CC BY
54Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences Scientific Journal Impact Factor Advanced Sciences Index Factor
VOLUME 2 | ISSUE 12 ISSN 2181-1784 SJIF 2022: 5.947 ASI Factor = 1.7
SONLI QATORLAR
Ergasheva Rayxona Chori qizi
Termiz davlat universiteti Axborot texnologiyalari fakulteti talabasi Alimova Rayhon Abdug'afforovna
Termiz davlat universiteti Axborot texnologiyalari fakulteti talabasi
Ushbu maqolada sonli qatorlar, Dalamber alomati, Koshi alomati haqida bayon etilgan. Teorema va ta'riflarning tasdig'i bilan keltirib o'tilgan. Bir nechta misollarningyechimi keltirilgan.
Kalit so'zlar: Sonli qatorlar, Dalamber alomati, Koshi alomati, sonli ketma-ketliklar, yaqinlashish shartlari, uzoqlashish shartlari.
В данной статье рассматриваются числовые линии, признак Даламбера, признак Коши. Он цитируется с подтверждением теоремы и определениями. Приведено решение нескольких примеров.
Ключевые слова: числовой ряд, признак Даламбера, признак Коши, числовые ряды, условия сходимости, условия расходимости.
Agar sonlar а^ + а2 + а3.,. + а^ + ■■■ ko'rinishida bo'lsa, bu sonlar sonli ketma-ketlik deyiladi.
ko'rinishida bo'lsa bunday yig'indi sonli qator yoki cheksiz sonli qator deyiladi. Yig'indini
qisqacha yozishimiz uchun " £ "belgidan foydalamiz va (1) tenglikni quyidagicha yozamiz: an ko'rinishiga keltiramiz.
alr a2, a31.....an - qatorning hadlari an - qatorning umumiy hadi deyiladi.
51 = dj. J2 = (ij + Од, 53 = Oj + a2 + .... ,Sn = at -+ a2 + a3 -+----h an yozib olib
5. sonli qatorining yig'indisini topamiz.
Ta'rif: Agar n ->■ at da (1) qatorning {5n} qismiy yig'indilar ketma - ketligi chekli limitga ega ya'ni, lim,^ sn=s bo'lsa, u holdaan = a^ -+ a2 -f a3 + ■■■ + an sonli qatorimiz yaqinlashuvchi deyiladi S son esa shu sonli qatorning qator
ANNOTATSIYA
АННОТАЦИЯ
Agar
Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences Scientific Journal Impact Factor Advanced Sciences Index Factor
VOLUME 2 | ISSUE 12 ISSN 2181-1784 SJIF 2022: 5.947 ASI Factor = 1.7
yig'indisi deyiladi. Agar n^ co da (1) qatorning {Sn} qismiy yig'indilar ketma -ketligining limit cheksiz bo'lsa yoki mavjud bo'lmasa, u holda (1) qator uzoqlashuvchi deyiladi.
Teorema: Agar (1) qator yaqinlashuvchi bo'lsa, u holda
bo'ladi. Bunda zaruriy shart bajariladi, ammo yetarli shart bo'lmaydi. jt/. . .-,. = : bo'lsa, qator uzoqlashuvchi bo'ladi.
1 - misol: ZT=r
■ Ji(n-l) 1*2 2*3
tekshiring
Yechilishi: bunda
limn= o foydalanamiz:
S - 1 + — h-----1—---h ■■■
11 1*2 2*3 w(m+l)
1 - * ™ « o+i)
+ .
qatorni yaqinlashishga
Sn=i
2 2 3 1
limitga o 'tamiz, lim^^S^lirn^^fl - , S=1 sonhosil bo'ldi.
Demak, sonli qator yaqinlashuvchi bo'ladi. Endi 2 - teorema bilan isbotlashni o'rganamiz.
Misol: lim„ + yoki Lim^(,(i + n)»=e shartlaridan foydalanamiz:
r2n2-3 =
I: =: (tttt1 í qatorni yaqinlashishga tekshiring.
Yechilishi: = ko'rinishida yozib olamiz.
271
Bu yerda lim„ (l + " = e bo'ladi lim„ (i + = e
U holda
Qatorning yaqinlashuvchi bo'lishining zaruriy sharti (2) bajarilmaydi. Demak, berilgan qator uzoqlashuvchi.
Teorema: Agar n -»■ t» da (1) qatorning (sn) qismiy yig'indilar Ketma - ketligining limiti cheksiz bo'lsa yoki mavjud bo'lmasa, u holda (1) qator uzoqlashuvchi deyiladi.
Oriental Renaissance: Innovative, p VOLUME 2 | ISSUE 12
educational, natural and social sciences IV ISSN 2181-1784
Scientific Journal Impact Factor Q SJIF 2022: 5.947
Advanced Sciences Index Factor ASI Factor = 1.7
Musbat qatorning yaqinlashuvchi bo'lishining sharti. Biror qator berilgan bo'lsin.
Agar an > o (n= 1,2......) bo'lsa, (3) qator musbat hadli qator yoki qisqacha
musbat qator deb ataladi .
Teorema: (3) musbat qator yaqinlashuvchi bo'lishi uchun uning qismiy yig'indilar ketma - ketligining yuqoridan chegaralangan bo'lishi zarur va yetarlidir. Misol: Ushbu qatorni yaqinlashuvchilikka tekshiring.
cos
21
+
cos
22
■+- +
COS" n
1*2 2*3 * (n + 1}
Yechilishi: Berilgan qatorning umumiy hadi uchun quyidagi tengsizlik o'rinli
cue' k _.
a.=—-<
k tfi+i) ' frO+i)
c —V" gos* " V" /1
t+i
chunki cos2n<i holda
k + l/
n 41
< 1
{Sn} qismiy yig'indilar ketma - ketligi yuqoridan 1 soni bilan chegaralangan. Demak, yuqoridagi 3-teoremaga asosan berilgan qator yaqinlashuvchi. Koshialomati: =al+a2+ - +an+ --
Qator barcha n > l uchun V«* < q < i bo'lsa (1) qatori yaqinlashuvchi bo'ladi.
T7;;: : bo'lsa (1) qator uzoqlashuvchi bo'ladi. Isboti: Aytaylik (1) qator hadlari uchun Vä"~< q < i bo'lib, bu tenglamadan : TT < .-,. £ bo'lishi kelib chiqadi .
- bunday sonli qatorlar garmonik qator deyiladi va garmonik qator uzoqlashuvchidir. Agar£^=1^- bo'lib,
1) a > l bo'lsa umumlashgan garmonik qator uzoqlashuvchi bo'ladi;
2) a > l bo'lsa garmonik qator uzoqlashuvchi bo'ladi.
Bundan et,, <qn, q < i va n > i da yaqinlashuvchiligi kelib chiqadi va > l bo'ladi. ZT=ii = i + i + —+ i + — qator mos hadidan kichik.
7«* ^ 1
Ko'pincha, Koshi alomatining quyidagi keltirilgan limit ko'rinishidagi tasdig'idan foydalaniladi.
jt:; . : TT = ;■ mavjud bo'lsin, u holda,
1) k < l bo'lganda sonli qatorimiz yaqinlashuvchi;
2) k > l bo'lsa sonli qatorimiz uzoqlashuvchi bo'ladi.
Agar k = i hol mavjud bo'lsa, Koshi alomati bilan uni yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi deya olmaymiz.
Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences Scientific Journal Impact Factor Advanced Sciences Index Factor
VOLUME 2 | ISSUE 12 ISSN 2181-1784 SJIF 2022: 5.947 ASI Factor = 1.7
Misol: (^t)'" qatorni yaqinlashishga tekshiring.
Bu yerda, a„ = (r^jT, * S limitSa o'tsak,
linu Va ~=lim„ * = r hosil bo'ladi. Bunda lim„
fj -JQ= \ "fi '""ЩШ
4m + 5
4m + 5 5n+6 5
и*—lim„ t/ti^I
bo'ladi va limn4a:
4 +
linx
Бгз+6
dan surat va mahrajni n ga bo'lib yuboramiz.
dan lim
:: - f-77 = 7 - : kelib chiqadi va Koshi alomatiga ko'ra
5—
7J -»DC
5n+&
qator yaqinlashuvchi.
Dalamber alomati: Agar musbat hadli
qatorda barcha n > 1 uchun ^^ < q < 1 (an > о, n = 1,2,3... ) bo'lsa, (1) qator
yaqinlashuvchi bo'ladi.
1 > o,n = 1,2,3,....) bo'lsa (1) qator uzoqlashuvchi bo'ladi. Agar
limitga o'tsak (1) qator uchun lim„ ^^ = d limit mavjud bo'lsin. U holda:
1) d < 1 bo'lganda (1) qator yaqinlashuvchi bo'ladi;
2) d > 1 bo'lganda (1) qator uzoqlashuvchi bo'ladi. Misol: Ushbul£=14i; qator yaqinlashuvchilikka tekshirilsin:
lin^^fi + ^Y1 = e ИиЦцвС! + n); = e ; foydalanamiz va Dalamber alomatidan yaqinlashishga tekshiramiz:
4-1 -
(n+iV
CB+O
.1
„V.' ^m+l
(я+1)! га71 _ п!»(и41}тп
(« + 1)1
bu holatda n darajaga
(il+l)71 Ttt 1 J 0
bo'lamiz va natija 1;-^)" = va bundan limitga o'tsak, lira^.
a'
n
Demak, (e w 2,71...) ga ko'ra d= ^<1 berilgan qator yaqinlashuvchi.
Eslatma: d = 1 bo'lganda Dalamber alomati javob bermaydi. Yani d=1 bo'lsa (1) qator yaqinlashuvchi ham uzoqlashuvchi ham bo'lishi mumkin.
Misol -",=—7—"" bu misolda bittalik faktarial bo'lganligidan Dalamberda ishlaymiz.
a.
"41 ((m+i>+Z)!
tn+1)12 - * ^ limitga keltirsak,
n L 4 Jit14*+ -J \ ! H О 7
Cn+3)*(n+2)! n-
Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences Scientific Journal Impact Factor Advanced Sciences Index Factor
VOLUME 2 | ISSUE 12 ISSN 2181-1784 SJIF 2022: 5.947 ASI Factor = 1.7
lim.
= lim
imm 4- q"^ o f"« 4- > I *
i\12
1 —
i—
12
jj+3
= 1 * 0 = 0 < 1
Demak, sonli qator yaqinlashuvchi.
Misol: an = darajada n qatnashgani uchun bu sonli qatorni Koshi
alomatida yechiladi.
= - <
-—----TJ^OIV- ■ _(ll=+6y'
1 demak, sonli qator yaqinlashuvchi.
Xulosa qiladigan bo'lsam, bu maqolamda sonli qatorlar va ularning yaqinlashishi, uzoqlashishi haqida yozilgan, yig'indi haqida ma'lumotlar keltirilgan. Koshi va Dalamber alomatlari yoritib berilgan va ularga bir nechta misollar va ajoyib limitlar keltirilgan.
REFERENCES
1. G. Xudayberganov, A. K. Vorisov, X. T. Mansurov, B. A. Shoimqulov "Matematik Analizdan ma'ruzalar" 1- qism "Voris - nashriyot" Toshkent - 2010.
2. G. Xudayberganov, A. K. Vorisov, X. T. Mansurov, B. A. Shoimqulov "Matematik Analizdan ma'ruzalar" 2 - qism "Voris - nashriyot" Toshkent - 2010.
3. A. Gaziyev, I. Israilov, M. Yaxshiboyev "Matematik Analizdan misol va masalalar" Toshkent "Yangi asr avlodi" 2006.
4. A. Gaziyev, I. Israilov, M. Yaxshiboyev "Funksiyalar va Grafiklar" "Voris -nashriyot" Toshkent - 2016.
