Совершенствование методов количественной интерпретации геопотенциальных полей Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2012 Геология Вып. 4 (17)

ГЕОФИЗИКА, ГЕОФИЗИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПОИСКОВ ПОЛЕЗНЫХ ИСКОПАЕМЫХ

УДК 550.831

Совершенствование методов количественной интерпретации геопотенциальных полей

А.С. Долгаль

Горный институт УрО РАН, 614007, Пермь, ул. Сибирская, 78-А E-mail: dolgal@mi-perm.ru

(Статья поступила в редакцию 3 ноября 2012 г.)

Предлагается разработка новых методов решения обратных задач гравиметрии, магнитометрии, электрометрии, сочетающих достоинства детерминистского и вероятностно-статистического подходов. Рассматривается решение ряда задач, связанных с оценкой достоверности результатов интерпретации данных гравиразведки и магниторазведки; локализацией геологических объектов при неполной информации о физических свойствах горных пород; развитием смешанных вероятностно-детерминистских методов оценки физических параметров геологических объектов по геофизическим данным.

Ключевые слова: синтез, интерпретация, обратная задача, гравиметрия, магнитометрия, электрометрия, достоверность, гарантированный подход.

Состоятельность любого метода решения обратных задач геофизики определяется его адекватностью реалиям и целям геофизических исследований, открытостью к использованию различной априорной информации о помехах и источниках поля, наличием средств оценивания точности и достоверности собственных результатов. В полной мере удовлетворить этим требованиям могут лишь методы, сочетающие достоинства детерминистского и вероятностно-статистического подходов [5].

Как правило, присутствие какого-то одного из подходов в алгоритме решения обратной задачи носит вынужденный, безальтернативный характер, а не определяется какими-то методологическими соображениями. Так, в методах решения обратных задач гравиметрии и магнитометрии, относящихся к вероятностно-ста-

тистическим, детерминированная составляющая представлена одной лишь процедурой вычисления поля от заданного распределения масс. В методах с преобладанием детерминированной составляющей аппарат теории вероятностей и математической статистики используется разве что для оценки уровня помех в измерениях поля, тогда как сами ограничения на допустимые значения невязки носят уже детерминистский характер. Собственно критерий выбора оптимального решения из множества допустимых при этом никак не привязан к вероятностным свойствам помех.

В число требований, которым должны удовлетворять новые алгоритмы решения обратных задач геофизики (помимо адекватности геофизический практике), целесообразно включить:

© Долгаль А.С., 2012

17 робастность результатов интерпретации;

Щ использование как детерминистских, так и вероятностных приемов описания свойств случайных помех при ослаблении априорных предпосылок о законах их распределения;

7 построение геологически содержательной оценки точности полученных результатов;

7 сохранение всех возможностей детерминистского подхода в вопросах формализации априорных ограничений и описания множества допустимых решений обратной задачи [2].

Оценка достоверности результатов интерпретации данных гравиразведки и магниторазведки

Методологической основой для решения этой задачи служит гарантированный подход, вобравший в себя идеи из многих разделов прикладной математики, направленный на извлечение достоверной информации в условиях неопределенности и успешно зарекомендовавший себя в различных областях науки (прежде всего - в теории управления). Объектом исследования при гарантированном подходе являются многозначные отображения совокупной априорной информации в множества допустимых решений; при этом описание неопределенностей имеет вид включений неизвестных величин в некоторые множества.

Центральная идея гарантированного подхода была изложена еще в работе Л.В. Канторовича (1962) в связи с решением задачи оценки избыточной массы М геологических тел по данным гравиразведки. В качестве результата интерпретации было предложено включение

М X ЗМ 1,М2 8, где М1 и М2 - неулучшае-мые оценки минимально и максимально возможного значения М. При вычислении Ы1 и Ы2 использовался метод линейного программирования. К сожалению, эта работа осталась практически незамеченной геофизиками и предложен-

ный в ней подход не получил какого-либо заметного развития.

Как альтернативу апостериорной неопределенности, когда при решении практических задач остается неясным, какие свойства «оптимального» решения действительно согласуются с реальным распределением масс в геологической среде, гарантированный подход предлагает тот объем достоверной информации об изучаемом объекте, который фактически содержится в совокупных данных. Такая информация представляет некоторый набор содержательных инвариантов на множестве допустимых решений обратной задачи X 0. Разыгрывается простая логическая посылка: свойства, присущие всем допустимым решениям из X 0, присущи и истинному решению х, которое - при условии адекватности модельных представлений - содержится в X 0, и, следовательно, эти свойства можно рассматривать как достоверную информацию об объекте исследования (в нашем случае -об источниках поля).

Применительно к нелинейной обратной задаче гравиразведки термин «гарантированный подход» был введен в работах П.И. Балка, опубликованных в 80-х гг. прошлого века. Задачу локализации тела § предлагалось рассматривать как задачу построения пары 1 Д, Б2 { , где 01 - минимальная область, содержащая все допустимые решения S * X X0 (а значит, и §), а Д - максимальная область, являющаяся фрагментом всех допустимых решений § * (а значит, и фрагментом тела § ). Иначе говоря, для неизвестной области § , занятой аномалиеобразующими массами, предлагалось искать двухстороннюю неу-лучшаемую оценку: Б2 + § + Д.

Границы областей Д и Д для любого математического метода представляют собой границы возможного решения конкретной обратной задачи. Часть пространства, заключенная между границами областей В1 и 02, представляет собой об-

ласть неопределенности (ни одну ее точку никаким математическим методом нельзя однозначно идентифицировать, на предмет принадлежности носителю §), ее мера D2) - есть мера проявления ^-эквивалентности в конкретной постановке обратной задачи, а величина 1 Н %ф2)/ ^^) - мера информативности данных, участвующих в интерпретации

[3].

При гарантированном подходе качество результатов интерпретации - это объем извлеченной достоверной информации, предопределяемый совокупной априорной информацией. Это качество (что очень важно) отражает не возможности какого-то математического метода, а реальные возможности геофизического метода в конкретных физико-геологических условиях, что представляет принципиально иной, более высокий уровень понимания проблемы извлечения информации из данных геофизических измерений.

Приведем пример использования гарантированного подхода при интерпрета-

ции данных крупномасштабной гравиметрической съемки, выполненной над месторождением платиномедно-никелевых руд (рис. 1). Значительные размеры аномалиеобразующих объектов по простиранию позволяют решать обратную задачу в рамках двумерной постановки. В основу модели среды положены следующие допущения: аномалия поля в основном обусловлена рудоносной интрузией базит-ги-пербазитового состава, ее избыточная плотность (по отношению к вмещающим породам трапповой формации) составляет 0,2 г/см3, а суммарная среднеквадратическая невязка поля не превосходит 0,15 мГал.

С помощью монтажного алгоритма решения обратной задачи гравиметрии [1] удалось построить порядка 400 вариантов конфигурационного носителя аномалиеобразующих масс, удовлетворяющих априорным допущениям. Синтез найденных решений позволил установить область (контур 8), с высокой достоверностью принадлежащую источнику аномалии.

Рис. 1. Результаты интерпретации поля а g месторождения Норильск-1: 1 - породы туфолавовой толщи; 2 - отложения тунгусской серии; 3 - силлы габбро-долеритов; 4 - рудоносная интрузия; 5 - дизъюнктивные нарушения; 6 - локальная составляющая наблюденного поля; 7,8 - результаты интерпретации в предположении адекватности модельных представлений: 7 - область пространства, содержащая источники аномалии, 8 - фрагмент среды, гарантированно принадлежащий источнику поля; 9 - буровые скважины

Смещение ее (относительно фактического положения рудоносной интрузии) в верхнюю часть разреза может свидетельствовать о наличии неучтенного в модели среды ореола уплотнения вмещающих эффузивных пород, что весьма характерно для надинтрузивных зон месторождений Норильского района.

В рамках дальнейших исследований предлагается синтезировать частные решения обратной задачи 6Ъи С, сс ,

опираясь на конечноэлементное представление этих решений, а также на понятие геометрической вероятности. Это понятие фигурирует, в частности, в задаче о бросании точки в ограниченную область G, включающую в себя подобласть g: g+G, вероятность Р попадания точки в эту подобласть определяется как Р = mes g/mes G (mes - мера, здесь размер площади). В данном случае речь пойдет об оценке вероятности Р присутствия носителя масс внутри весьма малых фрагментов изучаемого объема геологической среды.

Суть предлагаемого подхода заключается в следующем.

Каждое частное решение представляется в виде совокупности элементарных объемов Щ, образующих регулярное замощение некоторой части нижнего полупространства. Необходимо пояснить, что регулярным замощением плоскости называется представление этой плоскости некоторым числом правильных замкнутых многоугольников (элементов замощения) Щ ., плотно прилегающих друг к другу по целой стороне. В трехмерном случае элементами замощения могут являться, например, кубы или прямоугольные призмы. сё1у ос, ■■■, ос представляют собой конфигурационные распределения масс, т.е. произвольные совокупности элементов 3D-нормального регулярного замощения & Т и , по каждому из которых

распределены массы с постоянной плотностью " } 0 .

По аналогии с детерминистской оценкой достоверности решения ОЗГ строится такая функция ^Щ), что ^Щ) = 1, если

Щ + се ; ^Щ) = 0, если Щ. X се ; при этом получается N вариантов пространственных распределений ее значений (бинарных матриц), отвечающих всем имеющимся решениям ОЗГ. Затем проводится объединение всех этих решений, сводящееся к суммированию N значений ^Щ), характеризующих одни и те же относительно малые области изучаемого объема геологической среды. Результаты такого суммирования представляют собой целочисленную функцию пространственных координат \= \Щ), значения которой располагаются внутри отрезка [0, ^. Функция \ отвечает пересечению допустимых решений ОЗГ, если каждое из них считать конечным множеством, состоящим из элементов Щ. - С1Н с2ни 3 ...

Ни N.

Эту функцию \ Щ) можно также рассматривать как частоту попадания элемента замощения Щво фрагмент моделируемой конфигурации се в серии решений ОЗГ, что позволяет естественным образом перейти к вероятностной оценке искомых геометрических параметров. Нормированная функция \Щ)* = \Щ)№ характеризует вероятность Р присутствия аномалиеобразующего объекта в элементарном объеме среды Щ., полученную в результате N равновозможных исходов эксперимента. Очевидно, что в пределах области с нулевыми значениями функции \=0 аномалиеобразующие массы будут отсутствовать, а область значений \=1 представляет собой фрагмент, гарантированно принадлежащий возмущающему объекту СТ.

Оценка достоверности результатов количественной интерпретации на основе функции \ может существенно повысить вероятность вскрытия искомых аномалиеобразующих объектов в заданных интервалах глубин [ ] поисковыми и раз-

ведочными скважинами, рекомендованными по геофизическим данным.

Локализация геологических объектов по данным гравиразведки и магнито-

разведки при неполной информации о физических свойствах горных пород

В известных алгоритмах определения конфигурации геологических тел по гравитационному (магнитному) полю принимается, что плотности (намагниченности) пород, слагающих эти тела, постоянны и заданы априори. В какой-то степени это стало результатом деления обратных задач на линейные и нелинейные, приведшего к двум обособленным направлениям разработки численных методов количественной интерпретации гравитационных (магнитных) аномалий. Вместе с тем по современным представлениям геологические тела - это неоднородные по физическим свойствам мультифрактальные объекты, а постоянная плотность (намагниченность) - это всего лишь условный «эффективный» параметр, замена которым фактического распределения плотности не приводит к заметному изменению поля. Благодаря интегральной природе геопотенциальных полей посылка о существовании «эффективной» плотности (намагниченности) вполне допустима. Но предположение, по которому это значение априори известно, уже не отвечает практике геофизических исследований, особенно если учесть, что значения физических свойств в образцах могут существенно отличаться от физических свойств горной породы в естественном залегании.

В типичных для практики условиях приходится сталкиваться с отсутствием точных сведений о плотности (намагниченности) горных пород, слагающих изучаемые геологические объекты. В этом случае за результат интерпретации целесообразно принимать не точечные оценки параметров аномалиеобразующих объектов, качество которых, строго говоря, случайно, а тот объем достоверной информации об источниках поля, который объективно содержится в исходных данных при условии адекватности модельных представлений. Подобная постановка обратных задач демонстрирует более высокий уровень понимания проблемы извлечения информации из результатов полевых на-

блюдений при наличии неопределенности.

Благодаря многочисленным примерам совпадения аномальных эффектов различных однородных тел сложилось мнение, что результаты совместного оценивания физических и геометрических параметров объекта не могут быть удовлетворительными. Но именно смешанные постановки, будучи адекватными реалиям, востребованы на практике, и проблема состоит лишь в том, чтобы обнаружить те типы априорной информации, которые способны уменьшить возросшую неопределенность, довести «размеры» множества всех возможных вариантов интерпретации Q до приемлемых и подобрать подходящий математический аппарат для их реализации. Объективной предпосылкой к успешному решению совмещенной ОЗГ является принцип взаимозаменяемости информации. Предваряя основную постановку задачи, проиллюстрируем его действие на модельном примере, используя 2D-моди-фикацию монтажного метода в варианте регулируемой направленной кристаллизации [1].

Аномалия поля а g обусловлена изолированным выпуклым телом § избыточной плотности ^ Т 0,2 г/см3, а среднеквадратическое значение помехи в измерениях поля а g (х1) не превосходит 0,1 мГал (рис. 2, а). На рис. 2,б и 2,в приведены результаты интерпретации при невязке «наблюденного» и модельного полей

0,2 мГал в терминах пары £ D1, D2 { в случае, когда точное значение ^ задано априори (вариант «б»), и в случае, когда известно лишь, что истинное значение ^ лежит в достаточно широком интервале

30,1; 0,38 г/см3 (вариант «в»). В последнем

случае в качестве дополнительной информации выступает предположение, что максимальная вертикальная мощность тела не превышает 2 км (фактически она равна 1,75 км). Легко заметить, что размеры области D1, гарантированно содержащей аномалиеобразующее тело, в обо-

их вариантах оказались сопоставимыми. Область D2, которая согласно используемому методу заведомо является частью неизвестного тела £, в варианте с нечеткой априорной информацией о плотности лишь на 15% меньше той, что в варианте с известной плотностью. Ясно, что в постановку ОЗГ можно внести еще некоторую дополнительную априорную информацию, которая позволила бы «склонить чашу весов» в пользу последнего варианта.

Создание алгоритмов для решения такого типа задач обеспечит принципиальный прорыв в проблеме наиболее полного извлечения достоверной информации из

дд, мГал

результатов полевых наблюдений, т. к. построение отдельных приемлемых вариантов интерпретации станет элементом более общей технологии, реализующей концепцию гарантированного подхода и заключающейся в поисках геологически содержательных свойств, присущих всем альтернативным вариантам интерпретации.

Развитие смешанных вероятностно-детерминистских методов решения линейных обратных задач

В 2008-2011 гг. с участием автора статьи был разработан принципиально новый метод решения линейных обратных задач, апробированный для методов

-1 км

-3 км

Рис. 2. Результаты интерпретации гравитационной аномалии (а) при точной (б) и интервально заданной (в) плотности ее источника: 1 - «наблюденное» гравитационное поле; 2 - подобранное гравитационное поле для одного из допустимых решений ОЗГ; 3 -источник аномалии; 4 - отдельные допустимые решения ОЗГ; 5 - область D1; 6 - область D2

гравиразведки, магниторазведки и элек- нировании функционально-аналити-че-троразведки ВЭЗ, основанный на комби-

ского и вероятностно-статистического подходов [6].

Отличительной особенностью метода является способность к подавлению интенсивных знакопеременных помех, закон распределения которых заметно отличается от нормального, а также возможность приближенной оценки точности определения петрофизических параметров изучаемых объектов.

Предположим, что аддитивные помехи ^i, отягощающие точные значения поля, являются реализациями случайной величины У с нулевым медианным значением МеЗ^ 8 Т 0 . Если множество D допустимых решений линейной обратной задачи рассматривать как область определения случайного вектора ", описывающего возможные значения неизвестных параметров " ], то проблема совмещения двух подходов заключается в том, чтобы по имеющейся информации о свойствах помехи У построить функцию Р(" ) плотности вероятностей вектора " на множестве D. Фактически определяется вектор оце-

*

нок ", минимизирующих математическое ожидание

R("') Т &("," 'Ш"У"^"г~Л~я оши-

D

бки Q("," *) приближенного решения " * обратной задачи.

Если А - система всех пар (х,, Х1) ближайших друг к другу точек измерения поля и К - число таких пар, то необходимо взять множества допустимых решений " , для которых число пар точек (Хг, Хх), в которых разности наблюденного и модельного полей противоположны по знаку, равно г. Вероятности рг подчиняются биномиальному закону, и можно утверждать, что множества гё г, индексы г которых близки к целому Зк /28, не могут быть образованы без наиболее точных измерений. Но именно эти множества полу-

чают в

Т Л

ГТ 1 Г ) 4 г

наибольшие биномиальные «веса» рг, что заставляет график функции и(~*) «прижиматься» к графику функции и (X) . Таким образом, предлагаемый метод непосредственно направлен на минимизацию невязки подбираемого и точного поля и (X), тогда как традиционные методы решают эту проблему опосредованно, путем минимизации подобранного и (~ *) и наблюденного (зашумленного) поля и (X) , что неэффективно при асимметричных распределениях помех.

Проиллюстрируем возможности этого метода на примере. Оценке подлежит эффективная намагниченность никеленосной интрузии, залегающей под трапповой мульдой на глубине 1500 м (рис. 3). Модули знакопеременных помех распределены по логнормальному закону. Интерпретация выполняется по измерениям поля а Z в 160 точках. Априори известно: 1 \ J1, J2 \ 5, 2 I J3 I 10 (А/м). Преимущество предлагаемого метода (по результатам 100 вариантов решения обратной задачи) очевидно: средняя суммарная погрешность оценки магнитных свойств по предлагаемому методу составляет 0.52 А/м, а в случае использования минимизации среднеквадратического расхождения полей - 1.25 А/м.

Приведем еще один пример уже для электроразведки методом ВЭЗ. Возьмем геоэлектрический разрез с параметрами "" Т 1500 Омм, \ Т 10 м; "'2 Т 100 Омм,

м;

3

Т 900 Омм, К Т 160 Омм

4 Т 50 Омм. Кривая ВЭЗ типа НК осложнена равномерно распределенными

помехами, амплитуда которых составляет 0-)0 _ . ///

93 50% от значений к на каждом разносе

АВ (рис. 4). Средняя (по 50 вариантам решения обратной задачи) точность оценки сопротивлений горизонтов по предложенному методу в 1,5 раза выше, чем при

*

г

обычной минимизации невязки - 84 про- бли3ка к фактическ0й - R (",|ММР)) | 91 тив 127 Омм. Прогнозируемая оценка оММ точности результатов интерпретации

Рис. 3. Частное решение обратной задачи магниторазведки методом минимизации эмпирического риска: 1 - верхний горизонт эффузивных пород, J1 = 4 А/м; 2 - нижний горизонт эффузивных пород, J2 = 2 А/м; 3 - никеленосная интрузия, Jз = 2 А/м; 4 - магнитное поле aZ без помех; 5 - исходное магнитное поле aZ, осложненное помехами. Подобранные значения намагниченности: J1 = 3.0 А/м, J2 = 2.3 Ам, J3 = 5.5 А/м

3000

50------1-1—|—| I I I I |-1-1—I—I I I I 11-1-1—I—I I I I 11-1-1—I—I I I I 11

1 3 1 0 30 1 00 300 1 000 3000 1 0000

Полуразнос установки АВ/2, м

Рис. 4. Частное решение обратной задачи ВЭЗ двумя методами: 1 - исходная кривая ВЭЗ, осложненная помехой; модельные кривые ВЭЗ, построенные: 2 - ММН, 3 - ММР. Удельное сопротивление горизонтов, определенное ММН: "1=1750, "2=103, '"=540, "4=80 Омм; ММР: "1=1692, "1=122, "1=829, "4=50 Омм

Установлена высокая информативность условия равенства нулю медианного значения помех в измерениях, сопоставимая с информативностью детерминистских ограничений на параметры плотностной среды, что лишний раз убеждает в плодотворности идеи комплексирования функционально-аналитического и вероятностно-статистического подходов в алгоритмах решения обратных задач.

В настоящее время данный подход реализован лишь в двухмерном варианте при числе оцениваемых параметров т порядка 4-6. Существенную вычислительную сложность при этом представляет перебор

многочисленных вариантов допустимых решений обратной задачи.

В будущем планируется разработать 3D-модификацию метода. При этом необходимо апробировать два варианта его практической реализации: распараллеливание вычислительного процесса [4] и использование случайной последовательности векторов параметров из D, продуцируемой процедурами типа Монте-Карло.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 12-05-00414-а) и программы исследований ОНЗ РАН (проект 12-Т-5-1012).

Библиографический список

1. Балк П.И., Долгаль А.С. Трехмерные монтажные технологии интерпретации гравиметрических данных //Докл. РАН. 2009. Т. 427, № 3. С. 380-383.

2. Балк П.И., Долгаль А.С., Христенко Л.А. Резервы повышения эффективности автоматизированных систем интерпретации гравиметрических данных (гарантированный подход и монтажные технологии решения обратных задач) // Геоинформатика. 2009. № 3. С. 30-36.

3. Балк П.И., Долгаль А.С. Детерминированный подход к проблеме достоверности результатов интерпретации гравиметрических данных //Докл. РАН. 2010. Т. 431, вып. 1. С. 334-338.

4. Балк П.И., Деменев А.Г., Долгаль А.С., Леденцов О.В., Мичурин А.В. Эффективность применения многопроцессорных вычислительных систем с целью оценки достоверности решения обратной задачи гравиметрии // Вестн. Перм. ун-та. Сер. Геология. 2010. Вып. 1(9). С. 50-57.

5. Балк П.И., Долгаль А.С. Синтез преимуществ функционально-аналитического и вероятностно-статистического подходов в смешанных алгоритмах решения обратных задач гравиметрии и магнитометрии // Геоинформатика. 2011. № 1. С. 33-42.

6. Балк П. И., Долгаль А.С., Мичурин А.В.

Смешанные вероятностно-детерми-

нист-ские методы решения линейных обратных задач гравиметрии и магнитометрии // Геофизика. 2011. № 2. С. 20 -29.

Improving of the Methods for Numeral Interpretation of Geopotential Fields

A.S. Dolgal

Mining institute of the Ural branch of Russian Academy of Sciences, 614007, Perm, Sibirskaya st., 78A. E-mail: dolgal@mi-perm.ru

We suggest the development of new methods of the solution of gravitational, magnetic and electrometry inverse problems based on advantages of deterministic and probability-statistical approaches. Solutions of the set of problems concerned with reliability estimation of interpretation results of gravimetrical and magnetic data, with the localization of geological objects on incomplete information about physical properties of rocks, with the development of complex probability-deterministic methods of the estimation of physical parameters of geological objects on geophysical data are considered in the article.

Key words: synthesis, interpretation, inverse problem, gravimetrical exploration, magnetic exploration, electrometry, reliability, guaranteed approach

Рецензент - доктор технических наук В.А. Гершанок