Сложение колебаний в вибровозбудителях Текст научной статьи по специальности «Физика»

Герасимов М.Д., канд. техн. наук, проф. Белгородский государственный технологический университет им. В.Г. Шухова

СЛОЖЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ В ВИБРОВОЗБУДИТЕЛЯХ*

mail_mihail@mail.ru

Для получения больших значений вынуждающей силы у вибрационных машин используют сложение колебаний нескольких, последовательно установленных, вибромодулей. Последовательно установленные виброблоки образуют единый вибрационный механизм, который будем называть виброблоком. Суммарная вынуждающая сила виброблока генерирует направленную вынуждающую силу, например, по вертикали. Применение вибромодулей одной конструкции позволяет получить равную по величине вынуждающую силу вверх и вниз. Для практического применения виброблоков важно иметь использование с разными характеристиками, которые позволяют получать асимметрию значений вынуждающей силы, направленной вверх и вниз. Асимметрия значения вынуждающей силы формирует рабочее и холостое направления её действия. Асимметричная вынуждающая сила может быть получена при сложении гармонических колебаний различного вида. Однако, вопрос определения величины асимметрии вынуждающей силы при сложении колебаний, описываемых различными уравнениями, для практического применения в вибрационных машинах изучен недостаточно.

Ключевые слова: вибрационный модуль, вибрационный блок, дебаланс, вынуждающая сила, коэффициент динамичности системы, ряд Фурье._

Введение. В вибраторах направленного действия используется двойной дебалансный механизм, представляющий собой два вибратора с круговыми колебаниями и дебалансными ва-

лами, вращающимися с одинаковой скоростью в разные стороны [1, 2, 3, 4]. Такой механизм будем называть вибрационным модулем с направленными колебаниями.

Рис. 1. Схема вибрационного модуля с направленными колебаниями.

Рис. 2. «Направленный возбудитель DF» виброгрохотов LinaClass SLB/SLC

В работе рассматривается вибрационный модуль с направленными колебаниями с параллельным расположением осей в одной плоскости. У него проекции сил инерции в плоскости дебалансных валов уравновешиваются, а проекции на ось симметрии складываются, действуют вдоль оси симметрии, изменяясь по гармоническому закону

FHH = та)2R cos a)t

где т - общая масса дебалансов; R - эксцентриситет цента масс; ш - угловая скорость.

Эту силу называют вынуждающей силой.

Методология. В работе используются классические методы аналитических исследований, в основе которых лежат ряды Фурье.

Основная часть. В качестве вибровозбудителей направленного действия одновременно используются 1,2...4 вибрационных модуля с направленными колебаниями, имеющих 2,4.8 валов, синхронно вращающихся в противоположных направлениях с равными угловыми скоростями и дебалансами. Суммарная вынуждающая сила определяется произведением числа вибрационных модулей К на вынуждающую силу /ин одного вибромодуля, вибратора.

Рс = ^ин

Как правило, действие вынуждающей силы в одном направлении совершает полезную работу: уплотнение дорожными катками и виброплитами, сортировку на грохотах, погружение или извлечение свай в грунт или из грунта. В

противоположном направлении, в направлении холостого хода, действие вынуждающей силы направлено на восстановление энергии и подъём ударного инструмента. Рассмотрим случай вибропогружения свай.

Обозначим вынуждающую инерционную силу в рабочем направлении и назовем её динамической силой погружения, а в противоположном направлении Рп - силой подъема. В случае приближения значения силы подъема к весу вибропогружателя или его превышения, вибропогружение может перейти в вибротрамбование с отрывом и последующим ударом о поверхность, что является не желательным эффектом. Отрыв вибропогружателя исключают или компенсируют «пригрузом», создающим необходимую силу прижатия погружателя к грунту.

Задачей работы является уменьшение вертикальной силы подъема при максимальной силе погружения Ра. Соотношение этих сил назовем динамичностью системы.

В некоторых работах это соотношение называют асимметрией направленной вынуждающей силы.

Действующие инерционные силы являются внутренними силами. При их воздействии нельзя изменить импульс (количество движения). Закон сохранения импульса справедлив и для системы, на которую действуют внешние силы, если Кв н = 0. Центр инерции вибровозбудителя движется так, как двигалась бы материальная точка, помещенная в центре инерции, и в ней были бы сконцентрированы все массы точек и силы, действующие на точки. Центр инерции замкнутой системы движется с постоянной скоростью, в частности равной нулю. гт —

Из ^ Рй£ = 0 следует (рис. 1):

Р £

Р^! = р212 = $1 = $2 или й с=-± = -1

Очевидно, величины сил обратно пропорциональны времени их действия. Это модель сохранения импульса для схемы сил, представленных на рис. 1.

Подобный закон изменения силы с периодом Т можно получить, используя тригонометрический ряд, членом которого являлась бы сила инерции, создаваемая двухдебалансным вибратором направленных колебаний.

В поисках тригонометрического ряда имеющего своей суммой некоторую заданную функцию изменения силы, математики в

первую очередь советуют обратиться к ряду

Фурье [5]. Он имеет наименьшую среднеквадра-тическую ошибку при любом фиксированном числе членов ряда п.

F

1 \ ь / ь 1

Й 5/ 1

ш 0 т.

т 5!

Рис. 1. Соотношение погружающей (F1) и подъёмной силы (F2) при ударе ti - время действия погружающей силы, t2 - время действия подъёмной силы

Для четной функции f (х) ряд Фурье имеет

вид:

f (x) = y + Тп=i ап с оs пх, где а о =~ Jq f (х) dx; ап = ^ J™ f (х) с о s nxd х Свойства ряда Фурье

1. ^ = ^0 f (х) dx = f (х) - среднее арифметическое функции на отрезке [ 0 ; п];

2. J^ancosnxdx=0, это свойство характеризует соблюдение закона сохранения

гТТ

импульса за период п, (J PHHdф = 0 ).

3. При х = 0

Ш= ian=f ( 0 )~f = P* (!)

При

Ш= 1 ( - 1 ) nan = f(™)-Y=- Pn (2)

Уравнения (1) и (2) можно применять для оценки точности приближения ряда Фурье к при конечном числе , .

4. Динамичность системы для монотонно убывающей функции:

, _Pg_f ( 0 )-f (х) dCV Pn f(x)

Сравним ряды Фурье для нескольких функций:

1. Разложение в ряд Фурье по косинусам идеальной (осесимметричной, четной) функции, заданной условиями

f =a,0<x<h

J(X) {0,h<x<n

имеет вид [5]

2 h

№ = — л

М

п=1

sin nh nh

■ cos nx

, (0 < X < 7Г).

__^ Т£

Среднее арифметическое у = -; С с = - — 1 . Для анализа ряда, преобразуем слагаемое в

виде

за исключением точек разрыва х = /, где

/(х) = J

1 1 s i n n/i с о s nx = — ( s i n (n/i — nx) + s i n (n / + nx) ) = — [ s i n n (х + /) — s i n n (х — /) ],

где + к является сдвигом фазы (сдвигом начала координат).

Тогда скорость схождения ряда характеризуется отношением: —; т.е. она обратно пропорциональна номеру члена ряда п в первой степени.

2. Для более гладких функций вида у(х)= сках ряд имеет вид (см. табл.),

у(х) = — shan п

оэ

¿+I(—1 )Г

п=1

п2 + а2

eos nx

-п < X < п.

п2+а2

коэффициент.

где ап = ( — 1 ) г ^ _

Ряд убывает обратно пропорционально п 2 , т.е. значительно быстрее выше приведенной функции;

3. Для функции вида / (х) = х2т.

у = fn = IГ x2mdx =

^ 9 ЧГ J

Ж

2m +1'

а динамичность системы

= Дж) _ 1 (2m +1) _ 1 = 2m,

f ( x)

an =

2 n

— Jx2m cosnxdx = ж i

ж

2 m_1

2 С i\k ^2m_2k_1

2 (2m)! ^ (_1)kn

ж n

поскольку cos nn = (_1)n, то

2m_1

_ 2 (2m)! X (_1)n (_1)kn2m_2k_' a =Ж n h (2m _ 2k _ 1)!n 2k+1'

ряд x2m представляем в таблице.

x (2m)! (2m)!

--—cosnx\n. k=0 (2m_2k_ 1)!n +1 |n

4. В качестве базовой примем функцию

у(x) = cos2m x на интервале _ ж < x < ж.

(2m)!

1 ж

у = aL = 1J cos2m xdx = ,

2 ж J 2 22m(m!)

cos —=-

■ + -

Ряд представим или в виде 1

2 2 (m!)2 2 n=1 (m + n)!(m _ n)!

-cos nx;

или в виде

2„ x (2m)! | (2m)! ^

cos - = - + —— h"

1

-cos(m _ k) x.

2 2 (т!)2 22т-1 к=0 к! (2т - к)!

Ряд конечен и имеет ровно т переменных членов (от к = 0 до к = т -1).

Таким образом, в количестве базовой функции, разлагаемой в ряд Фурье, целесообразно применить более гладкие функции, причем, ряд

Фурье для функции у(x) =cos2m -

на

отрезке имеет конечное число

членов, равное т.

При одной и той же динамичности системы значимость коэффициентов при высоких гармониках меньше значимости коэффициентов при тех же гармониках для таких функций как:

у(х) = ^ах и у(х) = х2т.

Согласование параметров вибраторов с рядом Фурье

Ряд Фурье

а м /(х) = -0 + Еап съъпх,

2 я=1

n

где а0 = — | /(х)$х, и ап = — |/(х)ео8nxdx.

0 0 Произведение сомножителя на ряд дает изменение силы.

РА =

/ (х) -

Р [/ (х) - / (х)]= Р (х),

так как

¥а • /(х) = Fd=FA[f(0)-f(x)]

то

Р(х) = ^ Раап ео8 пх,

п=1

где т о 2 г = Р а , или величина дисбаланса

Р =- Рп - р

/ ( х) / (0) - / (х) Закон изменение силы

п п п а п

п -го вала

аР т г = п А .

п п 2

°п (3)

Таким образом, показано, что соотношение максимальной силы погружения р и силы

подъёма р характеризуемое динамичностью системы d и может изменяться за счёт кон-

структивных решений в достаточно широком диапазоне. Оптимальное значение динамичности системы для технических задач, очевидно, следует принимать в пределах 2,5.. .4,0.

Таблица

Динамичность системы при сложении колебаний

71

71

№ п/п Вид функции Ряд Фурье у d с Число членов

1 ¡1;0 <х <к Ух = {0;к< х <п , ч к 2к„ этпк 0<х<л у(х) =- +--1,-—СОБПх, 1 л л пк у(0;к)=- к п 7Г оо

2 у(х) = Сках = 0 О.Х + ^ — О.Х 2 2 у (х) = —Бкап п ■ со ■ 1 V-1 а --+ У ( -1 ) п—=--г С О БП х 2 а /-1 ' п2 + а2 п-1 , —п < X < п экам ап оэ

3 у = х2т п2т V1 у(х) = --— + У 2т + 1 /_1 п=1 ■ СО - - 2(2т)\ у- (—1)п(—1)'сл"2т~2'с~1 7тп /-1 (2т — 2к — 1)! п2к+1 к=0 4 ' БПХ п2т 2т + 1 2т оо

3.1 у = х2т 2 п3 л^(-1)п х2 ~--4 У -—СОБПх = 3 ¿и п2 п=1 п3 соб2х собЗх соб4х = 3 4 (С О5х 2 2 + 3 2 42 ■ ■ } п2 Т 2 оо

3.2 у = |х|3 п3 °° 1 1х13 ^—+3 У —г[ ( - 1) п (п 2 п 2 -2 ) + 2 ] с о б пх 4 /_1 и4 п= 1 п3 Г 7Г2] = ~-3\(п2 -4)соБх-^2 п2 4 п2 7Т2 4 соб 2х + (-р- — соб Зх — -^соб4:Х + (-р- — соб 5х — ■■■ ~ ~ 7.752 - 3(5.87созх — 2.467 соб 2х + 1.047 соб Зх - 0.6169 соз4х + 0.3884 СОБ 5х - 7.752 — 17.61(СО5Х - 0.4203 СОБ2Х + 0.1784 соб Зх - 0.1051 соз4х + 0.662 соб 5х)) п3 т 3 оо

Продолжение таблицы

3.3 ч: II п4 v-1 1 / TT2 1 \ п4 х4 = — + 4 8 > ( - 1 )п — (---- ) с о s п х = — - 4 8 5 Z_i п \ 6 п } 5 п= 1 4 ' \,п2 1 .TT2 1 1 /ТГ2 1 1(--1 )с о sx —-(----)с о s2 х + — (----с о s3 х - L4 6 J 22 6 22 З2 V 6 з2 Ь (т ■- Й с0 s 4 х) (Т - ^ с 0 s 5 х - • • • ]= п4 = — - 30.957(cosx - 0.5407 cos 2х + 0.2643 cos Зх - 0.1534 cos 4х + 0.0995 cos 5х----) TT4 5 4

4 2 т Х у = cos — у 2 —п < X < п ^ (2т)! 1 v1 (2тУ- , ,, У (х) = 2 2 m (m,) 2 + 2 2m- i > k, ( 2 m - k) , со s ) х (2 m)! 22m(m\)2 2 2m(m)!2 ^ (2 т.)'. 1 m

4.1 X у = cos — 4 x 3 1 1 cos — = —+ —(cosx + —cos2x) 2 8 2 4 1 3/8 5/3=1.66 2

4.2 X у = cos6 — у 2 ,x 5 15 6 1 cos6 — =--1--(cos x Л—- cos 2x Л—- cos 3x) 2 16 324 15 15 1 5/16 11/5=2.2 3

4.3 вх у = cos — у 2 „x 35 14 1 1 1 cos — =--1--(cos x + — cos 2x + — cos 3x + — cos4x) 2 128 32 2 7 56 1 35/128 93/35=2.6 4

4.4 12Х у = cos — у 2 x 462 792 coslz — = ——- + ——- (cos X 2 2048 2048 495 + :^TrC0S 2x 792 220 + :^TrC0S 3x 792 66 12 1 Л--cos4x Л--cos5x Л--cos6x) 792 792 792 1 462 2048 3.43 6

4.5 у = cos — 2 x 6435 11400 cos — =--1--(cos X 2 32768 32768 7 Л--cos 2x 10 21 + -^-cos 3x 7 Л--cos4x 44 7 +-—-cos5x 143 3 11 + —— cos 6x + -z—rCOS Ix + —————cos 8x) « 286 715 11440 1 ~ 0.196 + (cosx + 0.7 cos 2x + 0.382 cos 3x + 0.159 cos4x + 0.049 cos 5x + 0.0105 cos 6x + 0.0014 cos 7x + 0.00008 cos 8x) 6435 32768 4.09 8

Вывод. При проектировании виброблока следует установить значение вынуждающей силы в рабочем направлении. Задаваясь функцией изменения вынуждающей силы следует определить коэффициент динамичности системы и количество вибромодулей для осуществления поставленной задачи. По полученным результатам и используя уравнение (3) рассчитываются масса и эксцентриситет дебалансов. Частота вращения дебалансов, как правило, принимается кратной.

*Работа выполнена в рамках Гранта РФФИ № 14-41-0843 «Разработка теоретиче-

ских основ проектирования вибрационных модулей для технологических процессов сортировки, измельчения, уплотнения и погружения свай в грунт».

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Вибрационные машины в строительстве и производстве строительных материалов: Справочник / Под. ред. В. А. Баумана и др. М.: Машиностроение, 1970. 548 с.

2. http: //www.schenckprocess.ru/files/equipme nt/screens/Hna%20dassic_slc_grohot.pdf

3. Герасимов М.Д. Инновационные вибрационные технологии, машины и оборудование. Опыт НИОКР. // Мир дорог. Специальный выпуск. 2015-2016, 2015. С. 3132.

4. Герасимов М.Д., Мкртычев О.В., Герасимов Д.М. Методика определения величины разбалансировки планетарного

вибратора направленных колебаний // Вестник Белгородского государственного

технологического университета им. В.Г. Шухова. 2016. №1, С. 107-110.

5. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т.2. Издание двадцать первое, стереотипное. Изд-во «НАУКА», М.: 1974.

Gerasimov M.D.

ADDITION OF OSCILLATIONS IN THE VIBROEXCITER

For large values of driving force from of vibration machines are used vibrations addition of of several consistently installed, vibromoduley. Consistently installed vibrobloki form a single vibrating mechanism, which we shall call vibroblokom. The overall exciting force vibrobloka generates driving force directed, for example, vertically. Application of vibro module construction allows one to obtain equal largest driving force up and down. For practical application vibroblokov important to have the use with different characteristics that let you receive the asymmetry values of driving force, directed upwards and downwards. The asymmetry values of driving force generates the working and idle directions of its actions. Asymmetric exciting force can be obtained with the addition of harmonic oscillations of various types. However, the question of definition of size of of the asymmetry of driving force when adding vibrations described by the various by equations for practical use in vibratory machines is insufficiently studied.

Key words: vibration module, vibration unit, the eccentric weight, the driving force, the dynamic factor of the system, the Fourier series.

Герасимов Михаил Дмитриевич, кандидат технических наук, профессор кафедры подъёмно-транспортных и дорожных машин.

Белгородский государственный технологический университет им. В.Г. Шухова. Адрес: Россия, 308012, Белгород, ул. Костюкова, д. 46 E-mail: mail_mihail@mail.ru