CC BY
17
ИСТОРИЯ ПЕДАГОГИКИ И ОБРАЗОВАНИЯ
УДК 51
Козырев Сергей Борисович
кандидат физико-математических наук, доцент Костромской государственный университет kozyrevsb@gmail.com
СЛОВО О МЕНЬШОВЕ
Автор статьи делится воспоминаниями о своём учителе, выдающемся советском математике Дмитрие Евгеньевиче Меньшове. Описываются впечатления студента третьего курса о работе под научным руководством Д.Е. Меньшова и об общении с ним.
Ключевые слова: педагог, советский математик, тригонометрические ряды, Д.Е. Меньшов.
Лмитрий Евгеньевич Меньшов - советский математик, родился в 1892 году в Москве. Окончил физико-матема-факультет Московского университета. В 1916 году защитил кандидатскую диссертацию под руководством Д.Ф. Егорова. Входил в число первых участников научной школы Н.Н. Лузина -знаменитой Лузитании.
Д.Е. Меньшов внёс выдающийся вклад в теорию тригонометрических рядов. В 1935 году ему без защиты диссертации присваивают учёную степень доктора физико-математических наук. С 1953 года член-корреспондент АН СССР. Подготовил более 35 кандидатов и докторов наук. Удостоен государственных наград: орден Ленина, орден Октябрьской Революции, орден Трудового Красного Знамени, орден Дружбы Народов, орден «Знак Почёта», медаль «За оборону Москвы»; лауреат Сталинской премии.
Дмитрий Евгеньевич Меньшов по праву является одним из выдающихся математиков XX столетия. Мне посчастливилось в студенческие годы быть его учеником. В настоящей заметке я хочу поделиться своими воспоминаниями об этом учёном и замечательном педагоге.
Дмитрий Евгеньевич был колоритной фигурой на мехмате, о нём знали и говорили многие. Поэтому в студенческой компании мне нередко доводилось что-нибудь рассказывать о Дмитрии Евгеньевиче. Позднее, в аспирантуре, когда моим научным руководителем был уже Валентин Анатольевич Скворцов - ученик Дмитрия Евгеньевича, я по-прежнему рассказывал своим соседям по общежитию о своём первом шефе. Благодаря этому моя память удержала множество эпизодов и диалогов, связанных с Дмитрием Евгеньевичем, почти дословно.
Впервые я увидел Дмитрия Евгеньевича в конце второго курса. Всем нам, второкурсникам предстояло сделать выбор: определить свою будущую научную специализацию. В связи с этим преподаватели кафедр организовывали с нами встречи, на которых рассказывали о своей научной работе. Однажды я попал на встречу с сотрудниками кафедры теории функций и функционального анализа.
Первым перед нами выступил сам заведующий кафедрой Дмитрий Евгеньевич Меньшов. Это
был высокий худой старик в старомодном строго чёрном костюме и в очках с толстыми стёклами. Дмитрий Евгеньевич начал с напоминания о том, что числовые ряды бывают сходящиеся и расходящиеся. Начав с рассмотрения формулы суммы ряда геометрической прогрессии, он весьма последовательно стал развивать мысль о том, что расходящиеся ряды тоже можно пытаться суммировать. Докладчик также напомнил, что любой измеримой функции может быть сопоставлен её ряд Фурье, который в благоприятном случае к ней же и сходится. Но он может оказаться расходящимся.
Так вот оказывается, что ряды мы не суммируем, а «приписываем им сумму». Приписывать суммы, руководствуясь определёнными соображениями, можно и расходящимся рядам, то есть, превращать их в сходящиеся в некотором более общем смысле. Известный студентам метод суммирования Фейе-ра был лишь первым шагом в этом направлении. Процесс приписывания суммы можно последовательно обобщать, усиливая его, превращая тем самым всё более широкий круг расходящихся рядов в сходящиеся. Далее Дмитрий Евгеньевич перешёл к рассмотрению более сложных идей суммирования, и я потерял мысль докладчика. Но продолжал за ним наблюдать.
В продолжение всего доклада Дмитрий Евгеньевич улыбался какой-то мягкой, располагающей улыбкой. Он с увлечением рассказывал об идеях обобщённого суммирования рядов, расхаживая в процессе доклада широкими шагами перед доской взад-вперёд. Однако его ходьба была несколько нескоординирована. В некоторые моменты казалось, что он вот-вот потеряет равновесие и упадёт. Впрочем, обошлось.
Затем по очереди выступали другие докладчики. Не все дальнейшие выступления были так же интересны, но на фоне первого выступления моё внимание больше концентрировалось на позитивных моментах. Складывалось впечатление, что на кафедре занимаются разными интересными проблемами и скучно не будет. Так я решил идти на кафедру Дмитрия Евгеньевича.
Прошло почти полгода. Мы перешли на третий курс, и надо было выбрать себе научного руководителя. Хотя доклад Дмитрия Евгеньевича весной
© Козырев С.Б., 2017
Педагогика. Психология. Социокинетика № 3
237
произвёл на меня впечатление, у меня и в мыслях не было выбрать его себе в качестве руководителя. Во-первых, потому, что Дмитрий Евгеньевич занимался тригонометрическими рядами. С точки зрения студентов эта область математики считалась абсолютно неперспективной. Получить в ней новый серьёзный результат было крайне сложно. Во-вторых, я получил от более опытных товарищей конкретный совет: не выбирать в шефы члена-корреспондента или, тем более, академика. Иначе будешь постоянно испытывать неудобство от сознания, что у шефа есть гораздо более серьёзные дела, чем занятия с тобой.
В общем, я никак не должен был оказаться в числе учеников Дмитрия Евгеньевича. Однако время шло, а мне всё никак не удавалось определиться с научным руководителем. Проблема была в том, что на первых двух курсах ни один работник кафедры не работал на нашем потоке. Так и не найдя преподавателя, который бы меня заинтересовал, я, наконец, решил пойти к профессору П.Л. Ульянову. Чтобы как-то укрепиться в правильности своего выбора, я сходил на его лекцию на соседнем потоке. По окончании лекции на выходе из аудитории я подошёл к Петру Лаврентьевичу и попросил его, чтобы он стал моим научным руководителем. Он выслушал меня на ходу и ответил:
- Понимаете, в чём дело. Мне трудно взять вас к себе. У меня уже шестнадцать курсовиков и дипломников. На вас у меня почти не останется времени.
Мы шли уже по вестибюлю. Я молчал, показывая этим, что согласен с данным обстоятельством.
- У меня шестнадцать человек - нехотя повторил Пётр Лаврентьевич - Ну, вы будете семнадцатым ... Я не смогу уделить вам много внимания.
Я молчал по-прежнему. Отступать мне было некуда.
- Ладно, - сказал Пётр Лаврентьевич - Приходите сегодня вечером перед Учёным Советом. Я принесу вам список научных тем, и мы вместе посмотрим.
- На Учёный Совет? ... Это, наверное, неудобно будет - робко возразил я.
- Ерунда! Как раз очень удобно! Вы подойдите за пять минут до начала Совета, и мы решим с вами все вопросы.
Примерно через три часа к указанному времени я поднялся на шестнадцатый этаж мехмата. Участники Совета ещё только собирались. Аудитория, в которой должен был проходить Совет, имела форму амфитеатра, ряды которого довольно круто поднимались вверх. Пётр Лаврентьевич стоял в средних рядах. Увидев меня, он дал мне знак подняться к нему. Я поднялся.
- Знаете - сказал Пётр Лаврентьевич, вытаскивая из портфеля какие-то бумаги и надевая очки, -Я вас всё-таки не возьму. Я подумал и решил: сем-
надцать человек - это слишком много. Научную тему я вам дам, а потом мы вместе выберем вам научного руководителя.
Он протянул листок, плотно исписанный одними только названиями научных тем. Я быстро выбрал тему. В ответ Пётр Лаврентьевич выдал мне узенькую полоску бумаги, на которой было написано название выбранной мной темы вместе со ссылкой на научную статью, с изучения которой надлежало начать работу над курсовой.
- Так, теперь будем выбирать вам научного руководителя. - Он вынул из портфеля другой листок - Пойдём по списку . Первый: заведующий кафедрой Дмитрий Евгеньевич Меньшов.
Я едва мотнул головой.
- Нет - констатировал Пётр Лаврентьевич. -Так, дальше . Второй: Лукашенко Тарас Павлович.
Тарас Павлович на тот момент был Учёным секретарём кафедры, но я о нём ничего не слышал, поэтому снова мотнул головой.
- Так, третий ... А, может, вы кого-то конкретно хотите? - спросил внезапно Пётр Лаврентьевич. -Так скажите сразу, а то, что мы...
- Нет.
- Нет? А тогда почему вы так быстро отказываетесь?. Давайте разбираться. Начинаем сначала: первый - Дмитрий Евгеньевич Меньшов - вот что вас не устраивает в этой кандидатуре?
- Ну, он же член-корреспондент - начал я неуверенно объяснять - Его неудобно будет отвлекать ...
- Чепуха! У него всего два курсовика! Вот он-то действительно сможет уделить вам времени гораздо больше, чем я - энергично прервал меня Пётр Лаврентьевич. И, не дожидаясь моей реакции, позвал - Дмитрий Евгеньевич! Поднимитесь к нам, пожалуйста.
Дмитрий Евгеньевич, находившийся у аудиторной доски внизу, медленно, но без видимых усилий поднялся к нам по лестнице.
- Вот, Дмитрий Евгеньевич, у нас тут ещё один курсовик объявился. Мы его определим к вам -и Пётр Лаврентьевич пояснил, почему он дал мне научную тему, но к себе не берёт. - Вы сейчас договоритесь, когда и где встретитесь.
Дмитрий Евгеньевич всё это слушал, не говоря ни слова и не выражая никаких эмоций. Лицо его было неподвижным, как на фотографии. Вид его как бы говорил: не возражаю, ко мне, значит, ко мне.
Здесь следует пояснить, что хотя номинально заведующим кафедрой был Дмитрий Евгеньевич, ему шёл уже 86-й год, и основную массу текущей работы заведующего выполнял профессор Ульянов. Именно он принимал многие конкретные решения на кафедре.
Вот так я оказался в учениках у Дмитрия Евгеньевича. Мы договорились встретиться через неделю, сразу после кафедрального семинара. За это
время мне предстояло найти в библиотечном архиве статью из американского математического журнала, переписать её вручную (благо статья оказалась небольшой; на дом журнал взять нельзя было, а ксерокопирующей техники в библиотеках тогда и в помине не было), затем перевести на русский язык, параллельно разбираясь с её математическим содержанием - вполне достаточно для одной недели.
Содержание статьи оказалось несложным. Её автор К. Буш ввёл класс так называемых извивающихся (crinkly) функций, затем построил пример такой функции с помощью двоичных разложений аргумента. В нынешней терминологии извивающиеся функции являются специальным подклассом фрактальных функций, но в то время в нашей стране термин «фрактал» не встречался.
Через неделю на кафедре состоялась моя первая встреча с Дмитрием Евгеньевичем. Передвигался он теперь не как на лекции: мелкими шагами, почти не поднимая ног, точно стараясь постоянно быть на двух точках опоры. Я рассказал о содержании статьи. В конце занятия я спросил Дмитрия Евгеньевича:
- Ну, хорошо. Есть такая (извивающаяся) функция, и что теперь с ней делать?
- Изучать - ответил он, задумчиво улыбаясь и глядя куда-то в сторону.
Дмитрий Евгеньевич предложил изучить вопрос о возможной степени гладкости извивающихся функций в терминах модуля непрерывности. Мне надлежало скорейшим образом освоить эту характеристику - модуль непрерывности. Помню также, на первом или втором занятии Дмитрий Евгеньевич назвал меня «начинающим математиком». Это было не только приятно. Одно дело, когда ты студент, из которого в будущем должен вырасти специалист. И другое дело, когда ты уже специалист, пусть и начинающий. Это побуждало с большей ответственностью относиться к своей научной деятельности и, как сейчас говорят, повышало самооценку.
Примечательно, что Дмитрий Евгеньевич так и не принял термин «извивающаяся функция». Может быть, слово «извивающаяся» ему казалось громоздким и неудобным для произношения. Во всяком случае, он это слово ни разу не произнёс, каждый раз, заменяя его на слово «извилистая». Я со своей стороны считал, что слово «извивающаяся» более точно отражает суть и к тому же указано в словаре, и поэтому употреблял только его. И так получилось, что на протяжении всех трёх курсов я говорил «извивающаяся», а Дмитрий Евгеньевич - «извилистая». Причём мы никогда это разночтение не обсуждали, вполне довольствуясь тем, что понимаем друг друга.
Два занятия мы провели на кафедре. А, начиная с третьего, я должен был в определённый день недели ездить к Дмитрию Евгеньевичу на дом.
Он собственноручно нарисовал мне в записной книжке схему, как к нему добраться. Занятия должны были проходить с полчетвёртого до полшестого. «Два часа?!» - удивлялся я. - «Что можно делать целых два часа каждую неделю? Чай, что ли, пить?» Я навёл справки. Выяснилось, что прежние ученики Меньшова работали по аналогичному расписанию. Других подробностей узнать не удалось.
Оказалось всё просто. Мы садились за стол. Дмитрий Евгеньевич ставил на стол прямо перед нами громко тикающий советский будильник. И мы начинали заниматься.
Занятие проходило в непрерывном диалоге. Обычно Дмитрий Евгеньевич ставил вопрос -я высказывал свои соображения. Вопрос мог быть такого типа: может ли извивающаяся (или дифференцируемая, или просто непрерывная) функция обладать таким-то набором свойств? Если ответ на вопрос был, по моему мнению, положительным, я иногда рисунком изображал, как должна вести себя искомая функция, или же намечал схему процесса её построения. В случае отрицательного ответа Дмитрий Евгеньевич пробовал ослаблять набор свойств. Мы пытались нащупать границу в наборе свойств, отделяющую наборы свойств, которыми функция может обладать, от наборов свойств, которыми функция обладать не может. Если вопрос был слишком сложный, он его упрощал до того уровня, чтобы вопрос этот можно было содержательно обсуждать. Иногда Дмитрий Евгеньевич высказывал гипотезу, рисовал графики, а я ему оппонировал или высказывал свои соображения. А вот разными техническими деталями, строгими доказательствами мы, как правило, не занимались. Это надлежало мне делать самостоятельно.
Все записи, выкладки, графики функций мы писали не на случайных листках, а в моей рабочей тетради. Это было важным преимуществом по сравнению с занятиями на кафедре у доски. Удобно было и то, что не приходилось подолгу стоять у доски.
В конце занятия иногда, где-нибудь через два раза на третий Дмитрий Евгеньевич предлагал подытожить результаты:
- Так, давайте сформулируем: чем мы сегодня занимались?
В ответ я скептически усмехался: ну возможно ли подвести краткий итог двухчасовому диалогу? В ответ он тоже усмехался, но продолжал:
- Итак, значит. Первое - мы рассмотрели то-то и то-то. Второе - мы выяснили, что то-то и то-то...
Так у него обычно набиралось 3-4 пункта. Всё это я выслушивал с недоумением. Зачем это нужно? Мне тогда невдомёк было, что делать это следовало после каждого занятия. И не выслушивать надо было все эти пункты, а записывать в тетрадь. А чтобы итог более полно и точно отражал проделанную на занятии работу, надо было уделять его
подведению больше времени, а не 1-2 минуты. К таким выводам я пришёл по собственному опыту в аспирантуре.
Удивительное дело: на лекциях или семинарах иной раз подглядываешь на часы - скоро ли пара закончится. Здесь же часы перед глазами, но как-то не думаешь, чтобы занятие скорей закончилось. Более того, мы даже перерыва никогда специально не делали. Вспоминая сейчас те занятия, я нахожу наиболее удивительным то, что Дмитрий Евгеньевич никогда не выглядел уставшим.
После нескольких занятий он попросил меня написать отчёт о наработках. Это должно было быть некое описание текущего состояния работы над курсовой: исходные определения, что могу доказать на данный момент, к каким выводам пришёл, над какими вопросами думаю в настоящий момент... Словом, всё, что можно сообщить по изучаемой теме.
- Пишите, оставляя между строчками по три строки, чтобы я мог в любом месте вставить свои замечания - объяснял Дмитрий Евгеньевич. - Пишите всё подробно, не пропускайте даже самые элементарные рассуждения. В общем, объясняйте как идиоту - усмехнулся он.
Я с готовностью взялся за дело. Объяснять я умел, как я считал. В школе приходилось работать с отстающими учениками - были раньше такие пионерские поручения.
Как сейчас помню: написал я 16 страниц в требуемом разреженном формате. Сначала шли определения и описание построений извивающихся функций с определёнными свойствами, которые строго доказывались. На последних четырёх страницах я скороговоркой пояснял, как можно обобщить уже полученные результаты, если б это понадобилось. Довольный проделанной работой, я сдал рукопись на кафедру, чтобы её затем передали Дмитрию Евгеньевичу.
Приехав к нему на очередную встречу, я ожидал положительной оценки своей работы. Случайно или нет, но именно в этот единственный раз Дмитрий Евгеньевич не сразу пропустил меня в комнату.
- Так. Вы посидите пока здесь - он указал мне на стул в коридоре. - Мне надо кое-что сделать.
Было это сказано вполне нейтральным тоном, но как-то так, что у меня сразу возникло отчётливое ощущение: сейчас мне будет разнос. Минут через пять Дмитрий Евгеньевич пригласил меня в комнату. Не успел я сесть на стул:
- Так, в общем, объяснять вы совершенно не умеете - безапелляционно заявил Дмитрий Евгеньевич. Далее он рассказал, что полностью понятны ему оказались лишь первые две страницы рукописи (там были исходные определения и тривиальные следствия), на третьей странице у него появились вопросы, непонятные места, а на чет-
вёртой странице он совсем утратил нить моей мысли и перестал читать дальше.
Далее некоторое время мы говорили на разных языках, не понимая друг друга. Суть разногласий состояла в следующем. На третьей странице рукописи я приступил к описанию построения извивающейся функции определённого типа. Для этого я придумал новый метод построения итерационного характера. Я полагал, что вполне понятно его объяснил. (В скобках замечу, что, в современных учебниках аналогичные методы построения фрактальных функций описывают примерно также. Но для проведения доказательств свойств построенных функций требуется более высокий уровень строгости при описании построения. Правда, зачастую современные авторы строгими доказательствами себя не утруждают). И что примечательно: на занятиях Дмитрий Евгеньевич тоже, казалось, вполне понимал мой метод построения. Однако в рукописи он решительно отказывался понимать мой метод без его строгой формулировки. Но как можно дать определение методу?! Можно определить какое-нибудь понятие. Ну, например: «окружностью называется множество всех точек плоскости, равноудалённых от точки, называемой её центром». Но чтобы давали определение метода - доучившись до третьего курса, я не мог припомнить таких примеров.
В результате безуспешных разъяснений, чего он хочет, Дмитрий Евгеньевич начал терять терпение. Видимо поняв, что я не смогу самостоятельно справиться с возникшей сложностью, он согласился мне это определение продиктовать. Вот только он не знал, что именно надо определить. Поэтому далее мы работали так. Дмитрий Евгеньевич задавал мне уточняющие вопросы и затем облекал мои объяснения в строго научные формулировки. Я их записывал под диктовку. Продиктовав 3-4 строчки, он задавал новые уточняющие вопросы и опять переводил их на научный язык. Иногда он поторапливал меня, чтобы я быстрее писал. Но когда в процессе определения потребовалось построить геометрический чертёж, он попросил меня сделать его с помощью линейки, чтобы получилось аккуратно. Хотя то, что я писал, было в принципе черновиком.
Получившееся определение заняло целую страницу, причём не через три пустых строчки, а «сплошняком». Подобных определений я не видел. Но показанный Дмитрием Евгеньевичем способ определения я впоследствии использовал и в курсовой работе, и в дипломной, и в первых своих статьях, и в диссертации.
Однажды на занятии Дмитрий Евгеньевич высказал предположение, что нетривиальных извивающихся функций с ограниченной вариацией не бывает. Мне не показалось это очевидным, я решил попробовать самостоятельно найти опровержение. После некоторых усилий мне показалось, что удалось построить пример извивающейся функции
ограниченной вариации. На очередном занятии в удобный момент я сообщил об этом Дмитрию Евгеньевичу.
- Построили? - Его лицо стало строгим и выражало явное сомнение. Подумав немного, он попросил меня всё подробно дома написать. Мы договорились, что на эту работу двух недель мне хватит, и продолжили занятие.
Неделю я работал, успев за это время описать метод построения моего примера функции и доказать, что у неё ограниченная вариация. А дальше -я обнаружил ошибку в своих рассуждениях. Функция даже была фрактальной (хотя я этого не знал), но не извивающейся! Это было большим разочарованием. Мне не стыдно было признаться Дмитрию Евгеньевичу в своей ошибке (все ошибаются когда-нибудь), но я-то думал, что открыл нечто интересное, уже заявил об этом... В общем, я решил не рассказывать Дмитрию Евгеньевичу о своей неудаче, пока он сам меня не спросит. Но он так и не спросил. Может, забыл.
Впоследствии выяснилось, что нетривиальных извивающихся функций ограниченной вариации действительно не существует. Это сразу следует из определения извивающихся функций и теоремы Банаха об индикатрисе.
К концу третьего курса близилось к завершению и написание моей курсовой работы. Как-то на одном из последних занятий мы обсуждали в работе какие-то технические детали. И Дмитрий Евгеньевич вдруг сказал:
- Вот это всё надо будет потом аккуратно изложить.
- Когда? - Спросил я, почувствовав некоторую странность фразы.
- Когда будем публиковать.
- Это?!
- .Зря я вам это сказал - произнёс Дмитрий Евгеньевич, чуть подумав.
В то время публикация статьи была гораздо более престижным делом, чем сейчас. Конечно, я об этом мечтал и верил, что эта мечта свершится в недалёком будущем. Но искренне считал, что всерьёз говорить о публикации моей курсовой пока нельзя. И тут Дмитрий Евгеньевич сказал такое.
Мы продолжили обсуждение. Через пару минут он:
- Да. Зря я вам это сказал.
Для него это вообще было характерно - высказать своё мнение о чём-либо, затем ещё раз подумать и подтвердить его.
Впрочем, в следующем году полученный мною в курсовой работе результат удалось существенно усилить. И впоследствии он был опубликован.
Защита курсовой работы прошла необычно. Почему-то она была назначена на позднее время. На улице было уже темно, а ведь в конце учебного года темнеет поздно. Мы на кафедре остались только трое. Дмитрию Евгеньевичу ассистировал его ученик и мой будущий научный руководитель в аспирантуре Валентин Анатольевич Скворцов. Мы стояли около небольшой плохо освещённой доски, висящей в углу обширного помещения кафедры. Атмосфера была мрачная, даже гнетущая. Однако, Дмитрий Евгеньевич, казалось, не замечал окружающей обстановки. Он всё время доброжелательно улыбался, и это сильно контрастировало с неуютным интерьером кафедры.
На защите курсовой работы речь о ней вовсе не шла. В сущности мы о ней всё время говорили на занятиях. По нынешней практике защиту курсовой вообще можно было счесть излишней. Можно было сказать просто: молодец, пять - и всё.
Но защита всё-таки была проведена. Два моих научных руководителя - настоящий и будущий -попеременно задавали мне вопросы. Вопросы были чаще такого плана: существует ли функция, обладающая одними заданными свойствами и не обладающая другими заданными свойствами. Если существует, то надо построить такую функцию; если не существует, то надо этот факт обосновать. Тем самым отслеживался процесс роста «начинающего математика», как он усваивает базовые свойства функций в их взаимозависимости. Проведённый ритуал защиты оставил у меня впечатление, что я оказался в компании фанатов математики и в этой компании я чувствовал себя своим.
Уже почти сорок лет прошло с тех пор, когда я учился у выдающегося математика и прекрасного педагога Дмитрия Евгеньевича Меньшова. Но многие детали нашего общения, дискуссии, обсуждения математических задач живо сохранились в моей памяти. Я и сейчас вспоминаю уроки, взятые мной у этого замечательного человека, переосмысливаю их с учётом нового жизненного опыта и благодарен Дмитрию Евгеньевичу за полученную математическую школу. Хочется сказать, что Дмитрий Евгеньевич Меньшов является не только гордостью Отечественной науки, но и примером для молодежи, решившей посвятить свою жизнь науке и образованию.
