CC BY
10
Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Серия: Социальные науки, 2019, № 3 (55), с. 183-189
УДК 372.851
СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ ПРЕПОДАВАНИЯ ДИСЦИПЛИН МАТЕМАТИЧЕСКОГО ЦИКЛА НА ОСНОВЕ ИНВАРИАНТОВ, НЕОБХОДИМЫХ ДЛЯ ПРЕПОДАВАНИЯ КУРСА «ЭКОНОМЕТРИКА» ЭКОНОМИСТАМ-БАКАЛАВРАМ
© 2019 г. М.В. Котельникова, А.В. Аистов
Котельникова Мария Владимировна, старший преподаватель кафедры теории и методики обучения математике Нижегородского института развития образования mariykotelnikova@yandex.ru Аистов Андрей Валентинович, к.ф.-м.н.; доц.; доцент кафедры экономической теории и эконометрики Высшей школы экономики, Нижегородский филиал aaistov@hse.ru
Статья поступила в редакцию 24.05.2019 Статья принята к публикации 23.07.2019
Представлено описание метода, позволяющего совершенствовать содержание дисциплин математического цикла, разделяя их на инвариантную (общую) и вариативную части. Приводятся результаты выделения инвариантов для дисциплин «Линейная алгебра», «Математический анализ», «Теория вероятностей и математическая статистика», преподаваемых экономистам-бакалаврам нескольких вузов. На основе выделенных инвариантов предлагаются темы для организации самостоятельной проектной и исследовательской деятельности студентов, ориентированной на содержание курса «Эконометрика».
Ключевые слова: метод парных сравнений, инвариант, вариативная часть, самостоятельная работа студентов, эконометрика.
Введение
За последнее столетие роль научно-технического прогресса в развитии экономики многократно возросла. Этот процесс является неотъемлемым фактором экономического роста. Внедрение научно-технических достижений, передовых технологий обеспечивает изменение производства, увеличивает потенциал экономического роста в стране. С целью повышения эффективности используются новые методы организации и управления, важной составляющей частью которых является обработка большого объема информации. Принимая форму знаний, информация влияет на правильность принимаемых решений. Неотъемлемым компонентом научно-технического прогресса являются также технологические инновации - появление сотовой и беспроводной связи, компьютеров, банкоматов, нанотехнологий, флэш-памяти и др. Внедрение технологических новшеств обеспечивает возможность инновационного развития экономики быстрыми темпами. Однако этот процесс требует квалифицированных кадров. Вузы, «воспитывая» профессионалов, безусловно, должны это учитывать. Подтверждение этому мы находим в Концепции развития математического образования в РФ: «Система профессионального образования должна обеспечивать необходимый уровень
математической подготовки кадров для нужд математической науки, экономики, научно -технического прогресса, безопасности и медицины. Для этого необходимо разработать современные программы, включить основные математические направления в соответствующие приоритетные направления модернизации и технологического развития российской экономики» [1].
В предыдущих работах нами был описан начальный этап сравнения содержания программ дисциплины «Линейная алгебра» для бакалавров-экономистов с целью выделения совпадающей части содержания (инварианта) для его последующего усовершенствования [2], направленного, по нашему мнению, на повышение уровня подготовки будущих профессионалов-экономистов.
В данной статье мы приводим результаты продолжения работы с программами других дисциплин математического цикла: «Математический анализ», «Теория вероятностей и математическая статистика» нескольких вузов [310]. Стоит отметить, что рабочие программы дисциплин рассматриваются нами как формальные установки реализации учебного процесса и используются для исследования содержания учебных дисциплин, реализуемых в разных вузах.
Методология
Процесс предлагаемого усовершенствования содержания дисциплин мы проводим по плану, включающему четыре этапа. На первом этапе выделяем инвариант (общую часть содержания выбранных программ) - как некоторый необходимый минимум содержания, обозначенный несколькими авторами. Выполняем это методом парных сравнений, суть которого заключается в том, что содержание программ помещается в таблицу и сравнивается попарно. В общем случае из п программ после сравнения получается п/2 промежуточных инвариантов (для каждой пары). Затем, после аналогичного сравнения, получается п/4 и т.д. до того момента, пока не останется одна общая для всех изначально выбранных программ часть - окончательный инвариант. Данный метод уже применялся нами в [2]. Таким образом мы получаем основную (одинаковую для всех использованных программ) часть содержания данной дисциплины, преподаваемую в вузах экономистам.
При сравнении мы не только учитываем словесную формулировку тем, но и предполагаем заложенный автором смысл. Конечно, это весьма условно - это оценка конкретного эксперта. Получения относительно объективных результатов добиваемся, сравнивая оценки нескольких экспертов. В итоге мы выделяем для каждой дисциплины некоторую программу-инвариант.
На втором этапе выбираем программу дисциплины математического цикла для подготовки экономистов-бакалавров одного из вузов и проводим попарное сравнение полученного на предыдущем этапе инварианта данной дисциплины с содержанием выбранной программы. Выделяем вариативную (отличную от инварианта) часть программы. Таким образом, содержание программы разделяется на вариативную и инвариантную части.
На третьем этапе планируем небольшое перераспределение времени, отводимого на практические занятия и самостоятельную работу. Для этого используем учебный план и принимаем во внимание содержание Концепции развития математического образования в РФ, где отмечено, что «студенты должны уделять значительно больше времени, чем в настоящее время, решению творческих учебных и исследовательских задач. Преподаватели математических кафедр технических университетов должны вести исследования в фундаментальной математике или в прикладных профильных областях, выполнять работы по заказу организаций, в которых принимают участие и студенты (аналогично для экономических и других образователь-
ных организаций высшего образования)» [1]. Для освоения тем инварианта планируем увеличить количество семинарских занятий, «забрав» их у тем вариативной части. Последнюю, в свою очередь, дополняем часами, отводимыми на самостоятельную работу, «забрав» их у тем инварианта.
На четвертом этапе, ориентируясь на содержание полученной вариативной части программы, предлагаем темы исследовательских и проектных работ, организуя таким образом самостоятельную деятельность студентов. Они распределяются на небольшие группы и получают темы работ, с последующим докладом на мини-конференции.
Результаты
Нами было проведено поэтапное исследование в области содержания программ «Линейная алгебра», «Математический анализ», «Теория вероятностей и математическая статистика». Поясним это на примере программы дисциплины «Линейная алгебра».
Выбрав программы этой дисциплины для бакалавров-экономистов нескольких вузов [1114] и сравнив попарно их содержание, мы получили общую инвариантную часть. Затем, на втором этапе, снова методом парных сравнений, сравнили содержание инварианта с содержанием программы ВШЭ «Линейная алгебра» [15]. В табл. 1 приведен фрагмент этого сравнения. Содержание столбцов в данном фрагменте совпадает. Таким образом, мы получили разделение содержания данной программы на инвариантную и вариативную части. Вариативная часть состоит из следующих тем: № 9 «Элементы аналитической геометрии», № 10 «Евклидово пространство», № 11 «Самосопряженные операторы», № 12 «Аффинные пространства» (номера тем указаны на рис. 1).
На третьем этапе мы использовали тематическое планирование в данной программе (рис. 1) для проведения коррекции отводимых часов на семинарские занятия и самостоятельную работу (табл. 2).
В учебных планах есть небольшое расхождение в количестве часов, отводимых на семинарские занятия и самостоятельную работу. Те темы, которые в результате проведенного нами анализа попали в инвариант, по нашему мнению, требуют увеличенного количества часов на семинарские занятия. В данном случае это темы с № 1 по № 8 из приведенного фрагмента. Для тем вариативной части (№ 9 в данном фрагменте) планируем большее количество часов на самостоятельную работу (на выполнения проектных и исследовательских работ).
Затем, на четвертом этапе, для тем вариативной части (№ 9 «Элементы аналитической геометрии», № 10 «Евклидово пространство»,
Таблица 1
Фрагмент выделения инварианта_
Программа ВШЭ Инвариант
Раздел 1. Преобразования матриц и системы линейных уравнений. Матрицы. Матрица и расширенная матрица системы линейных уравнений. Элементарные преобразования матриц. Обратимость элементарных преобразований. Приведение матриц к ступенчатому виду элементарными преобразованиями. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений со ступенчатой матрицей системы. Общее решение систем линейных уравнений. Главные и свободные неизвестные. Геометрическая интерпретация систем линейных уравнений в случае двух или трех неизвестных. Ненулевые решения однородной системы уравнений 1 Матрицы. Действия над матрицами. Свойства. Определители второго и третьего порядка, свойства. Методы вычисления определителей. След матрицы, его свойства. Связь определителя с рангом. Поведение определителя, следа и ранга при умножении матриц. Обратная матрица. Применение матричного исчисления к решению прикладных задач. II. Системы линейных уравнений. Методы Гаусса и Крамера. Базовые, свободные переменные. Теорема Кронеккера-Капелли. Общее решение неоднородных систем. Фундаментальное решение
№ Название раздела Всего часов Аудиторные часы Самостоятельная работа
Лекции Семинары Практические занятия
1. Преобразования матриц и системы линейных уравнении. 17 2 2 13
2. Определитель. 20 3 3 14
3. Линейные пространства. 21 3 3 15
4. Алгебра матриц. 19 3 2 14
5. Ранг матрицы. 19 3 3 13
6. Структура множества решений системы линейных уравнении. 17 2 2 13
7. Линейные операторы. 22 3 3 16
8. Линейные, билинейные и квадратичные формы. 23 4 3 16
9. Элементы аналитической геометрии. 25 5 3 17
10 Евклидовы пространства. 17 2 2 13
11. Самосопряженные опср.морьг.^^^ННПН ¡4 1 1 12
12 Аффинные пространства |; 1 1 12
Рис. 1. Тематическое планирование (программа «Линейная алгебра» [15])
Таблица 2
Скорректированный тематический план (фрагмент таблицы) _
№ Название раздела Всего часов Лекции Семинары Самостоятельная работа
1 Преобразование матриц и системы линейных уравнений 16 2 4 10
2 Определитель 18 3 5 10
3 Линейные пространства 16 2 4 10
4 Алгебра матриц 18 3 5 10
5 Ранг матрицы 18 3 5 10
6 Структура множества решений систем линейных уравнений 15 1 4 10
7 Линейные операторы 16 2 4 10
8 Линейные, билинейные, квадратичные формы 16 2 4 10
9 Элементы аналитической геометрии 26 2 1 23
№ 11 «Самосопряженные операторы», № 12 «Аффинные пространства») предлагаем темы проектных и исследовательских работ (табл. 3).
Проводя аналогичное поэтапное исследование, мы выбрали программы ВШЭ 2018 «Математический анализ» [16] и «Теория вероятностей и математическая статистика» ВШЭ
[17]. В результате получили разделение содержания на вариативную и инвариантную части и разработали темы проектных и исследовательских работ, опираясь на взаимосвязи содержания данных дисциплин и эконометрики. Приводим фрагменты таблиц с результатами (табл. 4, 5).
Таблица 3
Фрагмент таблицы «Темы самостоятельных исследовательских работ из курса «Линейная алгебра»
Разделы дисциплины «Линейная алгебра» Разделы дисциплины «Эконометрика» Темы самостоятельных исследовательских работ
Раздел 9. Элементы аналитической геометрии. Расстояние между точками. Деление отрезка в данном отношении. Векторы. Равенство векторов. Координаты вектора. Сложение векторов. Умножение вектора на число. Разложение вектора в плоскости по двум неколлинеарным векторам. Скалярное произведение векторов Векторы и связанные с ними понятия (действия с векторами) - основной язык эконометрики 1) вектор - «язык» эконометрики; 2) использование векторов в построении различных моделей взаимосвязей в различных ситуациях; 3) векторы в изучении свойств эконометрических моделей, в частности их точности; 4) векторы в изучении возможности оценки неизвестных параметров эконометрических моделей; 5) векторы в разработке методов оценки неизвестных параметров эконометрических моделей; 6) векторы в оценке неопределенностей, присущих оценкам параметров; 7) векторы в проверке гипотез об изучаемой ситуации на основе эконометрических моделей; 8) векторы в разработке методов прогнозирования с использованием моделей; 9) КМЛР и МНК в векторно-матричной форме; 10) векторные случайные величины в эконометрике; 11) векторы в теореме Гаусса-Маркова; 12) геометрический смысл МНК
Расстояние от точки до прямой Метод главных компонент 13) использование векторов и понятия расстояния от точки до прямой в задаче наилучшей аппроксимации конечного множества точек прямыми и плоскостями
Разложение вектора по трем некомпланарным векторам Суть метода наименьших квадратов. Геометрическая интерпретация МНК. Свойства оценок параметров, полученных с помощью МНК 14) разложение вектора по трем некомпланарным векторам в МНК; 15) основные понятия аналитической геометрии -базис всей параметрической эконометрики
Таблица 4
Фрагмент таблицы «Темы самостоятельных исследовательских работ из курса «Математический анализ»
Разделы дисциплины «Математический анализ» Разделы дисциплины «Эконометрика» Темы исследовательских самостоятельных работ
Раздел 1. Элементы логики. Высказывания. Отрицание высказывания. Конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция двух высказываний. Необходимые или достаточные условия. Предикаты на множестве X. Подмножество X, состоящее в точности из тех элементов x£X, для которых выполняется данное условие. Правила построения отрицания для предложений, содержащих символы V и 3 Построение эконометрических высказываний с помощью кванторов эконометрического содержания 1. Применение кванторов для построения высказываний эконометрического содержания (например, при построении эконометрических моделей, при отборе независимых факторов, при оценке параметров модели, при МНК, ММП)
Раздел 7. Некоторые приложения многомерного анализа Экономическая интерпретация множителей Лагранжа. Теневые цены (shadow price). Свойства косвенной функции полезности. Непрерывная зависимость экстремальных значений полезности от цен и дохода. Свойства функции оптимального спроса по Маршаллу. Однородные функции. Однородность частных производных однородной функции. Теорема Эйлера об однородных функциях. Кривые Энгеля для однородной функции полезности. Поверхности уровня однородных функций. Свойства функции расходов. Спрос по Хиксу. Уравнение Слуцкого. Функции с постоянной эластичностью замещения (CES-функции) Тесты множителей Лагранжа. К этой же тематике относится ridge regression и LASSO — методы регуляризации (максимизация функции правдоподобия при ограничениях на оцениваемые параметры). В этих алгоритмах результат зависит от выбора множителей Лагранжа. Можно говорить о частных случаях, можно говорить об оптимальных значениях этих множителей - зависит от цели исследования 2. Применение множителей Лагранжа в эконометрике
Окончание таблицы 4
Разделы дисциплины «Математический анализ» Разделы дисциплины «Эконометрика» Темы исследовательских самостоятельных работ
Раздел 10. Кратные интегралы Отмеченные разбиения п-мерного промежутка. Диаметр разбиения. Мера промежутка. Кратные интегралы для п-мерного промежутка. Множества меры нуль в Rn. Измеримые множества. Интегралы на измеримых множествах. Сведение двойного интеграла к повторному. Замена переменных в кратном интеграле. Несобственные кратные интегралы. Интеграл Пуассона Интегралы используются в некоторых доказательствах. Например, можно показать, что из достаточного условия несмещенности МНК-оценок (условное математическое ожидание шума, условное на значения регрессоров, равно нулю) следует отсутствие корреляции шума с регрессорами, т.е. состоятельность оценок. Но при этом интегралы не пишутся, а просто подразумеваются, если регрессоры являются случайными 3. Кратные интегралы при доказательстве влияния несмещенности МНК-оценок на их состоятельность
Таблица 5
Фрагмент таблицы «Темы самостоятельных исследовательских работ из курса _ «Теория вероятностей и математическая статистика»_
Разделы дисциплины «ТВиМС» Разделы дисциплины «Эконометрика» Темы самостоятельных исследовательских работ
Понятие о случайном векторе - -
Совместное распределение нескольких случайных величин Метод максимального правдоподобия. Байесов подход в эконометрике 1. Совместное распределение нескольких случайных величин в методе максимального правдоподобия
Независимость случайных величин Метод максимального правдоподобия 2. Независимость случайных величин и метод максимального правдоподобия
Мультиколлинеарность. Состоятельность МНК-оценок параметров линейной классической модели. Несмещенность МНК-оценок параметров линейной классической модели. Метод инструментальных переменных 3. Понятие мультиколлинеарности через определение независимости случайных величин. 4. Независимость случайных величин при доказательстве состоятельности МНК-оценок параметров линейной классической модели. 5. Независимость случайных величин при доказательстве несмещенности МНК-оценок параметров линейной классической модели. 6. Независимость случайных величин и метод инструментальных переменных. 7. Маргинальные распределения в описании бай-есова подхода в эконометрике
Маргинальные распределения Понятие регрессии. Байесов подход в эконометрике 8. Преимущества байесова подхода по сравнению с частотной эконометрикой. 9. Примеры байесовых оценок в повседневной жизни
Условное распределение Модели множественного упорядоченного выбора — условная логит (conditional logit) или ло-гит модель с фиксированными эффектами, учитывающая панельный характер данных 10. О необходимости контроля ненаблюдаемых инвариантных во времени индивидуальных эффектов при выполнении эмпирических оценок. 11. Преимущества и недостатки эмпирических моделей, учитывающих панельный характер данных, по сравнению с кросс-секционными оценками
Многомерное нормальное распределение и его свойства Метод максимального правдоподобия. Байесов подход в эконометрике 12. Описание метода максимального правдоподобия (используя понятие и свойства многомерного нормального распределения). 13. Описание байесова подхода в эконометрике (используя понятие и свойства многомерного нормального распределения)
Окончание таблицы 5
Разделы дисциплины «ТВиМС» Разделы дисциплины «Эконометрика» Темы самостоятельных исследовательских работ
Выборочные моменты и квантили Метод моментов. Квантильная регрессия. Бутстрапирование 14. Использование понятий выборочных моментов и квантилей при определении квантильной регрессии 15. Бустрапирование и выборочные моменты и квантили 16. Бутстрапирование временных рядов
Выборочный коэффициент корреляции. Асимптотическое поведение выборочных моментов - -
Заключение
По нашему мнению, предлагаемое совершенствование программ математического цикла для экономистов-бакалавров позволяет в большей степени заинтересовать и увлечь студентов изучением математики, показывая ее прикладную направленность и взаимосвязь с эконометрикой. Это, в свою очередь, приводит к повышению качества подготовки будущих экономистов-профессионалов.
Список литературы
1. Концепция развития математического образования в Российской Федерации. URL: http://staviropk. m/attachments/article/463/Концепция%20развития%20 мо%20в%20РФ^ (дата обращения: 18.12.2018).
2. Котельникова М.В. О результатах анализа содержания курса «Линейная алгебра» для бакалавров-экономистов по учебным программам дисциплины ведущих российских вузов. Предпосылки оптимизации // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2016. № 4. С. 192-198.
3. Примерная программа «Математический анализ», ВШЭ. Направление 080100.62 - «Экономика» для подготовки студентов-бакалавров очного отделения. URL: http://fs.nashaucheba.ru/docs/60/index-325649.html#140879 (дата обращения: 13.01.2019).
4. Волжский институт экономики, педагогики и права, примерная программа по математическому анализу. URL: http://www.viepp.ru/documents/380301/ Pril1 _Annot_Matematicheskiy_analiz_3 80301 _ek_ 14 -12-2015.pdf (дата обращения: 13.01.2019).
5. Уральский институт экономики, управления и права, примерная программа по математическому анализу. URL: https://clck.yandex.ru/redir/nWO_r1F33 ck?data=NnBZTWRhdFZKOHQxUjhzSWFYVGhXYjB LN3BtbXJnb09nQmZmY2NaR0tZUVE4Wlp1Z3dZYnp wc2s4Y2pwNmJuMzI4 YU5 FRUdJRXVucXZ 1 QURpS C12amJmLVhjaEM2dTJuTV82QWZtbjliN2tvZjFqOXV 6cVVEeWVBSlIzZ0UzRHF4TjRRLXh2RHdsZmx3X0 NOQ2E4azRCZj V0QVEtQ 1 ZCMG5KV09wakc4ZFZJ YkphekdQN01 GZGhleklJRFppeWoteVVWNlNFSnpyd E1 zdEFpV0lSem 1 CMEJrbEFUUkNnOEFmOGhpNXls MUhBQ29kV01DZGltUE5iSkloYXAwcnRVY0h1dHJ
WeXBBYk9mRDNYMWhQdEhXRWZmd0xkbEJYW kcweldhZnNGT0poRWNsX3 I1Y3 VnX09lb 1 IzRlVUZV R4ZjUwcGx5Q0N4b3hEOTFVbE5RWDNHUThDYTZ tb3RsdlAtVHFQVj YwdEs4bnF4N 1 FzcTJKNURuTVRk c0J1eXc4eVVoZnBiTU 1 XR2gxVlcyR3 VUcTNj R3 cyb XN0Z2xmN 1 hZRXozUUVOSHFWTWdDTWVQbmRJ RnhXV0lrc1p0Mk43VHFWMQ&b64e=2&sign=acd8e5 662581b049deed6afd9a8e41bc&keyno=17 (дата обращения: 20.01.2019).
6. РПД по математическому анализу ННГУ им. Н.И. Лобачевского. URL: http://www.unn.ru/sveden/ education/edu-op.php (дата обращения: 21.01.2019).
7. Программа по ТВиМС. Всероссийская академия внешней торговли. URL: http://www.vavt.ru/umk3/ DocID/LSP852BD0/$FILE/%D0%A2%D0%B5%D0% BE%D1%80.%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BE% D1 %8F%D0%BD%D0%BE%D1%81 %D1 %82%D0%B 5%D0%B9%202-%D0%A4%D0%AD%D0%9C%2009-10.pdf (дата обращения: 05.01.2019).
8. Программа по ТВиМС «Московский городской университет управления Правительства Москвы». URL: http://mguu.ru/wp-content/uploads/2015/10/Teori ya-veroyatnostej -i-matematicheskaya-statistika.pdf (дата о бращения: 05.01.2019).
9. Программа по ТВиМС «Крымский федеральный университет имени В.И. Вернадского», Таврическая Академия, Экономический факультет. URL: http://ta.cfuv.ru/wp-content/uploads/2015/03/045teoriya-veroyatnocti.pdf (дата обращения: 05.01.2019).
10. ВШЭ Москва. Программа по ТВиМС. URL: https://www.hse.ru/data/2017/04/10/1117088244/progra m-838766205-0r7vu0cE3H.pdf (дата обращения: 01.02.2019).
11. Рабочая программа дисциплины «Линейная алгебра», Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, Московская школа экономики. Направление 080100 Экономика для подготовки студентов-бакалавров очного отделения. URL: http ://mse -msu.ru/edu_pr/linear_algebra_bak. pdf (дата обращения: 01.02.2019).
12. Примерные программы дисциплины «Математика» федерального компонента цикла ЕН ГОС ВПО второго поколения по направлению 521600 «Экономика» (для экономических специальностей). Рекомендовано УМО по экономике и социологии труда. Председатель УМО В.И. Видяпин. Москва, 2000. URL: http://www.edu.ru/db/portal/spe/progs/521600_mf.01.htm (дата обращения: 03.03.2019).
13. Рабочая программа дисциплины «Линейная алгебра», ГУ ВШЭ, Пермский филиал. Специальность 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра. 2007. URL: http://rudocs.exdat.com/docs/index-16117.html (дата о бращения: 01.02.2019).
14. РПД по линейной алгебре ННГУ им. Н.И. Лобачевского. URL: http://www.unn.ru/sveden/ education/edu-op.php (дата обращения: 01.02.2019).
15. Программа дисциплины Линейная алгебра для направления 38.03.01 «Экономика». Квалификация: Академический бакалавр, ВШЭ, Москва 2015. URL: https://clck.yandex.ru/redir/nWO_r1F33ck?data=Nn BZTWRhdFZK0HRaTENSMFc4S0VQTmlFNXNhWUp X LXdBU2xfYUlXQ0FGSkpNcVNpNS1h0WNrYzA2M Uk5YmZzSDR6c0FGWmNNWUlTUktJdzFyQWxEZ1N BRW1KZTFPd2l3amFUR25VVjc2Q3ZKSUVBVUU2Mj hHU1k2Yk1Mb19nZzJtcVNzLWcxQ0hGRkFPRnk0MHB aN3BKaUhUS0hj eVNwWWRhSURfU2k5Qk53 dGJRNDI
yWjQ0VE5jU1 ls0HIyR3pK&b64e=2&sign=9446ad19ac 1 f8c3a51e6b2f0c5423cb7&keyno=17 (дата обращения: 15.02.2019).
16. Программа математический анализ ВШЭ 2018. URL: https://clck.yandex.ru/redir/nW0_r1F33ck? data=NnBZTWRhdFZK0HRaTENSMFc4S0VQTmlF NXNhWUpXLXdBU2xfYUlXQ0FGSkpNcVNpNS 1h0 WNy STVKakxvUG 1 ueWNZc 3 ZHWXJB WTZFR0libD NVT0s1ZU1heGlVSUNCQTBBc3o1aVVXSkc4Qmdrb UFVWE1 BZXQ40GZ6MHdQWUJkQnBzcld0dTZlaW xpNWRaQVo4X0RxUTh1dWxTdmJ2Y05kX3Y1clBfd FdsRnE4aThaMldDUldZdHN4ZzBLUHZjVVRC&b64e =2&sign=5b43ba577feac52c5824825a7ebf7cfa&keyno=17 (дата обращения: 02.02.2019).
17. ВШЭ Москва. Программа по ТВиМС. URL: https ://www.hse.ru/data/2017/04/10/1117088244/program-838766205-0r7vu0cE3H.pdf (дата обращения: 02.02.2019).
IMPROVEMENT OF THE MATHEMATICAL CYCLE PROGRAMMES ON THE BASIS OF INVARIANTS REQUIRED FOR THE COURSE «ECONOMETRICS» DELIVERED TO BACHELORS PROGRAM STUDENTS OF ECONOMICS
M. V. Kotelnikova1, A. V. Aistov1
'Nizhny Novgorod Institute of Education Development 2National Research University Higher School of Economics, Nizhny Novgorod Branch
The article describes a method that allows to improve the content of disciplines of the mathematical cycle by dividing them into invariant (general) and variable parts. The invariants were identified for such disciplines as «Linear algebra», «Mathematical analysis», «Probability theory and mathematical statistics» delivered to Bachelors program students of economics at several universities. Based on the selected invariants, topics for the organization of problem-based learning and research activities of students focused on the content of the course «Econometrics» are proposed.
Keywords: method of pairwise comparisons, invariant, variable part, students' self-study, econometrics.
