Собственные колебания упругой прямоугольной CFCF-пластинки при одноосном растяжении-сжатии ее плоскости Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вестник Астраханского государственного технического университета. Серия: Управление, вычислительная техника и информатика. 2024. № 2

Vestnik of Astrakhan State Technical University. Series: Management, computer science and informatics. 2024. N. 2 ISSN2072-9502 (Print), ISSN2224-9761 (Online)

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ MATHEMATICAL MODELING

Научная статья УДК 004

https://doi.org/10.24143/2072-9502-2024-2-120-128 ЕБЫ СДЗЬЕУ

Собственные колебания упругой прямоугольной СРСР-пластинки при одноосном растяжении-сжатии ее плоскости

Михаил Васильевич Сухотеринм, Анна Анатольевна Сосновская

Государственный университет морского и речного флота имени адмирала С. О. Макарова, Санкт-Петербург, Россия, [email protected]

Аннотация. Исследовано влияние одноосной распределенной нагрузки в плоскости тонкой прямоугольной пластинки на величину первой собственной частоты ее колебаний. Рассматривалась пластинка, две противоположные грани которой защемлены, а две другие свободны (СРСР-пластинка: С-с1атрес1, защемленная грань, Р-&ее, свободная грань). Нагрузка приложена к защемленным граням. Основное дифференциальное уравнение для координатной составляющей функции прогибов и все граничные условия задачи выполнены точно с помощью двух гиперболо-тригонометрических рядов по двум координатам и дополнительной функции, зависящей от одной переменной х. Проблема свелась к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений относительно одной последовательности неопределенных коэффициентов, содержащей в качестве параметров величину нагрузки и частоту колебаний. Для ряда значений нагрузки находились собственные частоты колебаний методом перебора значений частоты в сочетании с методом последовательных приближений при решении редуцированной системы линейных алгебраических уравнений. Для обеспечения приемлемой точности вычислений менялось число членов в рядах (размер редуцированной системы), число итераций и число значащих цифр в мантиссе при вычислении нетривиальных коэффициентов системы. В качестве примера рассматривалась квадратная пластинка. По результатам расчетов построен график зависимости первой собственной частоты колебаний от величины усилий растяжения-сжатия, который представляет собой кривую, близкую к параболе. При эйлеровой сжимающей нагрузке колебания прекращаются. Формы собственных колебаний изменялись незначительно и были подобны форме изогнутой поверхности пластинки под действием равномерной поперечной нагрузки. Целью данного исследования является создание эффективного алгоритма вычисления собственных частот колебаний СРСР-пластинки при изменении одноосной нагрузки растяжения-сжатия ее защемленных граней.

Ключевые слова: СРСР-пластинка, собственные колебания, растяжение-сжатие, сжимающая нагрузка

Для цитирования: Сухотерин М. В., Сосновская А. А. Собственные колебания упругой прямоугольной СРСР-пластинки при одноосном растяжении-сжатии ее плоскости // Вестник Астраханского государственного технического университета. Серия: Управление, вычислительная техника и информатика. 2024. № 2. С. 120-128. https://doi.org/10.24143/2072-9502-2024-2-120-128. ЕБК й-ГС^ЕУ.

© Сухотерин М. В., Сосновская А. А., 2024

Vestnik of Astrakhan State Technical University. Series: Management, computer science and informatics. 2024. N. 2 ISSN 2072-9502 (Print), ISSN 2224-9761 (Online)

Mathematical modeling

Original article

о

Natural vibrations of an elastic rectangular CFCF-plate |.

with uniaxial tension-compression of its plane %

- <

Mikhail V. SukhoterinM, Anna A. Sosnovskaya

m o

Admiral Makarov State University of Maritime and Inland Shipping, §

Saint Petersburg, Russia, [email protected] S*

__-3

p

Abstract. The influence of a uniaxial distributed load in the plane of a thin rectangular plate on the value of the first > natural frequency of its oscillations has been studied. We considered a plate, two opposite faces of which are clamped, > and the other two are free (CFCF-plate, C-clamped edge, F-free edge). The load is applied to the clamped edges. The 2! main differential equation for the coordinate component of the deflection function and all the boundary conditions of the problem are fulfilled exactly using two hyperbolic-trigonometric series in two coordinates and an additional function depending on one variable x. The problem was reduced to an infinite system of linear algebraic equations with respect to one sequence of uncertain coefficients, containing as parameters the magnitude of the load and the fre- S? quency of oscillations. For a number of load values, the natural frequencies of oscillations were found by enumerating g-frequency values in combination with the method of successive approximations when solving a reduced system of lin- g ear algebraic equations. To ensure acceptable accuracy of calculations, the number of terms in the series (the size g, of the reduced system), the number of iterations and the number of significant digits in the mantissa when calculating g non-trivial coefficients of the system were changed. A square plate was considered as an example. Based on the calculation results, a graph was constructed of the dependence of the first natural frequency of oscillations on the magnitude of tension-compression forces, which is a curve close to a parabola. Under Eulerian compressive load, the oscillations stop. The shapes of natural vibrations changed slightly and were similar to the shape of the curved surface § of a plate under the action of a uniform transverse load. The purpose of this study is to create an effective algorithm g for calculating the natural frequencies of oscillations of a CFCF-plate when the uniaxial tensile-compression load of its clamped faces changes. §*

Keywords: CFCF-plate, natural vibrations, stretching-compression, compressive load ч

ч

For citation: Sukhoterin M. V., Sosnovskaya A. A. Natural vibrations of an elastic rectangular CFCF-plate with uniaxial tension-compression of its plañe. Vestnik of Astrakhan State Technical University. Series: Management, computer science &

andinformatics. 2024;2:120-128. (InRuss.). https://doi.org/10.24143/2072-9502-2024-2-120-128. EDN GJQLEV. ^

£

Введение ортотропного графенового листа в упругой среде g

Тонкие CFCF-пластиики (наряду с CFFF, при двухосной нагрузке в его плоскости. Задача g'

СССС-пластинками) используются в микроэлек- рассматривалась в рамках нелокальной теории 5;

тронике, smart-конструкциях в качестве чувстви- упругости. Разрешающие уравнения решались ме- ñ

тельных элементов различных датчиков. Эти пла- тодом дифференциальных квадратур для различ- 2.

стинки могут находиться под действием плоских ных граничных условий. ?

внешних или внутренних электрических или маг- В работе [4] получены замкнутые решения для g

нитных полей, совершая при этом свободные коле- прямоугольных нанопластин при двухосном сжатии

бания. При изменении усилий растяжения-сжатия сторон (с одинаковой интенсивностью) в рамках не- |

собственная частота колебаний будет меняться и че- локальной теории Эрингена. Исследована зависи- g

рез сенсоры, актуаторы вызывать тот или иной от- мость собственных частот и критических сил от не- g,

клик управляющей системы. Проблема определения локального параметра нанопластины. Численные #

собственных частот колебаний при сжимающей результаты получены при различных условиях опи-

нагрузке в ее плоскости рассматривалась в рабо- рания пластинки, в том числе и для CFCF-пластинки. | тах [1-5], однако лишь некоторые исследования Работа [5] посвящена колебаниям защемленной

имеют численные результаты для CFCF-пластинки пластины при двухосном сжатии ее сторон. Показа-

при одноосном растяжении-сжатии. но, что частоты колебаний убывают по параболиче-

В работе [1] решение получено при использо- скому закону с ростом сжимающей нагрузки до ее

вании тригонометрических и гиперболических эйлерова значения. Использовался тот же метод ис-

функций и принципа виртуальной работы. Приве- следования, что и в настоящей работе, который так-

дены численные результаты собственных частот же успешно применялся авторами в работах [6, 7]. ортотропной CFCF-пластинки при сжатии по за- Отметим и обзорную работу [8], посвященную

щемленным граням. В работе [2] использовался колебаниям и устойчивости пластинок из функцио-

асимптотический метод и аналогичные базовые нально градуированного материала, которые нахо-

функции для вычисления собственных частот, од- дят широкое применение в полупроводниковой тех-

нако численные результаты не представлены. нике и биомеханике. Статья [3] посвящена собственным колебаниям

Вестник Астраханского государственного технического университета. Серия: Управление, вычислительная техника и информатика. 2024. № 2

ISSN2072-9502 (Print), ISSN2224-9761 (Online)

Математическое моделирование

Математическая постановка задачи

Пусть прямоугольная СБСЕ-пластинка постоянной толщины А с размерами аибв плане совершает

свободные колебания и при этом сжимается (растягивается) по защемленным граням равномерно распределенными усилиями интенсивности Гх(рис. 1).

о. S

/

X

№ О

ь

>81

Ю О

О <

<

U

ю

о

Рис. 1. Схема нагружения CFCF-пластинки Fig. 1. CFCF plate loading scheme

Требуется определить зависимость собственных частот колебаний от величины Тх усилий растяжения-сжатия.

Основное уравнение задачи [9] имеет вид

82W 82W DAAW + Тг "гДг + ph —гт~ = О,

8xL

et2

(i)

где О - упругая постоянная (жесткость) пластинки, кГ м; ДА - двумерный бигармонический оператор; ЩХ, У, () - нормальная деформация срединной поверхности (прогиб), м, t - время, с; р - плотность вещества пластинки, кг/м3.

В безразмерных координатах х = X / Ь,у = У / Ь уравнение (1) перепишется следующим образом:

AAW + T

8W дх:

-+л

2 82Ж dt2

= о,

(2)

где Тх = ТхЬ /Б — безразмерная интенсивность сжатия (при растяжении меняется знак); т\2 = ркЬ4 / О; размеры пластинки: х е [-у / 2; у / 2], у Е [-1/2; 1/2], у = а / Ь — отношение сторон.

Граничные условия [9]:

W = 0,

8W дх

= 0 прих = ±у/2;

(3)

&W

м„

+ (2-v)

öy2

83W дх28у

- + V-

aV

дх1 !

= 0 при у = ± 1 / 2, (4)

где А^,, - безразмерные изгибающие моменты и перерезывающие силы соответственно; V - коэффициент Пуассона.

Заметим, что задача математической физики (2)-(4) имеет тривиальное решение, но здесь требуется найти отличную от нуля функцию Ж (х, у, £), удовлетворяющую условиям (2)-(4), а также начальным условиям для поля перемещений и скоростей всех точек пластины, которые должны быть заданы для конкретной задачи колебаний пластинки.

Метод решения

В искомой функции прогибов разделим переменные [9]:

= ®м>{х,у), (5)

где и>(х, у) - координатная функция с граничными условиями (3), (4), а функция времени представлена выражением

м>*(0 = Л8т(рг+ср), (6)

в котором А, ф - произвольные постоянные, которые должны определяться из заданных начальных условий; р - искомая частота собственных колебаний пластинки. С учетом (5), (6) из уравнения (2) получим д ля координатной функции прогибов уравнение [9]

AAw(x,y) + Tx

82w дх2

Cl2w(x,y) = 0,

(7)

где О = рх\ — безразмерная частота собственных колебаний пластинки.

Функцию Мх,у) будем разыскивать в следующем виде:

w(x, у) = w,(x, у) + w2(x, у),

(8)

где

w,

\(Х,У) = £(-1)Ч ch(a,x)cos(X^); (9)

Vestnik of Astrakhan State Technical University. Series: Management, computer science and informatics. 2024. N. 2 ISSN 2072-9502 (Print), ISSN 2224-9761 (Online)

Mathematical modeling

w.

{x,y)= £ (-l)!Xch(^)cos(nsx), (10)

отсюда находим пары корней

ак = ^0,5 [2XI -Тх+ № - 4Х\Тх + 4П2

ß*=JO,5

2X¡-Tx-Jrx2-4X¡rx + 4n2

где к = 1, 2, 3...; я* = (я + 1) / 2; коэффициенты Аь С„ ак, Ьд подлежат определению; Хк = 2як, ц, = тч / у.

Заметим, что первая форма собственных колебаний должна быть симметричной относительно ___

обеих осей координат, поэтому здесь используются ^ _ /^ + А^т + О2 ■ т^ = л/ц2 - л]ц2Т + П2, четные функции. * V * * * ' V ' 5 *

Коэффициенты ак, ^ найдем при подстановке где вторые значения искомых корней а* и ^ обо-(9) и (10) в уравнение (7):

а:-2а^2+^-П2+а2Т;=0;

значены через Р* и г|5 соответственно.

В силу четности функций соответствующие отрицательные корни не рассматривались.

Функции (9), (10) перепишутся теперь в следующем виде:

W,

\(Х, у) = £(-1)' [Ак ch(aкх) + Вк ch(ß,x)]COSIJO;

(И)

о

я

Б'

%

И

о §

о

<

й-

р

2 р?

е. <

о1

H

S-о' s

у)= X (-1)'* [С. ch(^) + A ch(^)]cos(^).

(12)

Здесь добавились слагаемые с коэффициентами свободных гранях, коэффициенты рядов (11)и(12)

и А.

должны быть связаны соотношениями

Заметим, что функция м>2(х, у) автоматически дает нулевые прогибы граней х = ±у / 2, а функция м>1 (х, у) - нулевые перерезывающие силы на гранях у = ±1 /2. Чтобы функция м/\(х, у) также не давала прогибов защемленных граней, а функция -мг{х, у) где обеспечивала нулевые перерезывающие силы на

к л о* к ' s ¿

chß*

»К

в--M. е ^[C~(2~VK2]

- ~ > Р* - ~ > Sí - - > 4j - ,, = - Г 2 /О Ч 21

2 2 2 2 ТЬ^Ъ-Р-^М

s

о g

<g

s*

о ч о ч -à Si

о g

Тогда искомая функция прогибов (8) примет вид

f chat

Mx,y) = YSr?t А*

ch(aJlx)--ch(ßt x)

chß,

+ £ иге.

4

'ch^-G^ch^)

V Ms у

cos^j) +

cos(n^).

Удовлетворяя теперь второму условию (3) и пер- вому условию (4), получим систему

оо

£(-1)Ч cha¡ (a, tha¡ - ßtthß;) cos^jO -

(13)

ff s

CA

S

I

О

0

1

§

о

ê? 13

£ vA

s=1,3,...

' sh£* N

sH

, cha!

ХЛ (va2-^)ch(a^)-(vß2-^)—fch(ß^) + *=i V cnP* 7

(14)

Преобразуем систему (14). Для этого в первом ды Фурье по со5(Х/у), а во втором уравнении — по уравнении разложим гиперболические функции в ря- сс^цд). Воспользуемся разложениями [10]:

Вестник Астраханского государственного технического университета. Серия: Управление, вычислительная техника и информатика. 2024. № 2

ISSN2072-9502 (Print), ISSN2224-9761 (Online)

Математическое моделирование

о. s

№ О

ь

>81

S, *=i Si +

chOvy) =—sh^ +4r|s sh^^(-l)' Л,

* cos(X^)

*=1 'Is 1 '4

ch(a^) = -icha; £

У <** + H,

(15)

5=1,3,—

сЬ(Р,х) = --сЬ|3; ± У Д1.

При подстановке первых двух разложений (15) в первое уравнение (14) в нем появится свободный член

в =

j=i,3,... Si

' 5 1- —0, ч Л,

С .

(16)

Для устранения полученной невязки добавим к функции (13) дополнительный прогиб:

wO(jc) = ^ch(tDx),

(17)

где Я, ю — неопределенные коэффициенты.

Подчиним функцию (17) основному уравнению задачи (7). Тогда

ю4+7>2-П2=0,

00

Х(-1)Ч cha; (a, tha; -ß^hß^cos^jO

+4 E ц,С,

+ \

=0,

а после перестановки знаков суммирования по индексам к и 5 и освобождения затем от знака суммирования по индексу к получим

cha; (at tha; -ßtthß;)4 +

+ 4l>A

s=1,3,...

^ 1 1 Л

_J__0 n. 1

(19)

Функция (18) нарушает первое условие (4) на гранях >> = ±1 / 2:

= у[Л]со]2 сЬ(со]х) + Л2ю2 сЬ(ю2л:)].

Разложим эту невязку в ряд Фурье по сс^црг). По аналогии с последней формулой (15) имеем

сИ(сйх) = —сЬю У У ' 7— У ,=71.

ю о

О <

<

U

ю

о

откуда

Q2);

Функция (17) запишется теперь в виде суммы двух слагаемых:

w0(x) = Äj ch(cü]x) + R2 ch(co2Jc).

(18)

Потребуем от функции (18) выполнения граничных условий при х = ±7 / 2, тогда

сЬсо* + сЬсо^ = 0; Л, оз, эИсй* + Л2оз2 вЬ сй2 = -б,

где Ю1* = аьу / 2, ю2* = (02у / 2. Из этой системы получаем

*2 =

G chco,

ю2 chtöj shco2 -cöj shtöj chco2

-GchcaJ co2 chco* shtö^ -cöj shcoj' chco2

Первое уравнение (14) без свободных членов примет вид

где вместо ю надо подставить cöi или а>2, тогда

МУ0 =-— £ Н)'Ч cos(nsx), (20)

У 5=1,3,...

где

= ^

n 1 1 , » <a2ch(o2 И, +<»2,/

Подставим теперь две последние формулы (15) во второе уравнение (14) и добавим невязку (20):

-— Е ("1)!*»г,!со8(ц!х) +

+-VA chat Ты

+ £ H/'^chC

i=l,3,...

j=l,3,...

\xs cos(|isx)

1 1 a*+H2

P/fc+Hs у

+

j=l,3,...

+

0sK-vn:)thCcthn;

cos(|j,!x)=0,

ч *v ~ • *> что затем приводит это уравнение к виду

Vestnik of Astrakhan State Technical University. Series: Management, computer science and informatics. 2024. N. 2 ISSN 2072-9502 (Print), ISSN 2224-9761 (Online)

Mathematical modeling

2 i2

4v u *

У У ы I Ot+Ц, ß*+K ; (21) + cschC [(g-v^) -es (те - VHÎ) thC cthn:]=o. Из уравнения (19) следует, что

А: =-4

Ё v-Л.

1

-е.

1

■к /

atthat-

ß.thß,

(22)

где введены обозначения: ^ = Ак ch ßj, Cfs = Cs shÇ*. Из уравнения (21) получаем

С* =

4v 4 ц ,

—^—"¿Л

У У tí

va2-^ | vß2-^

2 2

' cthC cthn;]

и тогда выражение (16) примет вид

i-e.

к л,

(23)

(24)

части и под знаками сумм в правой части, позволяет легко организовать вычислительный процесс последовательных приближений. Начальные значения коэффициентов Cs0 можно назначить произвольно, например, для сжимающей нагрузки С*0 = 1 / \i2s.

Коэффициенты редуцированной системы (23), число уравнений которой менялось, выводились на печать на каждой итерации. Если соответствующие нетривиальные коэффициенты, начиная с некоторой итерации, не отличались друг от друга, то данная частота принималась за собственную (при заданной нагрузке).

Приведем окончательное выражение для функции прогибов пластинки:

w(x, у) = Л, ch(cü]x) + R2 ch(o32x) +

+ К-1)Ч*

ch(a^jc) ch(ß^jc)

chat

chßl

'* У

+ X н)!,<

j=l,3,...

ЛС

shr\s

cos(kky) + (25) cos(n^).

Выражение (23), с учетом (22) и (24), представляет собой бесконечную однородную систему линейных алгебраических уравнений для одной последовательности коэффициентов С5. В качестве основных параметров она содержит искомую частоту собственных колебаний П и интенсивность усилий Тх в плоскости пластины. Эту частоту при заданном значении Тх можно найти из условия равенства нулю определителя системы (23), что является отдельной трудоемкой задачей.

В данном случае использовался не традиционный метод отыскания корней определителя системы (23), а итерационный процесс [5] вычисления нетривиальных коэффициентов Cs в сочетании с методом перебора частотного параметра П. Стандартная форма бесконечной системы (23), когда искомые коэффициенты С* присутствуют отдельно в ее левой

Численные результаты. Обсуждение

Вычисления производились в системе аналитических вычислений Maple по программе, которая позволяла менять коэффициент Пуассона, отношение сторон пластины, безразмерную величину сжимающей (растягивающей) нагрузки, безразмерную частоту колебаний, число членов в рядах (размер редуцированной системы), число итераций и количество значащих цифр в мантиссе чисел при вычислениях. Окончательно число членов в рядах принималось равным 90, число итераций - 20, количество значащих цифр при вычислениях - 40.

В таблице приведены полученные собственные относительные частоты колебаний квадратной пластины для ряда значений сжимающих и растягивающих усилий. Коэффициент Пуассона был принят равным 0,3.

Собственные частоты il = pb2^jph / D квадратной CFCF-пластинки при заданных значениях сжимающей (растягивающей) нагрузки Тх= ТхЬг / D

Natural frequencies SI = pb'^jph / D of a square CFCF plate at specified values of compressive (tensile) load Tx= Txb2 / D

о Я Б'

S <

сл

о §

о

<

й-

р

2 р?

SL <

о1

H

Sí-о' s

3

о g

<g

ñ о

4 о ч -é Si

о &

ff s

CA

S

I

О

0

1

§

о

ê? 13

Тх -10* -5 0 1 3 4 10 15

п 24,775 23,51045 22,1653 21,8854 21,3133 21,0208 19,1634 17,4509

т 22 27 33 35 37 38 38,6752 -

п 14,6938 12,3261 8,6216 6,9460 4,6950 2,9825 0 -

* Отрицательные Тх являются растягивающими усилиями.

Следует отметить, что для сжимающих усилий ных частотах была вещественной, но при растяги-функция прогибов на соответствующих собствен- вающих усилиях она получалась комплексной ввиду

Вестник Астраханского государственного технического университета. Серия: Управление, вычислительная техника и информатика. 2024. № 2

ISSN2072-9502 (Print), ISSN2224-9761 (Online)

Математическое моделирование

о.

s

о

M о О

сложности граничных условий задачи (наличие свободных краев), поэтому для получения вещественного решения последовательность С*^ = 1 / умножалась еще и на комплексно-сопряженное выражение при Cs в формуле (16), с использованием оператора Maple conjugate(d[s]), где

' S ' л.

Вывод об этом был сделан на основании того, что начальные значения коэффициента С (16) оказались

комплексными для растягивающих усилий. Заметим, что искомые коэффициенты функции (25) находятся с точностью до постоянного множителя (одинакового д ля всех коэффициентов) в силу линейности и однородности основного уравнения (1) задачи.

По данным таблицы в системе Maple был построен график зависимости Q = / (Тх), который представляет собой кривую, близкую к параболе (рис. 2), вершиной которой является значение эйлеровой сжимающей нагрузки Тхэ = 38,6752.

si &

№ О

ь

>я

о

ч

л в

>я

о

fc.

ю и

в §

20

18

16

14

« 12

10 с

n 6

4

2

■IS

-10

1Ü

15

20 25

Тх

30

35

40

45

Рис. 2. Зависимость частоты собственных колебаний квадратной CFCF-пластины от величины сжимающей (растягивающей) нагрузки Тх, приложенной к защемленным граням

Fig. 2. Dependence of the natural oscillation frequency of a square CFCF plate on the magnitude of the compressive (tensile) load Tx applied to the pinched faces

ю о

О <

<

О

m S

£ о

Это значение близко к значению Тхэ = 39,321 (расхождение 1,6 %), полученному в работе [11], в которой для определения критических нагрузок использовался метод конечных элементов с усовершенствованным 9-узловым элементом. Задача решалась по уточненной теории Рейсснера - Мин-длина, учитывающей деформацию поперечного сдвига (пластины средней толщины).

С ростом сжимающей нагрузки частота собственных колебаний уменьшается и при критическом значении обращается в нуль, т. е. колебания отсутствуют. Наоборот, с уменьшением сжатия частота увеличивается. При отсутствии нагрузки получили частоту свободных колебаний Q = 22,1653. Последнее значение хорошо совпадает со значением Q = 22,1166 (расхождение 0,2 %), полученным в работе [10].

График позволяет приближенно найти собственную частоту колебаний пластины при других значениях сжимающей нагрузки, а затем с помощью вычислительной программы быстро уточнить ее.

При отыскании собственных частот в системе Maple строились и соответствующие ЗБ-формы рав-

новесия. На рис. 3 представлена форма свободных колебаний при отсутствии нагрузки, а на рис. 4 -форма потери устойчивости при эйлеровой нагрузке, где по вертикальной оси откладывались прогибы и>.

Рис. 3. Форма свободных колебаний при Тх = 0, С2 = 22,1653

Fig. 3. The shape of free oscillations at Tx = 0, fi = 22.1653

Vestnik of Astrakhan State Technical University. Series: Management, computer science and informatics. 2024. N. 2 ISSN 2072-9502 (Print), ISSN 2224-9761 (Online)

Mathematical modeling

Рис. 4. Форма потери устойчивости при Тх = 38,6752, С2 = 0

Fig. 4. The form of loss of stability at Tx = 38.6752, П = 0

Отметим, что все полученные формы подобны изогнутой поверхности пластинки при изгибе равномерным давлением. С ростом сжимающей нагрузки на защемленные грани немного уменьшались амплитуды.

Заключение

Полученные результаты могут быть использованы при проектировании тонких и сверхтонких пластинок (мембран и нанопластин) в качестве чувствительных элементов различных датчиков в смарт-конструкциях. При изменении усилий растяжения-сжатия плоскости пластинки меняются собственные частоты ее колебаний, что вызывает соответствующий отклик управляющей системы.

Предложенный метод позволяет находить собственные частоты и для пластинок с другими граничными условиями.

о

и

В-%

И

о

S

о

<

р

2 р?

SL <

о1 -i

Sí-о' s

Список источников

1. Kshirsagar S., Bhaskar К. Accurate and elegant free vibration and buckling studies of orthotropic rectangular plates using untruncated infinite series // Journal of Sound and Vibration. 2008. V. 314. P. 837-850.

2. Баничук H. В., Барсук А. А., Иванова С. Ю. Асимптотический анализ свободных колебаний и устойчивости растянутых и сжатых упругих полос и прямоугольных пластинок // Проблемы прочности и пластичности. 2010. Вып. 72. С. 93-99.

3. Mohammadi М., Goodarzi М., Ghayour М., Alivand S. Small scale effect on the vibration of orthotropic plates embedded in an elastic medium and under biaxial in-plane preload via nonlocal elasticity theory // Journal Solid Mechanics. 2012. V. 4. N. 2. P. 128-143.

4. Wang Z., Xing Y., Sun Q., Yang Y. Highly accurate closed-form solutions for free vibration and eigenbuckling of rectangular nanoplates // Composite Structures. 2018. V. 210. P. 28.

5. Сухотерин M. В., Глухих В. H., Войтко И. В., Пастушок Е. М. Колебания защемленной прямоугольной пластины при растяжении-сжатии ее плоскости // Строительная механика и расчет сооружений. 2023. № 3. С. 7-14.

6. Сухотерин М. В., Потехина Е. В., Анненков Л. В. Определение спектра критических нагрузок и форм рав-

новесия сжатых панелей обшивки корпуса судна // Вестн. гос. ун-та мор. и реч. флота им. адм. С. О. Макарова. 2014. № 2 (24). С. 44-51.

7. Барышников С. О., Сухотерин М. В., Кныш Т. П. Устойчивость внешних консольных элементов глубоководных аппаратов // Вестн. гос. ун-та мор. и реч. флота им. адм. С. О. Макарова. 2020. № 2. С. 347-358.

8. Swaminathan К., Naveenkumar D. Т., Zenkour А. М., Carrera Е. Stress, vibration and buckling analyses of FGM plates. A state-of-the-art revive // Composite Structures.

2015. V. 120. P. 10-31.

9. Лехницкий С. Г. Анизотропные пластинки. М.; Л.: Изд-во ОГИЗ-ГИТТТЛ, 1947. 355 с.

10. Сухотерин М. В., Лалин В. В., Кондратьева Л. Н., Барышников С. О., Войтко И. В. Свободные колебания прямоугольной пластины с защемленными противоположными краями (CFCF-пластина) // Науч.-техн. ведом. Санкт-Петерб. гос. политехи, ун-та. Физ.-мат. науки. 2023. Т. 16. № 1.С. 51-64.

11. Lee S. J. Buckling analysis of rectangular plates using an enhanced 9-node element // Architectural Research.

2016. V. 18. N. 3. P. 113-120.

References

1. Kshirsagar S., Bhaskar K. Accurate and elegant free vibration and buckling studies of orthotropic rectangular plates using untruncated infinite series. Journal of Sound and Vibration, 2008, vol. 314, pp. 837-850.

2. Banichuk N. V., Barsuk A. A., Ivanova S. Iu. Asimp-toticheskii analiz svobodnykh kolebanii i ustoichivosti rasti-anutykh i szhatykh uprugikh polos i priamougol'nykh plastinok [Asymptotic analysis of free oscillations and stability of stretched and compressed elastic bands and rectangular plates]. Problemyprochnosti iplastichnosti, 2010, iss. 72, pp. 93-99.

3. Mohammadi M., Goodarzi M., Ghayour M., Alivand S. Small scale effect on the vibration of orthotropic plates embedded in an elastic medium and under biaxial in-plane pre-

load via nonlocal elasticity theory. Journal Solid Mechanics, 2012, vol. 4, no. 2, pp. 128-143.

4. Wang Z., Xing Y., Sun Q., Yang Y. Highly accurate closed-form solutions for free vibration and eigenbuckling of rectangular nanoplates. Composite Structures, 2018, vol.210, p. 28.

5. Sukhoterin M. V., Glukhikh V. N., Voitko I. V., Pas-tushok E. M. Kolebaniia zashchemlennoi priamougol'noi plastiny pri rastiazhenii-szhatii ee ploskosti [Vibrations of a pinched rectangular plate during tension-compression of its plane]. Stroitel'naia mekhanika i raschet sooruzhenii, 2023, no. 3, pp. 7-14.

3

о §

<g

ñ о

4 о ч -é Si

о &

ff s

сл

í I

о

0

1

§

о

|-|>

13

Вестник Астраханского государственного технического университета. Серия: Управление, вычислительная техника и информатика. 2024. № 2

ISSN2072-9502 (Print), ISSN2224-9761 (Online)

Математическое моделирование

6. Sukhoterin M. V., Potekhina E. V., Annenkov L. V. Opredelenie spektra kriticheskikh nagruzok i form ravnovesiia szhatykh panelei obshivki korpusa sudna [Determination of the spectrum of critical loads and forms of equilibrium of compressed hull cladding panels]. Vestnik gosudarstvennogo universiteta morskogo i rechnogo Jlota im. admirala S. O. Makarova, 2014, no. 2 (24), pp. 44-51.

7. Baryshnikov S. O., Sukhoterin M. V., Knysh T. P. Ustoichivost' vneshnikh konsol'nykh elementov gluboko-vodnykh apparatov [Determination of the spectrum of critical loads and forms of equilibrium of compressed hull cladding panels]. Vestnik gosudarstvennogo universiteta morskogo i rechnogo Jlota im. admirala S. O. Makarova, 2020, no. 2, pp. 347-358.

8. Swaminathan K., Naveenkumar D. T., Zenkour A. M., Carrera E. Stress, vibration and buckling analyses of FGM

plates. A state-of-the-art revive. Composite Structures, 2015, vol. 120, pp. 10-31.

9. Lekhnitskii S. G. Anizotropnye plastUd [Anisotropic plates], Moscow, Leningrad, Izd-vo OGIZ-GITTTL, 1947.355 p.

10. Sukhoterin M. V., Lalin V. V., Kondrat'eva L. N., Baryshnikov S. O., Voitko I. V. Svobodnye kolebaniia pri-amougol'noi plastiny s zashchemlennymi protivopolozhnymi kraiami (CFCF-plastina) [Free vibrations of a rectangular plate with pinched opposite edges (CFCF plate)]. Nauchno-tekhnicheskie vedomosti Sankt-Peterburgskogo gosudarstvennogo politekhnicheskogo universiteta. Fiziko-matema-ticheskie nauki, 2023, vol. 16, no. 1, pp. 51-64.

11. Lee S. J. Buckling analysis of rectangular plates using an enhanced 9-node element. Architectural Research, 2016, vol. 18, no. 3,pp. 113-120.

Статья поступила в редакцию 10.02.2024; одобрена после рецензирования 06.03.2024; принята к публикации 12.04.2024 The article was submitted 10.02.2024; approved after reviewing 06.03.2024; accepted for publication 12.04.2024

Информация об авторах / Information about the authors

Михаил Васильевич Сухотерин - доктор технических наук, доцент; заведующий кафедрой высшей математики; Государственный университет морского и речного флота имени адмирала С. О. Макарова; [email protected]

Анна Анатольевна Сосновская - старший преподаватель кафедры высшей математики; Государственный университет морского и речного флота имени адмирала С. О. Макарова; [email protected]

Mikhail V. Sukhoterin - Doctor of Technical Sciences, Assistant Professor; Head of the Department of Higher Mathematics; Admiral Makarov State University of Maritime and Inland Shipping; [email protected]

Anna A. Sosnovskaya - Senior Lecturer of the Department of Higher Mathematics; Admiral Makarov State University of Maritime and Inland Shipping; [email protected]