Собственные частоты колебаний стержней Текст научной статьи по специальности «Физика»

* г = /з (■" > г, ф, 5, Но, Рс 0, Рс, Ей, Еп, Яс, Иг, Ро, П т, П №, П а, Р), Уф = /4(Г,г,<р,2, Но, Рсд , Рс, Ей, Еп,Кс,Рг,Ро,Пт,П(у ,П0,р), \г2 = /5((~, г, (р, г, Но, Рср, Рс, Ей, Еп, Ис, Бг, Ро, П т, П ¡у, Па, Р),

р = /(¡{¿,г, Ф, г, Но, Ре £,, Ре, Ей, Еп, Яе.Рг.Ро.П^.Пи/.П^.Р).

Анализ полученной системы уравнений показывает, что предложенная экспериментальная установка будет моделировать процессы в баке ракеты при работе термической системы обезвреживания только при равенстве всех критериев подобия для установки и бака ракеты. Проведенный численный их анализ показал, что уменьшение масштаба установки по сравнению с баком не представляется возможным и только в частном случае, когда процесс термического обезвреживания внутри бака происходит в условиях асимметричных вдоль продольной оси, то представленная экспериментальная установка будет моделировать процесс происходящий в секторе с углом ф. Кроме того полученная система уравнения может служить основой для численного математического моделирования реакторов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Сформулирована математическая модель гетерогенного горения с учетом межфазного взаимодействия жидкой и газообразной фаз.

2. Предложена математическая модель термической системы обезвреживания остатков КРТ в баке отработавшей ступени РН «Космос».

3. Показано, что процесс термического обезвреживания в баке ракеты можно моделировать на пилотной установке упрощенной конструкции.

ЛИТЕРАТУРА

1. Шалай В.В., Корнеев С. А. Математическое моделирование тепломассообменных процессов в двухфазных системах газ - жидкость / в настоящем сборнике.

ШАЛАЙ Виктор Владимирович - кандидат технических наук, доцент, зам. зав. кафедрой «Автоматические установки»

КОРНЕЕВ Сергей Александрович - кандидат технических наук, доцент, докторант ОмГТУ, кафедра «Основы теории механики и автоматического управления» ДУБОНОСОВ Анатолий Павлович - зам. главного конструктора.

ЧАРУШИН Михаил Иванович - аспирант ОмГТУ, кафедра «Автоматические установки»

РОТОВА Оксана Геннадьевна - аспирантка ОмГТУ, кафедра «Автоматические установки»

н.и.лаврович собственные частоты

Омскии государственный ^

технический университет колебаний стержней

УДК 534.014.1

Собственные частоты колебаний являются важной характеристикой изделия. На этапе проектирования конструкции их обязательно определяют для того, чтобы либо избежать резонанса на рабочих режимах эксплуатации, либо, наоборот, использовать его эффект. Кроме того, собственные частоты используются для определения состояния изделия, например, широко распространен частотный контроль для определения качества изделий из хрусталя, фарфора, а в настоящее время широко используется такой контроль, например, для турбинных и компрессорных лопаток.

С течением времени в любом изделии происходят изменения геометрии и физико-механических свойств материала. Причины могут быть разные, например, статические, динамические, температурные воздействия, коррозия, усталостное старение и т.д. Наибольший интерес представляют поперечные колебания изделий, которые обобщенно можно представить в виде некоторого стержня с консольным закреплением.

В теории колебаний поперечные колебания стержней, как систем с распределенными параметрами, описываются дифференциальным уравнением

В СТАТЬЕ РАССМАТРИВАЮТСЯ МЕТОДЫ РАСЧЕТА СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ КОЛЕБАНИЙ СТЕРЖНЕЙ И ДАЮТСЯ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИСПОЛЬЗОВАНИЮ ИХ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФИЗИКО-МЕХАНИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ МАТЕРИАЛА И КОНТРОЛЯ КАЧЕСТВА ДЕТАЛЕЙ.

представляется в форме Фурье

У(х,1)=у,(х) . у20), (2)

подставляя (2) в (1) и преобразуя, получаем следующее уравнение упругой линии:

у^х^с, сЬ г,х + сгБЬ г,х + С3С05 г,х + с4вт г,х (3)

Из условия закрепления стержня получают

трансцендентное уравнение относительно г, и г,, допускающее множество решений. Наибольший интерес представляет решение , при котором гн . £ =СС,, где £ -рабочая длина стержня, (X 1 - параметр, определяющий вид упругой линии при ¡-х главных колебаниях.

Решив (1), получим [1]

Р, =

(4)

г.,д4У д2у , (, Ек

(1)

)ск 2 Л

у(х,1) - динамическое уравнение упругой линии стержня; Е, С - модули упругости материала 1го и 2го рода соответственно;

(1,р- погонная и удельная массы соответственно; и- осевой момент инерции поперечного сечения; к - коэффициент неравномерности распределения касательных напряжений по высоте поперечного сечения. При решении уравнения (1) первый интеграл обычно

2С'Лср-

Зависимость (4) имеет сложную структуру и неудобна для практического использования.

Обычно поступают более простым способом и не учитывают влияния инерции поворота поперечного сечения и сдвига, то есть ограничиваются двумя первыми членами уравнения (1), это означает переход к эквивалентной системе с сосредоточенными параметрами. В этом случае выражение для определения частоты собственных колебаний стержня имеет вид

(5)

Точность определения собственных частот колебаний по выражению (5) невысока, но вполне удовлетворительна для длинных стержней.

Недостатками приведенных выше выражений для определения собственных частот колебаний стержней

являются высокая сложность, низкая точность и самое главное, что ^ Е, в являются величинами, переменными во времени, они как раз характеризуют изменение физико-механических свойств в материале, появление и накопление усталостных повреждений. При этих условиях решить уравнение (1) в явном виде вообще невозможно, необходимо использовать другую модель для расчета собственных частот колебаний стержней.

Предлагается провести эквивалентную замену колебательной системы с распределенными параметрами на систему с сосредоточенными, то есть массу стержня привести в одну точку, а сам стержень считать невесомым, но имеющим те же упругие характеристики. В этом случае возникает проблема сточным определением приведенной массы стержня.

Рассмотрим в качестве предлагаемой модели простейший вибратор, представляющий собой консольно закрепленный стержень прямоугольного поперечного сечения (рис. 1). Уравнение движения точки А вибратора, максимально удаленной от заделки, имеет известный вид

т„„/(г)+я(/)у(/) +л:(<МО = о,

где тпр- приведенная масса вибратора в точке А;

(6)

В(() - коэффициент, характеризующий демпфирование;

К.(1) - коэффициент, характеризующий жесткость вибратора.

Решения уравнения (6) имеют следующий вид [2]

[щГ

-/(Кг)<(г

( ' -сое

г +/

о>,(//к О-/32(0+7:6"

1йЗ(()

(7)

(8)

4 йг(0 2 й)(/)'

где уЛ- максимальная амплитуда колебаний стержня в точке А;

= приведенный коэффициент,

характеризующий демпфирование;

ф,(г) - частота ¡-х главных колебаний вибратора;

частота колебаний в начальный момент

времени;

Р - собственная частота колебаний

стержня;

]- фазовый угол. Учитывая, что /3(/) и <в(/) непрерывные, дифференцируемые функции, медленно изменяющиеся во времени, то можно пренебречь величинами более высокого порядка малости и выражение (8) преобразуется к виду:

со,(,) = ^Рг-р(1)-рЧ,) (9)

В большинстве случаев нас интересуют главные колебания на 1-й гармонике.. В нашем случае собственная частота основной гармоники колебаний вибратора, имеющего прямоугольное поперечное сечение, находится из следующего выражения: [3]

Еа-Ь3

(10)

При малых амплитудах колебаний принято считать, что

ш(0а/»(0

Теоретически т находится следующим образом (Рис. 1) [3]

(к,

4 ' Е]

[ в х] <2?:- я?

----х+-

С 2 3

Ул £/' 3

(13)

где О- мгновенная сила, приложенная в точке А и изгибающая вибратор до амплитуды уЛ.

Подставляя (12) и (13) в (11) и, интегрируя, получаем для стержней постоянного поперечного сечения следующую зависимость

»!„„ = 0,2357-т, (14)

где т = ц ■(. - масса рабочей части образца. Таким образом, теоретический коэффициент приведения массы оказался равным «^=0,2357. Определяя собственные частоты колебаний стержней по зависимостям (9), (10) и (14) можно получить результаты, несколько отличающиеся от действительных. Это связано с несоответствием между теоретическим и экспериментальным коэффициентами приведения масс. В основном на величину К^ влияют геометрия стержня £, а, Ь, упругие свойства материала и условия крепления.

В лаборатории надежности ОмГТУ проводились исследования по определению действительного коэффициента приведения массы, при котором собственные частоты колебаний стержней находятся по выражению (10) с высокой точностью. На рис.1 показана принципиальная схема устройства для проведения испытаний. Испытываемые образцы 1 устанавливались в специальное крепление 2, позволяющее менять рабочую длину образца £ от 0 до 300 мм, и закреплялись при заданной длине, причем усилие прижима увеличивалось до тех пор, пока собственная частота колебаний не становилась постоянной величиной. Далее, свободный конец образца (точка А) отклонялся на заданную величину уЛ и отпускался, образец начинал совершать свободные затухающие колебания. Частота собственных колебаний фиксировалась с помощью специального светового датчика 3, включающего в себя два фотодиода, соосных с 2-мя отверстиями для световых потоков. Датчик 3 устанавливался так, чтобы упругая линия испытываемого образца находилась между двумя фотодиодами. Колеблющийся образец 1 дважды за период перекрывал каждый световой поток, падающий на соответствующий фотодиод. Электрические сигналы, возникающие в световом датчике 3, преобразовывались и через усилитель 4 подавались на частотомер (43-34), работающий в режиме измерения периода, что значительно повышало точность измерения частоты колебаний. В расчетах использовались только последние показания частоты по частотомеру, то есть при малой амплитуде колебаний, которая определялась расстоянием между двумя фотодиодами.

£ 4

с X 5 4 «о

е 5 а.

(Н)

(12)

Рис.1

Образцы для испытаний изготавливались из различного металла, длины, ширины и толщины. На рис.2 приведены наиболее характерные результаты для образцов из стали 10 толщиной 2, 3, 5 мм и алюминиевого сплава Д-12 толщиной 2 мм. Ширина представленных образцов была равна 30 мм. Модули упругости материала образцов определялись предварительно классическим способом при растяжении на прессе в пределах зоны пропорциональности напряжений и относительных деформаций.

Для наглядности на рис.2 представлены только результаты аппроксимации экспериментальных данных,

полученных методом линеаризации. В результате анализа можно сделать следующие выводы:

(.Ширина образцов незначительно влияет на коэффициент приведения массы.

2. Чем больше отношение толщины образца к длине, тем ближе коэффициент приведения массы, полученный экспериментально, к теоретической величине.

3. Чем меньше длина образца, тем больше К^.

4. Повышение модуля упругости материала приводит к увеличению коэффициента приведения массы.

Таким образом, показано, что для точного определения собственных частот стержневых систем вполне пригодна модель с сосредоточенными параметрами и решением (10) с экспериментальными поправками, приведенными на рис. 2.

Результаты исследования нашли свое практическое применение. Было разработано устройство (защищенное авторским свидетельством на изобретение), позволяющее проводить экспресс-анализ упругих свойств материала стержней. Устройство и методика экспресс-анализа были внедрены в промышленности.

Проведенные исследования позволяют использовать собственные частоты колебаний стержней для контроля

степени упрочнения, толщины покрытий и изменения физико-механических свойств материала с течением времени. Кроме того, с учетом результатов, полученных в [4-6], их можно использовать для контроля усталостной повреждаемости материала, повышения предела выносливости путем циклического тренинга и оценке возможности дальнейшего использования изделия, после отработки назначенного ресурса.

Литература

1. Дубко А.Н. Обобщенное решение задачи об определении частот собственных поперечных колебаний однородных прямых стержней // Вестник машиностроения. -1983. -№6. - С. 37-38.

2. Наумов В.А., Асауленко А.П., Паврович Н.И. Закономерности простейшей колебательной системы с медленно изменяющимися параметрами. Расчеты на жесткость и прочность в машиностроении: Межвузовский сборник научных трудов ОмПИ. - Омск: ОмПИ, 1981. - С. 52-56.

3. Стрелков С.П. Введение в теорию колебаний.-М.: Наука, 1964,-473с.

4. Самарин В.К. Возможности контроля повреждаемости по изменению частоты собственных колебаний образцов // Проблемы прочности. -1978. - №6. - С. 61 -64.

5. Лаврович Н.И. К вопросу о контроле усталостной повреждаемости материала. - М., 1988. - 15 с. - Деп. в ВИНИТИ 16.06.88, №4758.

6. Лаврович Н.И. Оценка надежности и долговечности деталей по параметрам колебательного процесса. Динамика систем, механизмов и машин : Тез. Докл. Международн. Конферен. 26-28 октября 1999 г. - Омск, 1999.-С. 88-89.

ЛАВРОВИЧ Николай Иосифович - к. т. н., доцент, докторант ОмГТУ (каф. "Сопротивление материалов").

авв"ч!рня™ов экспериментальные исследования ориентирования зерна

УДК 631.362 на решете, совершающем

бигармонические колебания

СТАТЬЯ СОДЕРЖИТ МЕТОДИКУ И РЕЗУЛЬТАТЫ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ ПРОЦЕССА ОРИЕНТИРОВАНИЯ ЗЕРНА ПШЕНИЦЫ НА ПЛОСКОМ СОРТИРОВАЛЬНОМ РЕШЕТЕ ЗЕРНООЧИСТИТЕЛЬНОЙ МАШИНЫ. ОПРЕДЕЛЕНЫ РЕЖИМЫ, НА КОТОРЫХ ОРИЕНТИРУЮЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ПЛОСКОГО КАЧАЮЩЕГОСЯ РЕШЕТА ПРИ БИГАРМОНИЧЕСКИХ ЕГО КОЛЕБАНИЯХ НАИБОЛЬШАЯ.

Работа плоского решета включает в себя два взаимосвязанных процесса: транспортирование зерна и его сепарация через отверстия. На нее влияют четыре фактора: силы, действующие на зерно; режим относительного движения зерна по решету; предельная скорость зерна по решету; ориентирование зерна на решете.

В [4] предложено ориентацию какой-нибудь частицы определять угловой координатой ф, отсчитываемой от некоторого выбранного направления. Введено стохастическое уравнение вращения частицы:

где ^эффективный момент инерции частицы;

М-момент сил, обусловленных динамическим воздействием среды и внешним ориентирующим полем; ^-эффективный коэффициент вязкости; £ (О-случайное воздействие, обусловленное стесненностью движения частиц со случайно варьируемыми характеристиками.

Данное уравнение является общим для любых рабочих органов, участвующих в процессе сепарации зерна, поэтому оно может не учитывать все тонкости, лежащие в основе ориентирования зерна на плоских решетах.

По данным проф. Летошнева М.Н.[3] следует, что условия при скользящем перемещении семян для решет с продолговатыми отверстиями более благоприятны для разделения, чем при движении с подбрасыванием.