CC BY
4
УДК 533.2+51-72
DOI 10.24147/1812-3996.2022.27(2).40-46
СОПОСТАВЛЕНИЕ ЧИСЛЕННЫХ РАСЧЕТОВ КОНТИНУАЛЬНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ДИНАМИКИ МОНОДИСПЕРСНОГО АЭРОЗОЛЯ
В АКУСТИЧЕСКОМ РЕЗОНАТОРЕ - ЗАКРЫТОЙ ТРУБЕ С ФИЗИЧЕСКИМ ЭКСПЕРИМЕНТОМ
Д. А. Тукмаков
Казанский научный центр Российской академии наук, г. Казань, Россия
Информация о статье
Дата поступления
25.12.2021
Дата принятия в печать
04.07.2022
Дата онлайн-размещения 08.09.2022
Ключевые слова
Многофазные среды, численное моделирование, уравнение Навье-Стокса, континуальная модель
Аннотация. Представлена математическая модель динамики аэрозоля, учитывающая межкомпонентный обмен импульсом и межкомпонентный теплообмен. Уравнения математической модели интегрировались явным конечно-разностным методом. Моделировались колебания аэрозоля в акустическом резонаторе. Результаты расчетов были сопоставлены с известными из литературы экспериментальными результатами.
Финансирование
Работа выполнялась в рамках государственного задания Федерального исследовательского центра Казанского научного центра Российской академии наук
COMPARISON OF NUMERICAL CALCULATIONS OF THE CONTINUAL MATHEMATICAL MODEL OF THE DYNAMICS OF A MONODISPERSE AEROSOL
IN AN ACOUSTIC RESONATOR - A CLOSED PIPE WITH A PHYSICAL EXPERIMENT
D. A. Tukmakov
Kazan Scientific Center of the Russian Academy of Sciences, Kazan, Russia
Abstract. The paper presents a mathematical model of aerosol dynamics. The mathematical model took into account inter-component momentum exchange and inter-component heat transfer. The equations of the mathematical model were integrated using an explicit finite-difference method. Oscillations of aerosol in an acoustic resonator were simulated. The calculation results were compared with the experimental results known from the literature.
Available online 08.09.2022
Keywords
Multiphase media, numerical modeling, Navier-Stokes equation, continual model
Article info
Received
25.12.2021
Accepted
04.07.2022
Acknowledgements
The work was carried out within the framework of the state task
of the Federal Research Center of the Kazan Scientific Center of the Russian Academy of Sciences
1. Введение
Одним из разделов физики сплошных сред является механика жидкости и газа, предметом исследования которой выступают всевозможные течения газообразных, жидких сред или же смесей [1-22]. В механике жидкости и газа широко используются как методы математического моделирования, так и методики проведения физических экспериментов.
Многие природные явления и процессы, протекающие в промышленных технологиях, связаны с движением сплошных сред, являющихся неоднородными по своим механическим и физико-химическим свойствам [1-10; 13-18]. В частности, течения аэрозольных сред встречаются в практических приложениях [4-10]. Проблема удаления дисперсной компоненты аэрозольных сред в каналах, трубах и емкостях возникает в энергетике, химической и горной промышленностях. Для осаждения дисперсной компоненты аэрозоля применяется воздействие акустических полей [9; 10].
В настоящее время в литературе применяется несколько подходов к моделированию динамики смесей, компоненты которых имеют различное агрегатное состояние [1]: равновесный подход, предполагающий описание смеси как квазиоднородной среды, диффузионный подход в моделировании динамики смеси, предполагающий решение уравнений неразрывности для компонент смеси и решение уравнений сохранения импульса и энергии для всей смеси в целом, а также континуальный подход, в котором для каждой компоненты решается полная гидродинамическая система уравнений динамики смеси.
В данной работе применяется математическая модель, описывающая поля скорости и температуры у каждой из компонент смеси. Работа посвящена моделированию колебательных процессов в акустическом резонаторе [9; 11-15; 17; 20] и сопоставлению численных расчетов с результатами физического эксперимента.
2. Методы исследования
Движение газовзвеси моделируется системой уравнений динамики многофазной среды с учетом межфазного обмена импульсом и энергией [1-3]. Движение несущей среды описывается системой уравнений Навье-Стокса [19] для сжимаемого теп-
лопроводного газа с учетом межфазного силового взаимодействия и теплообмена:
ФХ
^ +V(p,V, ) = о, i = 1, 2; +V (pXV + 5lkp-z,k ) =
dt
= -Fk +aVkp, (/, k = 1, 2);
(1)
(2)
dpX dt
+V faV) = F2k -aVkp, (/,k = 1,2); (3)
^ +V/ (I? (ei + p-т./.)-VX-XVT)= ^ = -Q-|Fk|(V?k - V/) + aVk (pVk), (/,k = 1,2);
— + Vk (eV ) = Q, k = 1,2; dt v '
p=(Y- 1)(e -p1 X2+^)/2);
(5)
e2 =P2Cp2T2 .
е1 = Рг> + Р1 («12 + ^) / 2, р2 = ар20 ,е2 = р.
Здесь у =[чУ,]- вектор скорости компонент
смеси; т/у - тензор вязких напряжений несущей компоненты:
ди 2 _ , 2 ,
V =^(2 - 2 , ^22 = М-(2 -1 - - О) , дх 3 ду 3
, ди. ду., д и д^.
-+—), О= —^+ — ду дх дх ду
Уравнение(1) описывает непрерывность плотности несущей среды и средней плотности дисперсной фазы (/ > 1). Уравнения (2) и (3) описывают законы сохранения компонент вектора импульса несущей среды и дисперсной фазы соответственно. Уравнения (4) и (5) описывают законы сохранения полной энергии газа и тепловой энергии дисперсной фазы.
Здесь р, р1, и1, - давление, плотность, декартовы составляющие скорости несущей среды в направлении осей х и у соответственно; 71 , е\ - температура и полная энергия газа; а, р2, Р20, 72, Ср2, е2, и2, У2 - объемное содержание дисперсной фазы, средняя плотность, физическая плотность, температура, теплоемкость, внутренняя энергия, декартовы составляющие скорости дисперсной фазы.
Система уравнений дополнялась замыкающими соотношениями (6):
1 = СС2Р^(и1"и2)2 + "^)2 (и1"и2) +
+ aPi
' ди ди,
dt
- + и
дх,
- + v.
ди дх
+ 0.5ар х
| ди ди ди ди ди ди i хI ^+и—1 ——2-и2—— I; (6)
^ дх2 дх2 дt дх2 дх2
F2 = 3 (a) - и2 ^ +^Vl - V2 )2 (Vl - V2 ) +
f
+ aPl
3v,
- + и
Bv
+ v.
3v.
Л
Dt 1 дх 1 дх.
+ 0.5ap1
Bv
- + и
Bv
- + v.
Bv 5v,
-и
5v,
-v
5v,
дt 1 дх, 1 дх, 5t 2 дх, 2 дх, Г
24 4
С*2 +М21 = V - VI/с;
Ке21 =р1V -Ц|2г / ц, Рг = Срц/ X;
= 2ехр(-Мп) + 0.459 Ке^55 Рг0'33;
О = 6аХМи21 (^ - Г2)/(4г2).
В формулах (6) Fk - составляющие вектора силового взаимодействия дисперсной фазы и несущей среды, к = 1, 2; О - тепловой поток между дисперсной фазой смеси и несущей средой [1; 2]. Сила межфазного взаимодействия включает в себя силу аэродинамического сопротивления (7), динамическую силу Архимеда (8) и силу присоединенных масс (9) [1]:
3 a
F1AR = 4 Cd2Pl^(и1 - и2 )2+(Vl - V2 )2 (и1 - и2 ); (7)
F1AM = 0.5aPiX
ди.
ди.
ди ди
- + и,
- + V
Bt дхг дх2 St
--и
ди2 дх
--V,
ди2 дх
2 /
F1A =aPl
ди.
ди.
- + и,
дt дх,
- + V
ди дх
(8)
(9)
В моделируемом колебательном процессе числа Рейнольдса потока газа близки к критическому числу Рейнольдса Яе ~ Явкр. Сила Бассэ оказывает существенное влияние на динамику дисперсных включений для ламинарных течений, например для акустических возмущений малой интенсивности [1]. Для
течений с числами Рейнольдса близкими к критическому силой Бассэ возможно пренебречь, по этой причине в данной работе сила Бассэ не учитывается.
Одним из важных параметров динамики многофазных сред является объемное содержание дисперсной фазы, отношение объема дисперсных частиц, содержащихся в смеси к общему объему смеси - а = Ур/ V, при этом физическая плотность материала дисперсной фазы представляется неизменной.
Для составляющих скорости компонент смеси задавались однородные граничные условия Дирихле. Для остальных функций динамики многофазной смеси задавались однородные граничные условия Неймана. На нижней границе расчетной области (/' = 1, / = 1, ..., Ых) задавался периодический закон изменения у-составляющей скорости газа, соответствующей скорости движения поверхности поршня: Л*) = У'М = Ашсоб(ш^, для сеточной функции -v(/,1) = Ашсоб(шпД*), где А - амплитуда хождения поршня, ш - циклическая частота колебаний, где п -номер временного слоя, Д* - шаг по времени, х-составляющая скорости на поршне приравнивалась нулю - и(/, 1) = 0.
Система уравнений динамики многофазной среды (1)-(5) решалась двухэтапным явным конечно-разностным методом Мак-Кормака, позволяющим получать решения второго порядка точности [19]. Так как амплитуда хождения поршня предполагалась существенно меньше размеров шагов по пространственным направлениям, расчеты проводились на статической сетке.
После каждого временного шага для получения монотонного численного решения применялась схема нелинейной коррекции численного решения [20; 21]. Алгоритм коррекции выполнялся последовательно вдоль всех узлов. Рассмотрим алгоритм коррекции решения на примере функции f, в случае,
если выполняются условия (б£._у2-8/+1у2)<0 или ($£+1/2 '8/-+3/г)< 0, к функции f в /-м узле применяется
алгоритм схемы коррекции: = + -8/;._1/2).
Нижний индекс обозначает номер узла сетки. Здесь использованы обозначения:
-1/2 = - f¡-1 > 12 = Ли1 - £ ' = fi+2 - £+1 •
В противном случае /■ - значение функ-
ции в /-м узле после перехода на (п + 1)-й временной слой по схеме Мак-Кормака, к - коэффициент коррекции.
X
3. Результаты расчетов
В расчетах задавались следующие параметры моделируемого процесса. Дисперсная фаза газовзвеси состояла из частиц с диаметром d = 1 мкм, объемным содержанием дисперсной компоненты а = 0.0000065 с дисперсными включениями, равномерно распределенными по всей емкости, для начального момента времени. При t = 0 поршень начинал движение по гармоническому закону y(t) = ^sin(wt), где ш - циклическая частота первого резонанса колебаний в закрытой трубе, ш = пс/ L, где c - скорость звука [22]. Физическая плотность материала частиц - р20 = 913 кг/м3. В качестве несущей среды рассматривался воздух. Начальная плотность и температура газа рю = 1.29 кг/м3 и 71.0 = 293 К соответственно. Начальная температура несущей и дисперсной компонент смеси совпадали 7ю = 7ю. Предполагалось, что дисперсная компонента при данном объемном содержании не оказывает существенного влияния на скорость звука, определяемую уравнением
c = *1У— = 342 м/с, где М = 29-10"3 кг/моль - моляр-V M
ная масса воздуха, теплопроводность несущей среды предполагалась равной Л = 0.02553 Вт/(м-К), динамическая вязкость несущей среды ц = 1,72-10-5 Па-с, у = 1.4, R = 8.31 Дж/(моль ■ K). Амплитуда хождения поршня А = 0.000375 м. Параметры конечно-разностной сетки Ny = 150, Nx = 30. Коэффициент коррекции численного решения к = 0.125. На рис. 1 схематически изображен акустический резонатор. Высота акустического резонатора L = 0.938 м, диаметр трубы h = 0.1 м [9]. Таким образом, циклическая частота колебаний составляла ш = 1144.8 рад/c.
Вертикальное расположение канала, в котором происходят колебания аэрозоля, объясняется тем, что при таком расположении акустического резонатора процесс гравитационного осаждения более длительный.
Пространственное распределение модуля скорости газа (V u\ + v\ ) изображено на рис. 2, из которого следует, что на боковых поверхностях канала для составляющих скорости несущей среды заданы граничные условия Дирихле, «условия прилипания», учитывающие пристеночную вязкость в канале.
В процессе колебаний двухфазной среды происходит массоперенос дисперсной компоненты аэрозоля. В результате формируется неравномерное распределение «средней плотности» дисперсной фазы смеси (рис. 3).
У
h
у L \
Рис. 1. Схематическое изображение акустического резонатора
У'м
Рис. 2. Пространственное распределение модуля скорости газа
На рис. 4 изображены зависимости давления от времени на закрытом конце трубы. Амплитуда изменения давления за один период колебаний в численных расчетах составляет Др = рmax - рmin = 403 Па, в
физическом эксперименте величина перепада давления составляет Др = ртах - ртт = 525 Па [9]. Таким образом, в результате численных расчетов изменения давления газа в процессе колебаний аэрозоля получено значение, приблизительно равное 77 % от экспериментальной величины.
р/103 кг/м3
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 у, М Рис. 3. Пространственное распределение средней плотности дисперсной компоненты смеси, х = 0.05 м
р, кПа
96.54-г-1-1-1-г-
0.490 0.492 0.494 0.496 0.498 с а)
б)
Рис. 4. Временные зависимости давления газа в акустическом резонаторе на закрытом конце трубы: а - результаты численного расчета; б - результаты физического эксперимента [9]
Численное моделирование демонстрирует, что в процессе колебаний аэрозоля величина у-состав-ляющей скорости дисперсной фазы имеет некоторое отличие от величины изменения у-составляющей скорости газа (рис. 5). При этом в процессе колебаний температура дисперсной компоненты не существенно отличается от температуры газа (рис. 6).
v, м/с
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 У' м Рис. 5. Пространственное распределение у-составляющей скорости компонент смеси вдоль оси симметрии канала, х = 0.05 м: 1 - несущая среда; 2 - дисперсная компонента
Т, К
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 у, М
Рис. 6. Пространственное распределение температуры компоненты смеси вдоль оси симметрии канала, х = 0.05 м:
1 - несущая среда; 2 - дисперсная компонента
4. Выводы
В работе проведено численное моделирование колебаний аэрозоля в акустическом резонаторе. Численные расчеты были сопоставлены с известными из литературы экспериментальными результатами, сопоставление дало приемлемое количественное совпадение. При этом вычисленное давление имеет меньшую амплитуду изменения, чем величина давления, полученная в физическом эксперименте. Полученные распределения скоростей газовой и дисперсной компонент смеси имеют различия. Вычисленные в процессе моделирования температуры компонент смеси имеют несущественное отличие.
Вестник Омского университета 2022. Т. 27, № 2. С. 40-46
ISSN 1812-3996-
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Нигматулин Р. И. Динамика многофазных сред. М. : Наука, 1987. Ч. 1. 464 с.
2. КутушевА. Г. Математическое моделирование волновых процессов в аэродисперсных и порошкообразных средах. СПб. : Недра, 2003, 284 с.
3. Федоров А. В., Фомин В. М., Хмель Т. А. Волновые процессы в газовзвесях частиц металлов. Новосибирск, 2015. 301 с.
4. Вараксин А. Ю., Протасов М. В. О влиянии вдува газа на защиту поверхностей тел, обтекаемых двухфазным потоком // Теплофизика высоких температур. 2017. № 6. С. 785-788.
5. Пахомов М. А., Терехов В. И. Влияние испарения капель на структуру течения и тепломассобмен в ограниченном закрученном газокапельном потоке за его внезапным расширение // Теплофизика и аэромеханика. 2018. № 6. С. 865-875.
6. Федяев В. Л. Математическое моделирование и оптимизация градирен // Труды Академэнерго. 2009. № 3. С. 91-107.
7. Волошин А. М., Салюков В. В., Громов В. С., Зарецкий Я. В., Серазетдинов Ф. Ш., Тонконог В. Г., Яв-кин В. Б., Голованов А. А. Разработка и создание устройств очистки транспортируемого газа // Газовая промышленность. 2010. № 1. С. 73-75.
8. Тонконог В. Г., Баянов И. М., Тонконог М. И., Мубаракшин Б. Р. Технология газификации сжиженного природного газа // Инженерно-физический журнал. 2016. Т. 89, № 4. С. 818-825.
9. Губайдуллин Д. А., Зарипов Р. Г., Ткаченко Л. А., Шайдуллин Л. Р. Экспериментальное исследование коагуляции и осаждения газовзвеси в закрытой трубе при переходе к ударно-волновому режиму // Теплофизика высоких температур. 2017. № 3. С. 484-486.
10. Лисаков С. А., Сидоренко А. И., Сыпин Е. В. Моделирование запыленности в тупиковой выработке угольной шахты // Южно-Сибирский научный вестник. 2019. № 4. С. 200-213.
11. Ilgamov M. A., Zaripov R. G., Galiullin R. G., Repin V. B. Nonlinear oscillations of a gas in a tube // Applied Mechanics Reviews. 1996. Vol. 49, № 3. P. 137-154.
12. Аганин А. А., Ильгамов М. А. Нелинейные колебания газа в закрытой трубе // Прикладная механика и техническая физика. 1994. Т. 35, № 6 (208). С. 39-43.
13. Gubaidullin D. A., Osipov P. P., Abdyushev A. A. Simulation using the limiting velocity approach of acoustic streaming establishment and aerosol particle focusing in complex-shaped acoustofluidic devices // Applied Mathematical Modelling. 2021. Vol. 92. P. 785-797.
14. Тукмаков А. Л., Тукмаков Д. А. Применение неявной конечно-разностной схемы с весами для моделирования колебаний газа в акустическом резонаторе // Вестник Казанского государственного технического университета им. А.Н. Туполева. 2011. № 4. С. 119-127.
15. Тонконог В. Г., Тукмаков Д. А. Нелинейные колебания газовзвеси и дрейф твердой фазы в акустическом резонаторе проточного типа // Инженерно-физический журнал. 2013. Т. 86, № 3. С. 576-583.
16. Нигматулин Р. И., Губайдуллин Д. А., Тукмаков Д. А. Ударно-волновой раздет газовзвесей // Доклады академии наук. 2016. Т. 466, № 4. С. 418-421.
17. Тукмаков А. Л., Баянов Р. И., Тукмаков Д. А. Течение полидисперсной газовзвеси в канале, сопровождающееся коагуляцией в нелинейном волновом поле // Теплофизика и аэромеханика. 2015. Т. 22, № 3. С. 319-325.
18. Тукмаков Д. А. Конечно-разностная модель динамики гомогенной смеси в применении к исследованию распространения и отражения ударной волны большой интенсивности в водородно-воздушной среде // Модели, системы, сети в экономике, технике, природе и обществе. 2020. № 1. C. 86-97.
19. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей : в 2 т. М. : Мир, 1991. Т. 2. 552 c.
20. Тукмаков А. Л. Хаотические колебания аэроупругой системы с синхронизацией при противофазном возбуждении // Прикладная механика и техническая физика. 2003. № 6. С. 49-55.
21. Музафаров И. Ф., Утюжников С. В. Применение компактных разностных схем к исследованию нестационарных течений сжимаемого газа // Математическое моделирование. 1993. № 3. C. 74-83.
22. Горелик Г. С. Колебания и волны. М. : Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1959. 572 с.
- 45
Herald of Omsk University 2022, vol. 27, no. 2, pp. 40-46
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРЕ
Тукмаков Дмитрий Алексеевич - кандидат физико-математических наук, научный сотрудник, Казанский научный центр Российской академии наук, 420111, Россия, г. Казань, ул. Лобачевского, 2/31; e-mail: tukmakovda@imm.knc.ru.
ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ
Тукмаков Д. А. Сопоставление численных расчетов континуальной математической модели динамики монодисперсного аэрозоля в акустическом резонаторе - закрытой трубе с физическим экспериментом // Вестн. Ом. ун-та. 2022. Т. 27, № 2. С. 40-46. DOI: 10.24147/1812-3996.2022.27(2).40-46.
INFORMATION ABOUT THE AUTHOR
Tukmakov Dmitry Alekseevich - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, researcher, Kazan Scientific Center of the Russian Academy of Sciences, 2/31, ul. Lobachevskogo, Kazan, 420111, Russia; e-mail: tukmakovda@imm.knc.ru.
FOR QTATIONS
Tukmakov D. A. Comparison of numerical calculations of the continual mathematical model of the dynamics of a monodisperse aerosol in an acoustic resonator - a closed pipe with a physical experiment. Vestnik Omskogo universiteta = Herald of Omsk University, 2022, vol. 27, no. 2, pp. 40-46. DOI: 10.24147/1812-3996.2022.27(2).40-46. (in Russ.).
