CC BY
22
Технические науки — от теории к практике _№ 1 (49), 2016г.
СЕКЦИЯ
«ЭНЕРГЕТИКА И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ТЕХНИКА И ТЕХНОЛОГИИ»
СОБСТВЕННЫЕ ЧАСТОТЫ КОЛЕБАНИЙ КОМПОЗИЦИОННЫХ ЛОПАСТЕЙ И ЛОПАТОК ТУРБОМАШИН
Байшагиров Хайрулла Жамбаевич
д-р техн. наук, руководитель лаборатории, проф. Кокшетауского госуниверситета им. Ш. Уалиханова, Республика Казахстан, г. Кокшетау Е-mail: bayshagir@mail. т
Ермаганбетова Сауле Каировна
соискатель, магистр естественных. наук, преподаватель Кокшетауского госуниверситета им. Ш. Уалиханова,
Республика Казахстан, г. Кокшетау Е-mail: sever_sk@mail. т
SELF-RESONANT FREQUENCY OF COMPOSITIONAL IMPELLERS AND BLADES OF TURBO-MACHINES
Khayrulla Bayshagirov
doctor of Technical Sciences, Lab Supervisor, Professor of Sh. Ualikhanov Kokshetau University,
Kazakhstan, Kokshetau
Saule Yermaganbetova
degree-seeking student, Master of Natural Science, Lecturer of Sh. Ualikhanov Kokshetau University, Kazakhstan, Kokshetau
www.sibac.info
Технические науки — от теории к практике № 1 (49), 2016г_
АННОТАЦИЯ
Цель статьи заключается в определении спектра низших собственных частот колебаний ответственных композиционных изделий в турбомашинах. Задача о поперечных колебаниях пластин решалась методом Рица на основе энергетического принципа. Сравнение полученных численных результатов с опытными данными для стеклопластика даёт их удовлетворительное совпадение. При этом частоты колебаний лопастей ветротурбины находятся в пределах слышимых человеком диапазоне и не представляют опасности для его здоровья. Результаты можно использовать для оптимизации внутренней структуры материала с целью получения приемлемого уровня собственных частот элементов конструкции.
ABSTRACT
The purpose of the article is to determine the range of lower natural vibration frequencies of chargeable composite manufacturing in turbo machines. The problem of transverse vibrations of plates is solved by Ritz based on the energy principle. Comparison of obtained numerical results with experimental data for fiberglass gives them a satisfactory match. The frequencies of the oscillations of the wind turbine blades are within the range of human hearing and are not dangerous to his health. The results can be used to optimize the internal structure of the material in order to obtain acceptable levels of the self-resonant frequencies of the construction.
Ключевые слова: турбомашина, конструкция, колебания, лопатка, лопасть, ветроустановка, стеклопластик.
Keywords: turbo machine, construction, oscillations, blade, impeller, wind turbine, glass-fiber material.
Среди требований, предъявляемых к ветроустановкам, особняком стоит вопрос недопущения ими излучения колебаний, вредных для живого организма. Они возникают из-за того, что обладающие большой линейной скоростью (при больших оборотах) периферийные сечения лопасти рассекают воздух с разряженными участками. Этот неравномерный по плотности участок - след от «уходящей» вперед предыдущей лопасти. Таким образом, возникают условия для изгибных колебаний тела в плоскости наименьшей жесткости. Угол атаки в сечениях меняется вдоль лопасти так, что наименьший наклон хорды к плоскости вращения приходится на концевые сечения. Это тоже благоприятствует возникновению поперечных колебаний, в особенности, для длинных лопастей. В связи с этим представляет
Технические науки — от теории к практике _№ 1 (49), 2016г.
интерес исследование собственных частот изгибных колебаний армированных пластин, имитирующих лопасть ветроустановки.
Задача расчета собственных частот и форм колебаний стержней, балок, закрученных рабочих лопаток с точки зрения однородной теории рассматривалась в литературе неоднократно. Основы расчета и методы достаточно подробно описаны в работах Бицено и Граммеля [5].
Колебания и волны в слоистых и композитных телах рассмотрены в работах Ван Фо Фы Г.А. [6], Ахенбаха Д.Ж. [1] и некоторых других, причем здесь использовались соотношения изотропной или анизотропной однородной теорий упругости.
Здесь изучается метод расчета армированной прямоугольной пластины при свободных колебаниях. Для определения собственных частот используются соотношения анизотропной квазиоднородной теории упругости [1; 8] и метод Ритца [9].
Пусть прямоугольная армированная пластина длины €, толщины Ь и ширины 2Ь закреплена по краю х=0. Ось ох совпадает с осью симметрии пластины, ось оу направлена по закрепленному краю, т. е. 0<х<Е, - Ь <у< Ь, - Ь/2<2<Ь/2 (Рис. 1). Используем принцип Гамильтона [8], тогда справедливо равенство:
5| (К - П) Ж = 0 (1)
Если предполагать, что существуют только нормальные колебания
w (х, у, /), то кинетическую энергию К можно представить в виде:
к=Р1 -=2к 01 (2)
где: р - плотность тела, р= рн Vй + рм Vм, V- объем тела, 8-сечение.
Технические науки — от теории к практике № 1 (49), 2016г_
Рисунок 1. Армированная пластина прямоугольного сечения
Потенциальную энергию П для трансверсально-изотропной пластины в рамках квазиоднородной модели можно записать в виде [8]:
П = 1 / 2(Е1И3) / (12(1—)) 11 [((д2 ш) / (дх2 ))2 + 2и2 (д2 ш) / (дх2 )(д2 ш) / (ду2) + +Е2 /ЕДд / (ду2))2 + 40/Е1(1 — и1и2 )((д2ш) / (дхду))2 \dxdy (3)
Здесь Е1 , Е2, u , u2 - модули Юнга и коэффициенты Пуассона для главных направлений, совпадающих с направлениями осей ОХ и ОУ, G- модуль сдвига в плоскости XOY.
Полагаем, что существуют только периодические колебания с частотой ю, т. е.
w(x, y, í) = v(x, y) sin roí (4)
Если выбрать v (х, у) в виде ряда известных функций с произвольными коэффициентами Ai, то варьирование интеграла (1) сведется к дифференцированию его по этим неизвестным параметрам. Следуя работе [8], положим, что
v(x, У) = YL vmn (X, У) = ZZ AmnXm (x)Yn (y) (5)
Так как пластина закреплена лишь по краю х=0, естественно выбрать координатные функции Xm (х), Уп (у) как собственные функции консольной и свободной балок, соответственно.
Технические науки — от теории к практике _№ 1 (49), 2016г.
Тогда:
Хт (х) = 1 / (-JT) \chkm х - cos km х +
+(shk - sink )/(chk + cosk )(sink x - shk x) ] (6)
^ m m' ^ m mm m ' J 4 ^
Эта функция удовлетворяет граничным условиям:
Xт (0)=xm (0)=о; X,1 (i)=xmu(i)=о (7)
В (6) X =хИ, а волновое число km=um I удовлетворяет характеристическому уравнению 1+ ch km cos km=0 и принимает значения [8], данные в таблице 1.
Таблица 1.
Значения волновых чисел
www.úbacinfo
m 0 1 2 3 m^<x>
km - 1,875 4,694 7,854 2m -1 -n 4
k m 0 0 2,365 3,935 2m -1 -n 4
Примечание: в последнем столбце дана приближенная формула для ш>4. При этом
ц, = ((р8)/(Б11)ю2 )1/4 (8)
где: 8 - площадь поперечного сечения, Е11 - изгибная жесткость.
Балочные функции Хт( X), являясь ортонормированными, удовлетворяют равенствам:
с
¡X X dx = \l>т ~ Р ¡r'X"ct - \к- ' = ' Г9)
Технические науки — от теории к практике № 1 (49), 2016г_
Из выражения (1) после преобразований получаем характеристическое уравнение, из которого следует удобная для конструкторов формула:
Г =
^т *
2п
1
Е,
2зс Г У^ра-г)!^)
(10)
позволяющая рассчитать технические частоты для изгибных стержневых форм колебаний (т. е. без продольных узловых линий).
Для сравнения с результатами эксперимента, проведенного для стеклопластика с приведенными ниже характеристиками, рассмотрим узкую прямоугольную пластину, размеры которой соответствуют компрессорной лопатке авиационного двигателя:
Е1 =0,29 105 Мпа, Е2 =0,19 105 Мпа, и =0,13; и =0,11 О =3,2 103 Мпа, р=2,04 1 03 кг/м3, 1=0,12 м, Ь = 0,003 м, 2Ь=0,03 м.
Рисунок 2. Компрессорные лопатки из стеклопластика с «хвостовиком» для консольного закрепления
Значения экспериментальных и вычисленных технических частот /т (при т=1,2,3), помещенные в таблице 2, близки по своей величине. Сравнение их показывает, что низшие собственные частоты изгибных колебаний армированных узких пластин с погрешностью не более 5 % можно подсчитать по приближенной формуле (10). При т>4 эта формула дает заметные погрешности, поэтому расчет надо вести, например, методом последовательных приближений [9].
Технические науки — от теории к практике _№ 1 (49), 2016г.
Таблица 2.
Расчетные и экспериментальные собственные частоты
Частота, Гц т
1 2 3
Экспериментальная 121 765 2100
По формуле (10) 125 795 2220
Для лопастей ВЭУД 20 130 350
29 180 500
На основе гранта Комитета науки МОН РК [2] разработан и создан опытный образец стеклопластиковой ветроэнергетической установки с диффузором (ВЭУД).
Рисунок 3. Модельный прототип турбомашины ВЭУД и его ветроколесо с лопастями
Используем приведенные выше характеристики стеклопластика и размеры для пластины, имитирующей лопасть первого [2] опытного образца ВЭУД (Ь=0,005 м; Ь=0,1 м; 1=0,38 м). Тогда по формуле (10) получим следующие значения собственных частот для низших форм колебаний:
Й = 20 Гц, = 130 Гц, = 350 Гц.
Лопасть модельного прототипа ВЭУД [3] была изготовлена на основе стеклоткани ТС-10 и эпоксидного связующего марки ЭДТ-10, т. е. Е1= 0,5105МПа; У1=0,33; У2=0,29; р=2103кг/м3. Использовав эти характеристики, можно получить из формулы (10) следующий спектр собственных частот:
: = 29 Гц, £2 = 180 Гц, :3 = 500 Гц.
Технические науки — от теории к практике № 1 (49), 2016г_
Повышение значений этих трех низших частот на 38-45 процентов по сравнению с первым вариантом вызвано тем, что образец из стеклоткани ТС-10 обладает более высокими жесткостными характеристиками, чем образец из стеклопластика в первом варианте.
Спектры значений вычисленных собственных частот (20, 130, 350 Гц), (29, 180, 500 Гц) входят в диапазон слышимых человеком колебаний, поэтому не представляют опасности для его здоровья.
На вращающуюся лопасть действуют центробежные силы, растягивающие ее в продольном направлении. Как показали расчеты, они незначительно повышают собственные частоты низших форм колебаний [3].
При испытаниях ВЭУД в полевых условиях при температуре минус 33 градусов по Цельсию лишь в непосредственной близости от работающей ветротурбины был слышен соответствующий звук, напоминающий умеренный шум обычного бытового вентилятора [2; 3; 4].
Список литературы:
1. Ахенбах Дж.Д. Колебания и волны в направленно-армированных композитах. // В кн.: Композиционные материалы. - М.: Мир, 1978. -С. 354-400; ил. - (Механика композиционных материалов: т. 2).
2. Байшагиров Х.Ж., Каримбаев Т.Д., Петров Ю.А. и др. Разработка и создание композиционной ветроэлектрогенераторной установки с диффузором // отчет НИОКР. - Кокшетау, 2004. - № Госрегистрации 0105 РК 00008. - 91 с.
Байшагиров Х.Ж., и др. Создание модельного прототипа композиционной ветроэнергетической установки с диффузором (ВЭУД) // Отчет о НИР. -Кокшетауский государственный университет им. Ш. Уалиханова. -Кокшетау, 2014. - С. 123-128. ГР 0112РК01562.
Байшагиров Х.Ж. Разработка композиционных элементов конструкций и узлов турбомашин на основе классических и двухкомпонентной моделей упругой среды: диссерт. ... докт. техн. наук. - Алматы, 2007 г.- 287 с. Бицено К.Б., Граммель Р. Техническая динамика. // ГИТТЛ. - 1952. -Т. 11. - 290 с.
6. Ван Фо Фы Г.А. Теория армированных пластиков. - Киев: Наукова Думка, 1971. - 231 с.
7. Карташов Г.Г. Влияние различных факторов на вибрационные характеристики лопаток из композитов. // Механика композиционных материалов - 1981. - № 3. - С. 486-493.
8. Лейбензон Л.С. Вариационные методы решения задач теории упругости. -М.: Гостехиздат, 1973. - 287 с.
9. Ritz. Theorie der Transversalschviqungen einer quadratischer Platte m freien Handern. Ann. d. Phys. (4). - 28. - 1909. - 306 р.
3.
4.
5.
