CC BY
8Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 11-01-00321, гранта "Ведущие научные школы
РФ" НШ-979.2012.1 и гранта Института математики Быдгощского университета (University of Bydgoszcz,
Poland).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Skvortsov V.A, Tulone F. Representation of quasi-measure by Henstock-Kurzweil type integral on a compact zero-dimensional metric space // Georg. Math. J. 2009. 16, N 3. 575-582.
2. Skvortsov V.A., Tulone F. Henstock-Kurzweil type integral in Fourier analysis on zero-dimensional group // Tatra Mount. Math. Publ. 2009. 44. 41-51.
3. Ostaszewski K.M. Henstock integration in the plane // Mem. AMS. 1986. 63, N 353.
4. Thomson B.S. Derivation bases on the real line // Real Anal. Exchange. 1982/83. 8, N 1. 67-207; N 2. 278-442.
5. Lee P.Y., Vyborny R. The Integral: An Easy Approach after Kurzweil and Henstock. Cambridge: Cambridge University Press, 2000.
6. Лукашенко Т.П., Скворцов В.А., Солодов А.П. Обобщенные интегралы. 2-е изд. М.: Книжный дом "Либерком", 2011.
7. Скворцов В.А., Тулоне Ф. Об интеграле перроновского типа на компактной нульмерной абелевой группе // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2008. № 3. 37-42.
8. Grubb D.J. Sets of uniqueness in compact 0-dimensional metric groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1987. 301. 239-249.
Поступила в редакцию 09.02.2011
УДК 510.57
СОГЛАСОВАННАЯ С ОТНОШЕНИЕМ ПОРЯДКА КОПРОЕКЦИЯ ВЫЧИСЛИМЫХ МЕР НЕ ВСЕГДА ВЫЧИСЛИМА
М. А. Раскин1
В статье приводится пример двух сравнимых (т.е. являющихся проекциями меры на последовательностях в алфавите пар символов, запрещающей пары, у которых первый член меньше второго) вычислимых вероятностных мер на бесконечных последовательностях из нулей и единиц, при этом любая такая копроекция невычислима.
Ключевые слова: вычислимые вероятностные меры, копроекция мер.
An example of two computable probabilistic measures is given on infinite binary sequences such that the two measures are comparable (there exists their coupling that forbids the pairs of symbols with the first member less than the second one), but all such couplings are incomputable.
Key words: computable probabilistic measures, measure coupling.
1. Введение. Пусть имеются вероятностные меры ¡j,,v на пространствах X,Y. Говорят, что мера а на пространстве X х Y является копроекцией ц и v, если ее проекции равны ц и v (пример: ^ х v). В ряде случаев представляют интерес копроекции, для которых случайная пара (x, y) обладает некоторым "хорошим" свойством с большой вероятностью.
В настоящей работе X = Y есть пространство всех бесконечных последовательностей нулей и единиц. Рассматриваются копроекции мер, такие, что с вероятностью 1 x покомпонентно не меньше y. Вычислимые меры, для которых существует копроекция с таким свойством, рассматривались в работе [1]. Там же был поставлен вопрос: можно ли в этой ситуации без ограничения общности считать копроекцию вычислимой? В настоящей работе дается отрицательный ответ на этот вопрос.
2. Копроекции. Приведем основные определения, связанные с копроекциями.
1 Раскин Михаил Александрович — асп. каф. математической логики и теории алгоритмов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: raskin@mccme.ru.
Определение. Пусть заданы конечное множество X и два распределения вероятностей Р\ и Р2 на нем. Пусть также задано некоторое бинарное отношение М С X х X. Будем говорить, что распределение Р\ находится в отношении М с Р2, если существует копроекция Р\ и Р2, относительно которой множество пар М имеет вероятность 1. Такую копроекцию будем называть согласованной с М.
В терминах случайных величин Р\ находится в отношении М с Р2 (обозначается Р1МР2), если существуют две случайные величины £ и п на одном вероятностном пространстве со значениями в X, распределения которых равны Р1 и Р2 и для которых £ находится в отношении М с п (во всех точках вероятностного пространства).
Возникает вопрос: как по данным распределениям и отношению выяснить, верно это или нет? Эта задача сводится к следующей задаче о максимальном потоке в сети.
Рассмотрим сеть, построенную, как на рис. 1. Пропускные способности ребер из истока в соответствуют значениям Р1, пропускные способности ребер в сток Ь — значениям Р2. Ребра сети между экземплярами X соответствуют элементам бинарного отношения М. Если в этой сети возможен максимальный (единичный) поток, то его значения на ребрах будут распределением вероятностей на М и одновременно копроекцией Р1 и Р2 и
„ „ наоборот. Таким образом, возможность отыскания ко-
Рис. 1. Сеть, соответствующая „иг
проекции, согласованной с М, равносильна существова-
заданному отношению М
нию единичного потока, и теорема Форда-Фолкерсона указывает препятствие к этому (наличие разреза, пропускная способность которого меньше единицы). Это препятствие легко переформулировать в терминах событий следующим образом.
Предложение. Копроекция не существует тогда и только тогда, когда существуют подмножества А, В С X, такие, что все М-соседи А лежат в В и Р1 (А) > Р2(В).
(Факт, что это препятствие, очевиден; то, что это единственное препятствие, напрямую следует из теоремы Форда-Фалкерсона.) В этом критерии можно считать, что В состоит из всех соседей множества А.
Замечания. 1. Пусть X = У и М — отношение предпорядка (транзитивное рефлексивное отношение). Тогда критерий можно переформулировать так: Р1(А) ^ РДА) для всякого замкнутого вверх множества А С X. (В самом деле, можно считать, что В состоит только из соседей, тогда оно замкнуто вверх и содержит А, а значит, можно замкнуть А вверх.)
2. С использованием копроекции (в несколько другой постановке) в работах [2, 3] были получены все известные не шенноновские неравенства для энтропии. Для трех случайных величин (на одном пространстве) а, в, 7 строилась новая тройка, в которой распределения пар (а, в) и (а, 7) сохранялись, а в и 7 становились независимыми при известном а. (При этом I(в : 7) после такого преобразования оказывалось новой характеристикой исходной тройки, несводимой к стандартным энтропийным характеристикам.)
3. Основной результат. Для конечных множеств, как мы видели, можно найти согласованную с отношением копроекцию (или доказать ее отсутствие), построив максимальный поток. Как мы сейчас покажем, в случае бесконечных множеств копроекция двух вычислимых мер, согласованная с отношением, может существовать, но для некоторых пар вычислимых мер она обязана быть невычислимой.
Определение. Рассмотрим множество £ = {0,1}. Через обозначим пространство бесконечных последовательностей нулей и единиц. Введем на нем покомпонентный частичный порядок: Х0Х1Х2 ... ^ У0У1У2 ..., если Хг ^ у г при всех г. Будем рассматривать меры, заданные на сигма-алгебре, порожденной множествами слов, являющихся продолжениями заданных конечных слов. Мера / на пространстве называется вычислимой, если существует алгоритм, который по е € > 0, и конечному слову х в алфавите £ находит с точностью е меру множества всех бесконечных продолжений х (см., например, [4]). Аналогично определяется вычислимость для мер на пространстве х £к: алгоритм должен по е > 0 и словам Х, У находить с точностью е меру множества всех пар, в которых первая компонента продолжает слово Х, а вторая — слово У.
Теорема. Оуществуют две вычислимые меры Р и Q на £к, которые имеют копроекцию, согласованную с но не имеют вычислимой копроекции, согласованной с
Доказательство. Вначале рассмотрим случай, когда в качестве £ взято не множество {0,1}, а более сложно устроенное, конечное, частично упорядоченное множество. Пусть, скажем, оно содержит четыре элемента а, Ь, с, й, для которых а,Ь ^ с,й, а пары а,Ь и с,й несравнимы.
Пусть Х0,Х1,Х2,... независимы и принимают значения а и Ь с вероятностью 1/2. Аналогичным образом пусть Уо,У1,У2,... независимы и принимают значения с и й с вероятностью 1/2. У случайных величин
X = XoXlX2 ... и у = УоУ1У2 . . . есть много различных копроекций. Можно считать, например, что уг = в при Xi = а и уг = й при XI = Ь; можно поменять в и й местами; наконец, можно считать XI и уг независимыми. Эти три варианта соответствуют трем матрицам совместного распределения для Xi и у г:
1/2 0 0 1/2
0 1/2 1/2 0
/1/41/44
V1/41/4/
Рис. 2. Отношение на множестве X
Проекции у этих распределений (суммы по строкам и столбцам) одинаковы, хотя сами распределения разные.
Другой пример: пусть X содержит элементы e,f,g,h, причем единственными отношениями (кроме рефлексивности) являются e ^ g и f ^ h. Пусть в x равновероятно входят символы e и f, а в y — символы g и h. В таком случае копроекция единственна (и при этом yi становится функцией от Xi и наоборот).
Покажем, как построить две вычислимые меры для x и y так, чтобы копроекция, согласованная с отношением, существовала, но не могла быть вычислимой. Рассмотрим два перечислимых неотделимых множества натуральных чисел A и B (см., например, [5]). Будем считать, что мы соединили перечисляющие алгоритмы в алгоритм, который на каждом четном шаге печатает сначала элемент из A, а на каждом нечетном — элемент из B, причем каждый элемент печатается только по одному разу.
Мы будем строить последовательности в алфавите X, который состоит из восьми элементов a,b,c,d, e,f,g,h и получается соединением двух примеров (как на рис. 2).
Построим требуемые меры как образы равномерного распределения на бесконечных словах из нулей и единиц при вычислимом отображении. Для этого опишем алгоритмы, которые используют случайные биты и выписывают слова x и y.
Наша цель — добиться того, чтобы на каждом четном месте в x равновероятно стоял символ a или b, на каждом нечетном месте в x — символ e или f, а в y на четных и нечетных местах стояли равновероятно символ c или d и символ g или h соответственно. При этом если на шаге номер m алгоритм выписывает число n, то X2m+i = e (соответственно X2m+1 = f ) одновременно с X2n = a (соответственно X2n = b); если число n лежит в A, то y2m+i = g/h одновременно с y2n = c/d, а если число n попало в B, то, наоборот, y2m+i = h/g одновременно с y2n = c/d. Заметим, что каждая позиция оказывается привязанной не более чем к одной другой (на каждом шаге выписывается одно число и каждое число выписано не более одного раза).
Для обеспечения этого алгоритм, выписывающий слово X или y, будет выполнять алгоритм перечисления A и B на m шагов для заполнения мест с номерами 2m и 2m + 1, после чего символы на этих позициях будут либо определяться однозначно более ранними, либо выбираться в соответствии со случайным битом. При этом последнее определяется только перечисляющим A и B алгоритмом.
Очевидно, что существует копроекция (и ее даже можно вычислить, используя оракулы для A и B: выбирая способ спаривания X2i и y2i, необходимо знать, попадает ли i в A или B, и действовать соответственно, чтобы потом не прийти к противоречию).
Покажем, что вычислимая копроекция позволяет отделить A от B. В самом деле, если нам дано некоторое число i и мы хотим отделить вариант i G A от i G B, то следует посмотреть на совместное распределение X2i и y2i. При i G A и i G B эти распределения разные (и определяются однозначно, см. матрицы распределения выше), если же i £ A U B, то возможна произвольная выпуклая комбинация этих вариантов. Таким образом, можно разделить i G A и i G B, что противоречит предположению о неотделимости.
Осталось перейти от построенного нами восьмиэлементного множества W к последовательностям нулей и единиц. Это легко сделать, вложив W в булев куб размерности 8 с покоординатными сравнениями, например, так:
a = 1000 0000, b = 0100 0000, c = 1110 0000, d = 1101 0000, e = 0000 1000, f = 0000 0100, g = 0000 1011, h = 0000 0111
(вместо каждой буквы мы пишем восемь битов). Теорема доказана.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Bienvenu L, Romashchenko A., Shen A. Sparse sets // Proc. Symp. Cellular Automata, Journées Automates Cellulaires (JAC 2008). М.: МЦНМО, 2008. 18-28.
2. Makarychev K, Makarychev Yu., Romashchenko A., Vereshchagin N. A new class of non-Shannon-type inequalities for entropies // Communs Inform. Systems. 2002. 2, N 2. 147-166.
3. Zhang Z., Yeung R.W. A non-Shannon-type conditional information inequality // IEEE Trans. Inform. Theory. 1997. 43.1982-1986.
4. Успенский В.А., Семенов А.Л. Теория алгоритмов: основные открытия и приложения. М.: Наука, 1987.
5. Верещагин Н.К., Шень А. Вычислимые функции. 2-е изд. М.: МЦНМО, 2008.
Работа посвящена получению двусторонних оценок существенной высоты в условиях теоремы Ширшова о высоте. Вводятся понятия выборочной высоты и сильной n-разбиваемости, непосредственно связанные с высотой и n-разбиваемостью, и доказываются нижние и верхние оценки выборочной высоты над не сильно n-разбиваемыми словами длины 2, причем эти оценки различаются лишь в 2 раза при любом n и достаточно большом l. Также разбирается случай слов длины 3. Разбор случая слов длины 2 можно обобщить до доказательства экспоненциальной верхней оценки в теореме Ширшова. Доказательство использует идею В. Н. Латышева, связанную с применением теоремы Дилуорса к исследованию не n-разбиваемых слов.
Ключевые слова: существенная высота, теорема Ширшова о высоте, комбинаторика слов, n-разбиваемость, теорема Дилуорса.
The paper is focused on two-sided estimates of the essential height in Shirshov's Height theorem. The notions of the selective height and strong n-divisibility directly related to the height and n-divisibility are introduced in the paper. We find lower and upper bounds for the selective height of non-strongly n-divided words over the words of length 2. These bounds differ by not more than twice for any n and sufficiently large l. The case of words of length 3 is also studied. The case of words of length 2 can be generalized to the proof of a subexponential estimate in Shirshov's Height theorem. The proof uses the idea of Latyshev related to the use of Dilworth's theorem to the of non-n-divided words.
Key words: essential height, Shirshov's height theorem, combinatorics of words, n-divisibility, Dilworth's theorem.
Введение и основные понятия. В 1958 г. А. И. Ширшов [1, 2] доказал свою знаменитую теорему о высоте.
Определение 1. Назовем Р1-алгебру А алгеброй ограниченной высоты И1у (А) над множеством слов У = {^1 ,П2,...}, если И1у(А) — такое минимальное число, что любое слово Х из А можно представить в виде
причем {ri} ограничены числом Hty(А) в совокупности. Множество Y называется базисом Ширшова для А.
Определение 2. Слово W называется n-разбиваемым, если его можно представить в виде W = WqW\ ■ ... ■ Wn, где подслова Wi,..., Wn идут в порядке лексикографического убывания.
Теорема Ш^иршова о высоте [1, 2]. Множество всех не n-разбиваемых слов в конечно-порожденной алгебре с допустимым полиномиальным тождеством имеет ограниченную высоту H над .множеством, слов степени не выше n — 1.
1 Харитонов Михаил Игоревич — студ. каф. высшей алгебры мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: krab8nog@yandex.ru.
Поступила в редакцию 27.09.2010
УДК 512.552.4+512.57+519.1
ДВУСТОРОННИЕ ОЦЕНКИ СУЩЕСТВЕННОЙ ВЫСОТЫ В ТЕОРЕМЕ ШИРШОВА О ВЫСОТЕ
М. И. Харитонов
1
