Совместное использование метода граничных элементов и нелокальных критериев разрушения Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.375

М. А. ЛЕГАН В. А. БЛИНОВ

Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, г. Новосибирск

СОВМЕСТНОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДА ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ И НЕЛОКАЛЬНЫХ КРИТЕРИЕВ РАЗРУШЕНИЯ

Составлен алгоритм совместного использования метода граничных элементов (в варианте фиктивных нагрузок) и градиентного критерия разрушения для расчетов на прочность плоских элементов конструкций. Проведено сравнение результатов расчетов предельной нагрузки по критерию максимальных напряжений, градиентному критерию, интегральному критерию Нейбера—Ново-жилова и трехпараметрическому интегральному критерию, как между собой, так и с экспериментальными данными по разрушению образцов из эбонита. Ключевые слова: хрупкое разрушение, концентрация напряжений, нелокальные критерии разрушения, экспериментальные данные.

Работа выполнена при частичной финансовая поддержке проекта РФФИ №15-01-07631.

При использовании классических локальных критериев разрушения обычно предполагается, что разрушение начинается при достижении максимальным эквивалентным напряжением предельного значения хотя бы в одной точке тела. Однако в условиях неоднородного напряженного состояния локальные критерии дают заниженные оценки предельных нагрузок по сравнению с экспериментальными данными. В этом случае целесообразно применять нелокальные критерии разрушения, которые дают более близкие к реальным значениям оценки предельных нагрузок, например, градиентный критерий.

Градиентный критерий разрушения. В градиентном критерии для определения начала разрушения с пределом прочности материала ав, сравнивается не максимальное, а эффективное напряжение ае. Эффективное напряжение пропорционально максимальному растягивающему напряжению а1 в рассматриваемой точке тела, принятому в качестве эквивалентного. Кроме того, а зависит от локальной неравномерности поля напряжений в окрестности рассматриваемой точки и представительного размера неоднородности материала. Локальная неравномерность распределения напряжений характеризуется относительным градиентом е* = |нгаВяе|/я* положительного нормального напряжения а , действующего на плоскости, в=лючающей площадку первого главного напряжения в рассматриваемой точке тела, где плоскость и площадка имеют общую нормаль V.

Вычисление величины |нгаВа*| в некоторых задачах проще, чем величины |нгаВан |, использовавшейся ранее [1 — 3].

Относительный градиент находится с использованием решения соответствующей задачи теории упругости. Выражение для эффективного напряжения записывается в виде

(1 + Ье*),

(1)

где Ь1 — параметр, имеющий размерность длины и характеризующий неоднородность материала;

в — неотрицательный безразмерный параметр (в ^ 0), который можно рассматривать как параметр аппроксимации.

Параметр Ь1 находится в [1] из условия согласования градиентного критерия с линейной механикой разрушения и выражается через известные характеристики материала — предел прочности ав и критический коэффициент интенсивности напряжения Кс — по формуле

— =(2/ я) КЦ ав2

(2)

Будем считать, что разрушение в окрестности рассматриваемой точки начинается при достижении эффективным напряжением ае предела прочности материала и п рвоначально распространяется по площадке действи= максимального растягивающего напряжения.

Интегральный критерий Нейбера-Новожило-ва. При неоднородном напряженном состоянии разрушение в хрупком теле начинается тогда, когда в рассматриваемой точке предела прочности материала ав достигает не максимальное, а среднее нормальное напряжение ау на площадке, имеющей фиксированный наименьший размер Ь* и включающей рассматриваемую точку. При постоянном напряжении вдоль наибольше го размера площадки интегральный критерий можно записать в виде

1

— | = Ов ,

(3)

а

а

V

где размер площадки осреднения находится из формулы

L* с (2/ п) КЦ с

(4)

Трехпараметрический интегральный критерий.

Для определения начала разрушения будем сравнивать с пределом прочности не среднее нормальное напряжение (ау а эффективное напряжение ае, которое вычисляется по формуле

1 -+0п2" 1+<

I2,

(5)

где п — безраз мерный параметр аппроксимации (0< п -!)■ При п=1 критерий совпадает с интегральным критерием Нейбера — Новожилова. Разрушение происходит при достижении эффективным напряжением предела прочности материала и первоначально распространяется по площадке осреднения.

Численный алгоритм для расчета на прочность.

На основе градиентного критерия и метода граничных элементов (в варианте метода фиктивных нагрузок) был разработан численный алгоритм для расчета на чрочность. При этом характерная особенность построенного алгоритма состоит в том, что в ходе расчетов необходимо определять не только компоненты напряженного состояния, но и их производные по пространственным координатам.

При использовании метода граничных элементов возникает проблема в расчетах, связанная с тем, что напряжения для внутренних точек с удовлетворительной точностью могут быть найдены при условии, что эти точки удалены от контура на р ас-стояние большее длины одного элемента [4]. В связи с этим необходимо было разработать алгоб итм, позволяющий с высокой точностью вычислять баз пряжения в точках тела, находящихся вблизи границы.

Численный алгоритм дч определения напряжений вблизи границы тела включает в себя два этапа. На первом этапе находим на пряжения б'ч - н| в средних точках граничных элементов и произ водные по касательной к контуру Пб' /Пс в этих точках. На втором этапе в теле на малом расстоянии Дн| от граничных элементов основного контура проводим некоторым образом новую гранично-элементную ломаную линию, опразующую вспомогательный контур. Использ}^ урбвненич равчовесия бесконечно малого элемента на контуре тела, определяем приближенно граничные условия для вспомогательного контура через найденные ранее значения напряжений б'у на основном контуре и производных ПбЗ/Пс. Применяя метод граничных элементов к задаче с заданными граничными условиями на вспомогательномконтуре и вычисляя напряжения в центре чаждого граничного элемента этого контура, мы актически находим напряжения для интересующих нас внутренних точек исходно й задачи, но уже с более высокон степенью чочнбчти.

Производные нормального напряжения, необходимые для вычисления модуля градиента, определим, использ чя оонечно-разностные формулы численного дифференцирования. Для вычисления производной Пб'^Пс нормального напряжения по касательной в к контуру воспользуемся трехточечным шаблоном численного дифференцирования с неравными шагами.Для вычисления производной да'/дн нормального напряжения по нормали п

к контуру воспользуемся двухточечным шаблоном численного дифференцирования.

Подставляя вычисленные значения а1 и gv для каждой из средних точек граничных элементов в выражение (1) для а и определяя точку, где эффективное напряжение максимально, найдем место начала разрушения.

В общем случае кривизна контура концентратора может быть не постоянной, а переменной величиной, в этом случае для определения граничных условий на вспомогательном контуре, будем использовать дифференциальные уравнения равновесия для плоской задачи в произвольной криволинейной ортогональной системе координат (а1, а2) [5], а не в цилиннр ической, как ранее [3].

Рассмотрим первое из этих уравнений:

^ (Н2ап ) + ^(Н1а12) +

дае да2

дИ. +-- ьо

да2

дН да1

2 а22 + И1И 1F1 = 0 ,

(6)

где H , H2 — параметры Л+ме, предста+ляющие собой отношения приращений дшн координатных линий а2 = const или at = const к соответствующим приращениям da хлд da2 кди+птинейныо координат

Нп= ^{дйд й)2 + (ду/дп1 )2 И 2 = J (дх/ д п2 )2 + (ду/дп2 )2

°ц, °i2, °22 — компоненты тензора нтпряжении;

Ft — проекцид ойпемно0 силп на ко2рдинатную линию a.

Будем использовать текую систему конрдинат, в которой контур кпицентрд^пора описывается уравнением a= const. Если предположить, что в рассматриваемых задачах объемные силы отсутствуют и на контуре конц ентратора равны нулю нормальные о и касательные о12 напряжения, то уравнение (6) на свободном кон^рх зппишетуя п 2иде

дь оо дИ 2

' дй дй

(7)

где о22— тангенциальное напряжение.

Пусть при переходе от рассматриваемого i-го граничного элемента контура к следующему приращение параметра a2 будет постоянным Aa2 = const. Так как длина элементов As' = 2a' не является постоянной, то параметр Ламе И 2 = As'/Да2 для каждого элемента будет иметь свои значения.

Пусть при переходе от основного контура к вспомогательному, построенному по вышеописанной методике, параметр at получает приращение Aat = const. При этом приращения параметра a2 по длине соответствующих элементов двух контуров Aa2 остаются постоянными. Однако длина граничных элементов изменяется на величину 2Aa', где Aa' приращение полудлины ''-го элемента при переходе от основного контура к вспомогательному. Следовательно, параметр И 2 получает приращение ДИ2 = 2Aa'/Aa2 .

Для использования в численном алгоритме производных в уравнении (7) запишем через приращения соответствующих величин и координат

a = a

e v

22

ha'/Aa (2Aa'/'G'

Д/г, A/ 2

= 0.

Учитывая, что Aa> = c on s= Aa2 = const, on = ar

гДе a

o2/ > 0; ° = o2/,

нормальное к контуру мапряжение, и при из полученного уравнения найдем приращение АК. при переходе от основного к вспомогмтельнтму контуру:

при переходе от основного контура к вспомогательному также изменяется на постоянную величину Да = consд Следовательно, параметр Н, предоставляющий собой отношение Дп/a^ также яаляется константой и ДН=0 для всех элементов. Тогда по-^^ч/ дни й член в уравнении (11) зануляется и, учитывая, что касательное напряжение с12 = c's, и при С/2 > 0; с' = с/2, найдем из этого уравнения приращение касательного напряжения:

О г ДаГ i до„ = -г <

а

До1 =-?<Ап . ds

(12)

an| = 0 , то окон-

Так как на основ ном контуре чательно одно из двух граничных условий на вспо могательном контуре запишется в виде

Аа'

дН

да.

дН

2 Аа--i-a, + НHF = 0,

дап

дае да

дНе a2 г и Н1д0=/- = 0.

а

1 да12 Н1 дае

1 д a 22 1 дНе Н2 да2 НеН2 да2

- 0.

дс

12 дп

Sc

ds

22 1 дНе

Не ds

Ап

дс'

1 АН,

ds Н1 As'

Так как До = -|До| и на основном контуре о5|н = Н , то окончательно второе гнаничное условие на вспомогательном контуре запишется в виде

(8)

Для получения следующего граничного условия рассмотрим второе из имеющихся в [51 двух дифференциальным уравнений равновесия

С С

(Ю 2 В 12 )Я — (И* 2н Х Я

Син Си2

o's| д^ |Дн|.

s| 2 ds 1 1

(13)

(9)

где Р2 — проекисзя объюмной силы накоординатиую линию а2.

Так как в pассмнтриваeмыб задачах объемные силы отс ю твуют ю на контуре концентратора а11 = 0 и с1(Ю0, ро у^виених (2) зю писывнется на свободнни ко]итуре и боиее пностом :

Разделив вс+ на Н2 и Н2, в2^1разим первый член уравнения че1 ез остальные:

(10)

Учитывая, что по определению параметры Ламе Н и Н2 представляют собой отношения приращений длин дп, дв координатных линий к соответствующим приращениям да , да2 криволинейных координат, из (10) получим уравнение

(11)

Для использования в численном алгоритме некоторых производных в уравнении (11) перепишем через приращеоия соответсивутвщих величин и координат:

Согласно методике построения вспомогательного контура, все э=ементы вспомогательного контура удалены от соответсдсующих элементов основного контура псра>лелсным переносом на одинаковое расстояние |Лп| = const. Приращение внешней нормали Дп при таком переносе отрицательно Лп = -|Лп| = const для всех элементов. Параметр at

Уравнение (13) совпадает с уравнением, полученным в [3] с помощью условий равнов2 сия в по -лярной системе коо рдинат. Однако это совпадение обеспечено рассмотренной ме00дик2Й построеоия вспомогательного контура.

Экспериментальные данные и численный анализ. В результате лабораторных испытаний трех эбонитовых образцов на одноосное растяжение было получено среднее значение предела прочности а =38,78 МПа (стандартное от клонение 1 МПа) и 81 одуль Юнга £=1,79 ГПа, а также с помощью системы видео-корреляции Vic-3d по результатам двух экспериментов получен коэффициент Пуассона |i = 0,45.

По результатам четырех экспериментов на растяжение эбонитовых образцов в виде полос ьд с ^анвыми вырез8ми быа днлучен критический коэффициент интенсивности напряжений K, =2,815 МПа м1/2. Для вычисления K, использо-

Ic 1 г Ic

валась формула из [6] Kc д 8Р(0)Vl , где X — от-ошение глубины выреза к ширине образца, р(И) д 1,98е 0,720 у Й,4ЙН2 е 27,360 . По полученным стандартным характеристикам материала ав и Kc с помощью (2) вычислено значение Lj = 3,35 мм.

Из того же листа эбонита были изготовлены образцы в виде полос с центральными круглыми отверстиями для испытаний на растяжение. Ос-редненные размеры образцов (по 3 для каждого диаметра d отверстия), а также значения предельных номинальных напряжений приведены в табл. 1.

Численный анализ был проведен с помощью программы расчета методом граничных элементов (в варианте фиктивных нагрузок) на языке Fortran, взятой из [4] и модифицированной для расчета по градиентному критерию. Контур полосы был разбит на 300 элементов, а контур отверстия — на 360 элементов.

Результаты численных расчетов предельного номинального напряжения по критериям максимальных напряжений (КМН), градиентному критерию (ГК) при в=0 и e = L/d, интегральному критерию (ИК) Нейбера — Новожилова и трехпараметрическо-му интегральному критерию (ИК-3), проведенных с помощью метода граничных элементов, приведены в табл. 2. Из таблицы видно, что при в=0 значения предельных номинальных напряжений по градиентному критерию выше предела прочности, что противоречит физическому смыслу. Для лучшего соответствия с экспериментальными

а

а

а

22

а

22 •

а

Таблица 1

Геометрические размеры образцов и предельные нагрузки

Диаметр й, мм Длина, мм Ширина, мм Толщина, мм а„ МПа

5 135 49,86 8,24 33,67

2 65 9,83 8,03 34,99

1 65 9,56 8,06 38,08

Таблица 2

Численные оценки предельного номинального напряжения

Диаметр й, мм Р = !/й КМН, МПа ГК(Р = 0), МПа ГК(Р = Ь1/а), МПа ИК, МПа ИК-3, МПа

5 0,67 12,98 35,07 29,82 24,67 27,32

2 1,675 12,54 46,98 31,87 29,84 33,44

1 3,35 13,09 64,6 36,61 33,87 36,8

чет

1

Л, мм

Рис. 1. Отношение численных оценок предельного номинального напряжения по различным критериям к экспериментальным значениям: 1 — критерий максимальных напряжений; 2 — градиентный критерий при р=Ь1/<1;

3 — интегральный критерий Нейбера—Новожилова;

4 — трехпараметрический интегральный критерий

данными по разрушению образцов предлагается следующая гипотеза. Пусть параметр в представляет собой отношение представительного размера неоднородности материала Ь к диаметру отверстия й. Сравнение результатов расчетов по градиентному критерию при в = Ь1/й, а также по другим критериям представлено на рис. 1.

Классический локальный критерий максимальных напряжений дает существенно заниженную оценку предельного номинального напряжения по сравнению с экспериментальными данными, в то время как, значения предельной нагрузки, полученные с помощью нелокальных критериев разрушения, ближе к значениям, полученным экспериментальным путем. Для классического и градиентного критериев при увеличении числа элементов в 2 раза изменения расчетных данных не превысили 0,6 %, для интегрального критерия — 0,2 %.

Библиографический список

1. Леган, М. А. О взаимосвязи градиентных критериев локальной прочности в зоне концентрации напряжений с линейной механикой разрушения / М. А. Леган // ПМТФ. — 1993. — Т 34, № 4. - С. 146-154.

2. Леган, М. А. Определение разрушающей нагрузки, места и направления разрыва с помощью градиентного подхода разрушения / М. А. Леган // ПМТФ. - 1994. - Т. 35, № 5. -С. 117-124.

3. Шеремет, А. С. Применение градиентного критерия прочности и метода граничных элементов к плоской задаче о концентрации напряжений / А.С. Шеремет, М. А. Леган // ПМТФ. - 1999. - Т 40, № 4. - С. 214-221.

4. Крауч, С. Методы граничных элементов в механике твердого тела / С. Крауч, А. Старфилд. - М. : Мир, 1987. -328 с.

5. Новожилов, В. В. Теория упругости / В. В. Новожилов. -Л. : Судпромгиз, 1958. - 370 с.

6. Партон, В. З. Механика упругопластического разрушения / В. З. Партон, Е. М. Морозов. - 2-е изд., перераб. и доп. -М. : Наука, 1985. - 504 с.

ЛЕГАН Михаил Антонович, доктор технических наук, старший научный сотрудник Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, г. Новосибирск; профессор кафедры прочности летательных аппаратов Новосибирского государственного технического университета. Адрес для переписки: legan@ngs.ru БЛИНОВ Валерий Александрович, аспирант, младший научный сотрудник лаборатории статической прочности Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, г. Новосибирск. Адрес для переписки: Blin89-08@mail.ru

Статья поступила в редакцию 11.09.2015 г. © М. А. Леган, В. А. Блинов