CC BY
124Содержательный анализ заданий по теории вероятностей школьной программы 10-11 классов по математике
Сергеев Аркадий Аркадьевич,
аспирант, кафедра образовательных технологий Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова E-mail: alamar-zelen@yandex.ru
Теория вероятностей - один из разделов школьного курса математики, представленный во всех программах 10-11 класса. В данной работе представлен содержательный анализ учебников, использующихся в российском школьном образовании, на предмет соответствия излагаемых в них теоретических положений и предлагаемых для практики заданий. Было выяснено, что большая часть представленных в базовых учебниках заданий не имеют действительно вероятностного содержания. Их можно рассматривать как арифметические задания, в которых вероятностное содержание является особенностью содержания формулировки. Выходом из сложившегося несоответствия может быть использование проблемных заданий, большая часть примеров которых представлена только в специализированных учебных пособиях. Кроме того, при разработке методик преподавания важно понимать, какие средства обучения должны формироваться у обучающихся; эти средства обучения должны найти своё отражение как в теории, так и в практических заданиях.
Ключевые слова: деятельностная педагогика, математическое образование, теория вероятностей, стохастическое мышление, средства мышления.
о с
CJ
см о см см
Преподавание теории вероятностей является предметом регулярно возникающих дискуссий в научных и педагогических кругах, в которых явно присутствуют две противоположные позиции. Сторонники включения теории вероятностей в школьную программу отмечают тот факт, что в повседневной жизни мы окружены случайными явлениями и процессами. С другой стороны, фактическая безрезультатность обучения теории вероятностей и математической статистики в школе является весомым аргументом противников такого обучения.
При этом содержание учебной программы, подвергается критике со стороны и исследователей, и педагогов [12]. Недостаток стохастического образования проявляется и в отсутствии у обывателя средств для понимания случайности, адекватного её восприятия и принятия решений, и в примитивности заданий по теории вероятностей в выпускных экзаменах формата ОГЭ и ЕГЭ.
В данной работе рассмотрено содержание различных учебников по школьной математике с научной точки зрения, а именно тех их разделов, которые посвящены преподаванию теории вероятностей. В качестве объекта анализа были выбраны учебники для 10 и 11 классов.
Теория вероятностей в школьном обучении появляется гораздо раньше; существуют методики, когда её элементы вводятся с 5-го класса [4]. В специализированных учебниках по теории вероятностей и статистике [4, 11] авторы отмечают, что учебный материал, предлагаемый для преподавания в средней школе (вплоть до 9-го класса), может быть использован и для аналогичных целей в старшей школе. Этот факт, а также пересечение тем в названных учебниках [4, 11] и в базовых учебниках для 10-го и 11-го класса [1, 6, 7, 9] позволяет нам говорить, что прохождение основ теории вероятности в полной мере допускается уже к окончанию 9-го класса. Однако нам представляется важным рассмотреть именно учебный материал в старшей школе по нескольким причинам.
В массовом порядке теория вероятностей фактически преподаётся в старшей школе: совместно с основами статистики и комбинаторики в рамках освоении программы 10-го либо 11-го (одного из двух) класса. Кроме того, к повторению этого раздела возвращаются в рамках школьных мероприятий по подготовке к сдаче Единого государственного экзамена (ЕГЭ) по математике профильного уровня. В демоверсии экзамена ЕГЭ по профильной математике 2022 года, опубликованном на сайте Федерального института педа-
гогических измерений (ФИПИ), а также в списке изменений этого же экзамена [16], указано наличие двух заданий разного уровня сложности по тематике теории вероятностей в экзамене. До этого (2014-2021 годы) такое задание было одно, и оно в последние годы не вызывало трудности у сдающих экзамен: 95% правильных ответов в 2019 году [14], 89,9% в 2020 году [15], 92,9% в 2021 году [16]. В рамках данной работы различные варианты данного задания можно однозначно классифицировать как «классические задачи» (см. последующий анализ). Именно поэтом в реалиях подготовки к решению задач повышенного уровня сложности актуален вопрос качества учебного материала по данному разделу в старшей школе.
Важно отметить, что для старшей школы как завершающего этапа среднего образования важно окончательное формирование понятийного аппарата теории вероятности. Содержание учебного материала 10-11 класса не может быть более простым, чем в предыдущих классах. Именно поэтому важно уделить внимание учебникам и учебным пособиям старшей школы. Анализ же учебных программ средней школы уже проводился [2], пусть и в весьма поверхностной, на наш взгляд, форме.
Содержательный анализ можно понимать и как анализ предметного содержания, и как анализ де-ятельностного содержания. В данной работе под содержательным анализом понимается именно анализ деятельностного содержания, а именно анализ мыслительных средств и их использование; в частности то, как теоретический материал и практические задания соответствуют друг другу. Обучающийся, не знакомый с основами теории вероятностей, не владеет понятийным аппаратом этой науки и не способен решать практические задачи данной тематики. Соответственно, целью обучения данному разделу будет выступать освоение «недостающих» понятий и мыслительных средств и способов их использования. Задания же должны отвечать этим целям и служить адекватным способом контроля всего процесса обучения. Отдельно следует подчеркнуть, что в данной работе внимание сосредоточено именно на мыслительных средствах, необходимых для решения задач [3].
Учебники и учебные пособия (далее - учебники), которые были выбраны для анализа, официально используются в российском среднем образовании. Они были разделены на две группы: по алгебре и началам математического анализа для полного общего образования (10-11 классы) [1, 6, 7, 8, 9] и специализированные учебники по теории вероятностей (и статистике) для 10-11 класса [13]. Учебники первой группы были взяты из федерального перечня согласно двум критериям: наличия в них отдельной главы с материалом по теории вероятностей и распространённости их в реальном школьном преподавании.
Краткая характеристика учебников. В первой группе были проанализированы четыре учебника. В учебниках Ш.А. Алимова с соавторами [1] и Ю.М. Колягина с соавторами [6] материал по те-
ории вероятностей представлен в отдельной главе, состоящей из 6 и 5 параграфов соответственно. В качестве практических заданий обучающимся предлагают решить 69 и 77 заданий соответственно. В учебнике А.Г. Мордковича [7] теоретический материал по теории вероятностей представлен в главе 9 «Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей» и занимает 2 параграфа из 5. Название этой главы отсылает нас к трём разделам математической науки. Несмотря на то, что методы, описанные в них, часто используются при решении одних и тех же практических задач, эти разделы являются достаточно самостоятельными и их понятийные аппараты не являются тождественными. Например, комбинаторные методы часто применяются для решения задач на с равновозможны-ми исходами случайного события. Именно такое пересечение методов является причиной для того, чтобы помещать данные разделы вместе в школьных учебниках. Такой подход удобен при составлении учебников и важен с точки зрения применения знаний на практике [12], но может вести к непониманию фундаментальных отличий разных разделов математики. В задачнике к данному учебнику [8] для самостоятельного решения предложено 37 заданий в релевантных нашей теме параграфах (все с возможностью выбора одного варианта ответа из нескольких). В учебнике С.М. Никольского с соавторами [9] под теорию вероятностей заявлена отдельная глава, но фактически один из трёх параграфов наполнен статистическим содержанием. В релевантных нашей теме параграфах 37 заданий для практики.
В качестве примера специализированного учебника по теории вероятностей было выбрано «экспериментальное учебное пособие» по теории вероятностей и статистике от Ю.Н. Тюрина и соавторов [13] для 10 и 11 классов. Предыдущий учебник от тех же авторов [11], а также учебник Е.А. Бу-нимовича с соавторами [4] не были рассмотрены, так как рассчитаны для программы 7-9 класса; преподавание по ним в 10 и 11 классах рассматривается авторами как опциональное.
Учебник Ю.Н. Тюрина с соавторами [13] включает в себя 14 глав. Около половины от его содержания составляет материал по теории вероятностей; часть содержания учебника, по задумке авторов, рассказывает о сходстве и различии методов статистики и теории вероятностей (см. параграф 3 «Близость частоты и вероятности»). Эта важная проблема, которая никак не озвучивается в базовых школьных учебниках, да и в предыдущем учебном пособии авторов [11] рассматривалась более расплывчато. Поэтому точная оценка количества релевантных глав, параграфов и заданий приводится не будет.
Основные результаты. Большая часть заданий, представленных в перечисленных выше учебниках, довольно шаблонна. Их решение алгорит-мично и не требует особых усилий. Можно выделить два самых распространённых типа задач:
сз о со "О
1=1 А
—I
о
сз т; о т О от
З
и о со
1) «Классические задачи» - задачи, где все возможные элементарные исходы события рав-новозможны. Данные задания возможно решить, используя так называемое «классическое определение вероятности». Алгоритм решения таких заданий довольно прост и заключается в следующих этапах: определение общего количества равно-возможных исходов элементарного события; определение количества релевантных вопросу задания исходов элементарного события; деление второго из полученных чисел на первое. В качестве антуража в данных задачах используются известные шаблоны: подбрасываемая (один или несколько раз) монета, подбрасываемый (один или несколько раз) шестигранный кубик, ящик или урна с шарами, колода карт, набор костяшек домино.
Типичный пример такого задания: «Какова вероятность того, что при изъятии одной карты из колоды в 36 листов игрок вынет: 1) даму треф; 2) короля пик; 3) валета красной масти; 4) семёрку чёрной масти; 5) шестёрку; 6) туза; 7) или даму, или валета; 8) или восьмёрку, или девятку; 9) или короля червовой масти, или даму любой масти; 10) или валета любой масти, или туза пик; 11) не короля треф; 12) не даму» (задание 1125 из учебника Ш.А. Алимова с соавторами [1]).
Другой пример: «В ящике лежат 20 шаров, отличающихся только цветом: 7 белых и 13 черных. Из ящика наудачу вынимают один шар. Какова вероятность события:
а) А - «вынут белый шар»; б) В - «вынут черный шар»; в) С - «вынут красный шар»; г) D - «вынут белый или черный шар»?» (задание 12.15 из учебника С.М. Никольского с соавторами [9]).
Задач данного типа в указанных учебниках около 20-30% от общего числа задач. Решение такого рода задач необходимо для закрепления такого понятия как «равновероятность/равновероятный». Подразумевается, что ситуация, описанная в конкретной задаче, во-первых, должна быть сначала описана в стохастических терминах как случайное событие, во-вторых, путём анализа её исходов должна быть установлена равновероятность этих исходов, только в-третьих должны быть произведены вычисления
В реальных же заданиях (см. приведённые выше примеры) событие по умолчанию принимается как случайное. Это достигается либо за счёт использования шаблонов, описанных выше, либо за счёт использования таких слов как «случайно», «случайным образом», «наудачу» и т.п. Более того, в контексте «классических задач» эти определения указывает ещё и на равновероятность событий. Принятие учащимся решения о том, является ли данное событие случайным или нет, является избыточным для решения; без этого этапа можно обойтись. Поэтому решаются такие задачи часто ° в одно-два арифметических действия, без учёта " инструментария теории вероятностей. Получает-§ ся, что теоретический материал пытается сфор-^ мировать у учащихся мыслительные средства, наЦ правленные на «различение» случайных событий,
а затем и равновероятных исходов этих событий, а в практических заданиях это не требуется. При этом вопрос того, является ли данное событие случайным, является одним из важнейших вопросов теории вероятностей и главным в стохастическом мышлении в целом. Само противопоставление и различение детерминированности и случайности - и есть ценнейшее содержание этого учебного раздела. А на деле получается, что практические задания не затрагивают эти вопросы, да и вовсе не имеют стохастического содержания, а представляют из себя простые арифметические задачи. Наличие шаблонных «антуражей» только усугубляет проблему; задачи на вероятность становятся не столько задачами о случайных событиях, а скорее задачами про монеты и игральные кости.
При этом далеко не всегда внимание учащихся заостряется на том, что «монеты» и «кости» из этих заданий, с равной вероятностью падающие на одну из своих граней, являются идеальными объектами (т.е. допущением) и не существуют в окружающей нас действительности. Реальные монеты и кости не имеют идеальную форму, их центр тяжести не совпадает, и, как следствие, вероятность падения на разные грани не равны друг другу. Отсутствие дискуссии на данную тему, выводящей на понимание того, что идеальные «монеты» и «кости» вводятся именно как средство мышления, позволяющее в образных терминах рассуждать о случайных событиях, неявно формирует представление о теории вероятностей как науке, посвящённой каким-то странным экспериментам с никому не нужными вещами.
При этом уместная дискуссия в рамках школьной программы смогла бы решить многие проблемы: с одной стороны, согласно принципу недостаточного основания мы не имеем оснований какой-то из исходов броска монеты (кубика) считать предпочтительнее другого; с другой стороны, именно ситуации с данными простыми объектами в силу симметрии являются самыми очевидными кандидатами на случайное событие с равными исходами.
Встречаются и менее тривиальные задания: «В круге радиусом ^3 с центром в начале координат отмечены все точки, абсциссы и ординаты являются целыми числами. Из отмеченных точек случайным образом выбирают одну. Найдите вероятность того, что:
а) она лежит на оси ординат;
б) она лежит не на координатных осях;
в) она лежит в круге радиус 1 с центром в начале координат;
г) её абсцисса и ордината отличаются более чем на 2» (задание 51.3 из задачника А.Г. Морд-ковича [8]».
С одной стороны, кажется, что это задание является хорошим исключением из описанной выше тенденции - количество исходов не задано составителями задания, следовательно, задача становится более релевантной той теме, которая проходится. Однако, задача нахождения количества исходов случайного события (точек) является за-
дачей геометрической, связанной с построением указанной в условии фигуры и простым подсчётом точек; она не проблемная с точки зрения именно теории вероятностей - на что и указывает словосочетание «случайным образом» в условии. Таким образом, она становится лишь чуть сложнее в плане расчётов, но не стохастики.
2) Задачи со «сложными» случайными событиями. В этих задачах даны несколько вероятностей случайных событий (либо их очень легко рассчитать за одно-два арифметических действия), которые или происходят последовательно друг за другом или могут произойти одновременно. Алгоритм решения такого рода задач сводится к умножению и/или сложению нескольких вероятностей. Задач данного типа в указанных учебниках около 20-50% от общего числа задач. Эти задачи более сложны, нежели «классические задачи»; подразумевается, что они требуют от решающего их более детального понимания протекания случайных событий, однако на деле часто они решаются по одному и тому же алгоритму. Приведем пример заданий этого типа из разных учебников:
- «Два стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в мишень. Вероятности попадания в мишень по отдельности равны 0,8 и 0,6. Найти вероятность того, что мишень:
а) будет поражена дважды;
б) не будет поражена ни разу;
в) будет поражена хотя бы один раз;
г) будет поражена ровно один раз» (задание 54.9 из задачника А.Г. Мордковича [8]).
- «На столе лежат 4 синих и 3 красных карандаша. Редактор дважды наугад берёт по одному карандашу и обратно их не кладёт. Найти вероятность того, что:
1) вторым был взят красный карандаш при условии, что первым был синий;
2) вторым взят синий карандаш при условии, что первым оказался синий;
3) вторым взят синий карандаш при условии, что первым был красный» (задание 23 из учебника Ю.М. Колягина с соавторами [6]);
- «Для сигнализации об угоне установлены два независимых датчика. Вероятность того, что при угоне сработает первый датчик, равна 0,97, что сработает второй, равно 0,95. Найти вероятность того, что при угоне: 1) сработают оба датчика; 2) оба датчика не сработают; 3) сработает хотя бы один из датчиков; 4) хотя бы один из датчиков не сработает» (задание 1149 из учебника Ш.А. Алимова с соавторами [1]). Все перечисленные задания призваны осуществить практическое освоение таких важных вопросов теории вероятностей как «сложение вероятностей», «условная вероятность» и т.д. Однако в силу своей шаблонности они решаются скорее как арифметические примеры. Арифметическая последовательность действий может и вовсе угадываться учащимся, знающим, как решаются примеры таких заданий. Кроме того, опять же, как и с «классическими задачами» проблема опреде-
ления события как случайного в таких заданиях не стоит; события, перечисленные в задачах, прямо указаны таковыми.
Стоит отметить, что часть заданий, представленных в учебниках первой группы, всё же имеет такие важные черты как открытые ответы и проблемный характер. Часто эти задания встречаются в первых параграфах, когда разбираются ключевые понятия («вероятности» и «случайности»), а также в параграфах, посвящённых теореме о сумме вероятностей всех исходов случайного события. Наибольшая доля таких открытых заданий в учебнике С.М. Никольского с соавторами [9].
Большее разнообразие упражнений для самостоятельной работы представлены в учебнике Ю.Н. Тюрина с соавторами [13]. Значительная часть заданий составляют типичные задания, описанные выше, например: «В классе 25 учащихся, из них 16 девочек. Какова вероятность того, что случайно выбранный учащийся будет мальчиком?» (задание 36). С другой стороны, даже типичные задания составлены с использованием подходящей терминологии:
- «Правильную игральную кость бросили один раз. Какова вероятность того, что на ней выпало число очков, кратное 3?» (задание 31; отметим, что здесь есть указание на то, что кость «правильная»).
- «Возьмём первую попавшуюся в руки книгу и взвесим её. Опишите возможное пространство элементарных исходов этого эксперимента. Можем ли мы пересчитать (пронумеровать) все возможные исходы этого эксперимента?» (задание 8; отметим использование термина «эксперимент»).
- «Пользуясь принципом равновозможности, найдите вероятность одного элементарного исхода в опыте, в котором монету бросают: а) 3 раза; б) 5 раз; в) 8 раз; г) 10 раз; д) п раз» (задание 33; использовались термины «принцип равновозможности», «опыт»).
- «Случайный опыт состоит в стрельбе по мишени. Стрелок делает всего два выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,8, при втором - 0,9. Нарисуйте дерево вероятностей этого эксперимента и найдите вероятность исхода «первый выстрел неудачный, второй удачный» (задание 171; термины «случайный опыт», «эксперимент», «дерево вероятностей»). Такого рода единство терминологии в теории
и заданиях образуют прочные связи между ними, формируется логика обучения в рамках методики. Но наибольший интерес представляют собой проблемные задачи, не имеющие шаблонного решения и/или точного ответа:
«Из десяти деталей две бракованные. Для проверки качества деталей случайным образом отбираются три детали. Какова вероятность того, что среди них
а) не будет ни одной бракованной детали;
б) будет одна бракованная деталь; две бракованные детали?
сз о со "О
1=1 А
—I
о
сз т; о
т О
от
З
и о со
Можно ли считать, что такой способ проверки обеспечивает хорошее представление о проценте брака в партии деталей?» (задание 40; с одной стороны, ещё одна шаблонная задача; с другой стороны, очевидно её проблемное содержание, проявляющееся в дополнительном вопросе).
«Многократно подбрасывая игральную кость, суммируют выпавшие очки. Найдите вероятность того, что в какой-то момент сумма выпавших очков была равна 3» (задание 190; отметим недостаточность условия).
«В классе 26 учащихся. Какие значения принимает случайная величина Х - число учащихся, пришедших в школу первого сентября. Опираясь на собственный опыт, ответьте на вопрос: какое из событий Х=23 и Х=9 более вероятно?» (задание 197).
«Для социологического опроса случайным образом отбирают 1600 жителей большого города. Определим случайную величину X как число мужчин, попавших в выборку.
а) Какие значения может принимать Х?
б) Велика ли вероятность того, что Х=0?» (задание 206).
Такого рода задания апеллируют к собственной познавательной активности учащихся, что очень важно в процессе обучения, так как именно собственная деятельность учащихся ведёт к изменениям в их мышлении [3]; постановка проблемной, нетривиальной задачи - лучший способ «запустить» такую деятельность.
Выводы. Основной вывод, который можно сделать в данной работе - теория и практические задания, представленные в базовых школьных учебниках, не встраиваются логичным образом в единую методическую систему. Содержание теории отсылает учащихся к теории вероятности, хотя при этом научные понятия не всегда используются верно, чем нарушается дидактический принцип научности. При этом практические задания решаются часто без всякой отсылки к этому содержанию, а только лишь за счёт ранее изученных арифметических средств, а также операции перебора. Тем самым не ставится целью освоения понятий теории вероятностей - так нарушается ещё один важный дидактический принцип - принцип системности.
При этом если бы в базовых учебниках предлагались для решения «истинно» стохастические задачи, их не возможно было бы решить без сознательного ответа на вопросы «какое событие является случайным?», «какие есть исходы этого события?», «как измерить вероятность этого события?», «сколько случайных событий описано в данной ситуации и как они комбинируются?» и т.д. Помогать отвечать на такие вопросы могли бы освоенные средства стохастического мышления и способы их использования, о которых в методике обучения явно не говориться (т.е. ° не стоит цель их формирования), а практические " задания решаются и без них вовсе. § Понятие случайного события и умение отличать ^ в конкретной ситуации случайные события от де-Ц терминированных; понятие элементарного и слож-
ного события и умение различать в конкретной ситуации элементарные случайные события от их комбинации; понятие равновероятности и умение обосновывать исходы событий как равновероятные - вот примеры таких средств, на базе которых можно строить методическую систему. Это прямое применение принципа деятельностной педагогики, ведущего своё начало из культурно-исторической психологии [3]. Конечно же, необязательно прямо сразу указывать и называть эти средства в школьном учебнике, тем более в культурно-исторической терминологии, но в рамках такой системы именно средства являются её фундаментом.
Сходная критика звучала у авторов специализированных учебников, рассматриваемых в данной работе [12]. Отмечается чрезмерный интерес к классическому определению вероятности, шаблонным задачам, а также «подмена» теории вероятностей другими разделами математики. С другой стороны, именно их авторский учебник [13] является ориентиром для построения педагогически адекватной методики преподавания теории вероятностей.
Литература
1. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы: учебник для общеобразовательных организаций: базовый и углублённый уровни / Изд. 3-е. М.: Просвещение, 2016. 463 с.
2. Баландина, И. Стохастическая линия в средней школе: Начнем с анализа [Электронный ресурс] // Математика. 2009. № 14. С. 1219. URL: https://mat.1sept.ru/view_article.php? ID=200901403 (дата обращения: 10.12.2021).
3. Боровских А.В. Деятельностная педагогика / М.: МАКС Пресс, 2020. 352 с.
4. Бунимович Е.А., Булычев В.А. Основы статистики и вероятность. 5-11 классы: учебное пособие / М.: Дрофа, 2008. 286 с.
5. Высоцкий И.В., Ященко И.В. Типичные ошибки в преподавании теории вероятностей и статистики // Математика в школе. 2014. № 5. С. 3243.
6. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учебник для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни / Изд. 2-е. М.: Просвещение, 2010. 336 с.
7. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 классы. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / Изд. 14-е. М.: Мнемозина, 2013. 400 с.
8. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 1011 классы. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / Изд. 14-е. М.: Мнемозина, 2013. 271 с.
9. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебник для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни / Изд. 8-е. М.: Просвещение, 2009. 430 с.
10. Щербатых С.В. Методическая система обучения стохастике в профильных классах общеобразовательной школы: диссертация доктора педагогических наук: 13.00.02 / [Место защиты: Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова]. Москва, 2011. 438 с.
11. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А., Высоцкий И.Р., Ященко И.В. Теория вероятностей и статистика. / Изд. 2-е. М.: МЦНМО: ОАО «Московские учебники», 2008. 256 с.
12. Тюрин Ю.Г., Макаров А.А., Высоцкий И.Р., Ященко И.В., Преподавание теории вероятностей и статистики в школе по учебному пособию Ю.Н. Тюрина и др. «Теория вероятностей и статистика» // Математика в школе. 2009. № 7. С. 14-31.
13. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А., Высоцкий И.Р., Ященко И.В. Теория вероятностей и статистика. Экспериментальное учебное пособие для 10 и 11 классов общеобразовательных учреждений / М.: МЦНМО, 2014. 248 с.
14. Ященко И.В., Высоцкий И.Р., Семенов А.В. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основание анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2019 года по математике. [Электронный ресурс] URL: https:// doc.fipi.ru/ege/analiticheskie-i-metodicheskie-materialy/2019/matematika_2019.pdf (Дата обращения: 10.12.2021).
15. Ященко И.В., Высоцкий И.Р., Семенов А.В. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основание анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2020 года по математике. [Электронный ресурс] URL: https:// doc.fipi.ru/ege/analiticheskie-i-metodicheskie-materialy/2020/Matematika_mr_2020.pdf (Дата обращения: 10.12.2021).
16. Ященко И.В., Высоцкий И.Р., Семенов А.В. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основание анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2021 года по математике. [Электронный ресурс] URL: https:// doc.fipi.ru/ege/analiticheskie-i-metodicheskie-materialy/2021/ma-mr-2021.pdf (Дата обращения: 10.12.2021).
MEANINGFUL ANALYSIS OF TASKS ON PROBABILITY THEORY OF THE SCHOOL PROGRAM OF GRADES 10-11 IN MATHEMATICS
Sergeev A.A.
Moscow State University
Probability theory is one of the sections of the school mathematics course, presented in all 10-11 grade programs. This paper presents a meaningful analysis of the textbooks used in Russian school education for the correspondence of the theoretical provisions set forth in them and the tasks proposed for practice. It was found that most of the tasks presented in the basic textbooks do not have a tru-
ly probabilistic content. They can be viewed as arithmetic tasks, in which the probabilistic content is a feature of the content of the formulation. A way out of this inconsistency can be the use of problematic tasks, most of the examples of which are presented only in specialized textbooks. In addition, when developing teaching methods, it is important to understand what teaching aids should be formed in students; these teaching aids should be reflected in both theory and practice.
Keywords: doing pedagogy, mathematical education, probability theory, stochastic thinking, tools of thinking.
References
1. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E., Shabunin M.I. Algebra and the beginning of mathematical analysis. Grades 10-11: textbook for general education organizations: basic and advanced levels / Ed. 3. M.: Prosveshcheniye, 2016. 463 p.
2. Balandina, I. Stochastic line in secondary school: Let's start with analysis [Electronic resource] // Mathematics. 2009. No.14. pp. 12-19. URL: https://mat.1sept.ru/view_article.php? ID=200901403 (Date of application: 10.12.2021).
3. Borovskikh A.V. Doing pedagogy / M.: MAKS Press, 2020. 352 p.
4. Bunimovich E.A., Bulychev V.A. Fundamentals of statistics and probability. Grades 5-11: textbook / M.: Drofa, 2008. 286 p.
5. Vysotsky I.V., Yaschenko I.V. Typical mistakes in teaching probability theory and statistics // Math at school. 2014. No. 5. pp. 32-43.
6. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E., Shabunin M.I. Algebra and the beginning of mathematical analysis. Grade 11: textbook for general education institutions: basic and profile levels / Ed. 2. M.: Prosveshcheniye, 2010. 336 p.
7. Mordkovich A.G. Algebra and the beginning of analysis. Grades 10-11. At 2 p. P. 1. Textbook for students of general education institutions (basic level) / Ed. 14. M.: Mnemosyne, 2013. 400 p.
8. Mordkovich A.G. Algebra and the beginning of analysis. Grades 10-11. At 2 p. P. 2. A problem book for students of general education institutions (basic level) / Ed. 14. M.: Mnemosyne, 2013. 271 p.
9. Nikolsky S.M., Potapov M.K., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra and the beginnings of mathematical analysis. Grade 10: textbook for general education institutions: basic and profile levels / Ed. 8. M.: Prosveshcheniye, 2009. 430 p.
10. Shcherbatykh S.V. Methodical system of teaching stochastics in specialized classes of secondary school: dissertation of Doctor of Pedagogical Sciences: 13.00.02 / [Place of defense: Moscow State University]. M., 2011. 438 p.
11. Tyurin Yu.N., Makarov A.A., Vysotsky I.R., Yashchen-ko I.V. Probability theory and statistics. / Ed. 2. M.: MCCME: "Moscow textbooks", 2008. 256 p.
12. Tyurin Yu.G., Makarov A.A., Vysotsky I.R., Yashchenko I.V., Teaching probability theory and statistics at school according to the textbook of Yu.N. Tyurin and others. "Probability theory and statistics" // Mathematics at school. 2009. No.7. pp. 14-31.
13. Tyurin Yu.N., Makarov A.A., Vysotsky I.R., Yaschenko I.V. Probability theory and statistics. Experimental textbook for grades 10 and 11 of general education institutions / M.: MCCME, 2014. 248 p.
14. Yaschenko I.V., Vysotsky I.R., Semenov A.V. Methodological recommendations for teachers prepared on the basis of the analysis of typical mistakes of participants of the Unified State Exam 2019 in mathematics. [Electronic resource] URL: https:// doc.fipi.ru/ege/analiticheskie-i-metodicheskie-materialy/2019/ matematika_2019.pdf (Date of application: 10.12.2021).
15. Yaschenko I.V., Vysotsky I.R., Semenov A.V. Methodological recommendations for teachers prepared on the basis of an analysis of typical mistakes of participants of the 2020 Unified State Exam in mathematics. [Electronic resource] URL: https://doc.fi-pi.ru/ege/analiticheskie-i-metodicheskie-materialy/2020/Matem-atika_mr_2020.pdf (Date of application: 10.12.2021).
16. Yaschenko I.V., Vysotsky I.R., Semenov A.V. Methodological recommendations for teachers prepared on the basis of the analysis of typical mistakes of participants of the Unified State Exam 2021 in mathematics. [Electronic resource] URL: https:// doc.fipi.ru/ege/analiticheskie-i-metodicheskie-materialy/2021/ ma-mr-2021.pdf (Date of application: 10.12.2021).
сз о
CO "O
1=1 А
—I
о
сз т; о m О от
З
ы о со
