CC BY
23
Татаринов В.В.
Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана, к.ф.-м.н., доцент кафедры «Экология и промышленная безопасность», [email protected]
СОВРЕМЕННЫЕ ПОДХОДЫ К ПОСТРОЕНИЮ КУРСА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ДЛЯ ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫХ ОТДЕЛЕНИЙ ТЕХНИЧЕСКИХ УНИВЕРСИТЕТОВ
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА
Высшая математика, математическое моделирование, мультидисциплинарный курс, MATLAB, Partial Differential Equation Toolbox.
АННОТАЦИЯ
В статье обсуждаются особенности методики построения курса по дисциплине «Высшая математика» с иностранными слушателями Подготовительных отделений технических университетов. Предложен мультидисциплинарный подход, включающий в себя элементы: классической высшей математики; прикладной математики; новых информационных технологий. Показана его реализация на примере темы «Дифференциальныеуравнения в частных производных».
Математика является неотъемлемой частью инженерной подготовки [1], поэтому с иностранными слушателями, готовящимися к поступлению в МГТУ им. Н.Э. Баумана, обязательно проводятся занятия по дисциплинам «Математика» (при поступлении на первый курс) или «Высшая математика» (при поступлении в магистратуру или аспирантуру).
Цель преподавания дисциплины «Высшая математика» на Подготовительном отделении Факультета международных образовательных программ состоит в содействии приобретению иностранными слушателями системы математических знаний и умений, необходимых для применения в практической деятельности, изучения смежных дисциплин, продолжения образования в магистратуре или аспирантуре в технических университетах Российской Федерации. Данная дисциплина является начальной и базовой для последующего обучения.
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование элементов, в том числе, следующих компетенций:
• исследовательские навыки;
• способность приобретать новые знания, используя современные образовательные и информационные технологии;
• фундаментальная подготовка по основам профессиональных знаний и готовность к использованию их в профессиональной деятельности;
• навыки работы с компьютером;
• владение методом алгоритмического моделирования при анализе постановок математических задач;
• владение методами математического и алгоритмического моделирования при решении прикладных задач;
• владение методами математического и алгоритмического моделирования при анализе теоретических проблем и задач.
В этой связи классические курсы высшей математики для иностранных слушателей не «работают», как в силу требований, предъявляемых в магистратуре или аспирантуре технического университета, так и начальной подготовки слушателей, включая языковую подготовку.
Сформулируем общие требования к курсу высшей математики, исходя из данных условий. Во-первых, ограниченность во времени сроком не более одного года. Достаточно отметить, что комплекс учебников «Математика в техническом университете», используемых в МГТУ им. Н.Э. Баумана, насчитывает 21 выпуск, начиная от «Введения в анализ» [2] и, заканчивая «Математическим моделированием в технике» [3].
Во-вторых, курс должен носить, по-существу, мультидисциплинарный характер и включать в себя элементы:
• классической высшей математики;
• прикладном математики;
• новых информационных технологий.
В-третьих, курс подразумевает большую самостоятельную работу слушателей, в том числе и под руководством преподавателя, и должен давать необходимые знания для дальнейшей учебы и научной работы в магистратуре или аспирантуре.
Рассмотрим возможное построение курса на примере одной из тем курса.
Одной из ключевых тем «Высшей математики» в данном контексте является тема «Дифференциальные уравнения в частных производных» (ДУЧП), поскольку она является одной из базовых в многочисленных приложениях моделирования различных процессов.
Кратко опишем предлагаемую схему изучения данной темы.
Вводится определение дифференциального уравнения в частных производных, как уравнения относительно неизвестной функции нескольких переменных, ее аргументов и ее частных производных различных порядков
F
д и д и
д и
дк
и
\
д х/ д х2""' д х ' д х!1... дх
= 0
"1 ^ ""2 " "п и Проводится изложение линейных однородных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка.
Далее рассматриваются типы уравнений второго порядка в частных производных. Уравнение вида
^ д и д и!„
-+ С —2 + F ( х,у,и, — , — 1 = 0
а-
д2 и
+2 Ь
д2 и
д х' д х д у д у \ д х
в области D принадлежит:
9. гиперболическому типу, если в этой области Ь — 4 ас > 0 ;
10. параболическому типу, если в этой области Ь2 —4 ас = 0 ;
11. эллиптическому типу, если в этой области Ь— 4 ас<0 .
Дается определение уравнения характеристик дифференциального уравнения в частных производных второго порядка. Рассматриваются способы приведения ДУЧП второго порядка к каноническому виду.
Решается уравнение свободных колебаний струны
д2 и
Л2
-= а
2 д2и
с начальными условиями
и 1=0: д и
д х :ф( х) = х)
Г=0
методом Даламбера
и (х,г,
ф( х—аг )+ф( х+аг) 1
х +аг
+2а $ у)ёу
х—аг
Проводится решение уравнения колебания струны, закрепленной на концах,
2 д2и
■ а
д2 и
с начальными условиями
д ^ и и=
д и д г
д х ■ Ф (х) = х)
г=0
и граничными условиями
методом Фурье
и |х=0=и (0, Г) = 0, и |х=;= и (1,Г )=0
/ \ akя , . kя \ . kя
u(x,t )=^ i akcos——t+bksin—— t Isin —-— x
k=l \ l l I l
где ak = — f ф(x)sinxdx и bk = 2 f x)sinxdx . k / o l k ak я o l
Рассматривается уравнение теплопроводности для нестационарного случая
д u 2 А
-= a A u .
д t
Проводится решение задачи Коши для следующих трех случаев.
1. Неограниченный стержень.
2. Полуограниченный стержень (стержень, ограниченный с одной стороны).
3. Стержень, ограниченный с обоих концов.
А также рассматривается уравнение теплопроводности для стационарного случая (уравнение Лапласа).
Решение задачи Дирихле
A u = 0
для круга
uUR=f(ф)
получаемое в виде интеграла Пуассона
l f R 2—r2
u(r,ф)=—гf f (t) P2 2 R—(-i+r—dT
2 я-n R —2rR cos( t—ф)+r позволяет завершить обзор наиболее известных математических методов для решения ДУЧП.
Затем, как нам представляется, можно перейти к простейшим возможностям системы MATLAB - символьное решение ДУЧП. Здесь можно сравнить аналитические решения и «компьютерные», что позволит лучше понимать преимущества и недостатки и тех, и других.
Далее следует уделить внимание разностным методам для уравнений в частных производных.
В этом случае, например,уравнение Пуассона можно рассматривать в более сложном виде
A u = f (x,y)
Однако, области G, на которой задано уравнение, необходимо сопоставить некоторую сетку; функции fx, y) - сеточную функцию f = f(xi, y), заданную только в узлах сетки, и совпадающую в этих узлах с ней и представимую в виде вектор-столбца
V и'
f=
f
21
(для и(х,у~) аналогично); оператор Лапласа аппроксимируется разностным оператором Лапласа
- V,) -- 1/(^,^-1)-Ли{х1,у})
Д и\
Окончательно получается система линейных уравнений в виде
Aii = -h2 f
где A - квадратная матрица, h - параметр сетки.
Аналогичным образом могут быть рассмотрены и другие уравнения.
При рассмотрении ДУЧП с этой точки зрения, обучаемым в качестве самостоятельной работы могут предлагаться задания с элементами программирования в MATLAB.
Вариационно-разностные и проекционно-разностные методы (методы конечных элементов) реализованы в пакете Partial Differential Equation Toolbox [4]. Пакет состоит из набора функций, автоматизирующих реализацию метода конечных элементов для решения различного типа ДУЧП второго порядка и их систем: эллиптических, параболических и гиперболических. Кроме того, в состав пакета входит приложение pdetool с графическим интерфейсом пользователя. Выделяются следующие этапы решения уравнений в частных производных. 1. Конструирование (построение) области, в которой решается уравнение.
2. Ввод уравнения в частных производных.
3. Определение начальных и граничных условий.
4. Триангуляция области.
5. Решение уравнения.
6. Визуализация результата.
Начинать этот подраздел можно опять с уравнения Пуассона, взяв конкретную функцию, например, f (x,y) = 16(x2+y2)
A u = 16( x 2+y2)
на единичном круге.
Обычными средствами PDE Toolbox проводится триангуляция области (рис. 1).
Рис. 1. Триангуляция единичного круга
Затем строится цветной график приближенного решения (рис. 2), на котором цвет точек соответствует высоте (значению) решения u(x, y), а палитра цветов отображается справа от рисунка.
Color: и
-о. в
Рис. 2. Двумерный график приближенного решения уравнения A u = 16 (x + y )
Это же решение может быть представлено и в трехмерном виде (рис. 3).
Очевидно, что на границе PDE Toolbox проходит разделение между чисто учебным материалом и научными исследованиями. Общих рекомендаций в этом случае разработать не возможно, многое зависит от направления последующего обучения и запросов слушателей. Однако, это прекрасная возможность для научной работы слушателей Подготовительного отделения на самостоятельных занятиях.
Color: u Height: u
-0,2 --0,4 --0.6 . -0.B --1 -
I"
■0.1
■ 0,2 I -0,3 ■ -0,4 ■0.5 ■o.s
; -0,7
-1 -1
Рис. 3. Трехмерный график приближенного решения уравнения Д u = 16 (x2+ y2)
Таким образом, в работе с иностранными слушателями, как представляется, удается удержать фундаментальность подготовки по высшей математике и прикладную компоненту, реализуемую новыми информационными технологиями.
В целом программа темы «Дифференциальные уравнения в частных производных» может быть представлена так.
1. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка.
2. Типы уравнений второго порядка в частных производных.
3. Уравнение колебаний струны.
3.1. Решение уравнения колебания струны методом Даламбера.
3.2. Решение уравнения колебания струны, закрепленной на концах, методом Фурье.
4. Уравнение теплопроводности.
4.1. Уравнение теплопроводности для нестационарного случая.
4.2. Уравнение теплопроводности для стационарного случая.
5. Задача Дирихле для круга.
6. Символьное решение ДУЧП.
7. Разностные методы для уравнений в частных производных.
8. Решение ДУЧП в MATLAB.
9. Решение ДУЧП с помощью функций Partial Differential Equation Toolbox. Аналогичным образом можно раскрывать и другие темы курса «Высшая математика».
В заключении отметим, что, на наш взгляд, такой подход эффективен не только для иностранных слушателей, но также и для отечественных магистров.
С учетом того, что в ближайшее время все большее число поступающих в магистратуру будет поступать из смежных областей и (или) после работы в научно-производственной сфере, роль подобных мультидисциплинарных курсов будет только возрастать.
Литература
1. Захарова И.В., Кузенков О.А., Солдатенко И.С. Проект MetaMath программы Темпус: применение современных образовательных технологий для совершенствования математического образования в рамках инженерных направлений в российских университетах. / Современные информационные технологии и ИТ-образование. Сборник избранных трудов IX Международной научно-практической конференции. Под ред. проф. В.А. Сухомлина. - М.: ИНТУИТ.РУ 2014, С. 159 - 171.
2. Морозова В.Д. Введение в анализ: Учеб. для вузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1996. - 408 с. (Сер. Математика в техническом университете; Вып. I.
3. Зарубин В.С. Математическое моделирование в технике: Учеб. для вузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. -2-е изд., стереотип. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003. - 496 с. (Сер. Математика в техническом университете; Вып. XXI, заключительный).
4. www.mathworks.com, Partial Differential Equation Toolbox™ User's Guide, R2015b.
5. Губина, Т.Н. Использование систем компьютерной математики в научно-исследовательской деятельности студентов в рамках курсов по выбору [Текст] / Т.Н. Губина, Е.В. Андропова // Известия ТулГУ. Естественные науки. Вып.1. — Тула: изд-во ТулГУ, 2009. — С.83-91.
