CC BY
33
РАД1ОТЕХН1ЧН1 КОЛА ТА СИГНАЛИ
УДК 621.372.061:391.266 ПОГОДЖЕНА Ф1ЛЬТРАЦ1Я СИГНАЛ1В ПРИ ЗМ1Н1 МАСШТАБУ IX
АРГУМЕНТ1В НА БАЗ1 НОРМАЛ1ЗОВАНИХ ВЕЙВЛЕТ ФУНКЦ1Й
Мельник А.Д., Рибт О.1.
Запропоновано метод нормал1зацп "за р1внем " тестового сигналу, з екв1дистантним кроком дискретизацп. Процедура нормал1зацп застосована до вейвлет перетворення, що дозволило виконати погоджену фыьтрацт сигнал1в при змЫ1 масштабу Их аргумент1в.
Вступ
Одшею з важливих задач сучасно! техшчно! дiагностики е пошук сиг-налiв (або !х графоелеменпв) певно!, наперед задано! форми. Така задача е до того ж задачею класифшаци та техшчно! дiагностики, яку розв'язують порiвнянням сигналiв з тестовим в натуральних координатах, в област спектрiв ортогональних перетворень (зокрема, шляхом погоджено! лшш-но! фшьтраци, косинусно! фшьтраци [1-3] тощо), порiвнянням векторiв суттевих ознак сигналiв i т. д. Одним зi зручних методiв, якi використову-ються для порiвняння спектрiв сигналiв, е нормашзащя сигналу або (що те ж саме) трансформанти ортогонального перетворення тестовим сигналом [4-8]. Нормалiзацiю "за кроком" запропоновано в робот [4] i розвинено в роботах [5-8]. Незручшстю методу е нееквщистантний крок дискретизацп при використанш нормалiзованого перетворення. В роботi [9] було запропоновано нормалiзацiю "за рiвнем", для яко! крок дискретизацп як сигналу, так i трансформант ортогональних перетворень залишаеться постшним, що й е головною позитивною властивютю нормалiзацi! "за рiвнем" у порь вняннi з нормалiзацiею "за кроком".
В той же час головним недолжом обох методiв нормалiзацi! е необхщ-нiсть нормування перюду, тобто приведення у вiдповiднiсть штервалу часу, на якому дослщжуеться шуканий сигнал i сигнал тестовий (тривалост сигналiв повиннi бути рiвнi мiж собою i тотожнi перюду, на якому юнуе трансформанта нормалiзованого перетворення). На жаль, таке приведення перiодiв е досить складною задачею, необхщшсть розв'язання яко! не до-зволяе проводити аналiз подiбностi та вщмш сигналiв у реальному масш-табi часу. Але задачу пошуку трансформант нормалiзованого ("за рiвнем") сигналу легко розв'язати за допомогою вейвлет перетворення, якщо його базовими функщями е нормалiзованi трансформанти.
1. Застосування процедури нормашзаци до вейвлет перетворення
Дискретне ортогональне перетворення, до якого ми застосовуемо нор-малiзацiю, це вейвлет перетворення. В якост вейвлет оберемо найп-ростiший з вщомих ортогональних вейвлетiв - вейвлет Хаара. Рис.1 де-монструе вейвлет Хаара для рiзних масштабiв. Для простоти ампл^уда вейвлетiв вибрана однаковою. В подальшому головною для нас особ-
ливютю даного типу вейвле^в буде ортогональшсть, тому масштабним множником ми можемо в даному випадку знехтувати.
ф]
9 9 9 9
Ць
1 4
ю
12
14
о о О о
I <
Рис.1. Вейвлет Хаара
Ортогональшсть даних вейвле^в е очевидною. Нагадаемо, ортогональ-ними функци е в тому випадку, якщо виконуеться умова:
N-1
^ уI (пт (п) = 0, де N - довжина вейвлета, п - номер вщжу. Результат
п = 0
обчислення суми дорiвнюе нулю, якщо I Ф т . Ширина i положення вейв-ле^в на часовiй осi е кратномасштабною. Застосування в якостi трансформант перетворення вейвле^в дозволяе знаходити сигнал, за яким викону-валась нормалiзацiя (тестовий сигнал), не лише для одного (вихщного) масштабу, а i для кратних масштабiв. Нагадаемо, що коефiцiенти вейвлет перетворення обчислюються як результат згортки сигналу, в даному випадку £(п), з вейвлет функщею для кратних масштабiв. Приклад вейв-летiв з кратними масштабами наведено на рис.1. При цьому, щоб перекри-ти весь часовий штервал, кiлькiсть "ширших" вейвле^в для бiльшого масштабу е вдвiчi меншою, нiж кiлькiсть "вужчих" вейвлетiв меншого масштабу. Розташування вейвлетiв на часовiй осi показане на рис.2.
Рис.2. Покриття часового штервалу вейвлетами р1зних масштаб1в. (Масштаби вщр1зняються вдв1ч1)
Для наочностi один вейвлет для кожного масштабу зображено товстою ль шею. У випадку, коли сигнал, який дослщжуеться, сшвпадае з тестовим сигналом, вейвлети для вЫх масштабiв по сутi перемножуються з "норма-лiзованим" вейвлетом, тобто вейвлетом, шд який був "лаштований" тестовий сигнал. Тому результат обчислення плошд пiд кривою, яка е результатом множення вейвле^в, а в дискретному випадку - сумою множення вщ-лтв, буде нуль. Тобто, в разi сшвпадшня тестового сигналу i сигналу, який дослщжуеться, всi вейвлет коефiцiенти будуть дорiвнювати нулю. Ненульовим буде лише один вейвлет коефщент. Цей коефщент
визначаеться як результат обчи-слення суми множення вдатв вейвлета, пiд який построений сигнал, на сигнал, що дослщжу-еться, так як цей сигнал мае та-кий же вигляд, як i вейвлет. Тобто ненульовий коефщент -це результат обчислення суми вщлтв квадрату вейвлета, для Рис.3 Тестовий сигнал, множений на константу якого проводилася нормалiзацiя. з додатковою постшною складовою
На практищ може виникнути ситуацiя, коли сигнал, який дослщжуеться, вiдрiзняеться вiд тестового на масштабний множник або мютить "додаткову" постiйну складову (див. рис.3). Цей сигнал, змшений за допомогою масштабного множника i складово!, е тим сигналом, який нам потрiбно знайти при обробщ. Якщо в якост тестового сигналу висту-пають елементи зображення, то змша на масштабний множник вщповщае змiнi контрасту зображення, а додаткова постшна складова впливае на яс-кравiсть, тобто розбавлешсть зображення бiлим. Для того, щоб такий сигнал в результат виконання нормалiзованого вейвлет перетворення був визнаний за тестовий (тобто, щоб вс вейвлет коефщенти були рiвнi нулю, ненульовий коефiцiент лише для вейвлета, по якому проводилося прилаш-товування сигналу), потрiбно перетворити динамiчний дiапазон сигналу, що дослщжуеться, на дiапазон тестового. Для цього обчислюеться рiзниця максимального i мшмального значень тестового сигналу Аге8г i сигналу, який дослiджуеться, Аргос. В нашому випадку Аге8=А-В, а Aproc=сА+d-cB-d=c(A-B). Далi потрiбно вiдняти вiд значень кожного вiдлiку сигналу зна-чення першого вiдлiку. Результат перетворення наведено на рис.4 Наступним кроком е множення кожного вдашу сигналу, що об-робляеться, на значення 1/с, де значення с= Аргос/ А^. Таким чином ми отримаемо тестовий сигнал, до якого потрiбно дода-ти значення першого вщ-лiку тестового сигналу.
У випадку, коли сигнал, що дослщжуеться, не е перемасштабованою версiею тестового сигналу з додатковою постшною складовою, результат вищенаведених операцiй дасть сигнал, вщмшний вiд тестового. Результатом його вейвлет претворення буде послщовшсть ненульових коефщенпв.
Метою застосування процедури нормалiзацil е оцiнка "схожостГ' сигналу, що оброблюеться на тестовий сигнал. Кшьюсною мiрою, за допомогою яко! можна оцiнити мiру "схожосл" сигналу, що оброблюеться, i тестового
Рис.4
сигналу е коефщент трансформант. Обчислити даний коефщент можна як: Кг = ^^ Т •, де Тещ - значення вейвлет коефiцiенту, отримане з сигналу
при згортщ з вейвлетом, тд який був тдлаштований сигнал, ХТ - сума квадра^в всiх iнших вейвлет коефiцiентiв.
Таким чином, чим сигнал, що дослщжуеться, бiльш схожий на тесто-вий, тим значення коефщенту трансформант е меншим. В iдеальному ви-падку значення коефщента трансформант при сшвпадшш тестового сигналу i сигналу, що оброблюеться, дорiвнюе нулю, оскшьки сума всiх iнших вейвлет коефщенлв дорiвнюе нулю.
Для оцiнки подiбностi i вiдмiн сигналiв будемо (для зручност сприй-няття) використовувати величину 1/Кг яку назвемо гостротою. Чим подiб-нiший сигнал, який дослщжуеться, до тестового, тим гострота е бшьшою.
Рис.5. Тестов1 сигнали р1зних масштаб1в
Як вже зазначалося, особливютю нормаизаци вейвлет перетворення, е можливють оцiнювати "схожють" тестового сигналу i сигналу, що анашзу-еться, для рiзних масштабiв. Точнiше, для кратних масштабiв. Рис.5 де-монструе тестовi сигнали рiзних масштабiв. Для обчислення значень вщль кiв перемасштабованих тестових сигнашв ми застосовуемо лiнiйну штерполящю. Процедура iнтерполювання значень вiдлiкiв вихщного сигналу X для отримання зменшено! (в даному випадку - вдвiчi) копи X ^ е наступною. Спочатку визначаемо моменти часу, в як iснують вщлжи сигналу X (визначаемо крок дискретизаци). Зробити це нескладно тому, що крок дискретизаци вихщного сигналу i масштабованого е еквiдистантним: для сигналу X ^ штервал дискретизаци становить (V-1)/(М-1), де N i М кiлькiсть вiдлiкiв сигналу X ^ i X вщповщно. Вiдлiки сигналу (з отриманим кроком дискретизаци) показанi на рис.6 пунктирною лшею сiрого кольору (графж сигналу X (е8(). Амплiтуда вщлтв сигналу X визначаеться огинаючою сигналу X (е8(. В свою чергу огинаюча е лiнiею, яка з'еднуе сусщт вiдлiки (пунктир чорного кольору на рис.5). Тобто, значення кожного вiдлiку сигналу X ^ визначаеться значенням огинаючо! сигналу X в момент часу, коли даний вщлж X ^ юнуе (див. рис.5). Аналопчно знаходимо вщлжи сигналу X (е5{.
2. Застосування нормалiзованого вейвлет перетворення для пого-джено1 фiльтрацil сигналiв при кратномасштабнш змiнi аргументiв
Таким чином, щоб ощнити сигнал, що дослщжуеться, на "вщповщ-шсть" тестовому, потрiбно: обчислити корегуючi коефщенти для всiх тес-тових сигналiв (тобто, для рiзних масштабiв); виконати нормалiзацiю (тоб-то, шдлаштування тестового сигналу пiд вейвлет обраного масштабу) для вЫх сигналiв; виконати вейвлет перетворення тестового сигналу для кожного масштабу; для кожного з масштабiв, обчислити коефщент трансформант. За отриманими значеннями коефщенлв трансформант (кшьюсть об-числень коефщента трансформант дорiвнюе кiлькостi масштабiв тестового сигналу, який ми шукаемо) можна зробити висновок про "схожють" сигна-
X'изаг
Х[ея(
3_____
!
Ишь.
,
г. 19» 2 19
„ли
6 0%3
м
9.0
¡1.0
9.7 8.4
о 4 8 12 16 20 24 28 п 0 2 4 6 К 10 12 14 16 1К 20 22 24 26 28 30 п
лу, що дослщжуеться, на тестовий сигнал.
а) б)
Рис.6 Тестовий сигнал (а) та сигнал, який дослщжуеться на иод1бшсть до тестового (б). За допомогою нормалiзованого вейвлет перетворення i подальшого об-числення гостроти шукаемо в сигналi (рис.бб) тестовий сигнал (рис.ба) i його масштабоваш верси зменшено! тривалостi (вщповщно 16,8,4 вiдлiки). Сигнал (рис.бб) мютить масштабовану версiю тестового сигналу (рис.ба),
О 4 8 12 16 20 24 23 32 *
Рис.7 Скейлограма гостроти
а вiдлiки з восьмого по п'ятнадцятий - зменшена за тривалютю (8 вiдлiкiв) копiя тестового сигналу. В нашому випадку гострота е функщею двох ар-гуменлв - масштабу "а" (обраного вейвлета) i зсуву "т" (обраного вейвле-
та) по ос часу. За допомогою обчислення значення гостроти для конкретного значення масштабу i зсуву ми ощнюемо "схожють" фрагмента досль джуваного сигналу (з конкретним значенням масштабу i зсуву) з тестовим.
65 49
Рис.8. Скейлограма гостроти
З рис. 7 видно, що максимум гостроти розташований при масштабi 2а0, де а0 вщповщае вейвлету з довжиною 4 вiдлiки (тобто 2а0 вщповщае вейвлету з довжиною 8 вдатв) i з значенням зсуву, який дорiвнюе 8. Це означае, що фрагмент сигналу рис.66, який починаеться з восьмого вщлжу i мае до-вжину 8 вiдлiкiв i е тестовим сигналом. Тобто з скейлограми гостроти мо-жна визначити положення (зсув) i масштаб фрагменту сигналу, який е по-дiбним до тестового.
Рис.9. Скейлограма гостроти
Для сигналу, що наведений на рис.бб з адитивним шумом (о=0.1935), скейлограма гостроти зображена на рис.8. Шум доданий до вiдлiкiв з 8-го по 15-ий. Значення вщлтв шуму наведено в табл. 1.
Таблиця 1
п 0 1 2 3 4 5 6 7
Щ(п) 0.05 -0.11 -0.03 0.08 0.1 -0.06 0.05 0.03
Для сигналу рис. 6б, де значення вщлтв з 8-го по 15-й змшет чення з табл. 2, скейлограма гостроти мае вигляд як на рис.9. на зна-
Таблиця 2
n 0 1 2 3 4 5 6 7
x(n) 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
Висновки
Запропонована нормалiзацiï вейвлет перетворення не використовуе не-еквiдистантнi вщсташ при обчисленнi; шдлаштовуеться не трансформанта перетворення (вейвлет обраного масштабу) шд сигнал, а сигнал тд трансформанту; шформащя про вiдмiннiсть тестового сигналу вщ трансформан-ти збер1гаеться в корегуючих коефщентах; можна працювати з кратнома-
сштабними тестовими сигналами. Лггература
Schwartz M., Shaw L. Signal processing, discrete spectral analysis, detection and estimation. - MacGraw-Hill. - Tokyo, 1975.
Haykin S. Digital communication. - J. Willey & Sons Inc. - 1988.
Ян И. Нелинейные согласованные фильтры для анализа различий // Радиоэлектроника. - 1999. - №6. - С.51-58.
Рыбин А.И. Нормализация дискретных ортогональных преобразований тестовым сигналом // Радиоэлектроника. - 2004. - №7. - С.39-46.
Рыбин А.И., Григоренко Е.Г. Алгоритм подстройки дискретного ортогонального преобразования под тестовый сигнал // Вюник НТУУ "КПТ. Серiя Приладобудуван-ня. - 2004. - №27. - С.122-128.
Рибш О.1., Шарпан О.Б. Дагностичт можливосп процедури нормашзацп ортогона-льних функцiй при аналiзi пульсограм // Вюник ЖДТУ. Технiчнi науки. - 2004. - т.1. - №4. - С.144-149.
Рибiн О.1., Сакалош Т.В., Шарпан О.Б. Аналiз пульсограм на базi процедури нормашзацп ортогональних перетворень REX //Науковi вют НТУУ "КПТ.2005. №4. С.29-33. Рыбин А.И., Шарпан О.Б., Григоренко Е.Г., ш. Коэффициенты трансформант нормализованных ортогональных преобразований и диагностика пульсограмм // Вюник НТУУ "КПГ\ - Серiя - Приладобудування. - 2005. - Вип.30. - С.148-156. Мельник А.Д., Рибш О.1. Нормалiзацiя тестового сигналу зi збереженням еквщистан-тного кроку дискретизаци//Вюник НТУУ "КПГ'. Серiя - Радiотехнiка. Радюапарато-будування". 2007. Вип.34.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
9.
Мельник А. Д., Рыбин А.И. Согласованная фильтрация сигналов при изменении масштаба их аргументов на базе нормализованных вейвлет функций
Предложен метод нормализации "по уровню' тестового сигнала, позволяющий осуществить согласованную фильтрацию сигналов при изменении масштаба их аргументов.
Melnyk A.D., Rybin O.I. The coordinated filtration of signals at change of scale of their arguments on the basis of normalized BefiB^eT of functions
The method of normalization " on a level " of the test signal allowing carrying out coordinated filtration of signals, with change of scale of their arguments is offered._
