CC BY
29
УДК 517.95
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА С ИНТЕГРАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
© 2011 С.В. Кириченко1
В работе рассмотрена смешанная задача для вырождающегося уравнения гиперболического типа с интегральным условием. Доказана теорема о существовании единственного обобщенного решения.
Ключевые слова: вырождающееся уравнение, интегральное условие, обобщенное решение, априорная оценка, метод регуляризации, метод Галеркина.
Введение
На сегодняшний день в математической литературе имеется много работ, в которых изучены различные задачи для вырождающихся уравнений гиперболического типа. Большой интерес среди таких задач представляют задачи с нелокальными интегральными условиями. Нелокальные интегральные условия возникают при изучении различных физических явлений в случае, когда граница области протекания процесса недоступна для непосредственного измерения. В качестве примера можно привести задачи, связанные с исследованием диффузии частиц в турбулентной плазме, процессов распространения тепла, процесса влагопереноса в капиллярно-пористых средах, при математическом моделировании технологических процессов, а также при исследовании некоторых обратных задач математической физики. Задачи с интегральными условиями для гиперболических уравнений рассматривались, например, в работах [1—5].
1. Основные результаты
Рассмотрим уравнение
K(x, t)utt - (a(x)ux)x + b(x, t)ut + c(x, t)u = f (x, t) (1)
в области Q = {(x,t) : 0 < x < l, 0 <t< T}, коэффициенты которого достаточно гладкие функции, a(x) > 0, K (x,t) ^ 0 и K (x, 0) = 0.
Задача 1: найти функцию u(x,t), удовлетворяющую в Q уравнению (1), условиям
u(x, 0) = 0, (2)
•^Кириченко Светлана Владимировна ([email protected]), кафедра высшей математики Самарского государственного университета путей сообщения, 443066, Российская Федерация, г. Самара, 1-й Безымянный переулок, 18.
пх (0,г) = пх([,г) = о (3)
и нелокальному условию
т
1и1хЛ)Л = ° (4)
о
Для исследования задач с интегральными условиями часто стандартные методы изучения оказываются неприемлемыми без соответствующих модификаций, поэтому сведем поставленную задачу (1)—(4) к смешанной задаче со стандартными условиями. Для этого введем функцию
г
у(х,Ь) = J и(х,т) ¿т. (5)
о
Тогда, если и — решение задачи (1)—(4), то функция .(х,Ь) удовлетворяет уравнению
д -
— (К(х,г)угг - (а(х)Ух)х + Ъ(х,Ь).г + с(х,Ь)у) — Сг(х,Ь). = /(х,Ь), (6)
дЬ
где Ъ(х,Ь) = Ъ(х,Ь) — Кг(х,Ь), С(х,Ь) = с(х,Ь) — Ъг(х,Ь) и выполняются условия (2), (3).
Проинтегрировав (6) по Ь и учитывая, что К(х, 0) = 0, .(х, 0) = 0, получим уравнение
г
К(х, Ь)югг — (а(х).х)х + Ь(х, Ь).г + С(х, Ь)ю — J Ст(х, т)ю(х, т)йт = Г(х, Ь), (7)
о
г
где Г(х,Ь) = / /(х,т)йт со следующими условиями на функцию .(х,Ь) :
о
.(х,Т )=0, (8)
щ(х, 0)=0, (9)
Ух(0,Ь)= Ух(1,Ь)=0. (10)
Таким образом получаем следующую задачу 2: найти функцию .(х,Ь), удовлетворяющую в Q уравнению (7) и условиям (8)—(10). Введем понятие обобщенного решения задачи.
Умножим (7) на функцию п(х,Ь)в-Хг, где г)(х,Ь) € W2(Q), \> 0 и п(х,Т) = 0, и проинтегрируем по области Q. В результате получим равенство
т I
JJ [—К (х,Ь)угПг + (^К (х,Ь) — Кг(х,Ь) + Ъ(х,Ь))юг'П + а(х)УхЦх+
оо
г т I
+с(х, г)., — Iс (х,т у. = Ц Г (х, ^ <ь*. (11)
о 0 0
г1<
Определение 1. Функцию .(х,Ь) € будем называть обобщенным реше-
нием задачи (7)-(10), если она удовлетворяет условию .(х, 0) =0 и тождеству (11) для всех функций ц(х,Ь) из указанного класса.
Введем следующее обозначение: Ао = шахц |Ъг(х, £) — Кгг(х,£)|. И пусть 6 > 0 — некоторое число.
Теорема 1. Пусть а(х),Ъ(х,1),Ъг(х,1),С(х,1),Сг(х,1) непрерывны в Q, К(х,Ь),
1+Л2 с
Кг(х,1), Кгг(х,1) непрерывны в Q. Если Сг(х, ¿) > 2г 0 > 0, С(х, ¿) < 0, 2Ъ(х,£) —
— 3Кг(х,Ь) ^ 26 > 0, К(х,Т) ^ 0, то существует единственное обобщенное решение задачи (7)-(10). Доказательство.
1. Единственность решения
Для доказательства единственности в тождестве (11) с Г(х,Ь) = 0 возьмем функцию
т
^г
e»j v(x,r) dr.
г
Интегрируя (11) по частям и принимая во внимание начальные и граничные условия, получим:
т I I т I т
(Ъ(х, ¿) — з Кг(х,£))-у2 ¿хА +2У а(х)^У ух скЬ)"2 (х — с(х,1)^ V (т )2 (х+ о о о о о г
т I т т I т
+/ / с,<х, ад/^ )2 ы = //ых,,) - <» /v <ыи+
о о г о о г
т I г т
+// J^T)'dTJ'dTdx». (12>
0 0 0 t
Заметим, что на основании условий теоремы
„3 _
b(x,t) — 3 Kt(x,t) > -> 0, V(x,t) e Q. (13)
Теперь сделаем некоторые оценки. В силу неравенства Коши с е
T l T T l ^ T l T
| jj(bt(x,t) — Ktt(x,t)) J v drv dxdt\ ^ -1 J"j v2 dxdt + jj(J v dr)2 dxdt;
00 t 00 00 t
Tit T Tl Tl T
\ JJJ ^t (x,t )v dr J v dr dxdt\ ^ Jj v2 dxdt + jj (j v dr )2 dxdt.
0 0 0 t 0 0 2 0 0 t
Выберем числа -i (i = 1;2) так, чтобы -1 + -2 ^ 2-, где - - число из неравенства (13). Положив, например,
- 1 = -2 = -,
будем считать, что
ct(x,t) >
1 + A0
Тогда из (12) получаем неравенство
T l
v2 dxdt ^ 0,
о о
из которого следует, что v(x,t) = 0 в Q.
2. Существование решения
Для доказательства существования решения применим метод регуляризации и метод Галеркина. Рассмотрим функцию
Ke(x,t) = K (x,t)+ е (14)
и уравнение
t
Le = Ke(x, t)vtt — (a(x)vx)x + b(x, t)vt + с(x, t)v —J cT(x, r)v dr = F(x, t). (15)
о
Зададим пространство W^Q) = {v(x,t) : v(x,t) G W21(Q),v(x,T) = 0}. Введем понятие обобщенного решения задачи (15), (8)-(10). Умножим (15) на функцию v(x,t)e-Xt, где v(x,t) G W21(Q) и проинтегрируем по области Q. В результате получим равенство
T l
[—Ke(x,t)vtvt + (XKF(x,t) — (KE (x,t))t + b(x,t))vtv + a(x)vxVx+
оо
t T l
+c(x, -j c r X. W» dxdt = jj F i*, i)*» dxdt (1.)
0 0 0 Определение 2. Функцию v(x,t) G W21(Q) будем называть обобщенным решением задачи (15), (8)-(10), если она удовлетворяет условию v(x, 0) =0 и тождеству (16) для всех функций v(x,t) G W^Q).
Рассмотрим фундаментальную, полную в W2í(0,1) систему линейно независимых функций {wk(x)}~ i, Wk (x) G C2 [0, l], (wk,wi) = Ski и будем искать приближенное решение задачи (15), (8)-(10) в виде
m
vm(x,t) = ^ Ck (t)wk(x) (17)
k = 1
из соотношений
l
[KE(x, t)vm — (a(x)vm)x + b(x, t)vm + С(x, t)vm—
о
t
m
~ I (х,т)ут Шх = J ^(х)йх. (18)
о о
Подставим (17) в (18), после несложных преобразований и смены порядка суммирования и интегрирования получим
I „, I
J К£(х,Ь) (хсЛ(Ь) + J Ъ(x,t) (хсЛ(Ь) — У (а'(х)ш'к+ —
х,ь)схсл J ъух,и)схс^ь) — ^ I уаух) Шк'ш^ Т аух)'Шк 'ш^ —
оо
I г
—С(МК'Л ) (хск(ь) = (ь) + |/ Ст (х,г)с (г)(г(х, (19)
оо
I
где ¡л (Ь) = / Г(х,Ь)'л (х)(х.
0
Из условий (8) и (9) имеем
ск(0)=0,с'к (0) = 0. (20)
Получили задачу Коши относительно функций ск (Ь) для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (19) с данными (20), которая имеет единственное решение [6 , с. 27].
Таким образом, для любого т существует единственная функция vm(x,t) = = 5^^=1 ск(Ь)ш>к(х), и последовательность приближенных решений построена.
Покажем теперь, что эта последовательность ограничена. Умножим (18) на с'к(Ь)в-Хг , просуммируем и проинтегрируем по Ь.
т I
в-хг[Ке(х,г^тV? — (а(х^т')хУт + Ъ(х,Ь)Кт)2 + С (x,t)vmvtn] (х(Ь
оо
т I т I г
Г(х, Ь)е-xгvm ¿хЛ + ЦСтVт (т)e—Хгvm йхскЬ. о о о о о
Интегрируя по частям, получим
1 т I
е-хт г [[ д 1
1 К (х, Т )№(х,Т ))2 ¿х + е—Хг(-Ке(х,г) — - (Ке(х,г))г + Ъ(х,Ь))х
2 ^ ^ > /ч г ч > >> у) ^ ' у 2
о 0 0
т I т I
х^?)2 ¿х(Ь + Д Л e-xгa(x)(vm)2dxdt + Ц е—Хг( Дс (х,Ь) — 2Сг(х,Ь)^т)2 ¿х(Ь
0 0 0 0 т I т I г
Г (x,t)e-Хгvm ¿х(ь + ff(f Ст (х,т ^т ¿т )e—Хгvm ¿,хЖ. 0 0 0 0 0 Оценим слагаемые в правой части последнего равенства
т I г т I
,г)т „-4г ^ 2 I I „ — Хг(„,т\2
111 е-4гvm( j Ст(х,т¿т)е— 4г dxdt| < 2 JJ е—Хг^т')2 dxdt+ 0 0 0 0 0 т I г
+ \Л е—Хг(! Ст(х,т^т ¿т)2 ¿х(Ь;
0 0 0
т I г т I т т
И'-Х,(15 (х'т V "т )2 "х"' '-"152 (х-т) 'Ч {"")г "'"х"' <
о о о о о о
т I
-Хг/„,т\2
< С1Т / е-Хг(ут)2 "х"г,
оо
т
где С = шах[о,т] / (х,т) "т.
о
т I т I т I
\ !I£гЕ(х,г)'-£"х"г\ < е-хгг2(х,г) "х"г + ^ '-Хг(у?)2 "х"г.
о о о о о о
V?'
Учитывая, что у?(х, 0) = 0 (из условия (8)), получим
I т I
Ке(х,Т)(у?(х, Т))2 "х + АЦ '-Хга(х)(уХ?)2 "хЖ+
о 0 0
т I
+ Ц '-хг(АКЕ(х,Ь) - \(КЕ(х,1))г + Ь(х,Ь) - 1)(у?)2 "х"Ь+
, У'
т I т I
+ Л '-хг(Ас(х,г) - 1 сг(х,г) - 1С1Т)(ут)2 "х"г < 1Ц е-хгР2(х,г) "х"г. о о о о
Обозначим С2 = шах[о т] {Ас(х, Ь) - сг(х, Ь) - С1Т; ХКе(х, Ь) - (Ке(х, Ь))г + 2Ь(х, Ь) -- 2; Аа(х)} и учитывая, что Ке(х,Т) > 0, получим
С2\\v\WЯ) < \\Uqy (21)
Так как выражение в правой части не зависит от т, то из этой последовательности можно выделить подпоследовательность, слабо сходящуюся к некоторому элементу у(х,Ь) е W21(Q) [7, с. 214].
Покажем, что у(х,Ь) есть обобщенное решение задачи (15),(8)—(10).
Условия (8)—(10) будут выполнены в силу слабой сходимости {ут(х,Ь)} к у(х,Ь), которая означает, что {у?(х,Ь)} и {ут(х,Ь)} слабо сходятся к ух(х,Ь) и уг(х,Ь). Покажем, что этот предел удовлетворяет тождеству (16). Умножим (18) на '-ХгНг(Ь), просуммируем по г (от 1 до т) и проинтегрируем по Ь от 0 до Т, учитывая, что Н^Т) = 0.
Обозначив
т
п(х,Ь) = к(Ь)^л^(х),
■2 1 ' 2
оо
1
получаем
т I
[КЕ(х,Ь)утп'-Хг - (а(х)у?)хП'-Хг + Ь(х,г)утпп'-Хг + 5(х,г)ут^'-Хг -
оо
Т I
-/ст К" = // р ^
0 0 0 Интегрируя по частям первое и второе слагаемые, учитывая (10) и условие п(х, Т) = 0, получим
t
T l
[-KE(x,t)v?nt + (AKe(x,t) - (KE(x,t))t + b(x,t))vtmv +
0 0
t T l
+i(x_ <)„">, -J г,(x,T )vd„,] dxdt = // F(x,<),, ,22)
0 0 0
Тождество (22) справедливо для любой функции
m
n(x,t) = ^ hi(t)wi(x).
i=i
Обозначим совокупность таких функций n(x,t) через 9m. В (22) перейдем к пределу при фиксированной функции n(x,t) G 9m. Это приведет к тождеству (16) для предельной функции v(x,t) при любой функции n(x,t) G 9m. Но |J^>=19m плотно в W22(Q), а v(x,t) G W22(Q), следовательно, тождество (16) будет выполняться для v(x,t) при Vn G W^Q). Следовательно, v(x,t) - обобщенное решение задачи (15), (8)-(l0).
Тогда для любого фиксированного е > 0 задача (15), (8)-(10) имеет решение ve(x,t). Рассмотрим последовательность }. Для функций ve(x,t) будет справедлива равномерная по е оценка (21), правая часть которой не зависит от е. Следовательно, существует подпоследовательность |efc} положительных чисел, которую можно выделить из }, и функция v(x,t) такие, что при k выполняется:
ек ^ 0, v£fc (x, t) ^ v(x, t) в W22(Q), v£f k (x, t) ^ vt(x, t) v^k (x, t) ^ vx(x, t) почти всюду в Q. Получаем, что предельная функция v(x,t) удовлетворяет (7) и условиям (8)-(10.)
Так как условие (5) однозначно определяет функцию v(x, t) через функцию u(x,t) и если выполнены условия теоремы 1, то можно заключить, что существует единственное решение задачи (1)-(4).
Литература
[1] Кожанов А.И., Пулькина Л.С. Краевые задачи с интегральным граничным условием для многомерных гиперболических уравнений // ДАН. 2005. Т. 404. № 5. С. 589-592.
[2] Гордезиани Д.Г., Авалишвили Г.А. Решения нелокальных задач для одномерных колебаний среды // Матем. моделирование. 2000. Т. 12. № 1. С. 94-103.
[3] Пулькина Л.С. Начально-краевая задача с нелокальным граничным условием для многомерного гиперболического уравнения //Дифференциальные уравнения. 2008. Т. 44. № 8. С. 1084-1089.
[4] Пулькина Л.С. Смешанная задача с интегральным условием для гиперболического уравнения // Матем. заметки. 2003. Т. 74. № 3. С. 435-445.
[5] Бейлин С.А. Смешанная задача с интегральным условием для волнового уравнения // Неклассические уравнения математической физики: сб. науч. трудов. Новосибирск. 2005. C. 37-43.
[6] Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука. 1974. 331 с.
[7] Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука. 1973. 408 с.
Поступила в редакцию 14/VT/2011; в окончательном варианте — 26/X/2011.
A MIXED PROBLEM WITH INTEGRAL CONDITION FOR A DEGENERATIVE EQUATION OF THE HYPERBOLIC TYPE
© 2011 S.V. Kirichenko2
In this article, the mixed problem for the hyperbolic degenerate equation with an integral condition is considered. The existence and uniqueness of a generalized solution are proved.
Key words: degenerate equation, integral condition, generalized solution, apriori estimate, regularization method, Galerkin method.
Paper received 14/V1/2011. Paper accepted 26/X/2011.
2Kirichenko Svetlana Vladimirovna ([email protected]), the Dept. of Higher Mathematics, Samara State University of Railway Transport, Samara, 443066, Russian Federation.
