CC BY
16
Доклады БГУИР
2012 № 5 (67)
УДК 621.391; 621.395.44
СМЕЖНО-ГРУППОВЫЕ СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
СЛОЖНЫХ СИГНАЛОВ
Д.Л. ХОДЫКО, С Б. САЛОМАТИН
Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники П. Бровки, 6, Минск, 220013, Беларусь
Поступила в редакцию 20 мая 2012
Рассматривается алгоритм смежно-группового спектрального преобразования со свойством циклического сдвига спектра сигнала. Дается пример применения спектрального преобразования для формирования сигналов с дискретной частотно-фазовой манипуляцией. Предложенное спектральное преобразование также может использоваться для поиска и оценки параметров сложного сигнала.
Ключевые слова: смежно-групповое спектральное преобразование, смежные классы.
Спектральные смежно-групповые преобразования
Дискретное ^-преобразование сигнала определяется выражением
X(*) = Е5(")*""' (!)
п=0
где 5 (п) - дискретные отсчеты сигнала; * = ехр (sTd), s = ую + ст ; L - длина преобразования;
Т - интервал дискретизации. При * = V ехр (у ), где V - радиус вектора на комплексной плоскости, выражение (1) сводится к вычислению дискретного преобразования Фурье от взвешенного сигнала V- "я (п) [1, 2], которое в матричном виде записывается как
X = WvS , (2)
где W - матрица преобразования Фурье, v - диагональная матрица элементов V-" .
Использование смежных классов преобразования Фурье [3] приводит выражении (2) к следующей записи:
FTq) = 9)vS , (3)
(
где =
ехр
- ] 2щп
V
; <5 - число смежных классов; 9 = 0..<< — 1. Выражение (3)
L <5
можно представить в виде бичастотного преобразования по параметрам k :
n—1
X (*1, *2 ) = Е 5 (п) *—"*—",
п=0
где *1 = V ехр (]) ; *2 = ехр (у(L <<)).
На рис. 1 показан результат спектрального преобразования дискретно-экспоненциальной функции (ДЭФ) S (п) = ехр (j 2л п (kS + Ак )/ L) с дискретной расстройкой
по частоте Ак =0,5 и дискретным индексом частоты к5 = 3. Длина сигнала L = 64, радиус V=1.
Число смежных классов (( = 8. Из рис. 1 видно, что максимум энергетического спектра приходится на единственное значение q = 4.
Результат не изменится при умножении (3) на единичную диагональную матрицу: ) = ) = WIU(д)vS . Единичная матрица может быть представлена через матрицу линейного оператора циклического сдвига [4], тогда прямое и обратное смежно-групповое преобразование (СГП) при V = 1 будет иметь вид
F(q,') = W (Dги(9)) 8, 8' = Г1 (DmU(<г) )Я W—^), (4)
где /, т - показатель степени матрицы циклического сдвига, /, т = 0..L — 1.
Спектр FTq'') зависит от двух переменных - номера смежного класса 9 и показателя степени I матрицы циклического сдвига. В таблице приведены свойства матрицы линейного оператора циклического сдвига и свойства Dг и(9).
Свойства матрицы циклического сдвига
Свойства матрицы линейного оператора циклического сдвига Свойства произведения Di U(q)
(Di )Я = ( Dl—i), ( DL—i )Я = (Di), D—i = DL—i, (Di )Я Di = I (DL—i )Я Di * DL—i (Di )Я, (DL—i )Я Di = Di (DL—i )Я (DiU(q )Я DiU(q) =(Uq )Я Uq = I , (DL—iU(q) )Я DiU(q) = (U(q) )Я D2iU(q)
Справедливость свойств устанавливается прямым вычислением. Например, для матрицы правого сдвига
Г 0 0 1 1 r 0 1 01
D = 1 0 0 , Dя= D2 = 0 0 1
V 0 1 0 V V 1 0 0,
Свойство ортогональности. Произведение операторов разложения и восстановления сигнала из (4)
|Ll (DmU(q) )Я W—1 J (W (D!U(q))) = (DmU(q) )Я (D!U(q)) =
= (u(q) )я dl—m d* и (q) = ( u( q) )я Di—m U( q)
при (i — m) mod L = 0 дает единичную диагональную матрицу. Восстановленный сигнал по
преобразованию (4) является инвариантным относительно значения q .
В смежно-групповом преобразовании (4) помножим спектр на D! и получим пару преобразований
F^) = D W (D!U(q)) S , S' = L— (DmU(q))Я W—1Fq■i). (5)
Выражение (5) позволяет выполнить циклический сдвиг спектра сигнала в частотной области. На рис. 2 приведен пример циклического сдвига линейно-частотно-модулированного
сигнала S(n) = exp(j2лnkS/L + jaNBn2) с параметрами kS =5, L =64, a =0,015. Параметр преобразования i = 40 .
\Fr\k)\
30D 250 200 150 100 50 0'
I i Г2 1 \
Рис. 1. Бичастотное преобразование дискретно экспоненциальной функции
Рис. 2. Энергетический спектр исходного сигнала (1) и его циклически сдвинутый спектр (2)
В общем случае в силу различий i, m сигнал и его спектр не будут соответствовать друг другу. Для соответствия сдвинутого спектра с его временной формой в обратном преобразовании должно выполняться условие i = m .
Алгоритм (5), также как и алгоритм (4), частотный сдвиг в пределах смежных классов во временную область не трансформирует. Для сохранения частотного сдвига необходимо применить обратное преобразование (4) с параметрами m = q = 0.
Вычислительная сложность преобразования (5) определяется вычислительной сложностью преобразования Фурье. Для (5) на основе алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ) типа «бабочка» длиной L = 2n потребуется L log2 (L) операций сложения,
0,5L log2 (L) + 2L операций комплексного умножения, включая U(q). Матрицы циклического сдвига заменяются на операции перестановки входных и выходных значений алгоритма БПФ.
Синтез сигналов с фазовой манипуляцией
Внесем в восстановленный сигнал по преобразованию (4) зависимость от параметра q и запишем выражение для восстановления сигнала как S' = L 1 (DmU(q)) W 'F^г). Тогда преобразование, связывающее сигналы S и S', имеет вид
S' = ( Dm+i U(q}) S. (6)
Матрица циклического сдвига приводит к фазовому изменению спектра сигнала. Во временной области фазовые изменения соответствуют циклическому сдвигу исходного сигнала на величину i + m . В сигнал в виде ДЭФ с дискретной расстройкой по частоте Ak после преобразования (6) добавляются два фазовых изменения на позициях m и (i + m) mod L , в общем
случае пропорциональных значению 2л(А k-q/Q ). Значения Ak и Q определяют возможный набор фазовых изменений. В частном случае, когда Q = 1, имеем одно изменение фазы сигнала в месте (i + m) mod L . Наличие смежных классов приводит к дискретному частотному сдвигу не более чем на два значения.
Выбор соответствующих параметров преобразования (6) позволяет получить модели сигналов с дискретным изменением фазы, преобразование (5) выполняет частотный сдвиг спектра сигнала. Указанные свойства позволяют синтезировать сигналы с частотно-фазовой манипуляцией. По преобразованию (6) сформируем сигнал, используя параметры i, m и q . На
рис. 2 показан пример синтезированного сигнала с фазовой манипуляцией из ДЭФ с Ak = 0,8 и произвольными параметрами преобразования: Q =4, q =2, i =40, m = 8.
-----
„1
50 60
а б
Рис. 3. Синтезированный сигнал (а) и его спектр (б): 1 - спектр исходной ДЭФ, 2 - спектр синтезированного сигнала
Из рис. 3,а видно, что фазовые изменения произошли на позициях 8 и 48. Максимум спектра синтезированного сигнала смещен относительно максимума спектра исходной ДЭФ (рис. 3,б).
Параметры г, m используются для установки фазового преобразования в заданном месте. Конкатенацией синтезированных реализаций получается сигнал без изменения фазы на краях выборки. Преобразование (6) позволяет формировать сигналы с требуемым числом изменений фазы в синтезированном сигнале, причем в одной выборке длиной L может быть не более двух изменений фазы.
Кодофазоманипулированный (КФМ) сигнал получается из ДЭФ с Ак = 0 с параметрами преобразования, например, г =0, ш =0, <3 = 2. В прямом преобразовании (6) q принимает значения 0 или 1 в соответствии со значениями псевдослучайной последовательности (ПСП). КФМ-сигнал также можно получить при г = 0, Ак = 0, <3 = 1, управляя ш , которое принимает два значения: 0 и 0,5^к . На рис. 4 а показаны совмещенные реализации синтезированного КФМ-сигнала.
Ш
I
а б
Рис. 4. Временные реализации синтезированных КФМ (а) и ЧМ (б) сигналов
Частотно-манипулированный (ЧМ) сигнал получается из ДЭФ с Ак =0,5 при г = 0, ш = 0, <3 = 4. Значения дискретных частот уточняются выбором q . На рис. 4,б показана реализация ЧМ сигнала. Из рис. 4,б видно, что в точках соединения сигналов фаза не изменяется, следовательно, может использоваться когерентная обработка синтезированного сигнала. Спектральное преобразование (4) можно применить для детектирования ЧМ-сигналов.
Сигналы с ортогональными частотами в спектральной области получаются из комплексной экспоненты на основании преобразования (5):
Л (Г Л Л
(
к
(9 .Р.г)
т
I 0 -р W I о р и(9 }
V -РеР У V V РеР У У
S.
где р является множеством натуральных чисел размерности L .
Значения из множества р определяют расположение частот на частотной оси. Во временную область спектр переводится обратным преобразованием со значениями q = 0,
i = т = 0: SMP = L"1W ^\
Управление частотами осуществляется значениями из р и частотным сдвигом ' . Это позволяет формировать сигналы с прыгающими частотами по заранее определенному закону и двигать их по частотной оси.
Алгоритм многоканальной спектральной обработки при поиске и оценке параметров
сложных сигналов
Быстрые алгоритмы корреляционной обработки реализуются с использованием алгоритмов быстрого преобразования Фурье. Максимальный частотный сдвиг в спектральном преобразовании (5) равен L|TH . Это может превосходит область неопределенности по частоте
[/оортт /оортах ] при поиске сигнала. Поэтому логично использовать количество сдвигов Р ,
укладывающихся в область неопределенности: Р = (|/Вортт | +1/Вортах |) Тн . С учетом свойства
циклического сдвига спектра в преобразовании (5), алгоритм вычисления дискретной функции неопределенности [4]
Ф( k, m ) =
L-1
^ y (n) G0 (n + m) exp (- j Inkn/L)
где у (п) - отсчеты наблюдаемого сигнала; G0 (п) - значения опорной псевдослучайной последовательности, k и т - отсчеты дискретных индексов частоты и задержки соответственно, включает следующие действия.
1. Вычисляется СГП (5) с параметрами i = 0, q = 0..((-1 от входной смеси у(п) .
2. Вычисляется СГП (5) с параметрами i = 0..Р -1, Р < L и q = 0 от опорной ПСП
^ ( п) .
3. Вычисляется спектр FTг) сечений двухмерной корреляционной функции г :
^ = р( М{у|. 0}*,
где Р(" ^{х} - обозначает спектральное преобразование от х : F^I'q) = Р^ {х}; у и G0- вектора отчетов входного сигнала и опорной ПСП длиной L .
4. Вычисляются сечения функции неопределенности как обратное СГП (5) от FTг ) с параметрами т =', q = 0.. ((-1:
ф(,'-9) =
II- ( D'U(q} )Я W-1 (D'U(q}) F
5. Оценка параметров сигнала определяется как:
- номер смежного класса <£ = arg max(ф(к, m)(q'')) ;
- выбор функции неопределенности Ф(к, m) = arg max (ф(к, m)(q'')) ;
- дискретный индекс частоты k" = arg max (ф (к, m));
к ,m ^ ^
- дискретный индекс задержки m = arg max (Ф( к, m));
к ,m ^ *
2
n=0
2
- оценка частоты допплеровского смещения [3] ^0ор <£ + Ь ((TH ), где Тн - ин-
тервал анализа.
Спектральный алгоритм поиска сигналов является многоканальным с числом каналов Р х (( , работа которых может быть организована в последовательном или параллельном режимах. Свойство циклического сдвига спектра сигнала по частоте позволяет обойтись без произведения опорного гармонического колебания на ПСП, а применение смежных классов повышает точность оценки частоты. Время поиска Р х ((-канального спектрального преобразования равно интервалу анализа Тн , что соответствует п -канальному обнаружителю [5].
Вычислительная сложность одного канала составляет 3Ь log2 Ь операций сложения, 1,5Ь log2 Ь + 6Ь операций умножения.
Выводы
Представлен алгоритм частотно-сдвигового спектрального преобразования, обладающий свойством циклического сдвига спектра сигнала. Изменение параметров алгоритма обработки позволяет синтезировать сигналы с дискретной частотно-фазовой манипуляцией. Причем получаемые ЧМ-сигналы являются когерентными. Вычислительная сложность спектрального преобразования соизмерима с вычислительной сложностью алгоритма быстрого преобразования Фурье. Рассмотрено применение спектрального преобразования для поиска и оценки параметров сложного сигнала. Время поиска составляет интервал анализа. Точность оценки частоты пропорциональна числу смежных классов.
ADJACENT-GROUP SPECTRAL TRANSFORMATION COMPLEX SIGNALS
D.L. KHODYKO, S B. SALOMATIN
Abstract
An algoritm presented by the adjacent-group transformation of the spectral properties of a cyclic shift of the signal is considered. The transformation is used to generate signals with a frequency-phase-shift keying and to search for complex signals.
Список литературы
1. Рабинер П., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. М., 1978.
2. Петько В.И., Куконин В.Е., Шихов Н.Б. Цифровая фильтрация и обработка сигналов. Мн., 1995.
3. Ходыко Д.Л., Саломатин С.Б. // Докл. БГУИР. 2008. №1(31). С. 16-21.
4. Март С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения. М, 1990.
5. Тузов Г.И. Статистическая теория приема сложных сигналов. М., 1977.
