Сопряженная задача теплообмена при течении жидкостей в змеевиках с изменяющимся радиусом изгиба винтовой спирали Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 532.5:621.694

Е. К. Вачагина, А. Г. Багоутдинова, Я. Д. Золотоносов, И. А. Князева

СОПРЯЖЕННАЯ ЗАДАЧА ТЕПЛООБМЕНА ПРИ ТЕЧЕНИИ ЖИДКОСТЕЙ В ЗМЕЕВИКАХ С ИЗМЕНЯЮЩИМСЯ РАДИУСОМ ИЗГИБА ВИНТОВОЙ СПИРАЛИ

Ключевые слова: теплообмен, гидродинамика, математическая модель, винтовая спираль.

Предложена универсальная математическая модель гидродинамики и теплообмена при турбулентном течении несжимаемой вязкой жидкости в змеевиках с изменяющимся радиусом изгиба винтовой спирали.

Keywords: heat exchange, hydrodynamics, mathematical model, helical spiral.

Proposed universal mathematical model of hydrodynamics and heat transfer during turbulent flow of an incompressible viscous fluid in the coils with a varying radius of bending of helix.

Введение

Традиционно змеевиковые каналы применяются в качестве эффективных теплообменных элементов современных аппаратов теплообмена [1-7, 11]. Как показано [8], интенсификация этих процессов, в основном, вызвана поперечной циркуляцией среды в проточной части криволинейных каналов.

Известно [1], что такие каналы могут быть выполнены с цилиндрическими трубами и трубами на конус.

На рис. 1 представлен один из вариантов змееви-ковых аппаратов типа «труба в трубе», проточная часть которого выполнена на конус по винтовой спирали.

А (увеличено)

А

Рис. 1 - Змеевиковый аппарат типа «труба в трубе», выполненный на конус

В настоящее время в промышленности широко применяются змеевиковые аппараты [3], каждый из которых согнут по винтовой спирали и погружен в сосуд с жидкой средой. Методика тепло- и гидродинамических расчетов таких аппаратов широко описана в литературе [7, 9,10].

Однако, надежные методы инженерных расчетов, предлагаемых змеевиковых аппаратов типа «труба в трубе», в литературе отсутствуют.

В этой связи, весьма целесообразным является проведение широких теоретических и эксперимен-

тальных исследований гидродинамических и тепло-обменных процессов, протекающих в таких змееви-ковых аппаратах.

Математическая модель

Будем считать, что движение несжимаемой жидкости имеет стационарный, неизотермический и турбулентный характер. Плотность р, теплоемкость Ср и коэффициент теплопроводности X{ при движении жидкости в змеевиковых каналах меняется незначительно. Зависимость молекулярной вязкости ц от температуры Т может быть представлена в

E

R(T -70 )

где

-

E -

аррениусовском виде ) = ц0е молекулярная вязкость при температуре T0 энергия активации вязкого течения; R - универсальная газовая постоянная.

С целью использования геометрической симметрии змеевиковых каналов и предполагая, что радиус изгиба змеевика много больше диаметра канала используем специальную ортогональную систему координат, связанную с осевой винтовой линией с изменяющейся величиной радиуса изгиба, определяемой уравнением

р (ф) = a (ф) e (ф) + Kфк , или в координатной форме в виде

х = a (ф) cos ф, < y = a (ф) sin ф, z = K ф,

где р(ф) - радиус-вектор точки на осевой линии; e (ф) = i cos ф + j sinф; i, j, k - орты декартовой системы координат; к - единичный вектор, направленный по оси z ; ф - параметр винтовой линии;

S - шаг винтового канала; a (ф) - радиус

K = А ;

изгиба оси винтовой линии (рис. 2). Эта система координат является обобщение системы, полученной в [12] для случая осевой винтовой линии с постоянным радиусом изгиба.

Определяя векторы сопровождающего репера для данной осевой винтовой линии, и используя их в

качестве базисных векторов т, р, у , получим новые переменные b, ф, у , которые связаны с переменными декартовой системы координат x, y, z соотношениями

x = a (ф) cos ф + b (v x (ф) cos (у+ Э(ф) ) + Px (ф) sin (ф + б(ф) )) , y = a (ф) sin ф + b (v y (ф)ф cos (у + 0(ф)) + Py (ф) sin (у + 0(ф))) , z = Kф + b (vz (ф) фcos (у + 0(ф)) + Pz (ф) sin (у + б(ф) )) ,

где

Р =

ф

9(ф) = -|к(ф)d ф;

a' e (ф) + ag (ф) + Kk

v =

+ a2 + K2 K (-2a' e (ф) + (a'' - a) g (ф) )

I 2 +

JK2 (4 (a' )2 + (a'' - a)2 ) + (-a''a + 2 (a') 2 + a2)

(-a '' a + 2 (a') + a2) k K2 (4 (a^2 + (a'' - a)2 ) + (-a''a + 2 (a') 2 + a2) (K2 (a'' - a) - a'' a1 + 2 (a') 2 a + a3) e (ф)

a - 2 (a') - a2 - 2K2) g (ф) + Ka' (a + a'') k

a' (a''

v0 =

(k 2 (a'' - aj - a'' a2 + 2 (a') a + a3) +

+ (a')2 (a''a - 2 (a')2 - a2 - 2K2) + K2 (a')2 (a + a'') 2; ^=

(-2Ka' (a''' - 3a' j + K (a'' - a) (3a'' - a) )

4 (a')2 K2 + K2 (a'' - a)2 +(-a''a + 2 (a')2 + a2 )

- кручение осевой линии канала;

g (ф) = -i sin ф + j cos ф .

В частном случае линейного изменения радиуса изгиба канала

a (ф) = a0 + aooф ,

где a0 радиус изгиба канала на входе в канал; a00 -скорость изменения радиуса изгиба канала, получим следующие выражения для векторов сопровождающего репера

a00 e (ф) + ag (ф) + Kk _

т = ■

^a002 + a2 + K2

P =

K (-2a00 e (ф) - ag (ф) ) iJk2 (4a002 + a2) + (2a002 + a2) 2 (2a002 + a2) k .Jk2 (4a002 + a2) + (2a002 + a2) 2

v =

(- K2 a + 2a002 a + a3) e (ф)

>/v7

aдд (^о^ - a2 - 2K2)g (ф) + Ka00ak

(2 2 3 \2

-K a + 2a00 a + a ) + +a002 (-2a002 - a2 - 2K2) 2 + K2a002a2;

(6Kann2 + Ka2)

Ф) =--—00---Г •

4ann2 K2 + K2 a2 +(-2ann2 + a2)

В случае постоянного значения радиуса изгиба канала a (ф) = an, получим следующие выражения для векторов сопровождающего репера

= ^ ш(ф)+х:k ; ^ = -Kg(ф)+a¿; с =(ф);

т =

;(ф)=

K

K2 + a02

= const.

+8

Рис. 2 - Система координат

Для данной системы координат Ь, ф, ф имеем

следующие характеристики: 1. коэффициенты Ляме

Н ф =

л/с^Т

+ a +

K2 х(1 -

4 (a') 2 K2 + K2 (a'' - a)2 +(-a''a + 2 (a')2 + a2 j

J((a ')2 + a2 + K2) 3

xbcos(у + б(ф)),

Нуу= b, Hbb = 1;

В случае линейного изменения радиуса закругления

Нф a002 + a2 + K2 x

+

+

x

4a002 K2 + K2 a2 + (2a002 + a2)

2 2 a00 + a +

K2 -

b cos (у+ 8)

В случае постоянного радиуса закругления Г Л 1 ——-ттcos (у + 8)

Яф =Л/ a2 + K2

(a2 + K2)

Остальные коэффициенты Ляме такие же как в общем случае.

2. ненулевые символы Кристоффеля:

1 дИф 1 дИф рф _ ____ф рф _ рф _____ф

фф" иф дф ' фу" уф" иф ду '

ф

1 дИ ф рф _ рф _ ____ф

фь" ьф" Иф дь

фь ьф

И ф дИ

ру ___Ф__;

фф _ ь2

т-у _ ру _

1 — 1 hu, —

1

уь by ь 5

дИ ф

ду

pb _ _ H 'ф pb _ _b

' фф _ ф дЬ уу ~

В выбранной системе координат уравнения движения, неразрывности и переноса количества энергии примет вид

1 ( д / _ \ д /„ _

Р

и фь l дф

1 Гд

и фь l дЬ

дР 1

дф И фь

ду

( 2ьу,у,

И b Ub' ф b <ф"1 <ф> <ф> и дф

))

1 дИф _ V V 1 ф

(Т -))+-|(( 2Т уф))

i-Г-д-i

--1 —К Т \

ифь Ub' ф <Ьф>

_ Т

(фф)

д_

ду

дИф

Иф дф

ИфЬ ф V Л+^М у V у-

+Р

— (bVV

>))

1 дИф _ V V 1 ф

ИфйГаЫ'^ «/j-»»иф ду

ду+ИфЬ (¿К *)+£(( „))+'

иь lb ф <ьу>'! (

ду

1 дИф

Р

+Р

1

ду '

К V )+{у(иу))

д („,„ „ \Л „ „ 1 дИ

ИфЬ удф

—(hJjv.v* I 1_V V

Ифlb фw

д л \ д

W» и дb ь

дР 1 - +

5b ИфЬ ^ Кч ) + ду( - + и:ф[;1(ифьт(»ч т 1 дИ

Иф дЬ b '

-дфКь )+ду;КИф)+| (рьИ.Ь)_ о.

где Т(а) _ 2(М- + М-, , ('' _ф, у, Ь; У _ф, у, Ь) - физические компоненты девиатора тензора напряже-

ний; , (/' _ ф, у, Ь) - физические компоненты вектора скорости;

% _1 ((К)>+КТ )), (' _ ф, ^у _ ф, у, ь) -

физические компоненты тензора скоростей дефор-

мации:

Dw> дф

Г V ф>1 1 дИ ф V ф) 1 дИ ф V

М

iИ)

»

_L HL VbL

Иф 5Ь 1

Иф дф Иф Иф ду b (у)

D( уу

Г д Г 1 Vb)Л

ду

lИ у)

+—

b 1

^ Г V- ^

Db^ _

5Ь

l 1

lii 1

D(w) D(уф)

//

1 _b_

2 Иф

Г дГ V^l hlhl ^

b2 ду Иф

дф

+1 Иф

2b

гаг

ду

l v / V ^^ 1 дИф V ф}

lИф)

к(ф)

л

D(фб) D{b<?) 2 и

Иф ду Иф

1 1 Г д г у,л л

дф

1W 1

иф дИф V ф>

12 5Ь Иф

.1 Иф 2 1

Г дГ1 дИф

5Ь

И ф

l V f у

Иф 5Ь Иф

Dу^ 2 b

Г д ГV.Л

ду

1

l )

12 b

1 b

2 1

Г

5Ь

l l

V

(у)

Л+1 Л b b

рс f-^(bV, т)+—(v хт)+—(Яфьк/мт)

f р 1 ^ ' ди ф {у) ' дМ ф b /

дф

дф

b _дТ Иф

л

ду

/л л \Иф дТ

л

( )и фь ^^

5ь ^ ф 5ь

- турбулентная вязкость; X, _

Pr,

■ коэффици-

ент турбулентной теплопроводности; Рг( - турбулентный аналог числа Прандтля, об^гчно полагаемый равным константе

(РГ _ 0.9); V' - тензор градиента скоростей; У¥Т - транспонированный тензор градиента скоростей.

К данной системе осредненных по Рейнольдсу уравнений следует добавить уравнения, определяющие модель турбулентности. В последнее время все большую популярность приобретает модель турбулентности Ментера[14,15], которая имеет преимущества как к — е модели, так и к — ш модели.

В выбранной системе координат уравнения переноса кинетической энергии турбулентности к запишется как

Р

( 8 (, ч b 8kЛ 8ф( Н - 8-

Н- _8к b 8ф

рШ(< ф к ьЭФМ ^к м(я ф^) ■эф^ м

+ | + Д )ЯФЬ | ) + Рк -РР'Юк'

а для удельной диссипации ш, которая связана с кинетической энергией диссипации к и изотропной диссипацией Б соотношением е = С„кю в виде

р(—(bv хю)+—(hv хю)+—(h-v а/ , \ /— „л

>>и

8-

8

g-- 8-(ц + СТкц,) 8ю

8 (ц + ^кц,) (Ц + Сткц,) 8ю

8ф

Л

8ф

Л

__Y „ „„„2

--+р " -'-<"

8b I

+ (1 - F )Dha,

В этих выражениях введены следующие обозначения

F2 = tanh (arg2), arg2 = max F = tanh ( arg4 ),

(

500v

Л

0,09ad d2 a

argj = mm

4k 500v

4Pmk°alk

CDkad2

0,09®d d a

ч У

ф = +(1- F )<t>2^={cJk ,oa, ß),

CDa = max (,10-20), Dkm = (Vk )(Va) ,

CTk1 = 0,85; ста1 = 0,5; ß1 = 0,075 ; crk 2 = 1,0;ста2 = 0,856; ß2 = 0,0828;

ß' = 0,09;к = 0,41;a1 = 0,31;^ = ß/ß*-июк1 ;

d - расстояние до ближайшей стенки канала. Расстояние d от стенки определяется геометрически. Генерационный член Pk определяется по формуле

Pk = min (S 2,20ß'psmka),

где S = V2,rD2 - второй инвариант тензора скоростей деформаций D = (V V + V V7) /2 .

Для определения турбулентной вязкости используется соотношение

a,k

V, = P-

max (a,®, QF2j ^ max (со, SF2 / a, j где a, = 0,31, D. = 42trW2 - второй инвариант тензора завихренности W = {VF - VFr j /2 .

Для S в выбранной системе координат получим следующее выражение

S 2 = 2trD2 = 2 2 + 2 D^2 + 2 D{№) 2 +

+4D{ w) + 4D{ + 4D{i^) '

Для Q в выбранной системе координат получим следующее выражение Q2 = 2trW2 = 2W ,2 + 4W + 4W 2

(-ф)

где

W-ф) W w—>

1Н-2 b

(з( V-Л 1 8Н- V -)Л

8ф

1 _b_

2 Н—

( . ( V Vw.

8—

V v у

1 Н

W Л =-W,.,=---

(-b) (ъ-) 2 1

Ж

V Н У

HÄ Vi

b2 8w H-

H- 8w H-

Л

V 1 8H- V

Ц_ 2 H-

V Н-У

Н- 8b Н-

8 (Vb) Л Н- 8Н- V

8-

V V /

W м = -W,. , =1 -

(фъ) 2 1

12 8b Н-( 8 ( V Л

8b

»

11 "2 b

V

v Ч ^

.1 b b

8w

1

b V,

w 2 b

а в^1ражение для Vk Va примет вид

1 8k 8ю 1 8k 8ю 8k 8ю

Яф2 Эф Эф Ь2 Эф Эф ЭЬ ЭЬ

В большинстве случаев возникает необходимость учета процессов переноса тепла в стенках теплообменного оборудования.

_Э_

8-

Xwb 8Tw

Н "8-

Л

8

8

8ф 8T 87

( XWH- 8T„,

8ф

b = 0.

+—I X Я >

ЭЬ | " ф ЭЬ ЭЬ

К представленной системе уравнений необходимо добавить условия однозначности [13]: - задание расхода Q через поперечное сечение канала

¿ д п.

Q = JJv( - bdbd ф:

где Я - внутренний радиус канала;

- условия прилипания жидкости на внутренней стенке каналов и условия на стенке канала для к, ш

при ф0 <ф<ф1,0 <ф< 2 л, Ь = Я

V, , = V , = ¥/Л = 0 , к = 0, ш = 10 бЦ , Н Ь ' ' рРх АУх

где ф0 - значение координаты ф на входе в канал;

Фх - значение координаты ф на выходе из канала;

Ду1 - величина первого пристеночного шага сетки;

- условия для к, ш на входе в канал при ф = ф0,0 <ф< 2л,0 < Ь < Я

CV , —

ш = С-, к = д, ш ,

2 Я

где С = 1 +10; V - среднерасходное значение скорости; д - осредненное по сечению значение турбулентной вязкости;

- условия непрерывности полей температуры и теплового потока на внутренней стенке канала

при ф0 <ф<ф1,0<ф<2л,Ь = Я

Т=Т, -X . ^ = -X ;

" / ЭЬ ЭЬ

- граничное условие третьего рода на внешней стенке канала

при ф0 <ф<ф1,0 < у < 2 л, Ь _ R + 5

_X f — _ aDT ,

f дЬ

где 5 - толщина стенки канала; ШТ _ To _ Tw; To -температура окружающей среды; a - коэффициент теплоотдачи, характеризующий теплообмен между стенкой и окружающей средой;

- задание температур жидкости и стенки на входе в канал

при ф_ ф0,0 <у< 271,0 < Ь <R Т _ Т0 _ const,

при ф_ф0,0 <у< 2л, R < Ь < R +5 Tw _ Т0 _ const,

где Т0 - постоянная температура жидкости и стенки канала;

- на выходе из канала для ставятся так называемые мягкие условия

при ф_ф;,0 <у< 2л,0 <Ь <R

%} _ 1 (ф, у,Ь-,_ 1 (ф, у,Ь-,

_ 1 ^ у, Ь), т _ To, k _ k1 (ф,у, b), ю _ <вj (ф, у, b),

где величины с индексом 1 относятся к решению задачи при условии изотермичности потока жидкости;

при ф _ ф0,0 <у< 2л, R < Ь < R +5 Tw _ To _ const;

- давление жидкости на входе.

Выводы

Предложенная математическая модель является универсальной, позволяющей описать процессы сопряженного теплообмена в целом классе змееви-ковых аппаратов:

- в случае изменяющегося радиуса изгиба винтовой трубы a _ a(ф) - в аппарате на конус;

- при a(ф) _ const - в цилиндрическом аппарате. Разработанная математическая модель позволит

исследовать сложную гидродинамическую обстановку и процесс теплообмена в змеевиковых аппаратах как с изменяющимся, так и неизменяющимся радиусом изгиба винтовой трубы.

Расчеты, проведенные на основании предложенной модели, позволят определить гидродинамические и температурные поля, перепады давления, необходимые для разработки надежных методов

инженерного расчета змеевиковых теплообменных

аппаратов типа «труба в трубе».

Литература

1. Багоутдинова А.Г., Золотоносов Я. Д. Змеевиковые теплообменники и их математическое описание. // Известия вузов. Строительство. -2015. -№7. - С. 44-54.

2. Багоутдинова А.Г., Золотоносов Я.Д., Князева И.А. Современные змеевиковые теплообменные аппараты типа «труба в трубе». / Материалы конференции IX Семинар вузов по теплофизике и энергетики. Казань. -2015. - С. 85-94.

3. Гортышев Ю.Ф. Теплогидравлическая эффективность перспективных способов интенсификации теплоотдачи в каналах теплообменного оборудования / Ю.Ф. Гортышев. - Казань: КГТУ, 2009. - 530 с.

4. Назмеев Ю.Г. Гидродинамика и теплообмен закрученных потоков реологически сложных сред / Ю.Г. Назмеев. - М.: Энергоиздат., 1966. - 368 с.

5. Патент РФ №133596 на полезную модель МПК F28D7/10. Змеевиковый теплообменник / Золотоносов А.Я., Золотоносов Я.Д., Князева И.А., Багоутдинова А.Г. -№2013113048/06, заявл. 22.03.13; опубл. 20.10.13; Бюл. 29.

6. Патент РФ №126813 на полезную модель МПК F28D7/00. Змеевиковый теплообменный элемент / Золотоносов А.Я., Золотоносов Я.Д., Гуков В.Н., Шарипов Н.М. -№2012148492/06, заявл. 14.11.12; опубл. 10.04.13; Бюл. 10.

7. Аронов И. З. Теплообмен и гидравлическое сопротивление в изогнутых трубах: Дисс. канд. техн. наук / И.З. Аронов. - 1950. - 130 с.

8. Леонтьев А.И., Олимпиев В.В. Теплофизика и теплотехника перспективных интенсификаторов теплообмена (обзор) / А.И. Леонтьев, В.В. Олимпиев // Известия академии наук. Энергетика. - 2011. - № 1. - С. 7-35.

9. Щукин В.К. Обобщение опытных данных по теплоотдаче в змеевиках / В. К. Щукин // Теплоэнергетика. -1969. - № 2. - С.50-53.

10. Щукин В. К. Дополнительные условия подобия потоков в поле массовых инерционных сил / И. И. Щукин // Труды КАИ. - 1963. - Вып. 76. - С. 40-45.

11. Сухов Е.В. Совершенствование конструкций и метода расчёта компактных спирально-змеевиковых узлов охлаждения компрессорных агрегатов: Автореф. дисс. канд. техн. наук / Е.В. Сухов. - Омск: 2012. - 17 с.

12. M. Germano. The Dean equations extended to helical hihe flow. J . FluidMech. (1989), vol. 203, p p . 289-305.

13. Багоутдинова А.Г., Золотоносов Я. Д. Математическая модель сопряженной задачи теплообмена при турбулентном течении в каналах сложной геометрии // Известия КГАСУ, 2013. №2 (24). - С. 157-167.

14. Menter F. R. Zonal two-equation к — га turbulence models for aerodynamic flows, AIAA-Paper 1993-2906.

15. Menter F. R., Kuntz M., and Langtry R. Ten Years of Industrial Experience with the SST Turbulence Model, Turbulence, Heat and Mass Transfer 4, ed: K. Hanjalic, Y. Nagano, and M. Tummers, Begell House, Inc., 2003, pp. 625 -632.

© Е. К. Вачагина, д.т.н., проф., зав. лаб. теплофизических исследований, Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Казанский научный центр Российской академии наук, vachaginae@mail.ru; А. Г. Багоутдинова, к.т.н., доцент, К(П)ФУ, bagoutdinova@rambler.ru; Я. Д. Золотоносов, д.т.н. проф. каф. «Графическое моделирование» КГАСУ, Zolotonosov@mail.ru; И. А. Князева, аспирант, инженер той же кафедры, iraida_knyazeva@mail.ru.

© E. K. Vachagina, Doctor of Engineering Sciences, Head of Laboratory Thermophysical investigation, Professor, Kazan scientific center Russian Academy of Sciences, vachaginae@mail.ru; A. G. Bagoutdinova, candidate of Technical Sciences, Docent, Department of Economical and Mathematical Modeling, Kazan (Volga region) Federal University, bagoutdinova@rambler.ru; Ya. D.h Zolotonosov, Doctor of Technical Sciences, Professor, Department of Graphical Modeling, Kazan State University of Architecture and Engineering, Zolotonosov@mail.ru; I. A. Knyazeva, postgraduate student, Department of Graphical Modeling, Kazan State University of Architecture and Engineering, iraida_knyazeva@mail.ru.