АНАЛИТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ НЕСТАЦИОНАРНОГО ТЕЧЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ МОНОДИСПЕРСНОЙ ГАЗОВЗВЕСИ С ОДНОМЕРНОЙ ГЕОМЕТРИЕЙ ПОТОКА Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 533.2, 51-72 doi:10.21685/2072-3040-2021-3-5

Аналитическая модель нестационарного течения несжимаемой монодисперсной газовзвеси с одномерной геометрией потока

Д. А. Тукмаков

Федеральный исследовательский центр «Казанский научный центр Российской академии наук», Казань, Россия tukmakovda@imm.knc.ru

Аннотация. Актуальность и цели. Одним из развивающихся разделов современной механики жидкости и газа является механика многофазных и многокомпонентных сред. Экспериментальное исследование многих процессов динамики неоднородных сред затруднительно, в связи с чем большое значение приобретает математическое моделирование. При этом многие модели имеют существенно нелинейный характер, по этой причине для интегрирования таких моделей применяются численные методы. Целью данной работы является получение точного решения для одного из частных случаев, при допущении ряда упрощений - одномерности течения, несжимаемости несущей и дисперсной компонент, линейного характера межкомпонентного обмена импульсом. При этом для получения точного решения была использована модель, реализующая континуальный подход механики многофазных сред и учитывающая межкомпонентный обмен импульсом и теплообмен. Материалы и методы. Представлена математическая модель одномерного нестационарного течения несжимаемой двухкомпонентной среды. Уравнения динамики выведены из уравнений динамики течения двухкомпонентной неоднородной среды с учетом межкомпонентного обмена импульсом и теплом. В рассматриваемой модели межкомпонентное силовое взаимодействие учитывало силу Стокса. Система уравнений в частных производных за счет условия несжимаемости течения, сведена к нелинейной системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Результаты. Система нелинейных дифференциальных уравнений сведена к последовательному решению трех линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений относительно шести неизвестных функций. Аналитическое решение математической модели течения газовзвеси реализовано в виде компьютерной программы. Выводы. Точное решение для континуальной модели динамики аэрозоля может быть использовано при тестировании численных моделей динамики аэрозолей.

Ключевые слова: гидродинамика, гетерогенные среды, континуальная модель, одномерное течение, несжимаемая среда, уравнение Эйлера

Финансирование: работа выполнялась в рамках государственного задания ФИЦ КазНЦ РАН.

Для цитирования: Тукмаков Д. А. Аналитическая модель нестационарного течения несжимаемой монодисперсной газовзвеси с одномерной геометрией потока // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2021. № 3. С. 57-70. doi:10.21685/2072-3040-2021-3-5

The analytical model of unsteady flow of incompressible monodisperse gas suspension with one-dimensional flow geometry

D.A. Tukmakov

© Тукмаков Д. А., 2021. Контент доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 License / This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.

Federal Research Center "Kazan Scientific Center of the Russian Academy of Sciences", Kazan, Russia

tukmakovda@imm.knc.ru

Abstract. Background. One of the developing branches of modern fluid and gas mechanics is the mechanics of multiphase and multicomponent media. Experimental research of many dynamics processes of inhomogeneous media is difficult, therefore, mathematical modeling is of great importance. Moreover, many models are essentially nonlinear, for this reason, numerical methods are used to integrate such models. The purpose of this research is to obtain an exact solution for one of the special cases, assuming a number of simplifications -flow's one-dimensionality, incompressibility of the carrier and dispersed components, and the linear nature of inter-component momentum exchange. At the same time, to obtain an exact solution, a model was used that implements the continual approach of the mechanics of multiphase media - taking into account the intercomponent exchange of momentum and heat transfer. Materials and methods. The research presents a mathematical model of a one-dimensional unsteady flow of an incompressible two-component medium. The equations of dynamics are derived from the equations of the dynamics of the flow of a two-component inhomogeneous medium, taking into account the inter-component exchange of momentum and heat. In the model under consideration, the intercomponent force interaction took into account the Stokes force. The system of partial differential equations, due to the condition of incompressibility of the flow, is reduced to a nonlinear system of ordinary differential equations. Results. The system of nonlinear differential equations is reduced to the sequential solution of three linear systems of ordinary differential equations with respect to six unknown functions. The analytical solution of the mathematical model of the gas suspension flow is implemented in the form of a computer program. Conclusions. The exact solution for the continuous model of aerosol dynamics can be used to test numerical models of aerosol dynamics.

Keywords: hydrodynamics, heterogeneous media, continual model, one-dimensional flow, incompressible medium, Euler's equation

Acknowledgments: the work was carried out within the framework of a state assignment by Federal Research Center "Kazan Scientific Center of the Russian Academy of Sciences".

For citation: Tukmakov D. A. The analytical model of unsteady flow of incompressible monodisperse gas suspension with one-dimensional flow geometry. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2021;(3):57-70. (In Russ.). doi:10.21685/2072-3040-2021-3-5

Введение

Многие процессы в природе и технике сопровождаются течениями сплошных сред - газов и жидкостей [1-20]. В ряде случаев среды могут быть неоднородными [1-11, 18-20]. При этом неоднородные среды могут быть как гомогенными смесями, компоненты которых имеют одинаковое агрегатное состояние, так и гетерогенными смесями, компоненты которых имеют различное агрегатное состояние [1-8, 10, 11]. При моделировании динамики неоднородных сред существует несколько подходов, прежде всего это равновесный подход, описывающий динамику неоднородной среды как однородной жидкости или газа [3], и диффузионный подход, часто применяющийся при моделировании динамики однородных смесей. В таких моделях уравнения непрерывности массы решаются для каждой компоненты смеси, но уравнения сохранения импульса и энергии решаются для всей смеси в целом [1, 9,

17]. При описании неоднородных сред возможно описывать лишь динамику несущей среды, предполагая отсутствие взаимообратного обмена импульсом между компонентами, в этом случае движение дисперсной компоненты определяется только полем скорости несущей среды [7, 8]. При описании гетерогенных сред с относительно большим массовым содержанием дисперсной компоненты возникает необходимость в описании межкомпонентного обмена импульсом и теплом, так как динамику таких смесей определяют взаимообратные эффекты обмена импульсом и теплом между компонентами смесей [1-6, 10]. В связи с этим для моделирования таких течений применяются континуальные модели [1-6], которые предполагают решение полной гидродинамической системы уравнений для каждой из компонент смеси с учетом слагаемых, отвечающих за взаимодействие между компонентами смеси. Такого рода подход представляется весьма сложным, так как модель включает в себя большое количество уравнений, имеющих нелинейный вид, вследствие чего для решения уравнений таких моделей применяются численные алгоритмы [1-6, 10, 18, 19].

Для получения точных решений, как правило, применяются различные физические упрощения [6, 10-14], в частности, уменьшается количество пространственных переменных в математических моделях, часто при описании стационарных и нестационарных течений применяются одномерные математические модели. Одномерная геометрия течения предполагает движение среды вдоль канала при отсутствии взаимодействия среды со стенками канала (рис. 1).

Рис. 1. Схематичное изображение одномерного течения

Такое упрощение используется для моделирования течений как для сплошных [12-14], так и для неоднородных сред [1-6, 10], в том числе одномерных стационарных течений [11] - течений, не зависящих от временной переменной. Также в ряде случаев применяются нестационарные модели, не зависящие от пространственных переменных [15]. В данной работе рассматривается одномерное нестационарное течение несжимаемой газовзвеси, модель учитывала как межкомпонентный обмен импульсом, так и межкомпонентный теплообмен.

Методика

Рассмотрим математическую модель динамики газовзвеси с вязкой несущей средой и межкомпонентным обменом импульсом и теплом (1)-(6) [1, 18, 19]:

I1+У(рЛ1) = о,

(1)

ЭС) ¡1 \

Х - + Уг (р^ +ЬуР)-аУгр = -Ъ (;,] = 1, 2, 3), (2)

Э1

д(Т)

Эt

+ ) - АЛ71 =-в,

дР2 Э1

+ У(р2 V2 ) = 0,

Э(Р2 V) ..

к '■ + Vl (Р2 К22 ) + аУгр = Ц О' = 1, 2, 3),

д 1

Э(?2)

тй = М

дt

2 ^ -1п '

дх; 3

V ' /

+ )-Ш2 = 0 ,

;=1 аХ;

(3)

(4)

(5)

(6)

дУ? дК> 1 +- 1

Эху дх;

где ^ = ^(М1,М2) - функция, описывающая межкомпонентный обмен импульсом; ^ = 0(Т1,Т2) - функция, описывающая межкомпонентный теплообмен; т - тензор вязких напряжений; р2 = ар2о - «средняя плотность» - произведение физической плотности, являющейся постоянной величиной, и объемного содержания дисперсной компоненты смеси а, которое зависит от пространственных координат и времени. В представленной модели (1)-(6) предполагается монодисперсный состав дисперсной компоненты газовзвеси - все частицы имеют одинаковый размер и состоят из одного материала [4]. Для течения с одномерной геометрией уравнения континуальной модели динамики газовзвеси возможно записать в следующем виде [4, 5]:

Эр1 Эри

- + -

д 1 дх

= 0,

д(Р1"1) д / 2 \ Эр

"V +эХ (р1и1 + р=- *,

Э(Т) ЭТ1 Л Э2Т

дt

- + Щ

дх дх

^ = -0,

дР2 + дР2»2 = 0 д X дх

^ + | (Р2 »2 ) + = ' ■

Э(Т2) дТ2 ,Э 2Т2

дt

" + "2"

дх дх2

= 0.

(7)

(8) (9)

(10) (11) (12)

Предположим, что плотность несущей среды [12-14] и «средняя плотность» дисперсной компоненты в процессе движения двухкомпонентной смеси не изменяются (р1, р2, а = const), в этом случае система уравнений (7)-(12) будет иметь вид

^ =0, (13)

дх

дщ dp дт dp „ р1—1 + —---a- = -F, (14)

dt дх дх дх

(15)

dt дх дх2

= 0, (16)

дщ2 дх

dt дх

du2 dp „ Р2—2 + а^ = F, (17)

«Т^^-^е. (18)

д дх дх2

Из уравнений непрерывности массы компонент смеси следует, что функции скоростей компонент смеси зависят лишь от временной переменной. Так как пространственная производная от скорости тождественно равна

( ди1 Л

нулю, то несущая среда в данной модели является невязкой: т = т| —- I = 0 ,

I дх )

для одномерного случая условие несжимаемости среды приводит к невязкости движущегося потока, при этом обратное утверждение не верно. Таким образом, в рассматриваемой математической модели динамики аэрозоля непрерывность импульса несущей среды описывается уравнением Эйлера [12]. Правые части уравнений (14), (17) включают в себя лишь функции скоростей компонент смеси, т.е. не зависят от пространственной переменной, из чего

д2 р

следует, что —— = 0 . Для термодинамически идеального газа давление мож-дх

но записать в следующем виде: р = рЯ?! где Я - газовая постоянная несущей

д2^

среды. Из уравнения состояния следует, что —= 0, а из уравнения (15)

дх

следует, что функция межкомпонентного теплообмена также является линейной функцией пространственной переменной х, следовательно система уравнений континуальной модели одномерного течения несжимаемой газовзвеси имеет следующий вид:

йщ др др „ .. .*.

р1—1 + — -а— = -Е, (14*)

й дх дх

^и^-е. (15*)

дt дх

du2 др „ .._*.

р^—2 + а^ = (17) ш дх

дТ)+»2 ¿2.=(18*)

дt дх

В отличие от полностью линеаризованных моделей динамики аэрозольных сред [6], в данной модели в уравнения сохранения энергии компонент смеси (15*), (18*) входят нелинейные слагаемые (»Т), отвечающие за конвективный перенос тепла.

Из вышеописанных особенностей функций температуры модели течения несжимаемой смеси вытекает следующая запись искомых функций:

Т1 (,х)= Тц () + хТ12 (), (19)

Т2 (t,х) = Т21 (t) + хТ22 ^). (20)

Для межкомпонентного обмена импульсом (21) и межкомпонентного теплообмена (22) записываются следующие выражения [4, 6]:

^ = 6га? ацр! (»1 - »2), (21)

0 = бНщЦТ -Т2)/ Срр20, (22)

М1 = »1 - и^/ с, Rel = Р1 »1 - »2! d / м, Рг = у СрЦ/А, ,

Ыщ = 2ехр(-М1) + 0,459Re10'55 Рг0,33 .

Здесь X, м, ср - теплопроводность и вязкость несущей среды, теплоемкость вещества дисперсной компоненты.

Межкомпонентный обмен импульсом в многофазных средах происходит с участием различных сил [1, 3] - аэродинамического сопротивления, Бассэ, присоединенных масс, динамической силы Архимеда и др., наиболее существенной из которых является сила аэродинамического сопротивления [4], выражение для которой имеет нелинейный вид [1-5], но при малых скоростях течений аэрозольных сред возможно ограничиться линеаризованным выражением для силы Стокса [6] - (21).

Уравнения (19) и (20) можно заменить уравнениями (21*)-(22*):

^ = 01 (»1 - »2), (21*)

0 = 02 (1 - Т2). (22*)

Из этих соотношений получаем систему уравнений динамики несжимаемого течения газовзвеси:

^ + (1 -а)ЛТ12 =-01 dt ' 12 р1

Т

+ х+ »1Т12 = -02 (Т11 - Т21) - 02х(Т12 - Т22), (24)

^ + (1 _а)ЛТ12 (»1 - »2), (23)

dt р1

dTll + ^Ти dt

ÉUjL +aRTu =— (-u2), (25)

dt p2

^dT + xddT + "2?22 = °2 (Tu - T21) + «2x(T12 - T22). (26)

Уравнения (24) и (26) при дифференцировании по пространственной переменной дают следующие выражения:

dT12 dt

= «2 (T12 - T22), (27)

^Тг = а2 (12 - Т22). (28)

Из уравнения (27) следует выражение

Т22 = " ^ + Т12, (29)

а2 dt

из которого получаем линейное дифференциальное уравнение второго порядка:

1 й % + 2 ^ = 0, (30)

а2 йт2 йТ12 г

делая замену-= / , получаем линейное уравнение первого порядка:

dt

—/ + 2/ = 0, (31)

а2 dt

интегрируя эти уравнения, получаем выражение для Т12 и Т22:

Т12 = С^"2^ + С2, Т22 = -С^"2^ + 2С2 . (32)

С учетом выражений (30) рассмотрим уравнения сохранения импульса компонент смеси:

^е"2^ + С2 )(1 -а)Я = (и1 - и2), (33)

^ ' р1

^ + аЯ (в-2*2 +С2)) (и1 -и2). (34)

dt \ > р2

Из системы уравнений (33), (34) возможно выразить скорость несущей компоненты через функцию скорости дисперсной составляющей смеси:

Р2 2 « dt

+ u2 + aR (c1e"2a2t + C2 ) = u1. (35)

В соответствии с уравнением (35) систему уравнений возможно свести к одному линейному дифференциальному уравнению второго порядка:

d2»2 + 01 (р1 + р2) d»2 +

2

dt

р1р2

р1 С1Я р1 С1Я

01

202

^-202?

+ р1 С2 Я = 0. (36)

Введем следующие обозначения:

а1 = 0(±р2), а2 = М-М, а3 =-202, а4 =рЯ

р1р2

01 202

При замене в уравнении (36) функции »2(0 на функцию А/) получаем неоднородное линейное уравнение первого порядка (37), которое возможно интегрировать методом Лагранжа [21]:

^- + а1/ = -С1а2еа3 -С2а4. d X

(37)

Из уравнений (37), (36) получается выражение для функции скорости дисперсной компоненты:

(

»2 ( ) = С1

-а2е

?а3 ^

(

V

а3 (а1 +а3 )

+ С3

(-а1 -а3 )е tа\ ^ + С -а^ а3 (а1 +а3 )

+ С2—4 С4. (38) а1

При этом возможно предположить, что функция скорости дисперсной компоненты принимает лишь конечные значения, а также можно предположить неподвижность смеси при стремлении временной переменной к бесконечности [12], из чего следует, что С2 = С4 = 0. Введем следующие обозначения: а5 = —, а6 = аЯ, тогда а5 + »2 + С1а6еа3 = »1. В новых обозначе-01 dt

ниях функция скорости несущей среды будет иметь вид

»1 () = С1

(( а5а3а2 -а2)e?аз +а ?а3 ^

К, \ + а6е + а3 )

+ С3

(а1 -1)

,-?а\ >

а1

(39)

Коэффициенты С1 и С3 определяются из начальных значений скорости:

»1 (0)= »10,»2 (0) = »20.

Из уравнений сохранения энергии газовзвеси следуют уравнения для составляющих функций температуры компонент смеси:

dT1

11

dt

+ »1Т12 =-02 (Т11 - Т21 ),

dT2

21

dt

+ »2Т22 = 02 (Т11 - Т21).

Из уравнения (39) следует выражение для Тп: ± ^ + Т2, + ОН Т22 = Т„.

02 Ш 02

(40)

(41)

(42)

Из уравнения (42) и уравнения (43) возможно вывести дифференциальное уравнение второго порядка для неизвестной функции Т2ь

d T21 , ,\dT21 dT22 du2

-^ + (a2 +1)—21 + —22 +—2 T22 + a2u2T22 = 0.

dt 2 v 7 dt dt 2 dt 22 2 2 22

(43)

dT22 du2

Слагаемое -Щ2 +--T22 + a2U2^22 возможно представить в виде

dt dt

следующего выражения:

dT2

22

dt

щ2 + J- T22 + a2u2T22 =

2 2

= -2C1 аза2 - a2^1 a2 g2a3f + _C1C3a3 + C1C3a1 - a2C1C3 e("a1 )

а3 (а1 +а3 ) уравнение (41) возможно записать в виде

а3

(44)

£2221 + в dT2L + р2,Р3^ + = 0.

dt2 dt

(45)

где вводятся обозначения:

ft = a2 +1, в2 = -2Г'а(^С) 2 , в3 = 2 а3,

а3 (1 +а3 )

в = -С1С3а3 + С1С3а1 - а2С1С3 в =а а

Р4 =-, Р5 =а3 - а1-

а3

Интегрируя дифференциальное уравнение второго порядка (45), получаем выражение для составляющей скорости Т21:

T21 (t ) =

1

(( +в3 )(( +Рз )

( ( С5

V v

-Pat _Р3Р5

Л

fte _IV

ft

+

P3i R.R .Л R-R .e_P5i „Л

ft

ft

ft

ft

+ C6.

(46)

Из уравнения (42) возможно получить выражения для составляющей температуры несущей среды Тп:

( ( „ и и „Л

T11 (t ) =

1

(( +в3)(( +Р5)

С5

V V

1 5 P1

+

frfae™ fefte^ ftftje-*1 ftIV

+

_P5?

e"P5t ^

ft

ft

ft

ft

+

+

a2 (1 +

ft )(P1 + ft ) П

+

(47)

Константы С5 и Сб определяются через решение системы линейных уравнений относительно искомых констант С5 и Сб, получающихся из значений температур компонент в начальный момент времени на входе в канал:

При вычислении решений уравнений математической модели динамики аэрозоля использовалась система аналитических вычислений Maple [22]: функции dsolve() - для решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого и второго порядков и функция solve() - для решения систем линейных уравнений при отыскании значений констант Сг-, функция подстановки в выражение subs(), а также функции, упрощающие выражения - expand(), simplify().

Математическая модель была реализована в виде программного кода на языке программирования Fortran.

Рассмотрим течение газовзвеси с дисперсностью частиц d = 10 мкм и объемным содержанием а = 0,001, начальными скоростями несущей и дисперсной компонент смеси соответственно u10 = 0,5 м/с, u20 = 0,1 м/с. Начальная температура дисперсной компоненты смеси составляла T20 = 293 К, начальная температура газа T10 = 450 К. Физические параметры несущей среды соответствуют физическим параметрам воздуха, а физические параметры дисперсной компоненты соответствуют физическим параметрам кварцевого песка.

Из рис. 2 следует, что вдоль пространственной координаты происходит охлаждение несущей среды и увеличение температуры дисперсной фазы. За счет охлаждения несущей среды происходит уменьшение давления газа вдоль канала (рис. 3). Аналитическое решение демонстрирует, что с течением времени происходит постепенное уменьшение температуры несущей среды и увеличение температуры дисперсной компоненты (рис. 4). Также происходит замедление движения газа и дисперсных частиц (рис. 5). Из уравнений (32), (38), (39), (46), (47) можно сделать вывод, что в полученной математической модели по мере движения двухкомпонентной смеси происходит монотонное замедление скоростей несущей и дисперсной компонент и выравнивание температуры до равновесной температуры, соответствующей коэффициенту Сб. В процессе перехода к равновесному состоянию температура несущей среды уменьшается, а температура дисперсной компоненты увеличивается.

T1 (x t )x=0,t=0 = T11 (0) + 0 • T12 (0)= T11 (0) T2 (x t )x=0,t=0 = T21 (0 ) + 0 • T22 (0 )= T21 (0 ).

Результаты

TpK

T ,К

2'

340330320310300290-

0.0 02 0.4 Об 0.8 1.0 м 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 х,м

а) б)

Рис. 2. Пространственное распределение температуры несущей среды (а) и дисперсной компоненты (б) в момент времени t = 2 с

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 х,м

Рис. 3. Пространственное распределение давления газа в момент времени t = 2 с

Т,,К

1450

400

350

т2,к

400 800 1200 1600 2000 t,C а)

400 800 1200 1600 2000 t,C б)

и1,м/с

Рис. 4. Временная зависимость температуры несущей среды (а) и дисперсной компоненты (б)

и2,м/с 0.10

400 800 1200 1600 2000 1;,с 0 400 800 1200 1600 2000 {с

а) б)

Рис. 5. Временная зависимость скорости несущей среды (а) и дисперсной компоненты (б)

0

0

0

Заключение

В работе представлена математическая модель одномерного нестационарного течения несжимаемой двухкомпонентной среды монодисперсного состава. Уравнения динамики выведены из уравнений динамики течения двухкомпонентной неоднородной среды с учетом межкомпонентного обмена импульсом и теплом. Система уравнений в частных производных за счет условия несжимаемости компонент смеси сведена к нелинейной системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Система нелинейных дифференциальных уравнений сведена к последовательному решению трех линейных систем дифференциальных уравнений относительно шести неизвестных функций. Получена математическая модель, состоящая из убывающих экспоненциальных функций. Аналитическое решение математической модели течения газовзвеси реализовано в виде компьютерной программы. Реализация математической модели позволяет описывать течения аэрозолей в каналах при скоростях, существенно меньших скорости звука. При этом важнее то, что аналитическое решение позволяет тестировать численные алгоритмы решения уравнений динамики многофазных сред.

Список литературы

1. Нигматулин Р. И. Основы механики гетерогенных сред. М. : Наука, 1978. 336 с.

2. Стернин Л. Е. Двухфазные моно- и полидисперсные течения газа с частицами. М. : Машиностроение, 1980. 176 с.

3. Нигматулин Р. И. Динамика многофазных сред. Ч. I. М. : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. 464 с.

4. Кутушев А. Г. Математическое моделирование волновых процессов в аэродисперсных и порошкообразных средах. СПб. : Недра, 2003. 284 с.

5. Федоров А. В., Фомин В. М., Хмель Т. А. Волновые процессы в газовзвесях частиц металлов. Новосибирск : Параллель, 2015. 301 с.

6. Губайдуллин Д. А. Динамика двухфазных парогазокапельных сред. Казань : Изд-во Казанского математического общества, 1998. 153 с.

7. Емельянов В. Н., Якимов И. В. Околосопловые двухфазные течения // Химическая физика и мезоскопия. 2006. № 3. С. 287-294.

8. Шаповалов А. В., Шаповалов В. А., Рязанов В. И. Математическая модель распространения примесей в ближней зоне при работе ракетных двигателей // Наука. Инновации. Технологии. 2017. № 2. С. 87-96.

9. Суров В. С. Гиперболическая модель односкоростной многокомпонентной теплопроводной среды // Теплофизика высоких температур. 2009. Т. 47, № 6. С. 905913.

10. Кутушев А. Г., Родионов С. П. Взаимодействие слабых ударных волн со слоем порошкообразной среды // Физика горения и взрыва. 2000. № 3. С. 131-140.

11. Шагапов В. Ш., Галимзянов М. Н., Агишева У. О. Уединенные волны в газожидкостной пузырьковой смеси // Известия Саратовского университета. Новая серия. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2020. Т. 20, № 2. С. 232-240.

12. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. В. Теоретическая физика. Гидродинамика. М. : Наука, 1986. 736 с.

13. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М. : Дрофа, 2003. 784 с.

14. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей : в 2 т. ; пер. с англ. М. : Мир, 1991. Т. 2. 552 с.

15. Брыков Н. А., Тетерина И. В., Сахин В. В. О численном решении задач газовой динамики в нольмерной постановке // Системный анализ и аналитика. 2017. № 3. С. 22-29.

16. Тукмаков А. Л., Тукмаков Д. А. Применение неявной конечно-разностной схемы с весами для моделирования колебаний газа в акустическом резонаторе // Вестник Казанского государственного технического университета им. А. Н. Туполева.

2011. № 4. С. 119-127.

17. Тукмаков Д. А. Увеличение интенсивности колебаний газа в акустическом резонаторе // Инженерно-физический журнал. 2015. Т. 88, № 3. С. 638-641.

18. Тукмаков А. Л., Баянов Р. И., Тукмаков Д. А. Течение полидисперсной газовзвеси в канале, сопровождающееся коагуляцией в нелинейном волновом поле // Теплофизика и аэромеханика. 2015. Т. 22, № 3. С. 319-325.

19. Тукмаков А. Л., Тукмаков Д. А. Динамика заряженной газовзвеси с начальным пространственно неравномерным распределением средней плотности дисперсной фазы при переходе к равновесному состоянию // Теплофизика высоких температур. 2017. № 4. С. 509-512.

20. Тукмаков Д. А. Конечно-разностная модель динамики гомогенной смеси в применении к исследованию распространения и отражения ударной волны большой интенсивности в водородно-воздушной среде // Модели, системы, сети в экономике, технике, природе и обществе. 2020. № 1. C. 86-97.

21. Имас О. Н, Пахомова Е. Г., Рожкова С. В., Устинова И. Г. Лекции по дифференциальным уравнениям. Томск : Изд-во Томского политехнического университета,

2012. 193 с.

22. Матросов А. В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики. СПб., 2001. 528 с.

References

1. Nigmatulin R.I. Osnovy mekhaniki geterogennykh sred = Fundamentals of mechanics of heterogeneous media. Moscow: Nauka, 1978:336. (In Russ.)

2. Sternin L.E. Dvukhfaznye mono- i polidispersnye techeniya gaza s chastitsami = Two-phase mono- and polydisperse gas flows with particles. Moscow: Mashinostroenie, 1980:176. (In Russ.)

3. Nigmatulin R.I. Dinamika mnogofaznykh sred. Ch. I. = Dynamics of multiphase media. Part 1. Moscow: Nauka. Gl. red. fiz.-mat. lit., 1987:464. (In Russ.)

4. Kutushev A.G. Matematicheskoe modelirovanie volnovykh protsessov v aerodis-persnykh i poroshkoobraznykh sredakh = Mathematical modeling of wave processes in aerodispersed and powdery media. Saint Petersburg: Nedra, 2003:284. (In Russ.)

5. Fedorov A.V., Fomin V.M., Khmel' T.A. Volnovye protsessy v gazovzvesyakh chastits metallov = Wave processes in gas suspensions of metal particles. Novosibirsk: Parallel', 2015:301. (In Russ.)

6. Gubaydullin D.A. Dinamika dvukhfaznykh parogazokapel'nykh sred = Dynamics of two-phase vapor-gas-droplet media. Kazan: Izd-vo Kazanskogo matematicheskogo ob-shchestva, 1998:153. (In Russ.)

7. Emel'yanov V.N., Yakimov I.V. Near-nozzle two-phase flows. Khimicheskaya fizika i mezoskopiya = Chemical physics and mesoscopy. 2006;(3):287-294. (In Russ.)

8. Shapovalov A.V., Shapovalov V.A., Ryazanov V.I. Mathematical model of the propagation of impurities in the near zone during the operation of rocket engines. Nauka. Innovatsii. Tekhnologii = Science. Innovation. Technologies. 2017;(2):87-96. (In Russ.)

9. Surov V.S. The hyperbolic model of a single-velocity multicomponent heat-conductive medium. Teplofizika vysokikh temperature = Thermal physics at high temperature. 2009;47(6):905-913. (In Russ.)

10. Kutushev A.G., Rodionov S.P. An interaction of weak shock waves with a layer of a powdery medium. Fizika goreniya i vzryva = Combustion and explosion physics. 2000;(3):131-140. (In Russ.)

11. Shagapov V.Sh., Galimzyanov M.N., Agisheva U.O. Solitary waves in a gas-liquid bubble mixture. Izvestiya Saratovskogo universiteta. Novaya seriya. Ser. Matematika. Mekhanika. Informatika = Proceedings of Saratov University. New series. Series: Mathematics, Mechanics. Informatics. 2020;20(2):232-240. (In Russ.)

12. Landau L.D., Lifshits E.V. Teoreticheskaya fizika. Gidrodinamika = Theoretical physics. Hydrodynamics. Moscow: Nauka, 1986:736. (In Russ.)

13. Loytsyanskiy L.G. Mekhanika zhidkosti i gaza = Mechanics of liquid and gas. Moscow: Drofa, 2003:784. (In Russ.)

14. Fletcher K. Vychislitel'nye metody v dinamike zhidkostey: v 2 t.; per. s angl. = Computational methods in fluid dynamics: in 2 volumes; translated from English. Moscow: Mir, 1991;2:552. (In Russ.)

15. Brykov N.A., Teterina I.V., Sakhin V.V. On the numerical solution of gas dynamics problems in the zero-dimensional formulation. Sistemnyy analiz i analitika = System analysis and analytics. 2017;(3):22-29. (In Russ.)

16. Tukmakov A.L., Tukmakov D.A. Application of an Implicit Finite-Difference Scheme with Weights for Modeling Gas Oscillations in an Acoustic Resonator. Vestnik Ka-zanskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta im. A.N. Tupoleva = Bulletin of Kazan State Technical University named after A. N. Tupolev. 2011;(4):119-127. (In Russ.)

17. Tukmakov D.A. Increasing the intensity of gas oscillations in an acoustic resonator. In-

zhenerno-fizicheskiy zhurnal = Engineering physics journal. 2015;88(3):638-641. (In Russ.)

18. Tukmakov A.L., Bayanov R.I., Tukmakov D.A. A flow of a polydisperse gas suspension in a channel accompanied by coagulation in a nonlinear wave field. Teplo-fizika i aeromekhanika = Heat physics and aeromechanics. 2015;22(3):319-325. (In Russ.)

19. Tukmakov A.L., Tukmakov D.A. Dynamics of a charged with an initial spatially nonuniform distribution of the average density of a dispersed phase during the transition to an equilibrium state. Teplofizika vysokikh temperature = Thermal physics at high temperature. 2017;(4):509-512. (In Russ.)

20. Tukmakov D.A. Finite-difference model of the dynamics of a homogeneous mixture as applied to the study of propagation and reflection of a shock wave of high intensity in a hydrogen-air medium. Modeli, sistemy, seti v ekonomike, tekhnike, prirode i ob-shchestve = Models, systems, networks in economics, technology, nature and society. 2020;(1):86-97. (In Russ.)

21. Imas O.N, Pakhomova E.G., Rozhkova S.V., Ustinova I.G. Lektsii po differentsial'nym uravneniyam = Lectures on differential equations. Tomsk: Izd-vo Tomskogo politekhnicheskogo universiteta, 2012:193. (In Russ.)

22. Matrosov A.V. Maple 6. Reshenie zadach vysshey matematiki i mekhaniki = Maple 6. Solving problems of higher mathematics and mechanics. Saint Petersburg, 2001:528. (In Russ.)

Информация об авторах / Information about the authors

Дмитрий Алексеевич Тукмаков Dmitriy A. Tukmakov

кандидат физико-математических наук, Candidate of physical and mathematical

научный сотрудник, Федеральный sciences, researcher, Federal Research

исследовательский центр «Казанский Center "Kazan Scientific Center

научный центр Российской академии of the Russian Academy of Sciences"

наук» (Россия, г. Казань, (2/31 Lobachevskogo street,

ул. Лобачевского, 2/31) Kazan, Russia)

E-mail: tukmakovda@imm.knc.ru

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов / The authors declare no conflicts of interests.

Поступила в редакцию / Received 19.05.2021

Поступила после рецензирования и доработки / Revised 10.07.2021 Принята к публикации / Accepted 16.07.2021