Процесс обработки когерентных сигналов в приёмниках глобальной спутниковой системы ГЛОНАСС Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 614.8

А.В. Полтавский, В.В. Маклаков, Е.В. Агулов

ПРОЦЕСС ОБРАБОТКИ КОГЕРЕНТНЫХ СИГНАЛОВ В ПРИЁМНИКАХ ГЛОБАЛЬНОЙ СПУТНИКОВОЙ СИСТЕМЫ ГЛОНАСС

В статье приводится один из подходов в прикладных задачах математического моделирования многоканальных систем управления подвижными объектами в случае использования информации от приёмников глобальной спутниковой системы ГЛОНАСС.

Ключевые слова: навигационная спутниковая система, марковский процесс.

A. Poltavskiy, V. Maklakov, E. Agulov

COHERENT SIGNALS PROCESS AT THE RECEIVERS OF GLOBAL SATELLITE SYSTEM GLONASS

The article presents the way of using information of global satellite system GLONASS receivers in applied problems of mathematical modeling of multichannel control systems by mobile objects.

Keywords: satellite navigational system, Markov process.

Системы ГЛОНАСС позволяют обеспечить постоянный мониторинг зон вероятных ЧС природного и техногенного характера в целях их предотвращения и отслеживания эскалации, а также устранения их последствий. В настоящее время возможны несколько вариантов развития системы ГЛОНАСС в сопряжении с различными операторами сотовой связи. Перспективным является направление по сопряжению с системой 112, что позволит внедрять технологии ГЛОНАСС в единую систему предупреждения и ликвидации ЧС.

Важнейшим направлением обеспечения эффективности мероприятий по предотвращению и ликвидации природных и техногенных ЧС, а также снижению потерь среди населения и материального ущерба от них являются прогноз и своевременное обнаружение факта ЧС.

В настоящее время возможности дистанционного зондирования Земли для решения задач прогноза, обнаружения, контроля и оценки последствий природных и техногенных ЧС позволяют обеспечить космическую съёмку территории с высоким временным и пространственным разрешением.

Учитывая обширность территории Российской Федерации и многочисленность потенциально опасных объектов, качественный мониторинг их состояния должен проводиться, в том числе и дистанционными методами.

Основные положения марковского непрерывного случайного процесса обобщаются и на совокупность наблюдаемых сигналов с приёмников спутниковой системы ГЛОНАСС в дифференциальном режиме работы в задачах определения координат местоположения подвижного объекта управления (ОУ) Y(t), ..., Yn (t), которые будем рассматривать как компоненты n-мерного векторного процесса Y (t). Случайный векторный процесс сигналов с приёмников спутниковой системы Y (t ) должен быть таким, чтобы при непрерывном изменении аргумента t за любой малый промежуток времени А/ его компоненты Yi (!) изменяются на величину порядка у[А1 и все траектории каждой компоненты непрерывны с высокой вероятностью. Считаем, что большие изменения ком-

понент рассматриваемого случайного процесса маловероятны, конечные скачки имеют нулевую вероятность, а также в последовательные моменты времени < 12 <... < //н, взятые в интервале

существования рассматриваемого случайного процесса, будут известны значения его компоненты в виде

ВД),..^ (Г!);...; Г£я),..., Уя ).

Рассмотрим совокупность значений многомерного случайного процесса в моменты времени th_l,thщll < /Л : У1 ),...,Уп(Ь-\У> Из теории вероятностей известно, что мно-

гомерный случайный процесс является марковским, если закон распределения системы случайных величин Ух (¿й),..., Уп (¿й), вычисленный при условии, что известны значения их

X = не зависит от того, какие значения случайные функции ...,Гй(7)

принимали в моменты времени, предшествовавшие моменту времени [1, 2]. Сформулированное положение выражается формулой, которая принимает вид записи для скалярного аргумента как

Данную формулу можно записать для векторного аргумента в следующей форме

Из теории вероятностей также следует, что исчерпывающей характеристикой для многомерного (векторного) случайного марковского процесса, подобно тому, как это имеет место для одномерного процесса, является вторая функция плотности вероятности

Л (X' 1), Х'2)) = Л (л(>1),• • •, у„ (^1 У, уМ,..., у„ 02)) (2)

или первая функция плотности вероятности I (у(Хх)) и функция вероятности перехода I (Х^г )| У(Ч )) определяются равенствами как

/!&&)) =/МО,-,уМ),

/сх'2)|Ж)) - луг(а-,Упц2)|Ла,.Уп&(3)

Функции I (у(^ )) и 1( у(/2 )| у(^ )) выражаются через /2 (у(^ ), у(?2 )) в следующем виде:

Л (>'(/, )) = } Л (>'(/, ), С; ))Ф\

(4)

Му(ь))

Условная функция плотности вероятности /(у(?2 )| У(^ )) в многомерном процессе неотрицательна и нормирована к единице, как и для одномерного, и обращается в дельта-функцию при совпадении моментов во времени = = ? :

I(У*(0|у(0) = *(УУ) = б(у'*~ уМСу* - Уя). (5)

Плотность вероятности перехода / (у($2 )| у(^ )) для многомерного марковского случайного процесса также удовлетворяет и интегральному уравнению Смолуховского - Колмогорова - Чеп-мена при наблюдении в диапазоне времени < / ' < /2 :

ДЖ)|Ж)) = I ДЖ)|/(0)/(/(0|Ж))Ф'-

(6)

Уравнение (6) получается путём простого обобщения на многомерный векторный процесс уравнения Маркова или на основании соотношения

л (Ж),ж)) = IЛ+1 (Ж )>• Ж X /(О)Ф'

Применив эту формулу для к =2, полагая, что < /' < /2 :

Л ОС*! X Ж )) = I /з (Ж X /(ОЖ (7)

и подставляя в эту формулу выражения для плотностей вероятности марковского процесса

Л (Ж X Ж)) = /, (Ж)) ДЖ )|Ж )Х

/з X /П )) = / (Ж )) ДЖ )|/(0) X (8)

х/(/(0|Ж)Х

получим выражение в виде

/1(Ж)ЖЖ)И1))-

(9)

= _[ А (Ж )ЖЖ )|/(0Ж/(0|Ж

Для многомерного марковского непрерывного процесса вводятся соответствующие две характеристические функции. Функции при «-мерном случайном марковском процессе У(0 для векторного аргумента Л(Л1,...,Лп) записываются в виде

СО

¿КЛЖО= \еаТу/(у^\у\Г)ёу, (10)

— 00

где Лт у - скалярное произведение векторов Л и у . Так как многомерные плотности вероятности являются также интегрируемыми в бесконечных пределах неотрицательными функциями, то существует и преобразование Фурье, определяющее эти функции через соответствующие характеристические функции:

1

/гМ =

(2лУ

\ е-а у§1{Л,1)с1Л,

(11)

/ (У, <

1 Т

{2л) -<*>

Характеристические же функции векторных случайных функций обладают свойствами, как и для одномерных случайных процессов.

18 _

Научные и образовательные проблемы гражданской защиты - 2012'3

Далее, если в «-мерном векторном аргументе часть компонент полагать равными нулю, то получим характеристическую функцию случайного векторного процесса уменьшенного порядка как

На векторные марковские процессы обобщаются формулы, которые имеют вид

п _

к=1

1 " —

+ -£г2ЛкЛем1кт(0_+

к,е=1

1

п _

^лклелгм{к№№(*) +

к,1,г=1

е (л, ху, г ) = 1 + ^акы\к(Х)|у'~+

к=1

(12)

1 и _

1 кЛ=1

1 " ■ — + - ^ЛкЛ,ЛгМ \к(07,(0УГ(0|/ _+...,

к,1,г=1

где - начальные моменты, а М \,.(()У,(/)..\у'_ - условные начальные

мо-

|\ I ) I ( \ I у... — пачалопш^ л 11 ^ 1111)1. а - > ' и к \ ( !' \

менты случайного векторного процесса У(1).

Многомерный непрерывный марковский процесс, так же как и одномерный, может быть полностью описан локальными характеристиками [3]. Этими локальными характеристиками являются условные математические ожидания, а также условные корреляционные моменты приращений компонент Ук (1) марковского случайного процесса при изменении аргумента на малый диапазон времени А/:

Атк{у, 1)=м\кЦ + АО - ¥к(0|у,X =

= Ак(у,0)ы + щах), _

Атк1 {у, 0 = М Ь (/ + АО - ¥к (ОХУ, (* + АО - У, (0)1*' _= = Ва(у, 0АГ + 0(А0 (к,1 = 1,2,...),

где А (У, 1) - компоненты вектора А(у, I) и Вы (у, 1) - компоненты матрицы В(у, I) -являются непрерывными функциями, рассматриваемыми вместе со своими производными. Условные моменты АтЫг,Атк1п.,...выше второго имеют порядок малости 0(А0 более А/ в соответствии с определением для непрерывного марковского случайного процесса.

С помощью введённых локальных характеристик для многомерного марковского процесса запишем условную характеристическую функцию приращений &У(1) процесса 7(0 за время наблюдения А/:

1

= 1+Е а*Лтк (у> о+~ X ^ллАтм с о+

А\/=1

А"=1

1 П

+ Е1'ЗЛЛЛгАтИг(У>0 + -,

к,1,г=\

где Д/% (7, ^-М _ - условные моменты первого порядка приращений АУк (7) ко-

ординат, Аты, Атк1 и т. д. - условные моменты высших порядков приращений координат.

я

Рис. 1. Внешний вид и топология схемы спутникового канала в многоканальной структуре имитационных моделей БКУ БЛА экспериментальных исследований. Техническое решение впервые выполнено в НИР «КОМПЛЕКС-1» ИПУРАН 14.06.2009 г.

Изложенный системный подход в математическом моделировании многомерного марковского (нормально распределённого) может рассматриваться как характеризующий процесс блуждания векторов положения координат и скорости центра масс подвижного объекта, например беспилотного летательного аппарата (БЛА) в результате обработки сигналов с «-приёмников от спутниковой системы ГЛОНАСС [4]. Для анализа этого процесса уравнение следует рассматривать как векторное. Компоненты данного векторного вигнеровского процесса независимы. Поэтому для каждой компоненты здесь можно повторить выкладки для соответствующего диффузионного процесса. В результате предлагаемого подхода в имитационном моделировании, например, первая плотность вероятности двумерного векторного процесса принимает вид

1

2 2 yj+yj

fi(yi,y2J) = '

(15)

2 пСг

Для решения прикладных задач имитационного моделирования в лабораторных условиях было изготовлено 6 приёмников от спутниковой системы ГЛОНАСС в модели бортового комплекса (БКУ) многофункционального БЛА двойного назначения (рис. 1) [5, 6].

На рис. 2 показан фрагмент имитационного моделирования в целях получения средней квадратической ошибки (СКО) п определения координат местоположения центра масс БЛА. Из графика видно, что устойчивость случайного процесса уже наблюдается при установке 6 - 8 приёмников по периметру на подвижном объекте.

Рис. 2. Графики изменения СКО от количества приёмников спутникового канала

Предлагаемые технические решения и подход позволяют создавать когерентные системы в условиях помех, что способствует повышению качества работы глобальной спутниковой системы ГЛОНАСС в целях предупреждения ЧС.

Литература

1. Казаков И.Е., Гладков Д.И. Методы оптимизации стохастических систем. - M.: Наука, 1987.

2. Кульба В.В., Микрин Е.Н., Павлов Б.В., Платонов В.Н. Теоретические основы проектирования информационно-управляющих систем космических аппаратов // Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН. - М.: Наука, 2006. - 579 с.

3. Казаков И.Е., Мальчиков С.В. Анализ стохастических систем в пространстве состояний. - М.: Наука, 1983.

4. Красильщиков М.Н., Мубарашкин Р.В., Ким Н.В. Бортовые информационно-управляющие средства оснащения ЛА. - M.: МАИ, 2003.

5. Полтавский А.В. Управление безопасностью движения беспилотного ЛА. - М.: Датчики и системы. Выпуск № 9, 2008. - С. 4 - 8.

6. Полтавский А.В. Модель измерительной системы в управлении БЛА // Информационно -измерительные и управляющие системы. Выпуск 2009. - С. 73 - 77.

e