Соотношение между параметрами обмотки электромагнита переменного тока, обеспечивающего наибольшее усилие Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.316

Ю.В. СОФРОНОВ, Н.Н. НИКОЛАЕВ

СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ ПАРАМЕТРАМИ ОБМОТКИ ЭЛЕКТРОМАГНИТА ПЕРЕМЕННОГО ТОКА, ОБЕСПЕЧИВАЮЩЕГО НАИБОЛЬШЕЕ УСИЛИЕ

Тяговый электромагнит переменного тока должен обеспечить заданное значение электромагнитного усилия при известном ходе якоря. Актуальной задачей его оптимального проектирования является определение таких параметров, при которых заданное усилие было бы максимальным. Электромагнитное усилие зависит от большого числа параметров, что усложняет анализ. Желательно найти такие обобщенные параметры, которые по определенной математической связи объединяют несколько конкретных параметров. К таким обобщенным параметрам можно отнести активное и индуктивное сопротивления обмотки, так как активное сопротивление зависит от числа витков, диаметра обмоточного провода, размеров окна обмотки, линейных размеров магнитопровода и др., а индуктивное сопротивление, в свою очередь, зависит от числа витков, длины рабочих и нерабочих воздушных зазоров, линейных размеров магнитной системы, частоты источника питания и др. В работе исследуется влияние соотношения активного и индуктивного сопротивлений обмотки на электромагнитное усилие.

Усилие, созданное электромагнитом переменного тока, может быть найдено по известному выражению [3]

Р = -!/2 —, (1)

2 й8

где I - потребляемый обмоткой ток; Ь - индуктивность обмотки; 5 - длина рабочего воздушного зазора.

Индуктивность обмотки электромагнита выражается через число витков обмотки (W) и магнитную проводимость магнитной системы (Л) формулой

Ь = W2 Л . (2)

Тогда электромагнитное усилие будет определяться выражением

Р = -112г2 ^. (3)

2 d5

У электромагнитов переменного тока, как правило, зазор при начальном положении якоря сравнительно велик, и магнитным сопротивлением стали можно пренебречь. При этом допущении магнитная проводимость будет определяться проводимостью воздушного зазора (Л5) и проводимостью рассеяния (Л ж)

Л = Л5 +Л, = Л5С , (4)

где ст - коэффициент рассеяния.

Проводимость воздушного зазора может быть найдена через проводимость для равномерного магнитного поля с учетом искажений магнитных силовых линий посредством коэффициента выпучивания (кв > 1)

Л5=^5^кв, (5)

5

где ц0- магнитная постоянная, ц0 = 4п10-7 Гн/м; £ - площадь поперечного

сечения полюса электромагнита.

С учетом (4) и (5) магнитная проводимость будет равна

л = ■^5~кв ст; л = ^£ р, (6)

5 5

где р = квСТ. (7)

Поправочный коэффициент р, учитывающий выпучивание и рассеяние магнитного потока, очевидно, будет зависеть от зазора. Определим эту зависимость.

Как известно [1], оптимальным считается электромагнит с квадратной формой полюсов (£ = а2), и коэффициент выпучивания в этом случае с достаточной точностью определяется по формуле [1]

кв = 1+-, (8)

а

где а - размер стороны полюса. Среднее значение коэффициента рассеяния может быть записано в виде [3]

ст = 1 + . (9)

тЛ5

С учетом (5) и (8) выражение (9) преобразуется

1 X *15

ст = 1 +--*---—, (10)

тц0£ (1 +—) а

где X* - удельная проводимость рассеяния; I - длина сердечника; т - коэффициент, зависящий от типа магнитной цепи: для магнитной цепи с сосредоточенной магнитодвижущей силой (МДС) т = 2, с распределенной МДС - т = 3 [3].

С учетом выражений (7), (8) и (10) поправочный коэффициент р будет равен

р = 1+^+_^5_, (11)

а тц0а

а магнитная проводимость системы

Л = й^

5

или Л = ц0 £

тц0а2

/

( 11 X *1 Л

5 + _ +----2

у5 а тц0а у

(12)

Взяв производную по зазору от выражения (12), с учетом (6) находим

— =—— . (13)

С5 8квст

Подставив выражение (13) в (3), для электромагнитного усилия получим С учетом выражения (2)

1 о W2Л

P --/2 . (14)

2 5к,а

/ 2 L

P-^-. (15)

25k, а

,

Умножив числитель и знаменатель (15) на угловую частоту ( ® = 2л/, / -частота источника питания), получим

/ 2roL

P - . (16)

25к,аго

Очевидно

12ю1 = Q, (17)

где Q - потребляемая электромагнитом реактивная мощность. Тогда

р=. (18)

2окво—

Из выражения (18) следует, что электромагнит переменного тока создает

электромагнитную силу за счет потребления из сети реактивной мощности, о

чем справедливо отмечается и в [1, 2]. В любом случае, при прочих равных условиях, чем больше потребляемая реактивная мощность, тем большее усилие развивает электромагнит.

Представляет интерес поиск оптимальных параметров электромагнита, при которых потребляемая реактивная мощность, а следовательно, и создаваемая электромагнитная сила максимальны.

Учитывая связь тока в обмотке электромагнита с напряжением и сопротивлением, для амплитудного значения реактивной мощности получим выражение:

и2 — Т тт2

q = u m°J^ = и m (10)

Qm R2 + (—L)2 R2 , ()

---+ —L

—L

где Um - амплитуда напряжения; R - активное сопротивление обмотки.

В соответствии с уравнением (19) видно, что при R = const должен наблюдаться экстремум функции Qm (L), так как эта функция неразрывна, а при L=0 и L = да она обращается в нуль. В таблице приведены результаты расчета реактивной мощности, потребляемой электромагнитом, при Um = 220>/2 B и R = 500 Ом, а на рисунке представлена соответствующая зависимость, подтверждающая наличие оптимальной индуктивности.

юЬ/Л 0 0,25 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

Ь Гн 0 0,4 0,8 1,6 2,4 3,2 4,0 4,8

е ВА 0 51,2 85,28 96,8 89,6 77,2 68,16 58,0

Є, ВА

Влияние индуктивности обмотки на потребляемую реактивную мощность Для нахождения оптимальной индуктивности достаточно взять производную по индуктивности от выражения (19) и приравнять ее нулю. В результате получим

(®Ь)опт = Я . (20)

Решение является насколько изящным, настолько и неожиданным. В соответствии с (20) наибольшую силу создает электромагнит переменного тока, для которого в начальном положении якоря обеспечивается равенство индуктивного и активного сопротивлений обмотки. В то же время принято считать [1, 2], что индуктивное сопротивление обмотки электромагнита переменного тока, питающегося от источника напряжения (обмотка напряжения), значительно больше ее активного сопротивления не только при притянутом якоре, но и для разомкнутой системы. Более того, часто при расчете электромагнитов активным сопротивлением обмотки вовсе пренебрегают. Это оправданно в некоторой степени при притянутом якоре, но недопустимо при расчете разомкнутой магнитной цепи.

Справедливость соотношения (20) косвенно подтверждается и полученным ранее в [4] аналогичным соотношением для обеспечения минимального времени срабатывания электромагнитов переменного тока. Действительно, если при прочих равных условиях электромагнит развивает наибольшее электромагнитное усилие, то при заданной противодействующей силе будет наблюдаться наибольшая кинетическая энергия, а следовательно, и наименьшее время срабатывания.

Следует предостеречь специалистов от упрощенного понимания условия оптимальности. Представим себе случай, когда обмотка спроектированного электромагнита обладает большим индуктивным сопротивлением, чем активным. Зная, что максимальная сила обеспечивается при равенстве сопротивле-

нии, напрашивается простейшее решение - подключение последовательно с обмоткой добавочного резистора. Однако это решение является ошибочным. Во-первых, это связано с тем, что при постоянстве индуктивности в соответствии с (19) при увеличении активного сопротивления (Я) монотонно будет уменьшаться реактивная мощность, а следовательно, и электромагнитная сила. Во-вторых, это приведет к увеличению потребляемой активной мощности (РЯ ) и дополнительному нагреву, так как

Ря = =-

и2

2Г- (21>

Я + (юЬ)2/Я

Анализ выражения (21) приводит к выводу, что при изменении Я при неизменной Ь активная мощность при Я = а>Ь приобретает максимальное значение и йРЯ)йЯ = 0 . Действительно,

ёря ёЯ

и2

Я=юГ

1 -

Я2

= 0.

(22)

(Я + ю2 Ь2/Я)2

Следовательно, в данной ситуации нужно оперировать теми параметрами, которые должны привести к изменению индуктивного сопротивления обмотки так, чтобы приблизить его к омическому.

Индуктивность обмотки согласно (2), (6), (11) может быть изменена путем подбора числа витков Ж, длины зазора 5 и сечения магнитопровода S. Но следует иметь в виду, что эти параметры могут влиять на силу не только посредством влияния на индуктивность.

Запишем выражение для силы через названные параметры в более общем виде:

р = Qm

т~ ю28квст

и2

Я

2ю8кв ст(----+ юГ)

юГ

Р =-

2ю8кв ст(

(23)

(24)

2

юЖ 2 квст

Р =-

и 2

2Я 282 Ж2ц0а2

+ 2ю2Ж 2ц0а 2(квст)2

(25)

Рт =-

ит

2Я 282 Ж2ц0а2

+ 2ю2Ж 2ц0а 2

а тц0а

(26)

Рт =-

ит

2р2/2 Ж282

‘ср™ , ,,„2П72.. „2

2 2 2 2 ^0^0 То ^0а

- + 2ю2Ж 2ц0а"

тц0а

(27)

2

2

а

В уравнениях (23)-(27) дополнительно фигурируют величины: р - удельное сопротивление материала обмоточного провода; I - средняя длина витка обмотки; Н0 - толщина обмотки; 10 - длина обмотки; /0 - коэффициент заполнения окна обмотки; сечение сердечника принято квадратным 5=а2.

В соответствии с уравнением (26) ясно, что оптимальность зазора будет отсутствовать и электромагнитная сила будет монотонно уменьшаться с ростом зазора.

Влияние числа витков обмотки на электромагнитную силу зависит от способов его изменения. Если одновременно с изменением числа витков изменяется и электрическое сопротивление обмотки, то, в соответствии с формулой (27), электромагнитная сила уменьшается с ростом числа витков.

Оптимум числа витков можно получить только в том случае, когда с изменением числа витков поддерживается постоянным активное сопротивление обмотки (или цепи обмотки). Оптимальное значение числа витков в соответствии с выражением (25) получается после его дифференцирования по Ж и приравнивания производной нулю:

юЬорт = Я . (28)

Таким образом, оптимальное значение числа витков (28) обусловлено оптимальным соотношением сопротивлений обмотки.

Несколько сложнее обстоит дело с влиянием на электромагнитное усилие сечения магнитопровода а2. Если бы поправочный коэффициент проводимости Р = квст оставался постоянным, то оптимальное значение сечения находилось бы точно так же, как оптимальное число витков из выражения (25)

*2опт =---. (29)

юц Ж (кв ст)

Или Ю Ж Ьопт = Я юЬорт = Я .

Но более правильно влияние сечения на электромагнитную силу оценивает выражение (27). Качественный анализ его показывает, что оптимум сечения остается, но после приравнивания нулю производной по сечению выражения (26), относительно аопт получается уравнение четвертой степени, решить которое аналитически не представляется возможным. Графический анализ его приводит к выводу, что оптимальное значение сечения магнитопровода смещается в сторону меньших значений по отношению к полученному по (29).

Таким образом, при равенстве активного и индуктивного сопротивлений обмотки электромагнит переменного тока обеспечивает наибольшую электромагнитную силу. Полагая Я = юЬ для усилия в соответствии с (23) получим

и2

Рт =-----т— . (30)

т 4ю5Якв ст

Учитывая, что среднее значение усилия Рср в два раза меньше Рт, а амплитудное значение напряжения связано с действующим значением соотношением ит = и >/2, для наибольшего значения средней электромагнитной силы получим

и2

PcP = ---------, (31)

ср 4ю8Яkвст

где U - действующее значение напряжения источника питания.

Выражение (31) может быть использовано при проектировании электромагнитов переменного тока, предназначенных для дистанционного управления механическими, гидравлическими, пневматическими и другими устройствами, для которых требуется обеспечить заданное механическое усилие при сравнительно большом ходе якоря. Для таких электромагнитов расчетным при проектировании является значение усилия при начальном положении якоря.

Вывод. Для обеспечения наибольшего электромагнитного усилия тягового электромагнита переменного тока при заданном ходе якоря необходимо обеспечить равенство активного и индуктивного сопротивлений обмотки.

Литература

1. Гордон А.В., СливинскаяА.Г. Электромагниты переменного тока. М.: Энергия, 1968. 200 с.

2. Сливинская А.Г. Электромагниты и постоянные магниты. М.: Энергия, 1972. 248 с.

3. Софронов Ю.В., Зайцев Ю.М., Губин В.А. Влияние параметров электромагнита переменного тока на его время срабатывания // Электрические машины и аппараты. Чебоксары, 1975. Вып. 4. С. 105.

4. Софронов Ю.В., Свинцов Г.П., Николаев Н.Н. Проектирование электромеханических аппаратов автоматики: Учеб. пособие. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 1986. 58 с.

СОФРОНОВ ЮРИЙ ВАСИЛЬЕВИЧ. См. с. 260. НИКОЛАЕВ НИКОЛАЙ НИКОЛАЕВИЧ. См. с. 260.