Случайный процесс Заико с равномерным законом распределения Текст научной статьи по специальности «Математика»

Уфа: УГАТУ, 2008

Вестник уГАТу • Управление, ВТиИ т 11 №1(28) с 188-193

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ

УДК 519.7

А.И.ЗАИКО

СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС ЗАИКО С РАВНОМЕРНЫМ ЗАКОНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Изложена оригинальная математическая модель случайного процесса с равномерным законом распределения. Она адекватно описывает сигналы при дискретных и цифровых измерениях. Случайный процесс; равномерное распределение

ВВЕДЕНИЕ

Широкое распространение для описания измеряемых сигналов получил стационарный случайный процесс с нормальным (Гауссовым) законом распределения. Он обладает эр-годическим свойством, хорошо согласуется с центральной предельной теоремой и характеризуется всего тремя параметрами: математическим ожиданием, дисперсией и ковариационной функцией [1,2].

Недостатком нормального процесса являются бесконечные границы существования, что затрудняет применение его для описания дискретных и цифровых измерений. Использование усеченных нормальных законов распределений устраняет этот недостаток, но усложняет математическое описание [1,2].

В статье описывается оригинальный стационарный случайный процесс с равномерным законом распределения плотности вероятности, который свободен от этих недостатков и сравнительно прост [3].

'0, Х<Хи

хв - хи

.1,

Математическое ожидание такого процес-

са

А'в

А',,

Л'в

дисперсия

Б = а2 = J (X - т) ті [X] (IX =

Л'„

_ {Ха - Ха)2 12

и одномерная характеристическая функция

1. ОДНОМЕРНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ [1,2]

Одномерная плотность распределения вероятности такого процесса

1

Л'в

^Х> = <Х,:<Х“<Х„:

„0, в остальных случаях,

где Хн и Хв — нижняя и верхняя границы изменения сигнала .

Одномерное распределение вероятности

А'1

УУг[Х\ = I и?! [У]с1У =

Л'„

віЦи] = J ші[Х] схр-7"^ с1Х =

Л'„

= схр(^т

«іп(\/Зі/<7) л/3.

иа

2. ДВУМЕРНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ [4,5]

Условная двумерная плотность вероятности -Хі], также распределена равномер-

но между нижней Хш{Хі) и верхней ХЪ{Х\) границами динамического диапазона изменения ж(£г) при условии, что ж(£і) = Х\, которые равны:

-Хи(-Хі) = Хи + (Х\ — Хи)рі2 ;

Контактная информация: (347)272-11-62

Хи(Х1) — Хи — (Хв — Х])р12 ;

где — нормированная корре-

ляционная функция, обладающая следующими свойствами:

1) Р12 = Р2Ъ

2) Рп = Р22 = 1;

3) .

Тогда условная двумернаяплотность вероятности

1

Хи(Хг) ^ Хи(Хг)

1

“ (Хв - Хи) (1 - рг2) ’ .V, | Х\ ^ .V,.;

№) < Х2 < Хи(Хг):

0.

в остальных случаях.

Условные математическое ожидание ТП2(Хі) и дисперсия ^2(Хі):

Л'в(Л'і)

т2{Хг) = [ Х2ш2 [Х2 |Хх] ЛХ2 =

о2(х1) =

А'„(Л'і)

= т + (Xі - ш)рі-2 ;

[Х2 - т2(Х!)]2 «>2 [Х2 |Хх] гіХ2 =

= 1>(1-р12)5

Отсюда следует, что можно выбирать раньше или позже Хь т. е. могут быть £2 > ^ или .

Двумерная плотность распределения вероятности

т2[Х1:Х2] = =

1

(ХВ-Х11)[ХВ(Х1)-Х11(Х1)] 1

= (Хв - Хи)2 (1 - р12) !

Хд ^ .V ] Хв ;

Хи(Х!) < Х2 < ХВ(Х!):

^0, в остальных случаях.

Корреляционная функция процесса

Щк ~ Ь) = а2РГ2 •

Двумерная функция вероятности

Л'і Л2

Ж2[Х1?Х2] = І І ш2[Уі:У2]гЩгіУ2 =

Л'н Л'н(Л'і)

(0, Хг<Хи, Х2<Хи(Хі): (Хх - Хи) [Х2 - Хи (Хх)]

= <

(Хв - Хи)2 (1 - р12) ’

^ Х\ ^ Хв, хи (Хх) < Х2 < Хв (Х0 : и, хв<хь ХВ(Х1)<Х2

Двумерная характеристическая функция процесса

Л'в Л'в (Л!)

= J I (г2[.\'|; Л'2] охр/;''' У| 'у-! (їхі (1Х2

Л'„ Лн(Лі)

= охр Ц (иі + і/2) т] х 8ІГ1 [х/З^ (1 — рі-2) о\ 8ІІ1 [\Д (иі + 1У2Р12) <?] у/Зіу-2 (1 — рі-2) а \/3 (г^і + І^2рі2) (Т .

3. ТРЕХМЕРНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ [5]

Условная трехмерная плотность вероятности юз [Х3 |Хі; Х2] распределенаравномер-но между нижней и верхней

границами динамического диапазона изменения при условии, что

х (^і) = Х\ и х (і2) = Х2, и равна

ги3[Х3|Х1;Х2] =

_ [Х\\Х2; Х3] _ и'л [Хі\Х2; Х3]

= <

ги2[Хі;Х2] 'шЦХ^^^ІХ!]

1

ХВ(Х1;Х2)-Х11(Х1;Х2) “

_ 1

(хв — Хи) ’

Хц ^ Л" ] < Хв , Хи (Л" ]) < х2 ^ Хв (Л" ]) Хи(Хі:Х2) <Х3 <ХВ(Х1?Х2) :

,0, в остальных случаях.

Условные математическое ожидание m3 (Xi; Х2) и дисперсия D3 (Xi; Х2):

т3 (Xi;X2) =

А'в(Л'і ;Л'з)

Х;Гшз[Хз|Хі:Х2] А,Х3 =

. / v ч РіЗ Р23РГ2

= т + (Аі — т) —-------------2----

(Х2 — т)

1 - РЇ2

Р23 — РіЗРі2

DH(Xl:X2) =

Ав(А'і;А2)

1 - РІ2

2 '

[Х3-тз(Хі;Х2)]2х

А„(Аі;А2)

х шз[Хз|Хі:Х2] rfX3 = і \ 2 = Dli Рі:і Р2:і

Отсюда следует, что г«з [Х3 |Хх; Х2] является четной функцией по отношению к сдвигам времени £2 — £1, £3 — £1 и £3 — £2. Это означает, что , и можно выбирать в любой последовательности.

Трехмерная безусловная плотность распределения вероятностей

W3 [Хі;Х2;Х3] =

W2 [Хх; Х2] w% [Х3 |Xi; Х2] =

■Ш1 [Хх] W2 [Х2 |Xi_ ] w% [Хз |Х1? Х2] = '(XB-X11)[XB(Xi)-X11(Xi)] [XB(Xi:X2bXu(Xi:X2)]

= 1/((Хв — Хи)3 (1 — річ) X

Різ + Р23

= <

X 1

1 + Р12 Хд ^ Х\ ^ Хв;

Xu(Xi) < Х2 < Хв (Хх) : Х11(Х1;Х2)<Хз<Хв(Х1;Х2) : О, в остальных случаях.

Трехмерная функция вероятности

И-з[Л'1;Х2;Л'з] = Л'1 Л'2 Л'я

1Г:. У\ :}'у. )]> il}] il}'ul}]> =

О , Хг < Хи, Х2 < Хи (Xi) , X3<Xu(Xi;X2) ;

(№ ^ХИ)[Х2 -Х.№)] x [Х3^Хи(Хі;Х2)])/

((Xu - XH) [Xu (Xi) - X^Xi)]) x x [Xa(X1;X2)^Xtl(X1;X2)}),

Хи < X! < Xu; XH(X!) < X2 < Хц (X!) ; XH(Xi;X2) < X3 < Xu (Xi;X2) ;

1, Xu<xi; XU(X1)<X2;

lxu(xi;x2) <x3.

Трехмерная характеристическая функция процесса

03 ІІ''і;І''2;І''з] = схр [І ivi + v2 + щ)т] x sin

sin

^ (1 - їй?)

л/3 U + (*• ~ Р12)

-Pi 2

^2 + ^3^) (1 P12) ®

sin [л/3 (ui + V2P12 + ^зРіз) <?]

\/3 {vi + V2P12 + У3Р13) <7

4. ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Условная четырехмерная плотность вероятности распределена

равномерно между нижней и

верхней границами динами-

ческого диапазона изменения при условии и , и равна

'Ш4[Х4|Хі:Х2:Хз] =

(1/[Хв (Х1? Х2: Хз) - Xu(Xi: Х2; Х3)],

Хд ^ Х\ ^ Хв ,

Хи (Хх) < Х2 < Хв (Хх) , Хи(Хі;Х2)<Хз<Хв(Хі;Х2) , Хи(Хі;Х2;Хз) < Х4 < Хв (Х1?Х2;Хз) ;

О, в остальных случаях,

где

Хв (Х1? Х2; Хз) - Хи (Х1? Х2; Х3) =

= (Хв - Хц) [1 Р34 (1 - РІ2) (1 - Р13 + Р23

V 1 + Р12

+ Р24 (і — Різ)

= <

’ Pu (1 - Р23) ( 1

Pl2 + Р23 1 + Різ Pl2 + РіЗ

]/

А', У.ЛУі) Уп(Уі;У2)

1 + Р23

(1 + 2рі2р23різ - р\2 - різ - pf3)

Условные математическое ожидание и дисперсия :

т4 (Х1?Х2;Хз) =

Л'В(Л'1;Л'2;Л\,)

I Х4иц [Х4 I: Х-2: Х3 ] с1Х4 =

= т + (Хг - т) (-р34 (рп - рпр-п) ~

— Р'24 (Р12 ~ Р\ЗР2з) + Р14 (1 — Р23) )/

(1 + 2р12р23Р13 — Р1-2 — Р‘23 — р\з) +

+ (Х2 - т) ( рз4 (р-23 - Р12Р13) +

+ />24 (1 — р\з) — Р14 (Р12 — Р23Р13))/

(1 + 2р12р23Р13 — Рг2 — Р-23 — Р13) +

+ (Х3 - т) (р34 (1 - р\2) -

— Р24 (Р23 — Р1ЗР12) — Ры (Р13 — Р2ЗР12))/

(1 + 2р12р23Р13 — Рг2 — Р-23 — Р13) ■

Плотность вероятности Ю4 [Х4 |Х1; Х2; Х3] является четной функцией по отношению к сдвигам времени.

Четырехмерная безусловная плотность распределения вероятностей

•ш4 [Х1? Х2; Х3; Х4] = ш3 [Х1? Х2; Х3]

■ш4 [Х4|Х1;Х2;Хз] =

= [Хх] т2 [Х2 |Хх] ш3 [Х3 |Х1? Х2]

■ш4 [Х4|Х1;Х2;Хз] =

Г 1/{(Хв - Хи) [Хв (Хх) - Хи(Х!)] х = 1 X [Хв (Х1? Х2) - Хи(Х1? Х2)] X [ [Хв (Х1? Х2; Хз) - Хи(Х1? Х2; Х3)]} .

Четырехмерная характеристическая функция процесса

0\и''|]--:/''2-:/''з •:/''!] =

= схр Ц + ь>2 + щ + щ)т] х

X кт{ \/Зг/4 [1 — (р34 (1 - Р12) (1 - Ри

V 1 + РГ2

Р24 (1 — Р13)

Р12 + Р23 1 + Р13

(1 + 2Р12Р23Р13 — Рг2 — р-23 — р\з)М/

^[1 - (№ (1 -Р2п)

\ 1 + Р12

Р24 (1 — Ргз) ^1

Р12 + Р23 1 + Р13

1 + Р23

(1 + 2р12р23Р13 — Рг2 — Р-23 — Р\з)]СТ Х х {«т{\/3[1/з + щ х (р34 (1 - р{2) -

- Р24 (Р23 — Р1ЗР12) — Ры (Р13 — Р2ЗР12))/ ( (1 “ Р12) - Р23 (Р23 - Р13РГ2) -

Р13 (Р13 — Р23Р12) )] (1

РГ2 + Р13 •

1 + Р23

{\/3[^3 + 1^4 X (Р34 (1 - Р?2) -Р24 (Р23 — Р13Р12) — Р14 (Р13 — Р23Р12))/ ( (1 “ Р12) - Р23 (Р23 - Р13РГ2) -Р12 + Р13

Р13 (Р13 — Р23Р12))] —

х {«т[\/3(1/2 + ЩРи

1 + Р23 “ Р13Р12

(г} X

1

Рг2

щ

Р24 _ Р14Р12

1 -{\/3(2У2

РГ2

1/3-

(1-Р12)<т]}/ Р23 — Р13Р12 ,

1

Р14Р12

X {«Ш.

РГ2)^} X

ЩРы)я]}1 ЩРы) (7} •

5. МАРКОВСКОЕ СВОЙСТВО

Это свойство ограниченного последействия описывается уравнением [1]

103 [Хз |Х1? Х2] = ги2 [Хз |Х2] .

Из него следует, что при Р13 = Р12Р23, где , условная двумерная плотность вероятности процесса

■«>2 [Хз |Х2] =

= <

го3 [Хх; Х2; Х3] _ го2 [Х1; Х2] шз [Хх; Х2; Х3]

“ “

1

хв (х2) - хи(х2) “

1

■ (Хв - Хи) (1 - Р2з) ’

ХИ ^ Х\ ^ Хв,

хи (Хх) < Х2 < Хв (Хх) ,

хи (Х2) < Хз < Хв (Х2) :

,0, в остальных случаях.

где границы изменения

хи (Х2) = хи + (Х-2 — хи) р-2з;

Хв (Х2) = Хв — (Хв — Х2) ргз •

Условные математическое ожидание и дисперсия такого процес-

са:

ЛВ(Л'2)

Ш3 (Х2) = I Х3Ш2 [Хз IХ2 ] ЙХз =

Л„(Л'2)

Дз (Х2) =

Л'В(Л'2)

= т + (Х2 - т) Р23 ;

[Хз - шз (х2)]2 «>2 [Хз |Х2] rfX3 =

Хи(Х2)

= D (1 - p23)s

Решением уравнения рхз = Р12Р23 является нормированная корреляционная функция

Pij = Р (tj - U) = схр (—а |tj - U\) ,

О < а < ос .

Трехмерная характеристическая функция такого процесса

0з [in; .у>2; :/>з] =

= схр [j (1/1 + i/2 + щ) т] х

sin [х/Зг'з (1 — Р-2з) ч

X zi X

V3i/3 (1 - Р23)

sin [л/з (у2 + У3Р23) (1 - Р12) Н х ----—------------------------------ X

\/3 (^2 + ^3P23) (1 - P12) (У sin [л/3 (1/1 + I/2P12 + V-iPV2P2-i) <А

X ------------------------------------- .

V 3 {vi + V2P12 + ЩР12Р23) о

Аналогично для условных плотностей вероятности процесса с марковским свойством большей размерности выполняется условие Pij — PilPlk ""Рг7’,где ^ ^ •• • tj. tj.

Так, для условной четырёхмерной плотности вероятности такого процесса

w4 [Х4 |Х1? Х2; Хз] = w2 [Х4 |Х3] =

_ W4 [Х\: Х2; Х3; Х4] _

■шз [.V |; Л'2; Х3]

■Ш4 [Х1;Х2;Хз;Х4]

1

= <

Хв (Хз) - Хи(Х3)

_ 1 (хв — Xu) (1 — Р34) ' Хд ^ .V ] Хв . хи (Хх) < Х2 < Хв (Хх) , Хи (Х2) < Хз < Хв (Х2) , хи (Хз) < Х4 < Хв (Хз) :

О,

в остальных случаях,

где границы изменения

Хи (Хз) = Хи + (Хз — Хи) Р34 ;

Хв (Хз) = Хв — (Хв — Хз) Р34 .

Условные математическое ожидание и дисперсия :

А-в(Лз)

т4 (Хз) = I Х4'ш2 [Х4 |Х3] с1Х4 =

Хи(Х-Л)

= т + (Х3 - т) р34 ;

Д (Хз) =

А-в(Лз)

[Х4 - т4 (Хз)]2 'ш2 [Х4 |Х3] с1Х4 =

= D( 1 - p34)S

Х„(Х-Л)

wi [X^tuatXalX^tuatXslXa]

Четырехмерная характеристическая функция для такого процесса

^4 [т; .7^2; .7^3; М] =

= охр [7 (1/1 + г/2 + 1/3 + 1/4) т] х

я1п [х/3^4 (1 — Р34) О']

'Зщ (1 - f)3i)(T

sin [Уз (г/3 + г/4рз4) (1 - />23) <?]

УЗ (г/3 + г/4Рз4) (1 - Р-23) <7

sin [Уз (г/2 + ^зР-23 + ЩР-23Р34) (1 - Р12) <?]

X ------j=--------------------------------------- X

V 3 {v-2 + г/3 р-23 + V1P23P34) (1 — Р12) <7

sin [Уз (г/i + V2P12 + V3P12P23 + ЩР12Р23Р34) а\

УЗ (г/i + г/-2Р12 + V3P12P23 + ЩР12Р23Р34) V

Таким образом, предлагаемый случайный процесс требует минимума априорной информации и описывается всего тремя параметрами: нижней Хн и верхней Хв границами изменения и нормированной корреляционной функцией pij. Он адекватен большому

количеству реальных сигналов, легко идентифицируем, удобен для описания дискретной обработки сигналов и цифровой техники [6-8].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бендат, Дж. Прикладной анализ случайных данных / Дж. Бендат, А. Пирсол. М. : Мир, 1989. 540 с.

2. Губарев, В. В. Вероятностные модели : Справ. Ч. 2 / В. В. Губарев. Новосибирск : Новосиб. электротехн. ин-т, 1992. 210 с.

3. Заико, А. И. Свид. 72200700005. Случайный процесс Заико А. И. с равномерным законом распределения. Математическая модель / А. И. Заико. Зарег. ФГУП «ВНТИЦ» 28.02.07 г. Описание. 10 с.

4. Заико, А. И. Случайный сигнал с равномерным законом распределения / А. И. Заико // Измерительная техника. 1999. № 1. С. 9-11.

5. Заико, А. И. Случайные процессы. Модели и измерения : учеб. пособие / А. И. Заико. М. : МАИ, 2006. 207 с.

6. Заико, А. И. Динамическая модель аналого-цифрового преобразователя поразрядного

уравновешивания / А. И. Заико // Измерительная техника. 2000. № 7. С. 53-56.

7. Заико, А. И. Динамическая модель следящего аналого-цифрового преобразователя / А. И. Заико // Измерительная техника. 2001. №7. С. 21-24.

8. Заико, А. И. Выбор шага дискретизации сигналов с равномерным законом распределения по информационному критерию / А. И. За-ико // Измерительная техника. 2002. № 2. С. 24-26.

ОБ АВТОРЕ

Заико Александр Ивано-

вич, проф. каф. теоретич. основ электротехн. Дипл. инж. электрон. тех-ки (УАИ, 1970). Д-р техн. наук по информац.-измерит. системам (ЛЭТИ, 1990).

Заслуж. изобретатель РБ и РФ. Член-кор. Между-

нар. инж. акад. Иссл. в обл. метрологич. обесп.,

анализа и синтеза инфор-мац.-измерит. систем.