CC BY
15УДК 537.86, 537.876.4, 621.372.8
А. В. Садовников, А. Г. Рожнев
Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского
Анализ распространения щелевых солитонов в нелинейной брэгговской решетке*
Представлены результаты численного исследования процессов распространения электромагнитных волн в двумерной брэгговской решетке, показатели преломления материалов слоев которой зависят от амплитуды волны. Показана возможность распространения сигнала на частотах, лежащих в полосе непропускания такой структуры, при увеличении его амплитуды. Продемонстрировано явление солитонного туннели-рования в рассматриваемой системе.
Нелинейная брэгговская решетка, керровская нелинейность, солитонное туннелирование, щелевой солитон, метод эффективного показателя преломления, FDTD-метод
Нелинейные периодические диэлектрические волноведущие системы широко используются сегодня в таких оптических устройствах, как перестраиваемые и фиксированные узкополосные фильтры, компенсаторы дисперсии, частотно-селективные ответвители и устройства вывода света из волокна, усилители на базе оптических волокон, мультиплексные пассивные волоконно-оптические датчики [1]. Задача численного моделирования распространения электромагнитного излучения в периодических структурах с зависимостью диэлектрической проницаемости от интенсивности поля является весьма актуальной, поскольку аналитического решения уравнений, описывающих динамику волн в нелинейных брэгговских решетках в случае сильной нелинейности, получить не удается.
Процессы распространения электромагнитного излучения в периодических электродинамических структурах рассматриваемого типа достаточно подробно изучены для сигналов, частота которых лежит вдали от границы полосы непропускания [2]. Целью настоящей работы явилось изучение влияния нелинейности на процесс волновой динамики в двумерной нелинейной брэгговской решетке для случая, когда частота входного сигнала расположена вблизи границы полосы непропускания системы, так как в этом случае возможно появление эффектов, недостаточно полно изученных в известных работах. Особый интерес представляет анализ указанной задачи численным решением системы уравнений Максвелла, поскольку лишь при этом удается проследить в полной мере динамику распространения электромагнитного поля в изучаемой структуре без существенных упрощающих предположений относительно геометрии системы, нелинейных эффектов и параметров исследуемых типов сигналов.
Хорошо известно [3], что в периодических электродинамических структурах на дисперсионной характеристике имеются полосы пропускания и непропускания. Если частотный спектр сигнала лежит в полосе непропускания, его амплитуда быстро уменьшается в направлении распространения волны. Нелинейность в таких системах может приводить к деформации дисперсионной характеристики и как следствие к сдвигу полосы непропуска-
* Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты № 10-02-01403-а, 11 -02-01280-а) и Программы "Развитие научного потенциала высшей школы" (проект 2.1.1/1738).
© Садовников А. В., Рожнев А. Г., 2012
23
ния в сторону более высоких или более низких частот. В результате этого частота сигнала попадает в область распространяющихся волн и возникает возможность распространения сигнала вдоль нелинейной системы, если его амплитуда становится достаточно большой. Это явление получило название нелинейного туннелирования [4]. В работе [5] показана возможность образования щелевого солитона, спектр которого лежит в полосе непропускания периодической решетки, образованной чередующимися слоями нелинейного диэлектрика, неограниченными в поперечном направлении. В такой структуре при определенном значении мощности может наблюдаться полное прохождение сигнала, частота которого лежит в запрещенной зоне. Первые численные эксперименты, подтверждающие возможность переключения между состояниями с низким и с высоким коэффициентами прохождения вследствие нелинейного сдвига критической частоты, показали возможность генерации последовательности щелевых солитонов при увеличении амплитуды поля [6]. В работе [7] показано, что генерация щелевых солитонов в системах, где возможен нелинейный сдвиг критической частоты, происходит в результате смены характера модуляционной неустойчивости с конвективной на абсолютную.
В указанных работах эффекты генерации щелевых солитонов рассматривались либо с использованием модельных уравнений, либо на примере одномерной периодической системы, однородной в направлении, перпендикулярном направлению распространения волны. В то же время важной представляется задача изучения аналогичных явлений в брэгговской решетке, ограниченной в поперечном направлении, поскольку в этом случае возможно наблюдение нелинейных эффектов при меньших значениях мощности распространяющегося в структуре излучения за счет локализации энергии в центре структуры. Кроме этого, такая система более адекватна условиям реального физического эксперимента, что позволяет произвести оценку параметров, при которых рассматриваемые эффекты могут наблюдаться на практике.
В настоящей статье исследована изображенная на рис. 1 плоская двумерная система, представляющая собой брэгговскую решетку. В направлении оси z система однородна. Возбуждение структуры осуществляется источником, расположенным в плоскости Ху в области подводящего планарного диэлектрического волновода ПВ. Расстояние от плоскости Х1 до границы периодической структуры выбрано достаточно большим для того, чтобы поперечное распределение поля падающей электромагнитной волны на этой границе стало бы близким к распределению собственной моды планарного диэлектрического волновода с показателем преломления сердцевины nw. Величина nw задавалась из условия минимизации
отражения падающей волны от периодической структуры в линейном режиме.
Поскольку рассматриваемая система
является открытой, граничные условия в численном эксперименте устанавливались в виде идеально согласованных поглощающих слоев (perfectly matched layer -PML) [8] (на рис. 1 они окружают расчет-
4VVVVVVVV
n = 1 ly = a —► d
пв| 1
0 P 1 1 x
1 Х1 У ^ n = 1 П1 П2 Х2
\\\ ч ч \ ч \ ч ч
Поглощающие слои
ххххххххч
Рис. 1
ную область и обозначены штриховкой). Использование модификации метода PML - метода одноосно идеально согласованных слоев (uniaxially perfectly matched layer - UPML) позволяет при численном моделировании существенно уменьшить размеры расчетной области, что значительно уменьшает время расчета. Кроме того, за счет применения указанного метода удается приблизить границы расчетной области практически вплотную к исследуемым объектам, что и используется при моделировании брэгговской решетки: слева и справа рассматриваемая структура граничит с областью поглощающих слоев, причем на правой границе расчетной области (рис. 1) периодическая структура нагружена на PML. Данный метод позволяет провести моделирование полубесконечной периодической структуры.
Численное моделирование проводилось при следующих значениях параметров структуры: толщина слоя диэлектрика 2a = 1 мкм, период структуры d = 1 мкм. Каждый период нелинейной структуры состоит из двух участков, показатели преломления которых зависят от интенсивности поля по закону щ 2 = п 01 02 + п2 ^2 , что позволяет учесть кубическую нелинейность слоев структуры. Здесь П01 = 1.45, П02 = 2.0 - линейные части
—8 2 /
показателей преломления каждого из участков; П2 = 3 -10 мкм /Вт - нелинейная добавка к показателю преломления.
Численное моделирование распространения электромагнитных волн в такой системе осуществлялось методом конечных разностей во временн0й области (FDTD) [9] с помощью программного пакета MEEP [10]. Метод конечных разностей во временн0й области основан на прямом численном решении уравнений Максвелла с использованием центрально-разностной аппроксимации по времени и пространственным координатам. Параметры численной схемы составляли: размер диэлектрической структуры 200 х 1 мкм; шаг по коорди-
—17
натам Ах = Ay = 0.1 мкм; шаг по времени At = 8.13 -10 с. Размеры ячеек сетки и шаг по времени выбирались таким образом, чтобы в моделируемой структуре выполнялся критерий Куранта, согласно которому за интервал времени At сигнал, проходящий в диэлектрической структуре расстояние, равное шагу сетки Лх, не должен распространяться со скоростью, большей, чем скорость света в рассматриваемой среде [9]: cAtjA/smin < y¡Лх2 + Ay2, где smjn - минимальное значение диэлектрической проницаемости материалов, входящих
в расчетную область; c - скорость света в вакууме. Выполнение этого критерия является необходимым условием устойчивости явной по времени численной схемы FDTD. Толщина поглощающих слоев устанавливалась равной dpML = 30Ах = 3 мкм для минимизации
отражений сигнала от границ расчетной области.
Дисперсионная характеристика для линейной системы, состоящей из неограниченных в направлении, перпендикулярном направлению распространения волны, чередующихся диэлектрических слоев с показателями преломления и П02, детально изучена (см., например, [11]) и может быть описана как
cos(pd) = cos(П0\Ож)cos(п02^п)— (Пл + п02)/(2щ\П02) sin(П0\Ож)sin(П02^п), (1) где в - продольное волновое число; Q = fd/c - безразмерная частота.
Рис. 2
На диаграмме Бриллюэна дисперсионная характеристика (1) имеет вид следующих друг за другом полос пропускания и непропускания. Каждая ветка дисперсионной характеристики является периодической функцией продольного волнового числа ß с периодом 2п/ d. Для принятых в настоящей статье параметров Wqi и П02 дисперсионная характеристика изображена сплошными линиями на рис. 2, а.
В рассмотренном случае система ограничена в поперечном направлении, поэтому для оценки частот отсечек (границ полос непропускания на дисперсионной характеристике) в линейном режиме использовался приближенный аналитический метод, который назовем методом эффективного показателя преломления (МЭПП). Суть метода состоит в следующем. Периодическая диэлектрическая решетка конечной толщины с показателями преломления noi и Щ2 заменялась на бесконечную и однородную в поперечном сечении (т. е. в направлении y ) слоистую структуру. Эффективные значения показателя преломления каждого из слоев этой структуры находились по формуле Пф 2 (®) = ßi 2 (®)/k,
где ßi 2 (ш) - продольные волновые числа для волн соответствующего типа, распространяющихся вдоль оси х в однородной диэлектрической пластине толщиной 2a и показателями преломления n$i и Щ2 соответственно. Определенные эффективные показатели
преломления n^ (ш), n^ (ш) подставлялись в формулу (1) вместо констант n0i и n02
соответственно. В результате строилась дисперсионная характеристика для волн, распространяющихся в системе, ограниченной в поперечном сечении.
На рис. 2, а штриховой линией показаны дисперсионные кривые, построенные с помощью описанного приближенного метода для первой ТЕ-моды периодической системы конечной толщины 2a, приведенной на рис. 1.
Результаты расчета дисперсионных характеристик системы в линейном приближении позволили выбрать параметры для проведения численного моделирования режимов распространения волн в нестационарном случае методом FDTD, представленных далее.
Прежде всего, изучено распространение волнового пакета в виде гауссовского импульса с центральной частотой fc = 631.02 ТГц и шириной А/ = 207.2 ТГц. Эти значения выбраны таким образом, чтобы в частотной области ширина волнового пакета полностью перекрывала первую полосу непропускания (см. рис. 2, а) брэгговской решетки для волн с
малой амплитудой, когда нелинейный эффект еще не проявляется. Результат расчета представлен на рис. 2, б, на котором изображена зависимость от частоты коэффициента Т прохождения импульса через рассматриваемую систему. Отчетливо выражена первая зона непропускания периодической структуры. Значения критических частот /р и /кр2 - частотных границ первой зоны непропускания - сравнивались со значениями, полученными при использовании МЭПП (рис. 2, а). Сравнение показало хорошее совпадение значений критических частот /^ и , рассчитанных с помощью метода БОТБ и модифицированным МЭПП. Следовательно, МЭПП обеспечивает требуемую точность расчета зонной структуры брэгговской решетки при очевидной простоте методики.
На следующем этапе изучалось влияние нелинейности структуры на волновую динамику вблизи зон непрозрачности. Для этого в плоскости х^ (см. рис. 1) задавался входной сигнал постоянной частоты, лежащей в полосе непропускания линейной периодической системы вблизи высокочастотной границы полосы непрозрачности, и рассматривалась динамика распространения сигнала в периодической структуре. В случае кубической нелинейности с положительным значением нелинейной добавки к показателю преломления П2 с ростом амплитуды электрического поля дисперсионная характеристика
ш (к, \Е\2 ) смещается в сторону более низких частот [12], поэтому при указанном выборе
частоты можно ожидать, что с постепенным увеличением амплитуды электромагнитной волны на левой границе системы режим непропускания волны смениться на режим, когда она начнет распространяться в глубь структуры. Данный эффект возникает из-за нелинейного сдвига дисперсионной характеристики, в результате чего частота сигнала оказывается вне зоны непропускания и начинается его распространение.
Проведена серия расчетов процесса распространения сигнала с частотой /0 при различных значениях амплитуды А. Частота /0 = 678.115 ТГц выбиралась в полосе непропускания линейной периодической системы (см. рис. 2, б). Результаты моделирования показаны на рис. 3 и 4, где изображено распределение компонента напряженности электромагнитного поля Ег вдоль системы в плоскости ее симметрии (при у = 0) при различных
значениях амплитуды входного сигнала. При малой амплитуде (А = 1, рис. 3, а)* сигнал затухает при распространении вдоль системы, что соответствует линейному режиму. Од-
Е^
В/м 5 0 -5 -10
А = 1
Ег
В/м
5 -10
0 60 120 х, мкм а
Ег
В/м
5 0 -5 -10
0 60 120 х, мкм б
Рис. 3
А = 10
0 60 120 х, мкм
в
' Амплитуда А на рис. 3 и 4 нормирована таким образом, что значению А = 1 соответствует плотность потока мощности входного излучения (в импульсе) около 1.5 ГВт/ см .
0 50 100 150 мкм 0 50 100 150 х, мкм
Рис. 4
нако при увеличении амплитуды возникает туннелирование сигнала, вызванное сдвигом критической частоты (А = 7, рис. 3, б). При дальнейшем увеличении амплитуды входного сигнала ((А = 10, рис. 3, в) расстояние между туннелирующими импульсами уменьшается.
На рис. 4 изображена пространственно-временная динамика распространения сигнала в рассматриваемой системе при значениях амплитуды входного сигнала А = 6, 7, 10, 15, иллюстрируемых рис. 4, а-г соответственно. Градациями серого отражено значение компонента Ег напряженности поля. Частота входного сигнала выбиралась такой же, как
и в предыдущем случае. На рис. 4, а видно, что в установившемся режиме сигнал затухает вдоль оси системы аналогично сигналу на рис. 3, а. Изображенная на рис. 4, б-г картина пространственно-временной динамики свидетельствует о том, что с течением времени происходит распространение сигнала вдоль системы, причем с увеличением амплитуды входного сигнала групповая скорость волновых пакетов, распространяющихся в системе, увеличивается, а расстояние между ними уменьшается. Отметим, что сигнал туннелирует в виде последовательности коротких солитоноподобных импульсов, которые медленно распространяются вдоль структуры, поскольку их групповая скорость мала. Эти результаты хорошо согласуются с выводами работ [7], [13], в которых аналогичные эффекты изучались в рамках модельных уравнений типа нелинейных уравнений Клейна-Гордона и Шрёдингера и была показана возможность распространения щелевых солитонов в изучаемых системах. В этих же работах рассмотрена возможность применения разработанной теории к изучению процессов солитонного туннелирования, обусловленного сдвигом критической частоты в нелинейной системе при увеличении амплитуды распространяющегося в ней сигнала. При этом
======================================Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2Ql2. Вып. l
сигнал также разбивается на последовательность солитонных импульсов вследствие смены характера модуляционной неустойчивости с конвективной на абсолютную.
При увеличении амплитуды A возникает взаимодействие между щелевыми солито-нами из-за приближения соседних солитонов друг к другу. На рис. 4, г такое взаимодействие наблюдается при t > 15 пс. При меньших амплитудах взаимодействие также имеется, но начинается на больших временах: например при A = 10, солитонное взаимодействие происходит при t > 25 пс. Указанные эффекты требуют дальнейшего изучения и будут рассмотрены в отдельной работе.
При выбранных параметрах максимальное значение нелинейной добавки к показателю преломления n2 IeI2 в численном эксперименте составило 5 % от линейной части no\, no2, что должно обеспечить возможность наблюдения солитонного туннелирования в натурном эксперименте при значениях мощностей лазерного излучения, которые еще не разрушают оптических материалов, образующих брэгговские решетки.
Анализ периодической нелинейной структуры, ограниченной в направлении, перпендикулярном направлению распространения волны, является довольно сложной задачей вычислительной электродинамики. В настоящей статье эта задача рассмотрена с точки зрения решений системы уравнений Максвелла при кубичной модели нелинейности среды. Для численного моделирования использован метод, хорошо зарекомендовавший себя для решения подобных задач. Проведено сравнение результатов расчета границ полосы непропускания в брэгговской решетке модифицированным МЭПП и методом FDTD. Получено хорошее совпадение значений критических частот, полученных обоими методами. В численном эксперименте изучено влияние керровской нелинейности на распространение электромагнитных волн в решетке. Обнаружено, что нелинейная зависимость показателя преломления от интенсивности волны приводит к сдвигу критической частоты периодической структуры в более низкочастотную область. В результате становится возможным распространение сигнала в полосе непрозрачности (нелинейное туннелирова-ние), которое происходит в виде последовательности щелевых солитонов. При увеличении амплитуды входного сигнала расстояние между щелевыми солитонами уменьшается и наблюдается их взаимодействие друг с другом.
Авторы благодарны А. Б. Маненкову и H. М. Рыскину за плодотворную дискуссию и критические замечания по тексту статьи.
Список литературы
1. Othonos A., Kalli K. Fiber Bragg gratings. London: Artech House. 1999. 422 p.
2. Eggleton B. J., De Sterke C. M. Nonlinear pulse propagation in Bragg gratings // J. opt. soc. Am. B. 1997. Vol. 14, № 11. P. 2980-2993.
3. Бриллюэн Л., Пароди М. Распространение волн в периодических структурах. М.: Иностр. лит., 1959. 457 с.
4. Newell A. C. Nonlinear tunnelling // J. math. phys. 1978. Vol. 19, № 5. P. 1126-1134.
5. Chen W., Mills D. L. Gap solitons and the nonlinear optical response of superlattices // Phys. rev. lett. 1987. Vol. 58. P. 160-163.
6. De Sterke C. M., Sipe J. E. Switching dynamics of finite periodic nonlinear media: a numerical study // Phys. rev. A. 1990. Vol. 42, № 5. P. 2858.
Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2012. Вып. 1======================================
7. Balyakin A. A., Ryskin N. M. Modulation instability in a nonlinear dispersive medium near cut-off frequency // Nonlinear phenomena in complex systems. 2004. Vol. 7, № 1. P. 34-42.
8. Berenger J. A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves // J. of comp. physics. 1994. Vol. 114, №. 2. P. 185-200.
9. Taflove A., Hagness S. C. Computational electrodynamics: the finite-difference time-domain method. Norwood. MA: Artech House. 2005. 1006 p.
10. MEEP: A flexible free-software package for electromagnetic simulations by the FDTD method / A. F. Os-kooi, D. Roundy, M. Ibanescu et al. // Comp. phys. com. 2010. № 181. P. 687-702.
11. Бреховских Л. М. Волны в слоистых средах. 2-е изд. М.: Наука, 1973. 343 с.
12. Agrawal G. P. Nonlinear fiber optics. 4th ed. San Diego: Academic Press, 2007. 529 p.
13. Балякин А. А., Рыскин Н. М. Смена характера модуляционной неустойчивости вблизи критической частоты // Письма в ЖТФ. 2004. Т. 30. Вып. 5. С. 6-13.
A. V. Sadovnikov, A. G. Rozhnev
Saratov state university n. a. N. G. Chernyshevsky
Analysis of the gap soliton propagation in the nonlinear Bragg array
Results of numerical research of processes of electromagnetic waves propagation in a two-dimensional Bragg array, refraction indexes of layers materials of which depend on wave amplitude are provided. Possibility of a signal distribution on the frequencies in a not passage band of such structure in increasing of its amplitude is shown. The phenomenon of soliton tunneling in considered system is shown.
Nonlinear Bragg grating, Kerr nonlinearity, soliton tunneling, gap soliton, effective refractive index method, method FDTD
Статья поступила в редакцию 30 августа 2011 г.
