CC BY
29
Вестник КемГУ № 3j1 2011 Риманова геометрия
битой почти комплексной структуры lo относительно действия группы SO(3) x SO(3) будет SO(3) = SO(3) x SO(3)/diag(SO(3)). Используя формулы следствия 2, можно найти условия, при которых J12 = J13 = J23 = J45 = J46 = J56 = О.
Решением этой системы уравнений будет:
cos(^>1)=0, Г sin(^1) = О,
sin(^>2) = О, или < cos(^>2) = О, sin(^3) = О, [ cos(^3) = О.
Оба решения определяют одну и ту же форму, поэтому достаточно рассмотреть одну систему условий. Введем обозначения M+ и M- для ”макси-мально неинтегрируемых” структур, лежащих на меридианах сфер-ребер £03 и E12 соответственно. M+ = {sinФ(є14 + e25) +cosФ(є15 + e42) + e36 :
— п < ф < п}, M- = {sine(e14 — e25) + cose(e15 — —e42) + e36 : —п < Є < п}. Обозначим Mp+p-половину большого круга меридиана обобщенной сферы-ребра Ep-p+, тогда множество всех "максимально неинтегрируемых” структур образует 3мерное подмножество в CP3:
U Mp-p+
p- е M-p+ е M+
Литература
[1] Бухштабер, В. М. Торические действия в топологии и комбинаторике / В. М. Бухштабер, Т. Е. Панов. - М.: МЦНМО, 2004. - 272 с.
[2] Даурцева, Н. А. О пространстве почти комплексных структур на многообразии / Н. А. Даурцева, Н. К. Смоленцев // Вестник КемГУ. - 7(2001).- C. 176 - 186.
[3] Кобаяси, Ш. Основы дифференциальной геометрии / Ш. Кобаяси, К. Номидзу. - М.: Наука, 1981. - Т. 2.
[4] Abbena, E. Almost Hermitian geometry on six dimensional nilmanifolds / E. Abbena, S. Garbiero, S. Salamon // Ann. Scuola Norm. Sup. - Pisa: Cl. Sci. - 30 (2001). - P. 147-- 170.
[5] Calabi, E. A class of compact complex manifolds which are not algebraic. / E. Calabi, B. Eckmann // Ann.Math. - 58(1935). - P. 494 -500.
[6] Daurtseva, N.A. Invariant complex structures on S3 x S3 / N.A. Daurtseva // Electronic Journ. “Investigated in Russia”. - 2004. - P. 888 - 893; (http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2004/081e.pdf)
[7] Daurtseva, N.A. Left-invariant almost nearly Kahler structures on SU(2) x SU(2) in the tetrahedron visualization for CP3 / N. A. Daurtseva // arXiv:0608704[math.DG](2006). 12 p.
[8] Ivashkovich, S. Complex curves in almost-complex manifolds and meromorphic hulls / S. Ivashkovich, V. Shevchishin // Bochum: Ruhr-Univ. - Bochum, 1999. - VI.- 186 p.
[9] Magnin, L. Left invariant complex structures on U(2) and SU(2) x SU(2) revisited / L. Magnin // Preprint, arXiv: 0809.1182 [math.RA] (2008). 25 p.
УДК 517.54: 517.862
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ СГЛАЖИВАЮЩИХ КУБИЧЕСКИХ СПЛАЙНОВЫХ
КРИВЫХ В. Б. Ким
ABOUT A CLASS OF SMOOTHING SPLINE CUBIC CURVES
V.B.Kim
В работе рассмотрен новый класс сглаживающих кубических сплайновых кривых. Эти кривые не являются ни в -сплайновыми кривыми, ни кривыми Безье. Найдены параметрические уравнения этих кривых и определены их некоторые геометрические свойства,.
A new class of smoothing spline cubic curves is considered in the article.These curves are neither в-spline curves not Bezier curves.The parametric equations of the curves are obtained and some geometric properties of this curves are studied.
Ключевые слова:сплайновые кубические кривые, в -сплайновые кривые, кривые Безье.
keywords:spline curves, в-spline curves, Bezier curves
Составные сплайновые кривые традиционно второй, когда искомая кривая проходит не через строятся по заданному массиву точек (опорному сами точки, а вблизи них, удовлетворяя некоторо-массиву). При этом различают два типа задач. му вариационному условию (задача сглаживания). Первый, когда искомая кривая должна проходить Соответственно различают два типа сплайновых через заданные точки (задача аппроксимации), и кривых— аппроксимирующие и сглаживающие.
Вестник КемГУ № 3/1 2011 Риманова геометрия
Для аппроксимирующих кривых опорный массив не может быть произвольным —требуется, например, чтобы абсциссы его точек возрастали вместе с ростом нумерации точек. При построении же сглаживающих сплайновых кривых никакие дополнительные условия на точки массива не накладываются. Эти точки могут быть заданы как на плоскости, так и в пространстве, их взаимное расположение может быть произвольным, часть из них может совпадать и т. д.
Если количество вершин в опорном массиве достаточно велико, то найти функциональные коэффициенты Ъ(Ь) бывает довольно затруднительно. Поэтому опорный массив разбивают на элементарные массивы, каждый из которых определяет элементарный фрагмент искомой составной кривой. Сама же кривая является объединением соответствующих элементарных кривых.Как правило, для кубических сплайновых кривых число точек в элементарном массиве равно четырем. Особенностью сглаживающих кубических сплай-новых кривых является то, что каждый элементарный фрагмент можно задать с помощью одного и того же набора коэффициентов, не зависящих от точек опорного массива.
Эти коэффициенты можно найти как решения некоторой краевой задачи, выражающей в аналитической форме геометрические свойства, которыми должна обладать искомая кривая.
Пусть Р = {Р0, Р1,..., Рт} (т > 3) — массив точек, определяющий составную сплайновую кубическую кривую Г. Кривая Г является объединением элементарных кривых Г*. Здесь и далее индекс г пробегает значения 1, 2, 3, ...,т — 3, а индексы X, ^ значения 0,1, 2, 3. Каждая элементарная кривая Г* определяется с помощью векторного уравнения:
И,1 (Ч) = Ъо(£)р1-1 + Ъ1_(^)р1 + Ъ2(^)р1+1 +
+b2 (t)P i+2 ■ Здесь Pi- радиус-вектор точки Pi,
Ьл^) = mлo + mлlt + Ьл2^ + mлзt3,
Ri+i(0) = Ri(1),
1(0) = eiRi (1),
1(0) = A2Ri'(i)+ №(!)■
Ri+
R,,
носительно неизвестных коэффициентов шлд:
moo + moi + mo2 + mo3 = О, mio + mu + mi2 + mi3 = moo, m2o + m2i + m22 + m23 = mio, m3o + m3i + m32 + m-зз = m2o,
m3o = О,
ei(moi + 2mo2 + 3mo3) = О, ei(mii + 2mi2 + 3m із) = moi, ei(m2i + 2m22 + 3m23) = mil,
Pi(m3i + 2m32 + 3m33) = m2i,
m3i = О,
e2(2mo2+6mo3)+e2(moi+2mo2+3mo3) = О, e2(2m 1 2+6m 13)+^2(m 1 i+2m 12+3m 13) = 2mo2, P\(2m22+6m23)+p2(m2 1 +2m22+3m23) = 2m 12,
^2(2m32+6m33)+^2(m3 1 +2m32+3m33) = 2m22,
2m32 = О^
(4)
Эта система содержит 15 уравнений на 1б неизвестных шлд. Не умаляя общности, можно считать, что m.33 = О. Тогда остальные коэффициенты выразятся через m.33 следующим образом:
moo 3 = p m33,
moi = -3p3m33,
mo2 = 3p3m33,
mo3 = -pm33,
mio = (2p2 + 2p + q)m33,
mii = (3p3 - 3p)m33,
mi2 = — (3p3 + 3p2 + 3q)m33,
mi3 = (p3 + p2 + p + q)m33,
m2o = m33,
m2i = 3pm33,
m22 = 3(p2 + q)m33,
m23 = -(p2 + p + 2q + 1)m33
m3o = m3i = m32 = О,
p = ві, 2q = fa.
(5)
(1)
(2)
Легко проверяются соотношения
moo + m 1 o + m2o + m3o =
= (p3 + 2p2 + 2p + q + 1)m33,
mo 1 + m 11 + m2 1 + m3 1 = О,
mo2 + m 12 + m22 + m23 = О,
mo3 + mi3 + m23 + m-зз = О^
(6)
t € [0, 1].
Пусть Г* и Г*+1 - две смежные элементарные кривые, определяемые соответственно массивами точек {Р*_1,Р*,Р*+1,Р*+2} и {Р*,Р*+1,Р*+2,Р*+з}. Потребуем, чтобы составная сплайновая кривая Г была не только непрерывной, но и имела бы непрерывный касательный вектор и непрерывный вектор кривизны. Получим следующую систему векторных уравнений :
Добавим к рассмотренной системе условие нормировки
J2ba(t)
L
(7)
Геометрически это условие означает, что каждая элементарная кривая лежит в выпуклой оболочке точек своего опорного массива. В силу соотношений (6), условие нормировки равносильно условию
1
(3)
m33 = -3
p3 + 2p2 + 2p + q +1
(8)
Здесь в1 > 0, в2 > 0. Переходя к координатной записи, получаем систему линейных уравнений от-
Введем обозначение 6 = р3+2р2+2р+д+1. Очевидно, что 6 = О.Тогда получаем, что коэффициенты найденной кривой имеют следующий вид (9):
Вестник КемГУ № 3/1 2011 Риманова геометрия
p3 — 3p31 + 3p312 — p3t3
o"
bo(t)
(2p2 + 2p + q) + (3p3 — 3p)t — (3p3 + 3p + 3q)t2 + (p3 + p2 + p + 2q)t3
bi(t) = --------------------------------------------------------------------------------------------------o,
b2(t) =
1 + 3pt + 3(p + q)t2 — (p2 + p + 2q + 1)t3
ЬзМ = Т.
(9)
Кривые, коэффициенты в векторном уравнении которых определяются по формулам (9), называются в-сплайновыми кривыми [1]. В частном случае при в1 = 0, в2 =0 мы получаем хорошо известные В-сплайновые кривые[1].
Заметим, что в рассмотренном случае опорные массивы двух смежных кривых имели три общих точки : Р^, Рг+1, Р/+2. Случай одной общей точки хорошо изучен — мы получаем кривые Безье. Какие кривые получаются, если смежные элементарные массивы имеют две общие точки? Какая краевая задача соответствует такому случаю?
Рассмотрим этот случай подробнее. Сохраним для удобства обозначения, использованные в предыдущем пункте. Будем считать, что две смежные элементарные кривые Г* и Г*+1 определяются соответственно векторными уравнениями:
ВД) = Ьо(^)р—1 + &1(£)р1 + Ь2(^)р1+1 +
+ b2 (t)Pi+2;
Ri+l(0)
Ri+l(0)
Ri (1),
eRi(i).
Как и выше получаем систему уравнений
moo + moi + mo2 + тоз = 0, mw + mii + mi2 + mi3 = 0, m2o + m2i + m.22 + m23 = moo,
m3o + m3i + m32 + m-зз = mio,
m2o = 0, m3o = 0,
moi + 2mo2 + 3mo3 = 0, mii + 2mi2 + 3mi3 = 0, e(m2i + 2m22 + 3m23) = moi,
e(m-3i + 2m32 + 3m33) = mii, m2i = 0, m3i = 0, в> 0.
Система содержит 12 уравнений на 16 неизвестных шдд. Нетрудно заметить, что её можно разбить на четыре подсистемы, каждая из которых состоит из уравнений, содержащих m\^, где А — фиксировано. Пользуясь этим, выразим часть неизвестных через moo, moi, mio, mu!
mo2 = —3moo — 2moi, mo3 = 2moo + moi, mi2 = —3mio — 2mii,
mi3 = — 2mio + mii, m22 = 3moo — rmoi, m23 = rmoi — 2moo, m32 = 3mio — rmii, m33 = rmii — 2mio,
m2o = m2i = m3o = m3i = О.
(14)
(1О)
К-1+1(^ = Ь0(^)Р1+1 + Ь1(^)Р1+2 + Ь2(^)Р1+3 +
+ Ь3(^)Р1+4- (11)
Коэффициенты Ьа(Ь) имеют по-прежнему вид (2). Повторяя проведенные выше рассуждения, получим, что в рассматриваемом случае краевая задача (3) имеет лишь тривиальные нулевые решения (Ьа(г) = 0).
Изменим краевую задачу, оставив лишь условие непрерывности кривой и условие непрерывности касательного вектора, т. е.
Здесь r = e-i.
Добавим к рассмотренной системе условие нормировки, которое дает еще четыре соотношения :
moo + mio + m2o + m3o = 1, moi + mii + m2i + m3i = 0, mo2 + mi2 + m.22 + m32 = 0, mo3 + mi3 + m.23 + m33 = 0.
(1B)
Подставим в систему (15) найденные значения m\p и получим соотношения і
moo + mio = 1, moi + mii = О,
— (2 + r)(moi + mii) = О, (1 + r)(moi + mu) = О.
(16)
(12)
Нетрудно заметить, что система (16) содержит лишь два независимых соотношения :
moo + mio = 1, moi + mii = О.
(17)
(13)
Введем обозначения moo = a, moi = b. Тогда mio = 1 — a, mii = —b. Окончательно функциональные коэффициенты b\(t) принимают вид і
bo(t) = a + bt — (3a + 2b)t2 + (2a + b)t3, bi (t)=(1 — a)— bt—(3—3a—2b)t2+(2—2a—b)t3, b2(t) = (3a — rb)t2 + (rb — 2a)t3, b3(t) = (3 — 3a + rb)t2 — (rb — 2a + 2)t3.
(1S)
Таким образом, решением краевой задачи (12) являются кривые Г , у которых функциональные
з
Вестник КемГУ № 3/1 2011 Риманова геометрия
коэффициенты зависят от параметров а и Ь. Заметим, что при £ = 0 получаем :
Ьо(0) = а, Ь±(0) = 1 - а, Ь2(0) = Ьз(0) = 0.
При £ = 1 аналогично имеем :
Ьо(1) = Ьх(1) = 0, Ь2(1) = а, Ьз(1) = 1 - а.
Следовательно, каждая элементарная кривая Г* начинается в точке
И^О) = аР—1 + (1 — а)Р^
лежащей на ребре Рг-1Рг опорного многоугольника, а кончается в точке
К1(1) = аР1+1 + (1 — a)Pi+2,
лежащей на ребре Рг+1Рг+2 опорного многоугольника. Нетрудно также проверить , что в своей начальной точке кривая Гг касается ребра Р—1Рг ,
а в конечной — ребра Рг+1Рг+2 Однако в общем случае построенная кривая не проходит через вершины опорного массива.
Можно сказать, что рассматриваемые составные кривые являются более гладкими, чем кривые Безье, но не обладают свойством непрерывности вектора кривизны. Наличие в функциональных коэффициентах ш\м параметров а и Ь позволяет менять форму кривой Г, не меняя точек массива. Это свойство сближает их с ^-сплайновыми кривыми. Представляет интерес дальнейшее изучение геометрических свойств построенных кривых.
Литература [1] Шикин , Е. В.Кривые и поверхности на экране компьютера / Е. В. Шикин, А. И. Плис. - М.: Диалог-МИФИ, 1996. - 240 с
УДК 514.76.2
ИНВАРИАНТНЫЕ ПРИВОДИМЫЕ ПОЧТИ КОМПЛЕКСНЫЕ СТРУКТУРЫ НА ОДНОРОДНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Е. С. Корнев
INVARIANT REDUCED ALMOST COMPLEX STRUCTURES ON HOMOGENEOUS
SPACES E. S. Kornev
В работе вводится специальный класс почти комплексных структур, для которых существует разложение касательного пространства в прямую сумму подпространств, на которых эти структуры действуют инвариантно. Приводятся некоторые понятия и результаты для таких почти комплексных структур на однородных пространствах.
This work introduces the special class of almost complex structures which provide the tangent space decomposition into direct sum of the vector subspaces, and invariant act on these subspaces. Some concepts and results are provided For such almost complex structures on the homogeneous spaces.
Ключевые слова: почти комплексные структуры, однородные пространства, кэлеровы структуры.
Keywords: almost complex structures, homogeneous spaces, kahler structures.
1. Инвариантные почти комплексные структуры на однородных пространствах
Пусть М - однородное риманово пространство размерности 2 п, О - связная группа Ли, действующая на М транзитивно, Н - подгруппа изотропии фиксированного элемента о € М, и д -Лс!н-инвариантная риманова метрика на О. Тогда М = О/Н и 0 раскладывается в прямую сумму векторных пространств [) и р, где [) - алгебра Ли подгруппы изотропии Н, а р - ее ортогональное дополнение относительно метрики д. Подпространство р раскладывается в прямую сумму Л!н-инвариантных неприводимых векторных подпространств. Касательное пространство Т0М и подпространство р изоморфны как векторные про-
странства. Если подгруппа Н является нормальной, а распределение р инволютивным, то М диф-феоморфно группе К = О/Н, а р является алгеброй Ли группы К.
Почти комплексной структурой на вещественном четномерном многообразии М называется непрерывное поле вещественных линейных операторов 1Х : ТХМ ^ ТХМ : 1Х о ,1Х = -1с! для всех х Є М. Пусть Яд - представление группы О в группе собственных дифференцируемых преобразований однородного пространства М, ядро которого совпадает с Н. Почти комплексная структура J на М называется О-инвариантной, если для любых д Є О и х = Яд(о) Є М, ЛХ = dRg о о йЯд-і. Любая О-инвариантная почти комплексная структура на однородном пространстве полностью определяется своим значением в начальной точке о.
