CC BY
1
DOI: 10.53078/20778481_2023_3_26 УДК 539.4: 666.3
И. М. КУЗМЕНКО, канд. техн. наук, доц. В. А. ПОПКОВСКИЙ, канд. техн. наук, доц. А. Д. КРИЖЕВСКИЙ
Белорусско-Российский университет (Могилев, Беларусь)
СОПРОТИВЛЕНИЕ РАЗРУШЕНИЮ КОНСОЛЬНОЙ БАЛКИ С КРАЕВОЙ ТРЕЩИНОЙ НА ПОВЕРХНОСТИ
Аннотация
Представлен анализ сопротивления разрушению консольной балки с трещиной, расположенной вблизи заделки. На основе методов механики разрушения определены критические параметры, характеризующие особенности разрушения балки при различных температурах. Ключевые слова:
трещина, критические напряжения, коэффициент интенсивности напряжений, эффективная длина трещины, конечно-элементная модель. Для цитирования:
Кузменко, И. М. Сопротивление разрушению консольной балки с краевой трещиной на поверхности / И. М. Кузменко, В. А. Попковский, А. Д. Крижевский // Вестник Белорусско-Российского университета. - 2023. - № 3 (80). - С. 26-34.
Введение
Основным конструктивным несущим элементом большинства строительных конструкций являются балки с различным поперечным сечением. Одним из часто встречающихся дефектов являются трещины на поверхности различного происхождения.
Механические свойства материала балки и условия ее эксплуатации в значительной степени сказываются на характере разрушения и значениях коэффициента интенсивности напряжений (КИН) и эффективной длины распространяющейся трещины.
Рассмотрена консольная балка прямоугольного поперечного сечения высотой В и основанием г, которая нагружена на конце консоли силой ¥ (рис. 1). Длина балки Ь. Материал балки - низколегированная сталь 15ХСНД.
В результате обследования на расстоянии а от заделки обнаружена краевая трещина длиной I.
Балка работает на поперечный из-
гиб. Длина балки Ь значительно больше ширины сечения г, поэтому действием поперечных сил и, соответственно, касательных напряжений пренебрегаем. Используем известные из классического курса «Сопротивление материалов» расчетные зависимости. Из условия прочности по нормальным напряжениям при изгибе для прямоугольного сечения
6 • ¥ • Ь
^тах
г • В2
(1)
Балка выполнена из пластичного материала - низколегированной стали 15ХСНД [5, табл. 2.1, с. 103], имеющей механические характеристики (табл. 1).
Расчет коэффициента интенсивности напряжений (КИН) ведется на основе известной формулы Гриффитса [1-6] с учетом поправочной функции /к:
К = • /к,
(2)
| Кузменко И. М., Попковский В. А., Крижевский А. Д., 2023
где I — длина краевой трещины; о - величина приложенного в сечении нор-
мального напряжения.
Рис. 1. Консольная балка прямоугольного сечения с краевой трещиной вблизи заделки Табл. 1. Механические характеристики низколегированной стали 15ХСНД
Температура испытания, К Условный предел текучести о0 2, МПа Предел прочности оВ, МПа Относительное удлинение, % Относительное сужение, % Ударная вязкость, 102 кДж/м2 Критический КИН Кс, МПа %/м
293 320 510 33 68 9...15 45
253 340 550 34 65 6...11 59
233 350 570 35 64,6 3.5 66
Если длина трещины мала по сравнению с высотой сечения балки, то такая трещина является трещиной нормального отрыва [1]: I = 0,02 м << В = 0,2 м.
Значения поправочной функции определяются или непосредственно по таблицам в зависимости от относительной глубины трещины X = I / В, или расчетом по приближенной формуле:
/К = с0 + с11 + с212 +
+ с313 + ... + с 1п,
3 п ?
(3)
где с0, с1, ..., сп — коэффициенты [1]. Образование зоны пластических
деформаций вблизи трещины (при квазихрупком разрушении) приводит к увеличению ее длины по сравнению со случаем упругих деформаций. При определении эффективной длины трещины учитывается протяженность зоны пластического деформирования вблизи вершины этой трещины.
Расчет КИН и критической длины трещины с учетом длины зоны пластической деформации трещины 1пл. д. (по Ирвину и Оровану) или, что то же, по эффективной длине 1эфф. (рис. 2):
эфф.
,2\
1 + 0,5
а
тр.
V а0,2 У
(4)
Рис. 2. К определению эффективной длины трещины
Основная часть
Выполним проверку прочности балки при отсутствии трещины и определим, насколько опасна выявленная трещина в различных температурных условиях.
1. Проведем проверку прочности балки при отсутствии трещины для заданных исходных данных, при температуре эксплуатации Т = +20 °С и величине допускаемого напряжения стали [о] = 250 МПа.
2. Определим, насколько опасна выявленная трещина.
2.1. При нормальной температуре эксплуатации балки (Т = +20 °С).
2.2. При понижении температуры до Т = -20 °С.
3. Проведем расчет балки на основе метода конечных элементов.
Порядок выполнения.
1. Проверка прочности балки при отсутствии трещины.
Проверка прочности осуществля-
ется для опасного сечения балки, в котором изгибающий момент будет максимальным (в заделке, где Мтах = ¥Ь). Максимальные нормальные напряжения отах действуют в слоях, наиболее удаленных от нейтрального слоя (оси X). В соответствии с (1)
а =-
6-12-103 • 2 0,02 • 0,22
= 180 МПа.
Прочность балки обеспечена: 180 МПа < 250 МПа.
2. Определяем уровень опасности выявленной трещины.
Проверяем выполнение требований к геометрическим размерам: Ь = 2 м >> В = 0,2 м; В = 0,2 м > 5г = = 0,1 м; Ь = 2 м > 10г = 0,2 м. Требования соблюдаются.
Таким образом, данная балка может рассматриваться как полоса ограниченных по высоте размеров с краевой трещиной, нагруженная нормальными напряжениями от изгиба.
2.1. Выясняем, насколько опасна трещина при нормальной температуре эксплуатации балки (Т = +20 °С). Определяем величину коэффициента интенсивности напряжений (КИН) и критическую длину трещины.
По условию данной задачи
I _ 20Л01 _ 0,,.
В 0,2
Для полосы ограниченных размеров с краевой трещиной нормального отрыва [6, П 2, с. 388] при значениях X < 0,7 поправочная функция в соответствии с (3) равна
/к = 1,12 — 1,39 X + 7,3 X2 — — 13,0Х3 + 14,0Х4; /к =1,12 — 1,39 0,1 + 7,3 0,12 —
— 13,0 0,13 + 14,00,14 = 1,04.
По формуле (2) определяем значение коэффициента интенсивности напряжений (подставляя максимальное значение напряжения для сечения, в котором расположена трещина) и сравниваем его со значением критического КИН (вязкости разрушения) Кс.
Значение максимального напряжения рассчитываем по формуле (1), определив максимальный изгибающий момент в сечении, где расположена трещина (см. рис. 1). При этом высота поперечного сечения уменьшилась на значение длины трещины I, т. е. вместо высоты сечения В в формулу (1) подставляем (В — I):
Мт; = F -(Ь - а);
ат, _ 6 •F-(Ь - а) _
тах г-(В -1) 6 • 12 • 103-(2 -100-10-3) 0,02- (0,2 - 20 • 10-3 )2
_ 211,1 МПа.
Следует отметить, что при определении максимальных напряжений не учитывалось увеличение этих напряжений за счет влияния достаточно «острого» концентратора (в вершине трещины).
Отношение значений напряжений указывает на хрупкое разрушение [1]:
а
а
211,1 320
_ 0,66 < 0,70,
поэтому КИН определяем по формуле Гриффитса.
Значения критического КИН К1с и условного предела текучести 00,2 определяем по табл. 1 для температуры плюс 20 °С.
В вершине трещины имеем плоское деформированное состояние, т. к.
Г Кю V Г 45 >|
Ча0,2 У
V 320 у _ 0,0198 м< г _ 0,02 м.
Поэтому в формулу для расчета коэффициента интенсивности напряжений К вводим множитель (1 — V2), где V — коэффициент Пуассона (для стали 15ХСНД примем V = 0,26).
Тогда для условия нашей задачи
к (1 -V2 )/к _
211,1^3,14- 20 -10-3 (1 - 0,262) х 1,04 _ 53,1 МПа>/м.
Безопасность не обеспечивается: К = 53,1 МПаТм >К1С = 45 МПал/м.
Критическая длина трещины для плоского деформированного состояния (ПДС)
1с =•
К
1С
л
(<Сах ) (1 "V2 )/
452
3,14 • 211,12 •(" 0,262) • 1,042 = 0,0144 м.
Выявленная трещина (для ПДС) является опасной, т. к. ее длина превышает критическую длину: / = 0,02 м > 1с = 0,0144 м.
Уточним величины КИН и критической длины трещины с учетом существования зоны пластических деформаций в вершине трещины (по величине /эфф.).
Безопасность эксплуатации балки определяем по коэффициенту интенсивности напряжений, сравнивая его значение с Кс материала при заданной температуре. Коэффициент интенсивности напряжений К определяем по эффективной длине трещины /эфф.:
(
^эфф. = 1
1 + 0,5
( _тр.
ат„
2 Л
(
=20•10
1 + 0,5
V а 0,2 у
211,1 320
2 Л
V 4 ' /
= 0,0244 м.
В случае плоского деформированного состояния, с учетом существования
КI =а ^ л/эфф.' (1 "V2) • /
1К
211,1^3,14 • 0,0244(1" 0,262) х 1,04 = 58,7 МПал/м.
Коэффициент интенсивности напряжений значительно превышает его критическое значение: К >> Кс. Расчет показывает, что потенциально возможно разрушение балки с выявленной трещиной.
Прежде чем окончательно установить уровень опасности трещины при эксплуатации балки, необходимо разобраться в том, по какой причине появилась трещина, как она выросла до значения /эфф., не продолжится ли ее рост из-за усталости или коррозии и как скоро длина трещины может достигнуть критических размеров.
2.2. Выясняем, насколько будет опасна трещина при понижении температуры до Т = -20 °С. При понижении температуры разрушение также развивается по квазихрупкому механизму.
Величину поправочной функции /к определили ранее с учетом отношения X = / / В.
По данным табл. 1 определяем:
- критический коэффициент вязкости разрушения К1С для стали 15ХСНД, при температуре минус 20 °С К1С = 59 МПал/м;
- условный предел текучести 00,2, при этой же температуре 00,2 = 340 МПа.
Расчеты проводим по аналогии с п. 2.1.
Проверяем, какое из условий (ПНС (плоское напряженное состояние) или ПДС) будет выполняться:
(
К
у
1С
Ча0,2 У
Г 1
V 340 у
= 0,0301м > г = 0,02 м.
Следовательно, вершина трещины находится в условиях ПНС.
По отношению напряжений определяем вид разрушения:
Сх 211,1
а
0,2
340
= 0,62 < 0,70.
2
3
Разрушение хрупкое, используем формулу Гриффитса для ПНС без учета длины зоны пластического деформиро-
вания:
КI _ат^-/ж _ 211,1 х л/3,14-20-10-3 -1,04 _ 55,0 МПа>/м;
При учете длины зоны пластического деформирования
^эфф. _ ^
^ т„ \
2 Л
1 + 0,5
а
тр.
V а0,2
_ 20-10
-3
1 + 0,5
^211,02 Л
V 340 у
_ 0,0238 м;
1с _
к
к
Цатрх) / 592
3,14-211,12 -1,042
_ 0,0239 м.
Эксплуатация балки является опасной, т. к. значения КИН и длины трещины достаточно близки к их критическим значениям:
К1 = 55,0 МПал/м < KIс = 59 МПа^м ;
! = 0,02 м < к = 0,0239 м.
КI _атрх7Чфф. ■ /1к _ _ 211,^3,14-0,0238 -1,04 _ _ 60,0 МПал/м.
В этом случае эксплуатация балки с трещиной заданного размера является еще более опасной.
3. На основе метода конечных элементов, реализованного в пакете прикладных программ SolidWorks, выполнен численный анализ напряженно-деформированного состояния балки с трещиной [12]. Конечно-элементная модель балки показана на рис. 3.
2
При формировании модели использовалась процедура формирования конечно-элементной сетки под управлением с целью измельчения ее в области расположения трещины, поскольку в данной зоне имеются значительные градиенты напряжений (рис. 4).
Результаты расчета напряженно-деформированного состояния данной балки приведены на рис. 5.
Величина напряжений в вершине трещины более 200 МПа (рис. 6), что соответствует результатам теоретических расчетов.
Рис. 4. Конечно-элементная сетка в области балки с трещиной
Рис. 5. Эпюра распределения напряжений, перпендикулярных к поперечному сечению балки с трещиной
Рис. 6. Распределение напряжений в вершине трещины
Выводы
При отсутствии трещины для заданных механических свойств стали при температуре эксплуатации Т = +20 °С и величине допускаемого напряжения стали [о] = 250 МПа исследуемая балка имеет достаточный запас прочности.
При положительной температуре Т = +20 °С в вершине трещины реализуется ПДС. Безопасность балки не обеспечивается, т. к. КИН составляет К = 53,1 МПа>/м при его критическом значении Кс = 45 МПа 4м . Выявленная трещина (для ПДС в вершине трещины) является опасной, т. к. ее длина / = 0,02 м превышает критическую длину /с = 0,0144 м. Коэффициент интенсивности напряжений значительно превышает его критическое значение. Потенциально возможно разрушение бал-
ки с выявленной трещиной.
При понижении температуры до Т = -20 °С разрушение развивается по квазихрупкому механизму, вершина трещины находится в условиях ПНС. Эксплуатация балки является опасной, т. к. значения КИН и длины трещины достаточно близки к их критическим значениям: К = 55,0 МПа^м < К1С = = 59 МПа >/м; / = 0,02 м < /с = 0,0239 м. С учетом длины зоны пластического деформирования эксплуатация балки с трещиной заданного размера является еще более опасной: К1 = 60 МПал/м, /эфф. = 0,0238 м.
Численный анализ напряженно-деформированного состояния балки с трещиной в среде SolidWorks показал, что величина напряжений в вершине трещины соответствует результатам теоретических расчетов.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Кузменко, И. М. Механика разрушения: учебное пособие / И. М. Кузменко. - Могилев: МГТУ, 2001. - 172 с.
2. Партон, В. З. Механика упругопластического разрушения. Основы механики разрушения: учебное пособие / В. З. Партон, Е. М. Морозов. - 3-е изд., испр. - Москва: ЛКИ, 2008. - 352 с.
3. Работнов, Ю. Н. Введение в механику разрушения / Ю. Н. Работнов. - Москва: Наука, 1987. - 80 с.
4. Пестриков, В. М. Механика разрушения твердых тел. Курс лекций / В. М. Пестриков, Е. М. Морозов. - Санкт-Петербург: БХВ-Петербург, 2002. - 320 с.
5. Механика разрушения и прочность материалов: справочное пособие: в 4 т. / Под общ. ред. В. В. Панасюка. - Киев: Наукова думка, 1990. - Т. 3. - 436 с.
6. Пестриков, В. М. Механика разрушения на базе компьютерных технологий. Практикум / В. М. Пестриков, Е. М. Морозов. - Санкт-Петербург: БХВ-Петербург, 2007. - 464 с.
7. Александров, А. В. Сопротивление материалов: учебник / А. В. Александров, В. Д. Потапов, Б. П. Державин. - 2-е изд., испр. - Москва: Высшая школа, 2000. - 560 с.
8. Окопный, Ю. А. Механика материалов и конструкций: учебник / Ю. А. Окопный, В. П. Радин, В. П. Чирков. - 2-е изд.? доп. - Москва: Машиностроение, 2002. - 436 с.
9. Писаренко, Г. С. Справочник по сопротивлению материалов / Г. С. Писаренко, Ф. П. Яковлев,
B. В. Матвеев. - 5-е изд., перераб. и доп. - Киев: Дельта, 2008. - 816 с.
10. Подскребко, М. Д. Сопротивление материалов: учебник / М. Д. Подскребко. - Минск: Вышэйшая школа, 2007. - 797 с.
11. Старовойтов, Э. И. Сопротивление материалов: учебник / Э. И. Старовойтов. - Москва: Физ-матлит, 2008. - 384 с.
12. Кузменко, И. М. Оценка трещиностойкости элементов конструкций, имеющих дефекты в виде трещин / И. М. Кузменко, В. А. Попковский, А. Д. Крижевский // Материалы, оборудование и ресурсосберегающие технологии: материалы Междунар. науч.-техн. конф. - Могилев: Белорус.-Рос. ун-т, 2023. -
C. 139-140.
Статья сдана в редакцию 9 июня 2023 года
Контакты:
kuzmenko_im43@mail.ru (Кузменко Игорь Михайлович); viktorpopkovski@mail.ru (Попковский Виктор Александрович); kararkas@mail.ru (Крижевский Андрей Дмитриевич).
I. M. KUZMENKO, V. A. POPKOVSKY, A. D. KRIZHEVSKY
FRACTURE RESISTANCE OF THE CANTILEVER BEAM WITH AN EDGE CRACK ON THE SURFACE
Abstract
An analysis of fracture resistance of a cantilever beam with a crack located near the embedment is presented. Based on the methods of fracture mechanics, critical parameters characterizing features of the beam fracture at different temperatures are determined. Keywords:
crack, critical stresses, stress intensity factor, effective crack length, finite element model. For citation:
Kuzmenko, I. M. Fracture resistance of the cantilever beam with an edge crack on the surface / I. M. Kuzmenko, V. A. Popkovsky, A. D. Krizhevsky // Belarusian-Russian University Bulletin. - 2023. - № 3 (80). -P. 26-34.
