CC BY
19
Наука й Образование
МГТУ им. Н.Э. Баумана
Сетевое научное издание
1ЭЗМ
Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2017. № 04. С. 1-15.
Б01: 10.7463/0417.0001150
Представлена в редакцию: 17.03.2017 Исправлена: 31.03.2017
© МГТУ им. Н.Э. Баумана
УДК 539.3;519.6
Сопоставление способов идентификации матрицы масс конечного элемента осесимметричной оболочки, ограниченной жесткими торцами
Низаметдинов Ф.Р.1'*, Сорокин Ф.Д.1 'мше^Щд
:МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия
В работе рассмотрены различные алгоритмы идентификации массово-инерционных характеристик конечного элемента оболочки, ограниченной жесткими торцами, применяемого при моделировании протяженных участков осесимметричных оболочечных конструкций с произвольной формой образующей, заключенных между поперечными фланцами (согласованная и несогласованная матрица масс, алгоритм частотной идентификации, идентификация по собственным формам). При выполнении численных экспериментов было установлено, что рассмотренные алгоритмы получения массово-инерционных характеристик элемента имеют ряд ограничений, и результат идентификации существенно зависит от выбранного способа идентификации. Этот факт необходимо иметь в виду при выборе того или иного способа идентификации.
Ключевые слова: матрица масс; конечный элемент; собственная частота; функции формы; форма колебаний; идентификация; осесимметричная оболочка
Введение
Осесимметричные оболочки, ограниченные жесткими торцами, широко применяются как в авиационной, так и в наземной технике, например, в качестве корпусных деталей газотурбинных установок, заключенных между поперечными фланцами. При решении задач линейной статики и модального анализа для сложных конструкций, содержащих в себе оболочки, ограниченные жесткими торцами, нередко применяют прием замены протяженного участка конструкции одним обобщенным элементом с некоторыми предварительно рассчитанными массово-инерционными и жесткостными характеристиками. Это направлено на уменьшение затрачиваемых вычислительных ресурсов, а, следовательно, и времени расчетов. Если в случае жесткостных характеристик все очевидно, так как с использованием численного интегрирования системы дифференциальных уравнений оболочки вращения элементы матрицы жесткости находятся точно, то получение массово-инерционных характеристик требует отдельного рассмотрения. В данной работе пред-
ставлены различные способы идентификации матрицы масс конечного элемента (КЭ) оболочки, ограниченной жесткими торцами, применяемого для моделирования тонкостенных осесимметричных элементов роторных машин, заключенных между поперечными фланцами. Также проведено их сопоставление (все алгоритмы реализованы на С++ и Wolfram Mathematica). Рассматриваемый элемент имеет 12 степеней свободы (рис.1). Для наглядности на рисунке 1 изображена коническая оболочка постоянной толщины, однако рассматриваемый в данной работе КЭ может иметь произвольную форму образующей и переменную толщину вдоль образующей.
Рис.1. Геометрия элемента. /-длина элемента (вдоль оси 2), гь г2-радиусы срединной поверхности в сечениях 1 и 2 соответственно, И-толщина оболочки
1 Согласованная матрица масс
При расчете конструкций методом конечного элемента (МКЭ) чаще всего рассматриваются два варианта матрицы масс конечного элемента - диагональная и согласованная. Диагональная матрица масс характерна для многомассовых систем. В системах с распределенной массой диагональные матрицы если и используются, то только лишь с целью ускорения расчетов [1, 2]. При этом диагональная матрица масс всегда дает заниженные значения собственных частот. Зенкевич в своей работе [3] рассуждает о матрицах масс (диагональной и согласованной) и завершает рассуждение словами, что согласованная матрица масс «...является единственно допустимой матрицей, используемой в расчете». В данной работе диагональная матрица масс не рассматривалась.
При получении согласованной матрицы массы для аппроксимации распределения ускорений по КЭ используются те же функции, что и для аппроксимации перемещений при получении матрицы жесткости, поэтому матрица масс получается недиагональной.
Матрица функций формы [Н] для рассматриваемого конечного элемента имеет размерность 3x12 [4] и содержит функции перемещений, соответствующие нулевой и первой гармонике разложения в ряд Фурье:
# С^)
№,<)]{а( е)}
3x12
< Л (^ф) V
где %($,ф) ,ц($,ф), v(s, ф) - радиальное, осевое и окружное перемещения соответственно;
а(е) - вектор узловых перемещений.
Элементы матрицы [Щ^,ф)] в отличии от [4] находились численным интегрированием системы дифференциальных уравнений оболочки вращения, поэтому для задач статики их можно рассматривать как точные.
Согласованная матрица масс может быть построена следующим образом [5-7]:
2п
[М] = | [Ы]т рЫ]с1У = 11 [Ы]т р[Ы]кгс1фс18,
Т „
где к—толщина оболочки, [Н] - транспонированная матрица функций формы, р-плотность материала оболочки, г-радиус срединной поверхности, отсчитываемый от оси 2.
В качестве тестовой решалась задача определения собственных частот конической оболочки, изображенной на рисунке 2, со следующими параметрами:
• модуль упругости Е=2.1-1011 Па;
• коэффициент Пуассона ц=0.3;
• радиус г1=0.2 м, г2=0.4 м;
• толщина стенки И= г2/50;
• высота /=2 г2;
• плотность р=7850 кг/м .
Рис. 2. Геометрия конической оболочки для тестовой задачи
Результаты решения были сопоставлены с решением аналогичной задачи в конечно-элементном комплексе Ansys. Результаты представлены в таблице 1.
Таблица 1. Сравнение частот при использовании согласованной матрицы масс
№ С++ (согласованная) С++ (несогласованная) Ашуз ^несогл,%
333,9 360,6 326,3 2,33 10,51
¡2 333,9 360,6 326,3 2,33 10,51
/з 632,8 640,8 612 3,40 4,71
/4 1370 1443,1 1270 7,87 13,63
Из таблицы 1 видно, что использование согласованной матрицы масс при моделировании протяженного участка одним элементом дает завышенные значения собственных частот.
2 Несогласованная матрица масс
Поскольку матрица функций формы КЭ содержит перемещения, соответствующие нулевой и первой гармонике разложения в ряд Фурье, то была предпринята попытка построения несогласованной матрицы масс с использованием функций формы балки, аналогичной геометрии (т.к. оболочка с жесткими торцами в случае нулевой и первой гармоники подобна стержню при растяжении, кручении или изгибе с возможным наложением краевых эффектов). С использованием несогласованной матрицы масс также была решена задача, изображенная на рисунке 2. Результаты представлены в таблице 1.
Оба варианта построения матрицы масс оказались неприемлемыми. В ходе тестов было обнаружено, что погрешность может достигать 20%. Неприменимость описанных подходов связана с попыткой описать довольно протяженную коническую оболочку всего одним КЭ. В задачах статики такой подход оказывается вполне удачным, так как функции формы определяются точно из решений дифференциальных уравнений. Однако в задачах динамики требование единственности элемента приводит к ситуации, при которой функции формы, полученные из задачи статики, не могут быть использованы для корректного описания распределения ускорений по КЭ. Это можно наглядно продемонстрировать на примере продольных колебаний стержня постоянного сечения, заделанного одним концом (рис. 3). Известно, что для такой задачи первая форма осевых колебаний имеет вид:
u(z) = sin — (1)
1 ^ 21)
А функция формы при статическом растяжении стержня:
и® = у1 (2)
Рис. 3. К задаче о продольных колебаниях стержня
Сравнивая (1) и (2) видим, что при использовании функций формы из статики, мы заставляем стержень колебаться по несвойственной задаче динамики линейной форме, это аналогично наложению дополнительных связей на систему, что и приводит к завышенным значениям частот. Отмеченное несоответствие связано с требованием единственности элемента.
3 Алгоритм частотной идентификации матрицы масс
Поскольку статические функции формы оказались не применимы для корректного описания динамического поведения в случае моделирования протяженного участка одним элементом, то был реализован еще один алгоритм получения матрицы масс путем вычисления точных значений низших собственных частот элемента из дифференциальных уравнений гармонических колебаний оболочки вращения.
Система дифференциальных уравнений гармонических колебаний оболочки вращения имеет вид:
= (3)
ш
где &--номер гармоники;
[^],[Б] -- матрицы коэффициентов 8x8 (матрица [В] приведена в [7]);
дк -- вектор нагрузок 8x1;
со2 — круговая частота колебаний;
У к = , г]к, V*, $, гХк, г2к, , гМ\ }Г - вектор состояния 8x1.
Для вычисления частоты собственных колебаний оболочки использовалась модификация метода последовательных приближений [8], основанная на итерационном уточнении частоты с использованием отношения Релея. При этом функции формы находились решением динамической краевой задачи для системы (3), поэтому при завершении итерационного процесса собственные формы и частоты становятся точными.
Идентификация матрицы масс осуществляется в два этапа:
• идентификация диагональных элементов;
• идентификация недиагональных элементов.
Для идентификации ього диагонального элемента матрицы масс находится собственная частота оболочки, закрепленной по всем степеням свободы кроме ьой. По ьой степени свободы задается единичное обобщенное перемещение. Найдя собственную частоту, диагональный элемент матрицы масс можно найти по формуле:
к
с
где ^¿-диагональный элемент матрицы жесткости; ^¿¿-диагональный элемент матрицы масс;
т2 -- круговая частота свободных колебаний соответствующей задачи. С учетом равнозначности осей X и У задача сводится к идентификации 8 диагональных элементов вместо 12.
После идентификации диагональных элементов матрицы масс необходимо идентифицировать 28 недиагональных элементов. С учетом симметрии матрицы масс и равнозначности осей X и У необходимо идентифицировать лишь 8 недиагональных элементов.
Матрицу масс 12x12 можно разделить на блоки по направлениям вибраций жестких торцов:
• продольное направление: блок 2x2;
• вращение вокруг продольной оси: блок 2x2;
• изгиб в плоскости Х2: блок 4x4;
• изгиб в плоскости У2: блок 4x4.
Недиагональный элемент блока продольного направления (при известных диагональных) идентифицируется по жесткому продольному движению. Кинетическая энергия конечного элемента вычисляется следующим образом [9]:
Т = - (в) | [М] } |
В случае жесткого продольного движения кинетическая энергия конечного элемента равна:
1
Т = - (т33 + 2т39 + т99 )у , (4)
где у-скорость продольного движения элемента.
С другой стороны кинетическая энергия жесткого продольного движения:
1
Т = -Му2 , (5)
2
где М-масса системы. Из (4) и (5) следует:
(М -т33 -т99) 2
Аналогично определяется недиагональный элемент в случае вращения вокруг продольной оси:
_ _ (Jz - m66 - m!2,12)
m 6,12 mi2,6 2
где /z—момент инерции оболочки относительно оси Z.
В случае изгиба в плоскости XZ имеется 6 недиагональных элементов, которые должны быть идентифицированы. Один из них можно найти по жесткому движению (перемещение как жесткого целого вдоль оси X):
(M - mn - m77) 2
Идентификация оставшихся 5 недиагональных элементов производится аналогично идентификации диагональных элементов, но обобщенное перемещение задается по двум степеням свободы при прочих закрепленных. Для идентификации элемента Шу находится собственная частота оболочки, закрепленной по всем степеням свободы кроме /-ой и j-ой, по которым задаются единичные обобщенные перемещения. Амплитудные значения потенциальной энергии деформаций и кинетической энергии в этом случае будут равны:
U=1k.. ■ 12 + k.. ■ l2 + 1k.. ■ l2
0 2 11 4 2 JJ
T = rn2(1 m.. ■ l2 + m.. ■ l2 + 1 m .. ■ l2 )
0 2 ll lJ 2 JJ
Из закона сохранения энергии:
U = T
U0 T0
1 1
k.. + k.. + k.. i 7
2 ll lJ 2 JJ 1 1
m.. = 2-2---m.. —m ..
lJ со2 2 ll 2 JJ
Таким образом, идентифицируются все недостающие недиагональные элементы: ш51; m11i1; ш75; ш11,5; Шцj. Недиагональные элементы при изгибе в плоскости YZ восстанавливаются по известным недиагональным элементам при изгибе в плоскости XZ. Описанный алгоритм частотной идентификации был реализован в пакете Wolfram Mathematica, и была решена тестовая задача, изображенная на рисунке 2 (таблица 2).
Таблица 2. Сравнение частот при использовании идентифицированной матрицы масс
f, Гц WM Ansys A,%
fi 327,3 326,4 0,34
f2 327,3 326,4 0,34
f3 610,8 610,9 0,18
f4 1266,0 1265,9 0,07
Из таблицы 2 видно, что матрица масс, идентифицированная с помощью набора тестовых форм, дает очень хорошие результаты при определении низших собственных частот для задачи, изображенной на рисунке 2. Однако нельзя утверждать, что идентифицированная матрица масс будет успешно работать во всех случаях закрепления элемента, т.к. идентификация проводилась на основе определенного набора тестовых форм. Как бы-
ло отмечено, матрицу масс можно разделить на блоки по направлениям вибраций жестких торцов. Блоки, соответствующие продольному движению и вращению вокруг продольной оси определяются нулевой гармоникой (к=0) симметричной и кососимметричной относительно нулевого меридиана задач соответственно. Блоки, соответствующие изгибу в плоскости ХЕ и У2 определяются первой гармоникой (к=1). Гармоники к=0 и к=1 полностью не зависимы. Следовательно, можно рассмотреть различные сочетания закреплений конечного элемента отдельно для случая к=0 и к=1. Поскольку продольное движение и вращение вокруг продольной оси не зависимы, то возможные сочетания закреплений конечного элемента для к=0 ограничиваются закреплениями для идентификационных задач. При к=1 можно независимо рассмотреть колебания в плоскости ХЕ и У2. Тогда возможные сочетания закреплений, исключающих смещения как жесткого целого, ограничиваются набором из 9 вариантов закреплений (при колебаниях в одной плоскости) (см. рис. 1):
Все варианты (6) соответствуют закреплениям для идентификационных задач (первые 5 вариантов соответствуют идентификационным задачам при определении недиагональных элементов, следующие 4-диагональных).
Далее была рассмотрена тестовая задача для незакрепленной оболочки, которая имеет возможность перемещаться как жесткое целое (рис. 4, геометрия оболочки соответствует задаче на рисунке 2). Результаты были сопоставлены с расчетами МКЭ и сведены в таблицу 3.
Рис. 4. Тестовая задача определения частот свободного элемента
Таблица 3. Сравнение частот для тестовой задачи рис.4
№ WM Ашуз
¡1 71,11 1886,46
/2 71,11 1886,46
/э 1682,70 2108,90
/4 2349,42 2167
На основании вышеизложенных рассуждений, а также таблиц 2 и 3 можно сделать вывод о том, что идентифицированная матрица масс работает корректно лишь в тех случаях, когда конструкция не имеет возможности смещаться как жесткое целое.
4 Идентификация по собственным формам свободного КЭ
Было установлено, что идентифицированная по собственным частотам матрица масс работает успешно лишь при отсутствии возможности смещения конструкции как жесткого целого.
В данной работе был реализован еще один алгоритм идентификации матрицы масс на основе собственных форм свободного элемента. Алгоритм рассмотрен на примере поперечных колебаний в одной из координатных плоскостей (фигурируют 4 степени свободы). При поперечных колебаниях свободного конечного элемента в одной из координатных плоскостей есть две нулевые частоты (р1=р2=0) и две ненулевые р3, р4. Этим частотам соответствуют четыре формы колебаний (первые две - жесткие движения) [1]. По этим формам колебаний можно разложить как матрицу жесткости, так и матрицу масс. Фактически идентификация тогда сводится всего к двум частотам и формам (кроме жестких). Для определения частот и форм использовался алгоритм на основе метода последовательных приближений, упомянутый ранее.
Дальнейшее описание алгоритма будет вестись на примере свободной цилиндрической оболочки (рис. 5) при следующих параметрах:
• модуль упругости Е=2.1-1011 Па;
• коэффициент Пуассона ц=0,3;
• радиус Я=0.4 м;
• толщина стенки Ь= Я/50;
• высота ¡=2К.
Рис. 5. Свободная цилиндрическая оболочка
Для задачи, изображенной на рисунке 5, были найдены две ненулевые частоты, соответствующие первым двум изгибным формам свободного конечного элемента. Полученные частоты фз, р4) и формы (и3, и4) сопоставлены с расчетами МКЭ (рис. 6,7).
Рис. 6. Первая изгибная форма свободного КЭ (слева WM, 1609.88 Гц; справа МКЭ, 1609.26 Гц)
Рис. 7. Вторая изгибная форма свободного КЭ (слева WM,1871.99 Гц; справа МКЭ, 1870.23 Гц)
Затем были определены формы жестких движений. Для жесткого смещения форму можно принять равной единице (щ = 1), собственная частота при этом равна нулю. Форма, соответствующая вращению как жесткого целого будет иметь вид щ = Z - ^, где
2с-положение центра тяжести. Соответствующая собственная частота также будет равна нулю.
Для дальнейшей работы формы и^ из непрерывного представления переводятся в
дискретную векторную форму щ (узловые перемещения). На основе узловых перемещений вычисляются обобщенные жесткости (или иначе компоненты матрицы жесткости в главных координатах) [10,11]:
с = и г [К]иг (/ = 1...4)
где [Щ-матрица жесткости в физических координатах (4х4). Поскольку случаи /=1,2 описывают жесткие движения, то соответствующие обобщенные жесткости равны 0.
Чтобы получить матрицу масс в физических координатах необходимо составить
матрицу форм [Щ, используя векторы узловых перемещений и1:
[Н] = [их, и2, из, и 4] Тогда матрица масс [М] определяется из соотношения [10,11]:
[т] = [Н]г [М][Н],
где [m]-матрица обобщенных масс. Из (9):
[М] = ([Н]г )-х[т][Н]-1 Матрица обобщенных масс имеет вид:
(7)
(8)
М 0 0 0
т 0 0 0 0 0 0
[т] = 0 0 т2 0 0 т3 0 0 = 0 0 у /Рз 0
0 0 0 т4 _ 0 0 0 V
где М-масса элемента, сз, ^-обобщенные жесткости, Зус момент инерции относительно оси Ус.
В ходе решения тестовых задач было установлено, что рассмотренная идентификация по собственным формам и частотам свободного конечного элемента дает хорошие результаты только для случая свободного конечного элемента. Различные варианты закреплений приводят к расхождению по частотам до 30%.
Заключение
В работе были рассмотрены различные алгоритмы построения матрицы масс КЭ оболочки, ограниченной жесткими торцами, применяемого при моделировании протяженных участков осесимметричных оболочечных конструкций с произвольной формой образующей, заключенных между поперечными фланцами:
• согласованная/несогласованная формулировки;
• алгоритм частотной идентификации;
• идентификация по собственным частотам и формам свободного элемента.
При выполнении численных экспериментов было установлено, что классический подход с применением функций форм, полученных из статики, не годится для построения матрицы масс обобщенного элемента, моделирующего протяженный участок. Поэтому
были предложены другие алгоритмы получения массово-инерционных характеристик. Но они также имеют некоторые ограничения:
• алгоритм частотной идентификации требует больших вычислительных затрат и может успешно применяться лишь для тех случаев закрепления, по которым проводилась идентификация, т.е. при отсутствии смещения как жесткого целого;
• идентификация по собственным частотам и формам свободного элемента напротив может успешно применяться лишь в случае свободного КЭ.
Таким образом, при замене протяженного участка одним обобщенным элементом в задачах динамики необходимо четко представлять, какие требования предъявляются к обобщенному элементу и, отталкиваясь от этого, выбирать тот или иной алгоритм получения массово-инерционных характеристик, т.к. результат существенно зависит от выбранного способа идентификации.
Список литературы
1. Бацева О.Д., Дмитриев С.Н. Сравнительный анализ способов получения несогласованных матриц массы // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2013. № 12. С. 491-508. DOI: 10.7463/1213.0624689
2. Deshpande S.S., Rawat S.R., Bandewar N.P., Soman M.Y. Consistent and lumped mass matrices in dynamics and their impact on finite element analysis results // Intern. J. of Mechanical Engineering and Technology (IJMET). 2016. Vol. 7. Iss. 2. Pp. 135-147. Режим доступа: http://www.iaeme.com/IJMET/issues.asp?JType=IJMET&VType=7&IType=2 (дата обращения 11.04.2017).
3. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике: пер. с англ. М.: Мир, 1975. 541 с. [Zienkiewicz O.C. The finite element method in engineering science. L.; N.Y.: McGraw-Hill Publ. Co., 1971. 521 p.].
4. Усюкин В.И. Строительная механика конструкций космической техники. М.: Машиностроение, 1988. 388 c.
5. Сорокин Ф.Д., Есин М.Ю., Перевезенцев В.В. Моделирование связанных гидроупругих колебаний тепловыделяющих сборок в активной зоне ВВЭР-440 // Известия высших учебных заведений. Машиностроение. 2012. № 9. С.14-20. DOI: 10.18698/05361044-2012-9
6. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов / пер. с англ. А.С. Алексеева; Под ред. А.Ф. Смирнова. М.: Стройиздат, 1982. 446 с. [Bathe K-J., Wilson E.L. Numerical methods in finite element analysis. Englewood Cliffs: Prentice-Hall Publ.,1976. 528 p.].
7. Hamrit F., Necib B., Driss Z. Analysis of mechanical structures using beam finite element method // Intern. J. of Mechanics and Applications. 2015. Vol. 5. № 1. Pp. 23-30.
DOI: 10.5923/j.mechanics.20150501.04
8. Бидерман В.Л. Теория механических колебаний: учебник для вузов. М: Высшая школа, 1980. 407 с.
9. Oz H. R. Calculation of the natural frequencies of a beam-mass system using finite element method // Mathematical and Computational Applications. 2000. Vol. 5. № 2. Pp. 67-75. DOI: 10.3390/mca5020067
10. Gavin H. P. Classical damping, non-classical damping, and complex modes // CEE 541. Structural Dynamics. Dep. of Civil and Environmental Engineering. Duke Univ. 2016.
11. Дмитриев С.Н., Хамидуллин Р.К. Коррекция матрицы демпфирования с использованием экспериментальных значений коэффициентов модального демпфирования // Инженерный журнал: наука и инновации. 2013. № 3. С. 17. DOI: 10.18698/2308-60332013-3-619
Science ¿Education
of the Baurnan MSTU
Science and Education of the Bauman MSTU, 2017, no. 04, pp. 1-15.
DOI: 10.7463/0417.0001150
Received: 17.03.2017
Revised: 31.03.2017
© Bauman Moscow State Technical Unversity
Comparing the Identification Methods for a Finite Element Mass Matrix of the Axisymmetric Shell Restricted by Rigid Ends
F.R. Nizametdinov1'*, F.D. Sorokin1 ''fimzametdinoyipstju
1Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russia
Keywords: mass matrix; finite element; natural frequency; form function; mode; identification;
axisymmetric shell
The paper deals with comparison of various algorithms to obtain mass-inertial characteristics of the finite element (FE) of revolution shell restricted by rigid ends.
Such shells are widely used in engineering, for example, as body parts of gas turbine plants. When solving the problems of linear statics and modal analysis for complex structures containing such shells, a method of replacing a complex section of the structure by a single generalized element with previously calculated characteristics is used.
In case of stiffness properties everything is obvious, since with using a numerical integration of the system of differential equations of a revolution shell, the stiffness matrix elements can be found exactly, while to obtain mass-inertial characteristics a standalone consideration is necessary.
The paper considers different algorithms to build a matrix of the shell FE mass, limited by rigid ends, with an arbitrary form of the generatrix:
• consistent/inconsistent formulation;
• frequency identification algorithm;
• natural frequency identification and that of free element shapes.
When performing numerical experiments it was found that a classical approach that uses form functions obtained from statics is inappropriate for constructing the mass matrix of the generalized element. Therefore, other algorithms were proposed to obtain mass-inertial characteristics. But those of have some restrictions too:
• the frequency identification algorithm requires large computational efforts and can be successfully used only in the cases of securing, which involve identification;
• natural frequency identification and that of free element shapes can be successfully used only in the case of free FE.
Thus, when replacing the extended section by one generalized element in solving dynamics problems, it is necessary to be clearly aware of requirements imposed on the generalized element
and on this basis choose one or another algorithm for obtaining mass-inertial characteristics, since the result significantly depends on the chosen identification method.
References
1. Baceva O.D., Dmitriev S.N. Comparative analysis of methods of getting inconsistent mass matrices. Nauka i obrazovanie MGTU im N.E. Baumana [Science and Education of the Bauman MSTU], 2013, no. 12, pp. 491-508. DOI: 10.7463/1213.0624689 (in Russian)
2. Deshpande S.S., Rawat S.R.,Bandewar N.P., Soman M.Y. Consistent and lumped mass matrices in dynamics and their impact on finite element analysis results. Intern. J. of Mechani-calEngineering and Technology (IJMET), 2016, vol. 7, iss. 2, pp. 135-147. Available at: http://www.iaeme.com/IJMET/issues.asp?JType=IJMET&VType=7&IType=2, accessed 11.04.2017.
3. Zienkiewicz O.C. The finite element method in engineering science. L.; N.Y.:McGraw-Hill Publ. Co., 1971. 521 p. (Russ. ed.: Zienkiewicz O.C. Metod konechnykh elementov v tekhnike. Moscow: Mir Publ., 1975. 541 p.).
4. Usyukin V.I. Stroitel'naia mekhanika konstruktsij kosmicheskoj tekhniki [Construction mechanics of space technology]. Moscow: Mashinostroenie Publ., 1988. 388 p. (in Russian)
5. Sorokin F.D., Esin M.Yu., Perevezentsev V.V. Modeling of bound hydrodynamic vibrations of fuel assemblies in WWER440 reactor core. Izvestiia vysshikh uchebnykh zavedenij. Mashinostroenie [Proc. of Higher Educational Institutions. Machine Building], 2012, no. 9, pp. 14-20. DOI: 10.18698/0536-1044-2012-9 (in Russian)
6. Bathe K.-J., Wilson E.L. Numerical methods in finite element analysis. Englewood Cilffs: Prentice Hall Publ., 1976. 528 p. (Russ. ed.: Bathe K.-J., Wilson E.L. Chislennye metody analiza i metod konechnykh elementov. Moscow: Strojizdat Publ., 1982. 446 p.).
7. Hamrit F., Necib B., Driss Z. Analysis of mechanical structures using beam finite element method. Intern. J. of Mechanics and Applications, 2015, vol. 5, no. 1, pp. 23-30.
DOI: 10.5923/j.mechanics.20150501.04
8. Biderman V.L. Teoriia mekhanicheskikh kolebanij [The theory of mechanical vibrations]: textbook. Moscow: Vysshaia Shkola Publ., 1980. 407 p. (in Russian).
9. Oz H. R. Calculation of the natural frequencies of a beam-mass system using finite element method. Mathematical and Computational Applications, 2000, vol. 5, no. 2, pp. 67-76. DOI: 10.3390/mca5020067
10. Gavin H. P. Classical damping, non-classical damping, and complex modes. CEE 541. Structural Dynamics. Dep. of Civil and Environmental Engineering. Duke Univ. 2016.
11. Dmitriev S.N., Hamidullin R.K. Damping matrix correction using experimental modal damping coefficients. Inzhenernyj zhurnal: nauka i innovatsii [Engineering J.: Science and Innovation], 2013, no. 3, p. 17. DOI: 10.18698/2308-6033-2013-3-619
