Составная В-сплайновая кривая, построенная на базе канонических моделей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.753.223

КИМ Виталий Борисович, кандидат физикоматематических наук, доцент кафедры математического анализа Кемеровского государственного университета. Автор 35 научных публикаций

ПРОКОПЕНКО Евгения Викторовна, аспирант кафедры математического анализа Кемеровского государственного университета. Автор 19 научных публикаций

СОСТАВНАЯ В-СПЛАЙНОВАЯ КРИВАЯ, ПОСТРОЕННАЯ НА БАЗЕ КАНОНИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

В работе рассматриваются кривые, заданные параметрическими уравнениями 3-й степени. Ранее мы обращались к вопросу о возможности приведения параметрических уравнений такой кривой к некоторому стандартному виду, используя классификацию кубических форм, данную Соколовым. В данной работе мы рассмотрим составные В-сплайновые кривые на базе канонических моделей, классифицированных Соколовым. Представлены особенности построенных кривых.

Сплайновая кривая, инварианты пространственных матриц, кубическая форма, каноническая модель, составная кривая

В пространственном случае естественно кривые задавать параметрически. Поскольку объекты, которые нам приходиться изучать, имеют, как правило, сложную форму, не допускающую описания при помощи простых аналитических функций, мы вынуждены определять кривые по частям. Многочлены 3-й степени оказались удачным компромиссом для многих приложений, и большинство методов проектирования и прогонки основано на использовании параметризации с помощью кубических функций.

Прокопенко [1,2] рассматривала пространственные кривые Г = {*(/),у(/),7(/)}, заданные параметрически уравнениями 3-й степени:

х({) — А1111 + А1121 + А1221; + А222 ^

<У) _ ^ -^122^ + -^222

г(?) = Сш*3 + С112?2 + С122? + С222 ,

где t е [0,1].

(Для плоского случая, не умаляя общности, можно считать, что кривые находятся в плоскости 7(/) = 0). Эти кривые названы кубически параметризованными кривыми.

Перейдем к рассмотрению составных кубически параметризованных кривых, построенных на базе канонических моделей. Дадим основные понятия, связанные с каноническими моделями и классификацией кубических форм, данных Соколовым в [3].

Рассмотрим кубическую форму:

3 2

Р(и,У) = а]]]и + Зац2и V +

, о 2 , 3 (2)

+^а122иу +а222у ■

Используя аппарат пространственных матриц, Соколов показал, что каждая форма может быть приведена к каноническому виду.

При классификации используем инварианты и коварианты формы Р(и,у), которые определяются через инварианты матрицы А.

Приведем классификацию, данную Соколовым для канонических форм.

этого многочлена подразумевать инварианты и коварианты соответствующей формы Р(и, V), ассоциированной с многочленом.

Пусть форма х({) имеет канонический вид Р., форма у(1) - вид Р., а г($ - вид Рк.

Классификация канонических форм

Канонический вид Арифме! характе гические ристики Пространственные матрицы

Г Га Гь А Л„ Вцк

Т7 3.3 г1 = и + V 2 2 2 <0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 -1

Р2 =Зи2V 2 1 1 0 - 2 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0

^ = и 3 1 0 0 0 0 0

^ = Зи2 V - V3 2 2 2 >0 - 2 0 ) 2 0 0 - 2 о - 2 ) )

^ = 0 0 0 0 0 - -

Существует соответствие между кубическими формами

Р(и, V) = аши3 + За112и2V + За122иу2 + а222 V3 (3) и кубическими многочленами

/ (/) — дш1 + За112 ? + За122 ? + й 222 (4)

Каждой форме Р соответствует многочлен _ и

/('г'), где ^ — —. Каждому многочлену соот-

V

ветствует форма Р: /) — V3 Р(—). При этом

V

из рассмотрения исключается случай у=0, что соответствует ^ = сю ■ Однако это не влияет на общность наших рассуждений, т.к. нас интересует случай, когда параметр ? пробегает единичный отрезок.

Поэтому при рассмотрении многочленов (4) будем под инвариантами А, г , гА, гв, Н, Q

Определение. Кривую Г’, уравнения которой имеют, вид:

х'(/) = а'013 + За'^2 + За'21 + а.^ 5

<7'(О = ^3 + з^2 + зр'21+# , (5)

г'(/) = у'0^3 + Зу'^2 + Зу'2^ + у' ,

где каждая из форм х' (1), у' (1), г'$) имеет канонический вид ,(/ = 1,2,3,!'), назовем канонической моделью кривой Г типа

{г, у, к}, г Ф ] Ф к.

Было показано, что каноническая модель - это плоская кривая. В пространстве имеется 24 типа невырожденных моделей (т.е. случаи кривых типа (/, у, к) , где / Ф у Ф к), которые расположены в соответствующих плоскостях. Анализ параметрических уравне-

ний каждой модели показывает, что каждая модель является сечением ветви цилиндра S плоскостью. Направляющей цилиндра S служит полукубическая парабола, лежащая в одной из координатных плоскостей, а образующие параболы перпендикулярны этой же плоскости. ,

Например, в случае модели F2, Fl , Fl в

качестве цилиндра можно взять z = х3 2 +1 или z — (у +1)3 2 +1, а плоскость будет в обоих случаях — х + 1 + у = 0. Аналогично во всех остальных случаях.

Рассмотрим составную кривую, порожденную массивом двух канонических моделей. Остановимся подробно на случае составной кривой, построенной на базе моделей типа

(1,2,3) и (2,3,1'). На базе этих моделей построим составную сплайновую кривую и попробуем отследить, как будут располагаться промежуточные звенья составной кривой по отношению к цилиндру и плоскости.

Модель {Fx, F2, F3} определяется массивом

"11 17 л

2/3 -1/3 2/3 11/3 .

v0 0 0 6 ,

Модель {F,, F3, Fj'} определяется масси-

"1 1 1 7 л

вом 0 0 0 6 •

1/3 - 4/3 -1/3 8/Зу

Рассмотрим массив

"11 17 1 1 1 7 ^

2/3 -1/3 2/3 11/3 0 0 0 6.

v0 0 0 6 -1/3 - 4/3 -1/3 8/Зу

Получаем составную кривую, состоящую из 5 звеньев. L} назовем начальным звеном, Ls -конечным. Кривая, цилиндры и расположение кривой по отношению к ним представлены на рис. 1.

Анализ геометрических характеристик и рисунка показывает, что соединение четверто-

4

Рис. 1. Составная каноническая кривая

го и пятого звена не является гладким. Это объясняется тем, что порождающий массив каждой канонической кривой вырождается, т.е. совпадают первая и третья точки, определяющие направление касательной к кривой в начальной точке. В нашем случае точки совпадают, следовательно, касательную определить нельзя. Особая точка находится на пересечении цилиндров и плоскости основных канонических моделей.

Для устранения не гладкости изменим порядок обхода точек последнего звена. Тогда кривая будут выглядеть следующим образом: Никаких особенностей в расположении промежуточных звеньев кривой не обнаружено,

Рис. 2. Составная каноническая кривая по измененному массиву

кроме подтверждения основного свойства сплайновых кривых - расположения кривой в выпуклой оболочке порождающего массива.

Таким образом, показано, что составная В-сплайновая кривая, построенная на базе канонических моделей, может иметь особенности.

Рассмотрим массив без кратных точек, т.е. такого вида:

~Р = (Р Р Р Р Р Р )

УО’1’3’3 >2 ?1 /

Определяемая этим массивом составная сплайновая кривая совпадает с гладким участком кривой, построенной по исходному массиву.

Список литературы

1. Прокопенко Е.В. Канонические модели кубически параметризованных кривых II Исследовано в России. 2008 г. С. 329-337; URL: http://zhumal.ape.relam.ru/articles/2008/029.pdf (дата обращения 13.12.2008).

2. Ее же. Составная В-сплайновая кривая, построенная на базе канонических моделей// Тр. математ. центра им. Н.И. Лобачевского: материалы 7-й молодеж. шк.-конф. «Лобачевские чтения-2008», декабрь 2008 г. / отв. ред. А.М. Елизаров, С.Р. Насыров. Казань, 2008.

3. СоколовН.П. Пространственные матрицы и их приложения. М., I960.

Kim Vitaly, Prokopenko Evgenia

COMPOSITE B-SPLINE CURVE CONSTRUCTED ON THE BASIS OF CANONICAL MODELS

The paper considers curves defined by the 3rd grade parametric equations. The possibility of reducing the curve parameterized equations to a certain standard form by using the cubic form classification given by Sokolov was considered in the earlier paper. This paper is devoted to composite B-spline curves constructed on the basis of canonical models classified by Sokolov. Peculiarities of the generated curves are considered.

Контактная информация: e-mail: pev-05@mail.ru

Рецензент - Зеелъ Э.О, кандидат физико-математических наук, профессор кафедры математического анализа Поморского государственного университета имени М.В. Ломоносова