СНИЖЕНИЕ РАЗМЕРНОСТИ ДАННЫХ В СИСТЕМАХ МНОГОКАНАЛЬНОЙ ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОЙ ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

DOI 10.36622/^ТО.2023.19.1.016 УДК 621.396.96

СНИЖЕНИЕ РАЗМЕРНОСТИ ДАННЫХ В СИСТЕМАХ МНОГОКАНАЛЬНОЙ ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОЙ ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ

А.В. Шарамет

ОАО «КБ Радар» - управляющая компания холдинга «Системы радиолокации»,

г. Минск, Республика Беларусь

Аннотация: раскрыты основные особенности применения метода главных компонент для снижения размерности обрабатываемой информации. Особенностью данного метода является четырехэтапная обработка данных, что позволяет его реализовать на базе многопоточных вычислительных платформ. Показано, что на первом этапе осуществляется центрирование данных, на втором - осуществляется поиск главного направления с последующим поиском его максимума на третьем этапе и отысканием остальных векторов на четвертом. Данные этапы могут выполняться параллельно и обособленно. В качестве объекта исследования рассматривалась фазированная антенная решетка в составе обзорной радиолокационной станции. Необходимость снижения размерности вызвана тем, что в результате обзора воздушного пространства о каждом воздушном объекте в самом упрощенном случае формируется информация о его азимуте, дальности и высоте. Особенностью решаемой задачи является то, что такая информация об одном и том же объекте формируется в нескольких информационных каналах. По результатам пространственно-временной обработки она вся отображается на плоскости в реальном масштабе времени. Обработка экспериментально полученных данных позволила сформулировать ограничения на применение метода главных компонент для решения данной задачи. Отмечено, что представленные результаты позволяют рассматривать данный метод в качестве основы нового направления развития систем распознавания воздушных объектов

Ключевые слова: метод главных компонент, реальный масштаб времени, пространственно-временная обработка, многоканальность, радиолокационная станция, индикатор кругового обзора

Введение

Основные характеристики воздушных объектов в общем случае являются статистическими [1], и без их знания невозможно качественно решить задачи по их обнаружению, оценке координат и параметров движения, распознаванию. Кроме того, наличие предварительной информации о статистических характеристиках воздушных объектов [2] позволяет оценить потенциальные возможности

радиолокационной станции в различных условиях ее эксплуатации [3], а также предъявить технические требования к параметрам ее систем [4]. Применение многоканальных систем пространственно-временной обработки сигналов позволяет существенно повысить возможности радиолокационной станции. Это обусловлено тем, что обработка отраженных сигналов осуществляется одновременно в нескольких каналах параллельно. При этом сигналы в каждом из приемных каналов отличаются [5], т.к. пространственное положение всех каналов различно. Кроме того, в результате многократных отражений от блестящих точек

элементов конструкции воздушного объекта отраженные сигналы флюктуируют по амплитуде и фазе [2, 6], а также меняют свое месторасположение в элементе разрешения от обзора к обзору (рис. 1, а). В результате этого формируется избыточность исходных данных, которые подлежат дальнейшей обработке и отображению [7]. Одним из возможных способов снижения избыточности является снижение их размерности с наименьшей потерей количества информации. Для решения этой задачи предлагается исследовать возможность применения метода главных компонент [8, С. 559-572].

Постановка задачи

Пусть имеется матрица, представляющая собой набор векторов исходных данных

* = {

х,

, х.

статистически связанных

© Шарамет А.В., 2023

между собой. Для снижения ее размерности она представляется в виде произведения двух

матриц: Р = {а1 ,...,ак} и Т = ] :

* = ТРт + Е, (1)

где Т - матрица счетов размерностью т х к ; Р - матрица нагрузок размерностью п х к; Е - матрица ошибок размерностью т х п ;

m - количество векторов данных; п - размерность пространства данных; k - количество векторов главных компонент, выбранных для проецирования.

В процессе декомпозиции исходной матрицы переменных (1) размерность матрицы счетов и нагрузок снижается. Снижение размерности осуществляется путем линейного отображения переменных хт из многомерного

пространства в координат tij = (ai, xj):

новую

систему

L = aX1 + a2X2 + ... + akxm = ak xm , при

где

i = l,...,k , и j = 1,... ,m al =(a1 ,a2,...,ak)

(2)

.,at f -

*к ~ V"' а2>.">™к I - ортогональный

набор векторов.

Необходимо найти такой ортогональный набор векторов для преобразования в новую систему координат, для которого выполняются следующие условия:

дисперсия исходных данных вдоль вектора первой главной компоненты должна иметь наибольшее рассеяние;

дисперсия исходных данных вдоль вектора к -ой главной компоненты должна быть максимальна при условии ее ортогональности первой главной компоненте;

дисперсия данных вдоль направления главной компоненты задается нормированным вектором.

Решение

На первом шаге осуществляется подготовка исходных данных (рис. 1) путем их центрирования:

Хт Хт - X , (3)

1 m

X = ^Ix -

m i=\

где X = — 7 xi - среднеквадратическое отклонение исходных данных.

а)

Рис. 1. Статистически зависимые данные: а - набор блестящих точек в элементе разрешения; б -центрированные данные

** Х2

1 | * . * 1 * I Х1

* * -2 - * 3

* * * *

*

б)

Рис. 1. Статистически зависимые данные: а - набор блестящих точек в элементе разрешения; б - центрированные данные (продолжение)

Положение центра многомерного вектора исходных данных является математическим ожиданием. На втором шаге необходимо

T

наити вектор ак , дисперсия первого главного

компонента которого имеет наибольшее значение [8] среди всего множества компонент

D (a1 ) = max {D (ak )} . При этом наличие

информации о величине дисперсии является недостаточным по причине того, что значение ее проекции может быть одинаковым при явном различии законов распределения (рис. 2).

* % Г* * * ,

«*» * * : *$ « * ***

Рис. 2. Многомерный вектор случайной величины

3

2

□

2

3

Е%

.............* * Л # ........**1Г *

** * * * * * * * ....«** *

* *

Рис. 2. Многомерный вектор случайной величины (продолжение)

Для описания многомерной случайной величины используется ковариационная матрица, которая описывает форму (разброс)

случайной величины: соу ( x1,x] ) =

= м [(хг -м (хг))(X] -м (X] ))

(4)

= м ( XX])-м ( хг) м ( X]).

С учетом того, что М (хг) = М (X]) = 0, выражение (4) примет вид:

соу (х)= М [х хт ]. (5)

Для любых случайных величин при выполнении условия xг = X] справедливо выражение:

С0У ( Xг,XJ ) = D ( X ) . (6)

Таким образом, в ковариационной матрице по диагонали (при г = ]) располагаются значения дисперсий, а в остальных случаях (при г ^ ]) - попарные ковариации соответствующих признаков, которые в силу симметричности матрицы также будут симметричны.

С учетом свойства математического ожидания:

М [ах] = М

IX.

]x]

. г =1

Л

У ]=1,..,т

к

1] [ X ]

Л

(7)

. г = У ]=1,...,т

= аМ [ х ]

для каждого г = 1,...,к элемента вектора-столбца (2) и выражения (5) дисперсия первого главного компонента примет вид:

D (аТх) = М [(аТх)(атх х)]

= М [аТ

.г „ „т

а х х а1 | =

(8)

=а

тМ [х хт ^ а1 = ат соу (х) а1 .

Выражение (8) учитывает форму многомерной случайной величины, откуда могут быть найдены ее размеры. Максимальному значению коэффициентов X ] в данном выражении, при котором

значение дисперсии О (tl) становится максимальным, соответствуют значения соу (х) , при которых первая координатная ось будет направлена вдоль направления

максимального значения разброса значений х.

Особенностью выражения (8) является то, что при увеличении длины вектора а1 соответственно возрастает значение а^ соу (х) а1. Одним из вариантов решения данной задачи является ограничение длины вектора ахт а1 = 1. Для нахождения

максимального значения а^ соу (х) а1 по вектору а1 и при наличии ограничения на

длину можно воспользоваться методом множителей Лагранжа [9]:

Ф (а1 ) = а1^ соу ( х) а1 - Л1 (а[ а1), (9)

где \ - множитель Лагранжа для первого

главного компонента.

В точке максимума производная выражения (9) по о1 будет равна нулю. Для

этого выражение (9) необходимо приравнять к нулю и найти частные производные:

соу (х) а1 - 11а1 = 0. (10)

Результатом решения данного выражения будет вектор-столбец, элементы которого равны производным от функции по его компонентам:

а1 =(°1,к,02,к,...,°1,к ) . (11) Тогда выражение (8) с учетом (10) примет

вид:

ат соу (х) а1 = а1тЛ1а1 = Л1а1та1 = \ . (12)

Исходя из данного выражения, на третьем шаге для обеспечения максимальной дисперсии первого главного компонента

выбирается

о (^ ) = а^ соу (х ) а1

3

2

0

-1

-2

-3

-3

-2

-1

2

3

максимальное значение Л из к возможных вариантов:

Хх = а1 х (13)

где «1 - собственный вектор ковариационной матрицы СОУ (х), значение которого

соответствует максимальному значению Л для первого главного компонента.

Преобразованные исходные данные (рис. 1) в соответствии с выражением (13) позволяют получить новые

декоррелированные значения новых переменных. Если выполнить преобразование координат вектора х в координаты главной компоненты, то в новом пространстве главных компонент область рассеивания будет располагаться таким образом, что ее оси максимальных дисперсий совпадут с осями координат (рис. 3).

* * Х2

* *

1 * * *

* * Х1

_ - * * 2 3 4

* -1 *

* *

............-2 *

Рис. 3. Вращение исходных данных

На четвертом шаге (аналогично третьему шагу) находится второй главный компонент из оставшихся к — 1 возможных, значение

равно

^2 = а Х ,

максимальное которого

которого

значение дисперсии

составит D()= 01соу(х) а> .

В связи с тем, что главные компоненты должны быть статистически независимы, то возникает дополнительное ограничение, накладываемое на первый и второй главные

компоненты ковариационной

нулевое

соу(Хх ,12) = соу(а^х, аТгх) = 0, следует, что:

значение матрицы

откуда

соу(а'1 х, аТ2 х ) = М [( о? х )( аТ2 х х

=м [а х

г\М [х хТ ] < '( х ) а2 = аТ соу ( х ) а1.

= а

|«2 =

(14)

= а1 соу (

С учетом наложенного выше ограничения

на длину вектора («ХТ а1 = 1 - ортогональность

векторов собственной матрицы) аналогично выражению (12) можно получить, что:

ат2 соу (х) = ат2 л2а1 = л^®2. (15)

Из данного выражения следует, что для выполнения условия ортогональности главных компонент должно выполняться условие того,

что аа2 = 0 с учетом ограничения на длину

вектора выражение (9), которое обеспечивает максимум второго главного компонента:

Ф (а2 ) = аТ соу ( х) а2 — (16)

—Л2 ( аТ а2 )—Ф аТ а1

где ф - множитель Лагранжа.

Условие максимума второго главного компонента аналогично выражению (10) и с учетом (16) примет вид:

ат соу ( х) а2 — лаа2 —фа^= 0 . (17)

В данном выражении первые два слагаемых равны нулю, а третье слагаемое

ат ах = 1, таким образом, должно выполняться неравенство ф = 0, следовательно, из выражения (16) можно получить, что:

(18)

СОУ (

( х) «2 — Л«2 =

На пятом шаге, в случае рассмотрения

второй главной компоненты, значение Л2

является собственным значением

ковариационной матрицы СОУ (х) с

соответствующим ему вектором

а.

Аналогично выражению (12) вычисляется максимальное значение Л2:

аТ соу (х) а2 = Л2. (19)

Аналогично для всех остальных к собственным векторам ковариационной

матрицы СОУ (х) будут соответствовать собственные значения, убывающие по величине (в виде Л2, Л3,..., Лк). Таким

образом, дисперсия главных компонент (8) в общем виде представляется выражением:

В (гк ) = D (атк х) = атк сау (х) «к = V (20)

В результате на данном шаге

формируется матрица а.^ , при этом каждым к

-ым столбцом является собственный вектор ковариационной матрицы (рис. 4).

• и сходн ые да н н ы е

■ \ Ш || •

- V

--"—VI:

»

<4-2-401211

щ

Рис. 4. Векторы главных компонент совместно с исходными данными

Экспериментальное исследование

Проверка физической реализуемости метода главных компонент в реальном масштабе для использования в радиолокационной станции с многоканальной фазированной антенной решеткой проводилась на примере различных воздушных объектов: вертолет в ближней зоне, набирающий высоту по кругу (рис. 5), и три трассовых самолета в дальней зоне, прямолинейно следующих попутным курсом (рис. 6). В качестве единиц измерения при отображении использовались отсчеты аналогово-цифрового

преобразователя. По результатам предыдущих обзоров на индикаторе кругового обзора по каждому воздушному объекту формируется трасса.

Р 150 -

18 16 14 12 10 8 6 4 2 | азимут С1 /

Рис. 5. Вертолет с набором высоты по кругу (№ 16): А - в профиль; б - вид сверху; в - вид в пространстве; Г - на индикаторе кругового обзора

! 1 ' ! :

рШНЬ -

40 35 30

25 ё о л

20 5 15 10 5

12 10 азимут

в)

Рис. 5. Вертолет с набором высоты по кругу (№ 16): а- в профиль; б- вид сверху; в- вид в пространстве; г- на индикаторе кругового обзора (продолжение)

Рис. 6. Самолеты, следующие попутным курсом (№15, №7 и №19): а - в профиль; б - вид сверху; в - вид в пространстве; г - на индикаторе кругового обзора

- 55

-50 -45 ■■-40 -35 30 25 20 15 - 10 -5

1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 азимут

б;

азимут

Рис. 6. Самолеты, следующие попутным курсом (№15, №7 и №19): а - в профиль; б - вид сверху; в - вид в пространстве; г - на индикаторе кругового обзора (продолжение)

На рис. 5, а и 6, а изображена информация о воздушном объекте в различных каналах фазированной антенной решетки радиолокационной станции. По результатам совместной обработки 63 каналов формируется 12 диаграмм направленности (ДН). Ввиду того, что вертолет расположен в непосредственной близости, то информация о нем имеется в большинстве ДН (с 1 по 11). Вместе с данным объектом на индикаторе кругового обзора (рис. 5, г) наблюдаются

множественные отражения от местных предметов. Самолеты расположены на краю зоны обнаружения и информация о них имеется в нескольких ДН (с 1 по 2). Внешний вид объектов в пространстве представлен на рис. 5, в и 6, в. По результатам обработки на индикаторе (рис. 5, г и 6, г) сформирована отметка о воздушном объекте.

Заключение

В ходе проведенной работы в каждом канале были получены входные отсчеты от двух различных типов воздушных объектов: вертолета и группы самолетов. Входные отсчеты были нормализованы и по ним построены корреляционные матрицы. Из ранжированных собственных значений данных матриц была сформирована обособленная матрица, столбцы которой располагаются в той же очередности, что и собственные значения. Это позволило выбрать наиболее существенные главные компоненты. Для отображения результатов обработки входных отсчетов методом главных компонент использовался индикатор кругового обзора радиолокационной станции. В виду того, что рассматриваемый метод базируется на ортогональной системе координат, что накладывает ряд ограничений на его применение:

при обнаружении маневрирующего воздушного объекта на фоне местных предметов корреляционная зависимость имеет несколько экстремумов. Для поиска единственного можно осуществить доворот ортогональных осей. По результатам моделирования получено, что это не всегда приводит к снижению размерности. Это связано с отсутствием априорной информации о степени важности того или иного параметра в зависимости от складывающейся обстановки;

сформированные векторы главных компонент не имеют физического смысла, что приводит к невозможности установить причину формирования их положения для последующего управления процессом снижения размерности. При этом алгоритмическая реализация выполнения таких преобразований становится очень ресурсно затратной, что существенно ограничивает применение данного метода в реальном масштабе времени;

разброс отражений от блестящих точек воздушного объекта зависит от площади

воздушного объекта и его размеров в плоскости наблюдения. С увеличением площади уменьшается разброс отражений от блестящих точек, что связано с их статистическим усреднением. Близко расположенные блестящие точки имеют неодинаковые параметры, и дисперсия их рассогласования увеличивается

пропорционально расстоянию между ними.

При этом, несмотря на существенные ограничения данного метода, необходимо отметить, что основным достоинством полученных результатов является то, что он позволяет описать процесс движения воздушного объекта и элементов его конструкции в виде набора независимых векторов, что может рассматриваться как новое направление развития систем распознавания воздушных объектов.

Литература

1. Сколник М. Справочник по радиолокации: пер. с англ. В 4 т.; под общ. ред. К.Н. Трофимова. Т. 3:

Радиолокационные устройства и системы / под ред. А.С. Виницкого. М.: Сов. Радио, 1979. 515. с.

2. Сухаревский О.И. Рассеяние электромагнитных волн воздушными и наземными радиолокационными объектами. Харьков: ХУПС, 2009. С. 468.

3. Испытания РЛС (оценка характеристик) / А.И. Леонов, С.А. Леонов, Ф.В. Нагулинко и др.; под ред. А.И. Леонова. М.: Радио и связь, 1990. 208 с.

4. Пиза Д.М., Семенов Д.С., Бугрова Т.И. Проектирование радиолокационных систем: монография/ под общ. ред. Д.М. Пизы. Запорожье: ЗНТУ, 2017. 122 с.

5. Mailloux R.J. Phased Array Antenna Handbook. Artech house, 2005. 515 p.

6. Конструктор объектов программного комплекса моделирования радиолокационных сигналов/ А.С. Солонар, С.Н. Ярмолик, А.С. Храменков, А.А. Михалковский, П.А. Хмарский //Доклады БГУИР. 2014. №6. С.60-66.

7. Зиновьев А.Ю. Визуализация многомерных данных. Красноярск: КГТУ, 2000. С. 180

8. Pirson K. On lines and planes of closest fit to systems of points in space. Phil. Mag. (6). 2. 1901. №2. P.559-572

9. Протасов В.Ю. Максимумы и минимумы в геометрии. М.: МЦНМО, 2005. Вып. 31. 56 с.

Поступила 01.12.2022; принята к публикации 15.02.2023 Информация об авторах

Шарамет Андрей Владимирович - канд. техн. наук, доцент, начальник тематического отдела, ОАО «КБ Радар» -управляющая компания холдинга «Системы радиолокации» (220026, Республика Беларусь, г. Минск, пр-т Партизанский, 64а), e-mail: а.sharamet@kbradar.bv, тел.: +375(29) 633-688-4, ORCID: https://orcid.org/0000-0003-0950-8700

REDUCING THE DIMENSION OF DATA IN MULTICHANNEL SPATIAL-TEMPORAL

INFORMATION PROCESSING SYSTEMS

A.V. Sharamet

Department of JSC «KB Radar» - Managing Company of «Radar Systems» Holding

Minsk, Republic of Belarus

Abstract: the article reveals the main features of the application of the principal component method to reduce the dimensionality of the processed information. A feature of this method is four-stage data processing, which allows it to be implemented on the basis of multithreaded computing platforms. It is shown that data centering is carried out at the first stage, the main direction is searched at the second stage, followed by the search for its maximum at the third stage and the search for the remaining vectors at the fourth. These steps can be performed in parallel and separately. The phased array antenna as part of the survey radar station was considered as the object of the study. The need to reduce the dimension is caused by the fact that as a result of an overview of the airspace, information about its azimuth, range and altitude is formed about each aerial object in the most simplified case. The peculiarity of the problem being solved is that such information about the same object is generated in several information channels. According to the results of space-time processing, it is all displayed on the plane in real time. Processing of the experimentally obtained data allowed us to formulate restrictions on the use of the principal component method for solving this problem. It is noted that the presented results allow us to consider this method as the basis of a new direction of development of air object recognition systems

Key words: principal component method, real time scale, space-time processing, multichannel, radar station, circular view indicator

References

1. Skolnik, M. "Handbook of Radar", transl. from English, in 4 vol., gen. ed. by K.N. Trofimov, vol.3: "Radar devices and systems", ed. by A.S. Vinitsky, Moscow: Sovetskoye radio: 1979, 515 p.

2. Sukharevsky O.I. "Scattering of electromagnetic waves by air and ground radar objects", Khar'kov: HUPS, 2009, 468 p.

3. Leonov A.I., Leonov S.A., Nagulinko F.V. et al. "Radar tests (evaluation of characteristics)", ed. by A.I. Leonov, Moscow: Radio i svyaz', 1990, 208 p.

4. Piza D.M., Semenov D.S., Bugrova T.I. "Design of radar systems"; gen. ed. by D.M. Pisa, Zaporozhye: ZNTU, 2017, 122 p.

5. Mailloux R.J. "Phased Array Antenna Handbook", Boston, London: Artech House, 2005, 515 p.

6. Solonar A.S., Yarmolik S.N., Khramenkov A.S., Mikhalkovsky A.A., Khmarsky P.A. "Designer of objects of the radar signal modeling software complex". Reports of BSUIR (Doklady BGUIR), 2014, no 6, pp. 60-66.

7. Zinoviev A.Yu. "Visualization of multidimensional data", Krasnoyarsk: KGTU, 2000, 180 p.

8. Pirson K. "On lines and planes of closest fit to systems of points in space", Phil.Mag. (6). 2, 1901, pp. 559-572.

9. Protasov V.Yu. "Maxima and minima in geometry", Moscow: MCNMO, iss. 31, 56 p.

Submitted 01.12.2022; revised 15.02.2023

Information about the authors

Andrey V. Sharamet - Cand. Sc. (Technical), Associate Professor, Head of the Thematic Division, Department of JSC «KB Radar» - Managing Company of «Radar Systems» Holding (64a Partizansky prosp., Minsk 220026, Republic of Belarus), e-mail: a.sharamet@kbradar.by, tel.: +375(29) 633-688-4, ORCID: https://orcid.org/0000-0003-0950-8700