CC BY
7
36
ВМУ. Серия 3. ФИЗИКА. АСТРОНОМИЯ. 2019. №4. С. 36-39.
Согласование электромагнитной волны с линейно изменяющейся амплитудой
с поглощающей подложкой
П. Н. Горохов," А. В. Козарь6 Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра фотоники и физики микроволн. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2.
Поступила в редакцию 26.02.2019, после доработки 18.03.2019, принята к публикации 19.03.2019.
Рассмотрено отражение электромагнитной волны от структуры, состоящей из двух или трех непоглощающих слоев, нанесенных на поглощающую полубесконечную подложку. В качестве падающей волны взята плоская волна с линейно изменяющейся амплитудой и заданной частотой заполнения. Найдены условия на параметры слоев, обеспечивающие полное согласование падающей волны с изменяющейся амплитудой с подложкой. Исследовано влияние малых вариаций параметров слоев на эффект полного согласования.
Ключевые слова: интерференция, слоистые структуры, электромагнитные импульсы, согласование волн с подложкой, нестационарное отражение импульсов. УДК: 535.4. РЛСБ: 42.25.-p.
ВВЕДЕНИЕ
Известно, что в случае нормального падения плоской волны постоянной амплитуды согласование при помощи одного Л/4 слоя реализуется, когда его показатель преломления щ связан с показателем преломления подложки пя и внешней среды щ соотношением:
щ п = Щ.
Фазовой толщиной слоя будем называть величину 2пш1
<р = —-—, где п — показатель преломления, а — Л
геометрическая толщина слоя, Л — длина волны в вакууме.
Согласование монохроматического излучения любой заданной частоты с подложкой в рассматриваемом случае возможно также при помощи двух и более слоев Л/4, а также слоев с различной фазовой толщиной, но кратной либо Л/4, либо Л/2. Во всех этих случаях показатели преломления слоев принимают строго определенные значения [1]. Существует также класс так называемых тонкослойных интерференционных структур (ТИС), в которых, изменяя определенным образом фазовые толщины слоев, можно обеспечить эффект полного согласования для подложек с показателями преломления, лежащими в интервале Щ < пяп0 < (щ > П1) или Щ < пяп0 < п2 (п1 > П2) [2-6].
Стационарное распределение поля волны в произвольной слоистой структуре устанавливается за характерное время после скачкообразного включения источника излучения. Если в течение некоторого времени ¿р происходит изменение амплитуды падаюшей волны, то по окончании этого времени (переходного процесса) в структуре установится новое стационарное распределение поля. Если структура согласующая, то на фоне нулевого стационарного отражения будет наблюдаться отраженный импульс длительности либо (в зависимости от соотношения между ¿р и ¿я). В этом состоит физическая суть явления нестационарного отражения импульсов
а Е-шаИ: gorokhov@akado.ru
6 Е-шаИ: avk@phys.msu.ru
от просветляющих структур [7-10]. При этом если ¿р ^ то амплитуда отраженного импульса с хорошей точностью описывает производную по времени от амплитуды падающего импульса. Так, например, в случае импульса с трапециедальной огибающей с линейным изменением фронтов получим два прямоугольных отраженных импульса (рисунок, а) [7].
Для коротких импульсов длительность переходного процесса ¿р может стать сравнимой с длительностью сигнала, поэтому учет влияния нестационарного процесса на формирование отраженного и прошедшего сигналов становится необходимым. В этом случае отраженные импульсы становятся объектом самостоятельного исследования и находят различные применения [7-10]. Однако в ряде случаев явление нестационарного отражения может рассматриваться как паразитное. Например, когда необходимо максимально использовать энергию падающего импульса. В этом случае желательно получить нулевое отражение не только в области плоской вершины импульса, но и в области его фронтов. То есть необходимо синтезировать такую интерференционную структуру, нанесенную на подложку, которая является согласующей для волны с линейно изменяющейся амплитудой, или в математической формулировке: синтезировать структуру, формирующую отраженный сигнал с амплитудой, пропорциональной второй производной от амплитуды падающего импульса. В этом случае сигнал нестационарного отражения формируется только в областях изменения наклона огибающей падающего импульса и будет представлять собой последовательность пикообразных импульсов с пренебрежимо малой суммарной энергией (рисунок, 6) [11, 12].
В настоящей работе показано, что при помощи относительно простых интерференционных структур, состоящих из двух или трех непоглощающих слоев, нанесенных на поглощающую полубесконечную подложку, можно получить эффект полного согласования волны с линейно изменяющейся амплитудой. При этом требования к показателям преломления слоев оказываются менее жесткими, чем в случае непоглощающей подложки (из-за возможности изменять фазовую толщину одного из слоев).
ОПТИКА И СПЕКТРОСКОПИЯ. ЛАЗЕРНАЯ ФИЗИКА
37
Рисунок. а — дифференцирование огибающей падающего импульса при помощи однослойной согласующей структуры, б — взятие второй производной от огибающей падающего импульса при помощи двухслойной согласующей структуры. Тонкие линии — падающий импульс, жирные линии — отраженный импульс. Для наглядности отраженные импульсы
умножены на 10 и на 20 соответственно
Алгоритм поиска подобных структур может быть основан на связи между описанием отраженного сигнала в частотной и во временной областях. Допустим, что коэффициент отражения от структуры Д(^) (АЧХ системы) может быть разложен в ряд Тейлора в окрестности частоты ^о — частоты заполнения падающей волны. Если функция Д(^) имеет ноль второго порядка в точке ^о, то разложение в ряд начинается с квадратичного члена. Предположим, что спектр падающего сигнала сосредоточен в окрестности частоты ^о и достаточно быстро спадает на бесконечности. Тогда умножение спектра падающего сигнала на квадратичный член разложения во временной области соответствует взятию второй производной от огибающей падащего импульса (например, [13]). Значит, необходимо искать такие параметры структуры (показатели преломления и фазовые толщины слоев), для которых Д(^) имеет ноль второго порядка в точке V). Многослойные структуры такого типа известны в литературе, посвященной вопросам синтеза фильтров и просветляющих покрытий [14, 15], как полосовые фильтры второго порядка с максимально плоской амплитудно-частотной характеристикой. Они встречаются как в оптике [16], так и в микроволновой технике [15, 17].
1. ДВУХСЛОЙНАЯ СОГЛАСУЮЩАЯ СТРУКТУРА
Простейшей структурой, дающей эффект согласования волны с линейно изменяющейся амплитудой, является структура, состоящая из двух непоглоща-ющих А/4-слоев, нанесенных на непоглощающую подложку. Показатели преломления внешнего слоя П1, слоя, прилегающего к подложке П2, и подложки п8 связаны соотношениями щ = п3, п., = п| [12, 16]. Здесь и далее полагаем, что по = 1. Существуют также структуры, состоящие из двух А/2-слоев и из трех А/4-слоев, нанесенных на непоглощающую подложку, дающие эффект согласования [12]. Но все они весьма чувствительны к малым изменениям параметров слоев и потому сложны при практической реализации.
Рассмотрим структуру, состоящую из двух непо-глощающих слоев, нанесенных на поглощающую подложку. Показатели преломления слоев и подложки (считая от внешней среды к подложке) — п1, п2, п + ¿к8. Используя обычную процедуру, находим
коэффициент отражения от структуры Д(^) (АЧХ системы). В настоящей работе рассматривается взаимодействие узкополосных сигналов с согласующей структурой. Считая дисперсию материалов слоев и подложки малой в рассматриваемом спектральном диапазоне, будем полагать, что ее влияние на изучаемое явление пренебрежимо мало. Пусть для некоторой частоты V) удвоенная фазовая толщина первого слоя равна п (т. е. это А/4-слой), а удвоенная фазовая толщина второго — <2. Рассмотрим сначала первый член разложения функции Д(^) в ряд Тейлора. Приравниваем нулю его действительную и мнимую части. Из полученной системы уравнений находим условия согласования монохроматической волны с рассматриваемой подложкой:
2п1п2
к., —
п + п2 + (п2 — п4) сов <^>2
п2(п2 — п) Бт <2 п + п2 + (п2 — п4) сов <2
(1)
(2)
Пусть Г2Я — френелевский коэффициент отражения на границе второй слой — подложка. Если записать его, используя условия согласования (1), (2), получим:
Г2з =
п2 — п — гкя ; + ¿к.,
п2
п — п2 п2
ехр(—¿<2). (3)
1
Из (3) видно, что модуль Г2Я остается таким же, как в случае согласования непоглощающей подложки двумя А/4 слоями с такими же п1, п2, а изменение фазовой толщины <2 (по сравнению с п) компенсирует дополнительный фазовый сдвиг при отражении от подложки (вызванный наличием поглощения).
Рассмотрим теперь второй член разложения функции Д(^). Из условия равенства его нулю и из (1), (2) находим соотношение между п1, п2 и <2, при котором наблюдается эффект полного согласования волны с линейно изменяющейся амплитудой:
п2 = п1
— 1 + ^(п? — 1)2 + 4п2( ^ )2 2 ^ .
(4)
Очевидно, что при <2 = п решение (4) сводится к решению для непоглощающей подложки (см. выше).
б
а
п
.
п
38
ВМУ. Серия 3. ФИЗИКА. АСТРОНОМИЯ. 2019. №4
Из (4) видно, что возможность изменения < дает дополнительную степень свободы при выборе П2. При этом задание <2 (а также «1) однозначно определяет и параметры подложки (по (1), (2)). Как правило, требуется по заданным параметрам подложки (« и кя) определить необходимые параметры слоев согласующей структуры. Тогда уравненения (1), (2) можно разрешить относительно двух других переменных, например «2 и <2. Детальный их анализ совместно с (4) показал, что в широком интервале значений пя и (причем может изменяться от нуля до нескольких единиц) для любой пары и существует по два значения «2, соответствующих различным «1 и <2. Для каждой пары пя и функции «2 и <2, полученные из (1), (2), можно рассматривать как параметрическое задание функции «2 (<2). Анализ функции «2 (<2) совместно с (4) показал, что существует целое множество пар и кя, для которых ход функции «2 (<2) совпадает с ходом (4) в некоторой окрестности изменения <2. Это позволяет для данных пар и изменять остальные параметры независимо в определенных интервалах значений. В качестве типичного примера рассмотрим следуюший. Возьмем пару = 4 и = 1.04. Найдем для нее параметры слоев, обеспечивающие полное согласование волны с линейно изменяющейся амплитудой: «1 = 1.85, «2 = 4.66, <2 = 2.5п. Пусть вариация «1 составляет 0.01-0.05. При любом новом значении «1 из этого интервала значений режим согласования нарушится, появится отраженный сигнал с линейно изменяющейся амплитудой со скоростью изменения амплитуды в 3-7 раз меньше, чем у падающего сигнала. После этого, варьируя <2, можно подобрать такой «2, что скорость изменения амплитуды отраженного сигнала уменьшится в 6-15 раз. При этом вариация «2 составит 0.2-0.5. То есть возможно практически сохранить эффект согласования при достаточно малых вариациях параметров слоев структуры.
2. ТРЕХСЛОЙНАЯ СОГЛАСУЮЩАЯ СТРУКТУРА
Рассмотрим структуру, состоящую из трех непо-глощающих слоев, нанесенных на поглощающую подложку, с показателямии преломления слоев и подложки (считая от внешней среды к подложке) — «1, «2, «3, «я + ¿к8. Пусть для некоторой частоты ^0 удвоенная фазовая толщина первого и второго слоев равна п (т. е. это А/4 слои), а удвоенная фазовая толщина третьего — <3. Аналогично случаю двухслойной просветляющей структуры находим сначала условия согласования монохроматической волны с подложкой:
2n2n2n3
4 1 4 2 1 / 4 2 4\ '
«2 + «1«3 + («1«3 — «2) С°в <3
4 2 4
«3 («1 «3 — «2)81п <3
«4 + «!«2 + («1«3 — «2) с°э <3
(5)
(6)
Точно так же получим френелевский коэффициент отражения Г3я на границе третий слой—подложка, обладающий свойствами, аналогичными Г2я (см. (3)):
Г3я
«3 — «я — »к« «3 + «я + гк8
Аналогично рассматривая второй член разложения в ряд Тейлора функции Д(^) вместе с (5), (6), находим соотношение между «1, «2, «3 и <3, при котором наблюдается эффект полного согласования волны с линейно изменяющейся амплитудой:
«3
4 3 2
«1«2 — «1 — «1 «2 + «2
«2-^3-+
1 П
Л («1«2 — «1 — «3«2 + «2)2 + 4n4n2( — )2
+ «2-от-—. (7)
1 П
Заметим, что если в (7) положить «3 = «2, то получится решение для двух слоев (см. (4)), но с увеличенной фазовой толщиной <2 :
«2 = «1
г2 — 1 + ^(«2 — 1)2 + 4«2( ^ )2
2 У2+П .
11«3
ехР(—»<3).
Уравнения (5), (6) также можно разрешить относительно «3 и <3. Их анализ совместно с (7) показывает, что задание «3, и определяет также <3, а «1 либо «2 можно задавать произвольно (задание одного однозначно определит второй). Кроме того, так же, как и в случае двухслойной структуры, можно подобрать параметры слоев и подложки таким образом, что при их варьированьи эффект согласования будет нарушен, но незначительно (в некотором интервале изменения параметров). Например, можно выбрать произвольно два параметра — «2 и «я. Они определят «1 и «3. После этого можно выбирать различные в интервале от нуля до нескольких десятых и только за счет варьирования <3 практически сохранить эффект согласования.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
На примере двух- и трехслойных структур показано, что использование поглощающей подложки позволяет синтезировать структуры с более высокой устойчивостью к изменениям параметров слоев при реализации согласующих структур с нулевой 2-й производной на линейно изменяющихся фронтах падающего сигнала.
Синтез подобных структур может быть основан на том факте, что коэффициент отражения от структуры Д(^) (АЧХ системы) имеет ноль второго порядка на частоте V) — частоте заполнения падающего сигнала.
Результаты статьи можно обобщить на случай других комбинаций слоев в структуре, а также на случай, когда показатель преломления внешней среды «0 отличается от 1.
Описанные структуры могут быть использованы в качестве оптических преобразователей (оптических логических элементов), в данном случае дифференциаторов второго порядка.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Кокс Дж. Т., Хасс Г. // Физика тонких пленок. Т. 2 / Под ред. Г. Хасса. М., 1967.
2. Козарь А. В. // Труды Всесоюзной научно-технич. конференции «Проектирование и применение радиоэлектронных устройств на диэлектрических волноводах и резонаторах». Саратов, 1983. С. 136.
«я =
ОПТИКА И СПЕКТРОСКОПИЯ. ЛАЗЕРНАЯ ФИЗИКА
39
3. Козарь А. В. // Труды Всесоюзного научн. семинара «Методы синтеза и применение многослойных интерференционных систем». М., 1984. С. 118.
4. Козарь А. В. // Оптика и спектроскопия. 1985. 59. №5. С. 1132.
5. Козарь А. В. // Оптика и спектроскопия. 1988. 64. №5. С. 1130.
6. Козарь А. В., Путрина Е. В., Фионова О. В. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 1995. №3. С. 39. (Kozar' А. V., Putrina Е. V., Fionova О. V. // Moscow Univ. Phys. Bull. 1995. 1995. N 3. P. 36.)
7. Козарь А. В., Бобровников Ю. А., Горохов П. Н. // Изв. РАН. Сер. физ. 2002. 66, № 12. С. 1823.
8. Бобровников Ю.А., Горохов П.Н., Козарь А. В. // Квантовая электроника. 2003. 33, № 11. С. 1019.
9. Бобровников Ю.А., Козарь А. В., Горохов П. Н. // Труды Всероссийской школы-семинара «Волновые явления в неоднородных средах» / МГУ им. М. В. Ломоносова. 2002. 1, №5. С. 53.
10. Бобровников Ю.А., Козарь А. В., Горохов П.Н. // Сб. расширенных тезисов докладов науч. конференции «Ломоносовские чтения». Секция физики. Подсекция оптики и лазерной физики. 2004. 1. С. 31.
11. Козарь А. В., Трофимов А. В., Потапов АЛ. // Журнал радиоэлектроники. 2016. № 4.
12. Трофимов А. В. Исследование процессов нестационарного отражения электромагнитных импульсов от слоистых структур: Дисс. . . канд. физ.-мат. наук. МГУ им. М.В. Ломоносова. Физический факультет. Москва. 2016.
13. Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. M., 1961.
14. Macleod H. Л. // Thin-Film Optical Filters. CRC, 2001.
15. Фельдштеин А. Л., Явия Л. В., Смирнов В. П. Справочник по элементам волноводной техники. М.: Советское радио, 1967.
16. Krepelka J. // Jemna Mechanica A Optica. 1992. (3-5). P. 53.
17. Маттей Д. Л., Янг Л., Джонс E.M. T. Фильтры СВЧ, согласующие цепи и цепи связи. М.: Связь, 1971.
Matching of a Linearly Varying Amplitude Electromagnetic Wave with an Absorbing Substrate P.N. Gorokhov", A.V. Kozar6
Department of Photonics and Microwave Physics, Faculty of Physics, Lomonosov Moscow State University. Moscow 119991, Russia.
E-mail: agorokhov@akado.ru, bavk@phys.msu.ru.
This work considers the reflection of an electromagnetic wave off a structure consisting of two or three non-absorbing layers on an absorbing semi-infinite substrate. A plane wave with a linearly varying amplitude and a given carrier frequency is taken as the incident wave. The conditions on the layers parameters for a complete matching of a varying amplitude incident wave with the substrate are determined. The effect of small variations in the parameters of the layers on the complete matching is investigated.
Keywords: interference, layered structures, electromagnetic pulses, matching of waves with substrate, nonsta-
tionary pulse reflection.
PACS: 42.25.-p.
Received 26 February 2019.
English version: Moscow University Physics Bulletin. 2019. 74, No. 4. Pp. 374-377.
Сведения об авторах
1. Горохов Павел Николаевич — физик; тел.: (495) 939-27-75, e-mail: gorokhov@akado.ru.
2. Козарь Анатолий Викторович — доктор физ.-мат. наук, профессор; тел.: (495) 939-27-75, e-mail: avk@phys.msu.ru.
