CC BY
39
УДК 629.7.052.3
СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС В ИНТЕГРАЦИИ СИГНАЛОВ ПРИЕМНИКАМИ СПУТНИКОВОЙ СИСТЕМЫ GPS
А.В. ПОЛТАВСКИЙ
Статья представлена доктором технических наук, профессором Шапкиным В.С.
В статье приводится один из подходов в прикладных задачах математического моделирования многоканальных систем управления подвижными объектами в случае использования информации от приемников спутниковой навигационной системы GPS.
Ключевые слова: навигационная спутниковая система, марковский процесс, беспилотные летательные аппараты.
Основные положения марковского непрерывного случайного процесса обобщаются и на совокупность наблюдаемых сигналов с приемников навигационных спутниковой системы GPS в дифференциальном режиме работы в задачах определения координат местоположения подвижного объекта управления (ОУ) Y1(t),..., Yn(t), которые будем рассматривать как компоненты n - мерного векторного процесса Y(t). Случайный векторный процесс сигналов с приемников навигационных спутников GPS Y(t) должен быть таким, чтобы при непрерывном изменении аргумента t за любой малый промежуток времени At его компоненты Yi (t) изменялись на
величину порядка VAt и все траектории каждой компоненты были непрерывны с вероятностью единица в обычном смысле понятия непрерывности функций. Считаем, что большие изменения компонент рассматриваемого случайного процесса маловероятны, конечные скачки имеют нулевую вероятность, а также в последовательные моменты времени t1 < t2 < ... < tm, взятые в интервале существования рассматриваемого случайного процесса, будут известны значения его компоненты в виде
Рассмотрим совокупность значений многомерного случайного процесса в моменты времени
^_1Л при ^_1 < ^ :^(^-^..Лп^Из теории вероятностей известно И что многомерный случайный процесс является марковским, если закон распределения системы случайных величин Y1(th ),..., Yn(th), вычисленный при условии, что известны значения их t = th_1Y1(th_1),..., Yn(th_1), не зависит от того, какие значения случайные функции Y1(t),...,Yn(t) принимали в моменты времени, предшествовавшие моменту времени ^_1. Сформулированное положение выражается формулой, которая принимает вид записи для скалярного аргумента как
Из теории вероятностей также следует, что исчерпывающей характеристикой для многомерного ( векторного ) случайного марковского процесса, подобно тому, как это имеет место для одномерного процесса, является вторая функция плотности вероятности
Y1(t1),...,Yn(t1);...;Y1(tm),...,Yn(tm).
(1)
f (y(th )y(t1),...,y(th-1)) = f (y(th ^y(th-1)).
f2(y(t1),y(t2)) = f2(y1(t1),...,yn(t1);y1(t2),...,yn(t2))
(2)
или первая функция плотности вероятности ^(уОа)) и функция вероятности перехода %02)|у01)) определяются равенствами как
^(У(11» = fl (Уl(tl),...,Уn(tl)),
?(уМу(М) = f (У 1(12 Х-^ Уп (12 ^У^^Х-^ Уп ООХ
Функции fl(y(tl)) и ^уО^уОа)) выражаются через ^(уОаХуО^)) в следующем виде
¥
^У^» = 1 ^ (У(tl), У* (t2 ))dУ*,
—¥
«уМ*1» = (4)
fl(У(tl))
Условная функция плотности вероятности ^уО^уОа)) в многомерном процессе неотрицательна и нормирована к единице, как и для одномерного, и обращается в дельта-функцию при совпадении моментов во времени 11 = 12 = 1:
^уЧфф) = 5(у* — у) = 5(у* — у 1 )...5(у П — Уп). (5)
Плотность вероятности перехода ^уО^уОа)) для многомерного марковского случайного процесса также удовлетворяет и интегральному уравнению Смолуховского-Колмогорова-
Чепмена при наблюдении в диапазоне времени 11 < 1' < 12 :
¥
?(у(12)|у(11)) = 1 ^у^у'ООЖу'О^уООМу' 6)
—¥
Уравнение (6) получается путем простого обобщения на многомерный векторный процесс уравнения Маркова или на основании соотношения
¥
^ДуОД-уОь^ = 1 ^уОД.-уОьХу'ООМу'
—¥
Применив эту формулу для Ъ=2, полагая, что 11 < 1' < 12 :
¥
^ (у(11 X у(12 )) = 1 fз (y(1l), у/(1 0у(12 ))dy/ (7)
—¥
и подставляя в эту формулу выражения для плотностей вероятности марковского процесса
^ (У(11 X У(12 )) = ^ (У(11 ))f (y(12)|y(1l)),
^ (y(1l), У/(1 /), У(12 )) = ?1(У(11))? (У(12 )|у/(1 /)) х (8)
X ^у/(1 /)|y(1l)),
получим выражение в виде
¥
?1(У(11))?(У(12)|у(11)) = 1 fl(У(1l))f(У(12)|y/(l/))f(У/(l/)|y(1l))dУ/. (9)
—¥
Для многомерного марковского непрерывного процесса вводятся соответствующие две характеристические функции. Функции при и-мерном случайном марковском процессе У(1) для векторного аргумента 1(11,..., 1 п) записываются в виде
¥
Б1(1,1) = 1 el1Tyfl(y,1)dy,
— ¥
¥
ё(1,1у/,1/) = 1 е^^у^у^Оау, (10)
—¥
где 1 у - скалярное произведение векторов 1 и у. Так как многомерные плотности вероятности являются также интегрируемыми в бесконечных пределах неотрицательными функциями, то существует и преобразование Фурье, определяющее эти функции через соответствующие характеристические функции
1 ^ Т
‘'■(У-1) = 77“^ 1 е-Лу81(М)Л, (11)
(2р)п —
1 ^ , т
‘(у^у'^0 = —— I е0^.
(2р)п —
Характеристические же функции векторных случайных функций обладают свойствами, как и для одномерных случайных процессов.
Далее, если в п- мерном векторном аргументе часть компонент полагать равными нулю, то получим характеристическую функцию случайного векторного процесса уменьшенного порядка как
ё1(11,...,1 тД...Д1 ^1 п^).
На векторные марковские процессы обобщаются формулы, которые имеют вид
п 1 п 1 п
81(1,1) = 1 + X‘1 км[ук(1)] + - X‘21 к 1 *м[Ук(1)У^(1)] + - X‘31 к 1 * 1 гМ[Ук(1)У^(1)УГ(1)] +...,
к=1 2! к,*=1 3! к,*,г=1
',1') = 1 + ¿11 кМ[Ук(1)|у']+ ^ Хх‘2 1Ам[Ук(1)У*(1)|у']+ (12)
к=1 2! к,*=1
ё(1,1
+1 £і31 к 1 , 1 гм[ук (1)у (1)УГ (1)|у'] +...,
3! М,г=1
где М[Ук(1)У (1)...] - начальные моменты, а м[Ук(1)У (1)..|у'] - условные начальные моменты
случайного векторного процесса у(ї).
Многомерный непрерывный марковский процесс, так же как и одномерный, может быть полностью описан локальными характеристиками. Этими локальными характеристиками являются условные математические ожидания, а также условные корреляционные моменты приращений компонент Ук (ї) марковского случайного процесса при изменении аргумента на малый диапазон времени А/
Атк ^ О = м[ук 0 + А0 - ук 1 ] = Ак (^1))А1 + 0(Аt), (13)
Атк1 (У, О = м[(ук (1 + А1) - ук (1))(у1(1 + А1) - уі (t))|y, 1 ] = вкі (У, 1)А1 + 0(А1) (k, 1 = 1,2,.Д
где Ак(у, 1) - компоненты вектора А(у, 1) и Вк1(у, 1) - компоненты матрицы В(уД) - являются непрерывными функциями, рассматриваемые вместе со своими производными. Условные моменты Атк1г,АткЬ,...выше второго имеют порядок малости 0(А1) более А1 в соответствии с
определением для непрерывного марковского случайного процесса.
С помощью введенных локальных характеристик для многомерного марковского процесса запишем условную характеристическую функцию приращений Ау(Ч) процесса у(Ч) за время наблюдения А1
П 1 П 1 п
ё Ау (1,1 + Аt|y, 1) =1 + £ і1 к Атк (У, 1) + ~ £ і21 к11 Атк1 (,1) + - £ І31 к111 г Атк1г ^ 1) + ..., (14)
к=1 2! к,1=1 3! к,1,г=1
где Атк(у,1) = м[Аук(1)|у] - условные моменты первого порядка приращений Аук (1) коорди-
нат, Ат к1 , Ат к1г и т. д. - условные моменты высших порядков приращений координат.
Изложенный системный подход в математическом моделировании многомерного марковского (нормально распределенного) может рассматриваться как характеризующий процесс блуждания векторов положения координат и скорости центра масс подвижного объекта, например, беспилотного летательного аппарата (БЛА) в результате обработки сигналов с n - приемников от спутниковой системы GPS, расположенных по периметру летательного аппарата. Для анализа этого процесса уравнение следует рассматривать как векторное. Компоненты данного векторного винеровского процесса независимы. Поэтому для каждой компоненты здесь можно повторить выкладки для соответствующего диффузионного процесса. В результате предлагаемого подхода в имитационном моделировании первая плотность вероятности двумерного векторного процесса принимает вид
2 2
. У2 + У2
fi(yi,y2,t) = :r^Te 2Gt . (15)
2p Gt
Для решения прикладных задач имитационного моделирования в лабораторных условиях было изготовлено 6 приемников от спутниковой навигации GPS в модели бортового комплекса (БКУ) многофункционального БЛА двойного назначения (рис. 1).
Рис. 1. Внешний вид и топология схемы спутникового канала GPS в многоканальной структуре имитационных моделей БКУ БЛА экспериментальных исследований.
Техническое решение впервые выполнено в НИР «КОМПЛЕКС-1» ИПУ РАН 14.06.2009г.
На рис. 2 показан фрагмент имитаци- п. онного моделирования в целях получения средней квадратической ошибки (СКО) г) 4
определения координат местоположения з
центра масс БЛА, из графика видим, что устойчивоств случайного процесса уже наблюдается при установке 6-8 приемников 1
GPS по периметру на подвижном объекте. о
1 2 3 4 567п приемники
Рис. 2. Г рафики изменения СКО от количества приемников спутникового канала GPS
ЛИТЕРАТУРА
1. Казаков И.Е., Гладков Д.И. Методы оптимизации стохастических систем. - м.: Наука, 1987.
2. Кульба В.В., Микрин Е.Н., Павлов Б.В., Платонов В.Н. Теоретические основы проектирования инфор-мационно-управляющих систем космических аппаратов // Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова.
- М.: Наука, 2006.
3. Казаков И.Е., Мальчиков С.В. Анализ стохастических систем в пространстве состояний. - М.: Наука, 1983.
4. Красильщиков М.Н., Мубарашкин Р.В., Ким Н.В. Бортовые информационно-управляющие средства оснащения ЛА. - М.: МАИ, 2003.
5. Полтавский А.В. Управление безопасностью движения беспилотного ЛА // Датчики и системы. - 2008.
- № 9. - С. 4-8.
6. Полтавский А.В. Модель измерительной системы в управлении БЛА // Информационно-измерительные и управляющие системы. - 2009. - №10. - С.73-77.
PROCESS IN THE COMPLEXING OF SIGNALS BY RECEIVERS OF GPS SATELLITE SYSTEMS
Роltavskiy A.V.
Under consideration is one of the approaches in the tasks of the mathematical modeling of multichannel control systems of moving objects in case of using signals from receivers for satellite navigational systems GPS.
Key words: satellite navigational system, Markov process, unmanned aircraft vehicles.
Сведения об авторе
Полтавский Александр Васильевич, 1957 г.р., окончил КВВАИУ (1980), кандидат технических наук, старший научный сотрудник ИПУ РАН, автор более 100 научных работ, область научных интересов - исследование динамических систем с переменной структурой на основе моделирования.
