematical model of external disturbing moments for the "forecast" regime Of the Yamal 200 communication satellite. The nature and basic components of external disturbing moments acting on the orbiting spacecraft are considered. It is shown that only a full-scale experimental measurements provide accurate data on the acting external moments.
Keywords: Communications satellite, geostationary orbit, external disturbance moments, full-scale experimental measurements.
Sevastyanov Nikolay Nikolaevich (Tomsk State University)
E-mail: sevastiyanov@gascom.ru
