CC BY
28
Пяткина Д.А. ©
К.ф.-м.н., доцент, кафедра теории вероятностей, Российский университет дружбы народов
ПРИМЕНЕНИЕ СИСТЕМ КЛАССИФИКАЦИИ В ПРЕПОДАВАНИИ КЛАССИЧЕСКОГО КУРСА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ДЛЯ ПЕРЕПОДГОТОВКИ УЧИТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ
Аннотация
В статье рассматриваются аспекты различных подходов к расчёту вероятностей событий в школьном курсе теории вероятностей
Ключевые слова: пространство элементарных исходов, равновозможные исходы, формула классической вероятности, формула геометрической вероятности, счётное пространство элементарных исходов, плотность распределения, конечное пространство элементарных исходов.
Keywords : The space of elementary events, equally events, the classical probability formula, the formula of geometric probability, countable space of elementary events, the density distribution, the finite space of elementary events
В настоящее время в связи с введением в школе стохастической линии возникла необходимость повышения квалификации учителей математики по Теории вероятностей и математической статистике. В преподавании классического курса теории вероятностей для учителей была апробирована следующая схема при изучении темы «Расчёт вероятностей событий для различных типов пространств элементарных исходов» [ см. рис. 1].
Применение данной схемы упорядочивает в голове студентов полученную информацию и способствует её структуризации и запоминанию. Также после приведения всей схемы для каждой её строчки приводится конкретный пример-задача.
Примеры задач к схеме
Пример задачи на расчёт вероятностей для конечного п.э.и (пространства элементарных исходов) с равновозможными исходами (формула классической вероятности): Правильная игральная кость подбрасывается один раз. Найти вероятность того, что выпадет чётное число очков. Второй вариант задачи: в группе 25 человек. Из них с.о. выбирают 5 человек для поездки на отдых. Найти вероятность того, что поедут два конкретных человека из этой группы. Эта задача требует применение знаний комбинаторики.
Cf8
P(A) = —5— вероятность того, что поедет конкретная пара
C 20
A 3 1
P(A) = f4 = 3 = -Q 6 2
вероятность выпадения чётной грани
Пример задачи на расчёт вероятностей для конечного п.э.и. с неравновозможными исходами: Игральная кость со смещённым центром тяжести подбрасывается один раз. Р1,/ = 1..6-заданы. Найти вероятность того, что выпадет чётное число очков.
Пусть подбрасывается игральная кость со смещённым центром тяжести. Найти вероятность того, что выпадет чётное число очков. Т.к. центр тяжести у кости смещён, то для неё задаётся набор чисел Р1,Р2>Рз>Р4>Р5>Рб, которые отражают количественно шансы на появление каждой из граней. Эти числа неравны друг другу. По формуле классической вероятности считать нельзя, т.к. хотя число элементарных исходов конечно, но они не являются равновозможными. Следовательно,
Р(А) = Р2 + Р4 + Рб, т.к. А = {И 2 , И 4 , И б}
Пример задачи на расчёт вероятностей для счётного п.э.и.: монета подбрасывается до первого выпадения орла. Найти вероятность того, что понадобится чётное число бросаний. Можно
© Пяткина Д.А., 2013 г.
1 1
рассматривать правильную монету р = и q = ^, а также неправильную с произвольным заданным
p - вероятности выпадения орла при одном бросании. Расчёт для правильной монеты:
( ( ( 0 25 25 1
Р(А) = е Р{а к) = е Р{а 2к} = е (0.5)2к = е (0.25)к = •
а кО А к = 1 к = 1 к = 1
1 - 0.25 75 3
(Использовали правило для суммы геометрической прогрессии ^ qk = - а, q < 1)
к= 1 ' "
— 12 — Р(А) = 1 - Р(А) = 1 - з = з (А = {потребуется нечётное число бросаний}
Пример задачи на расчёт вероятностей для непрерывного пространства э. и. с постоянной плотностью в области (формула геометрической вероятности) : можно рассмотреть классическую задачу о встрече.
Двое договариваются о встрече между 12 и 13 часами в определённом месте. Каждый может прийти в любой случайный момент в течение этого интервала времени. Первый ждёт второго после своего прихода 15 минут и второй первого также 15 минут. Найти вероятность их встречи. О = {(х, у),0 < х < 60,0 < у < 60} (первый может прийти в 12 часов х минут, второй в 12 часов у минут).
А = {(х, у),0 < х < 60,0 < у < 60, |х - у| < 15} -если точка, соответствующая моментам прихода
обоих попадёт в полосу, то они встретятся.
Пример задачи на расчёт вероятностей для непрерывного п.э.и. с функционально заданной плотностью:
р(х) = Ах х О (0,1) Найти вероятность попасть в отрезок (1/2; 1).
Важно заметить, что в рамках этой схемы самое серьёзное внимание уделяется рассмотрению большого числа задач на формулу классической вероятности, в которых возможно применение формул комбинаторики. Также всегда рассматривается серия задач на формулу геометрической вероятности. Задачи с плотностью изучаются в теме «Случайные величины».
Также важно отметить, что применение формулы классической вероятности при отсутствии равновозможности элементарных исходов может привести к неверным результатам.
Пример. (анекдот про женскую логику - ошибочное использование формулы классической вероятности !!!).
Задают вопрос мужчине: какова вероятность того, что вы выйдите на улицу и встретите динозавра. Ответ : 0,000000000001
Тот же вопрос задают женщине. Ответ: 0.5 Почему? Ответ: либо встречу, либо нет. О = {встречу, не встречу}, | = 2
|А| = 1 р(А) = 1. Формула классической вероятности применена неверно, действительно II > V 2
может произойти один вариант из двух, но они неравновозможны. Пример.
Подбрасывают две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков будет равна 7.
О = {(Ш < i < 6, 1 < j < 6}, |О |= 36 (При таком построении все варианты равновозможны, кости предполагаются правильными).
, , |А| 6 1
А = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)}, |А| = 6 Р(А) = 0= _ = _
Неверное рассуждение: если кости одинаковы, то визуально исходы (1,6) и (6, 1)
3 1
неразличимы ит.д. Будем считать их как один исход. Тогда |Q| = 21, A = 3 и P(A) - — - — . Вроде
бы одна задача, а два разных ответа. Ошибочен второй вариант. Объединенные исходы будут возникать чаще, чем исходы (1,1), (2,2) и т.д. Следовательно, в построенной нами модели исходы не являются равновозможными и расчет по формуле классической вероятности производить нельзя.
Схема (Рис. 1), где
Р( А) = й (1) Р(А) = е Р(И,) (2) Р(А) = (3) - соотв. ф-лы
щ » ,о а т (^)
| А -число э.и. входящих в А, | - общее число Э.и.
Литература
1. Ю.Н. Тюрин, А.А. Макаров, И.Р. Высоцкий, И.В. Ященко Теория вероятностей и статистика. Издательство МЦНМО. Москва 2008.
