Скрытые и явные пластические шарниры статически неопределимых стержневых систем в предельном состоянии Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

Проблемы теории пластичности

СКРЫТЫЕ И ЯВНЫЕ ПЛАСТИЧЕСКИЕ ШАРНИРЫ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ В ПРЕДЕЛЬНОМ СОСТОЯНИИ

М.В.БЕЛОВ, ассистп.,

А.Н. РАЕВСКИЙ, д-р техн. наук, проф.

Пензенский государственный университет архитектуры и строительства

Расчет конструкций в упругом состоянии позволяет определить лишь напряженно-деформированное состояние сооружения от различных видов воздействий, но он не дает сведений о несущей способности конструкций, т. е. о тех наибольших нагрузках, при которых конструкция разрушается. Разрушение большинства строительных конструкций связано с появлением пластических деформаций. В статически определимых конструкциях достаточно образования одного пластического шарнира для разрушения всей конструкции. Для статически неопределимых стержневых систем этого недостаточно.

С возрастанием нагрузки в статически неопределимой системе будут появляться новые пластические шарниры по мере исчерпания несущей способности сечений элементов, и тем самым будет снижаться степень ее неопределимости. Это будет происходить до тех пор, пока она вся, или ее часть не превратится в механизм.

В стержневых системах с большой степенью статической неопределимости, таких как многоэтажные многопролетные рамы, наиболее вероятно частичное разрушение, в местах явного образования пластических шарниров. При этом в части конструкции, которая остается не изменяемой, также возможно образование скрытых пластических шарниров в местах, где внутренние усилия достигли предельно допустимых значений.

В ходе расчета производились вычисления по программе «БйчмМАХ» уп-ругопластического расчета стержневых систем [1-5], разработанной на базе метода предельного равновесия в конечно-элементном виде с применением математического программирования.

Идея этого метода [2-5] состоит в разделении конструкции на простейшие элементы и узлы, составлении уравнений равновесия для них в матричной форме и объединении их в виде матрицы равновесия, формировании ограничений в виде условий прочности для элементов системы и определении функции цели, как предельно допустимой нагрузки.

Стержневая система делится на отдельные стержни (конечные элементы) с различными условиями закрепления их концов, соединенных между собой в узлах, а за узлы принимается шарнирное или жесткое их соединение и опорные сечения.

Предельную нагрузку для стержневых систем с небольшой гибкостью сжатых элементов (с гибкостью Я < 40) возможно определить методом предельного равновесия из условия прочности без учета искривленной оси стержня с использованием линейного программирования симплекс-методом, который осно-

ван на переходе от одного опорного плана к другому при увеличении значения целевой функции. Условия прочности в опасных сечениях рамы принимаются в виде

Sj<(SjId=S'J)U= 1,2,3,...,«), (1)

где Sj - предельные значения усилий в опасных сечениях, определенные с использованием геометрических параметров сечения и расчетного сопротивления арматуры Rs и бетона Rb или предела текучести Ry = ат - для металла.

В дальнейшем рассматриваются условия равновесия, и формируется статическая матрица [А], выражающая внешние силы F, через искомые усилия Sj

[A]S = F. (2)

При этом внешняя нагрузка выражается через один искомый параметр

F,=ßiF (3)

и получаем [,4]S-/?F = 0 (4)

Функция цели имеет следующий вид:

F -> шах (5)

Это и есть математическая модель задачи предельного равновесия в статической формулировке, которая представляет собой задачу выпуклого математического программирования. Эта модель соответствует статической теореме A.A. Гвоздева, сформулированной в 1936 году на Первой Всесоюзной конференции по пластическим деформациям:

Предельная нагрузка является наибольшей из всех нагрузок, при которых удовлетворяется еще условия равновесия системы и предельные условия в любом (опасном) сечении.

Произведя расчет, получаем значение предельной нагрузки Ffd из условия

прочности и значения внутренних усилий в узлах системы, предшествующих разрушению конструкции, а также определяем места образования пластических шарниров и характер деформаций системы, т. е. получаем схему разрушения конструкции. Для более гибких стержневых элементов (с гибкостью X > 40) расчет в упругопластической стадии необходимо проводить из условия устойчивости [4, 5]. Для этого необходимо учитывать значения предельного момента в опасном сечении с учетом действия продольной силы и наличия упругого ядра [формула (6)]

Mnpj = Mj = М)-\\ - Nj~l / №j)(X0J / Xj), (6)

также необходимо учитывать, что деформации и перекос стержней системы оказывают влияние на взаимосвязь поперечных сил с изгибающими моментами по концам стойки. Они связаны нелинейно с учетом действия продольной силы Nj [формула (7)]

М,/ + М ¡г , ч

Qj= J1 i'-yj)

ч

В уточненной математической модели (2) часть уравнений равновесия, являются нелинейными. Тогда в общем, виде определение предельной нагрузки рам с учетом деформированной схемы и упругопластических свойств материала представляет задачу нелинейного математического программирования. Реали-

зация приведенной математической задачи может быть выполнена и итерационным методом, удобным для применения в ПЭВМ.

Таким образом [4, 5], способом последовательных приближений решается задача упругопластического расчета с учетом потери устойчивости сжатых элементов и упругопластических свойств материала конструкций. Причем вычисления продолжаются до тех пор, пока не будет выполнено условие (8):

0. (8)

В ходе расчета определяем предельное значение нагрузки для заданной конструкции, находим распределение внутренних усилий в упругопластической стадии, предшествующих разрушению конструкции и места образования пластических шарниров, откуда получаем схему деформации (разрушения) сооружения. Такой конечно-элементный подход к расчету стержневых систем в упругопластической стадии, на базе метода предельного равновесия с применением математического программирования реализован в программе «Б1:го1МАХ».

Итак, производим упругопластический расчет двухэтажной двухпролетной металлической рамы расчетная схема, которой представлена на рис. 1, а экспериментальная модель на рис. 2.

В ходе расчета определяем параметр предельного значения критической силы и соответственно значения максимальной нагрузки в местах приложения сосредоточенных сил, внутренние усилия, предшествующие разрушению рамы, места образования пластических шарниров и задаемся предполагаемой схемой разрушения.

№

1

о"

Я

<*1

35x1,5мм оо о" Я Г 35x1мм2 Л <=> £ г -»-V- О 4Р.

35x2мм1 «ч •Я т ТК 35x1,5мм1 <ч * '// 777 3 30см

20см

20см

20см

15 см

4-

15 см

4

Рис. 1 Расчетная схема рамы Для этого разбиваем схему на конечные элементы и пронумеровываем узлы (рис. 3, а) и соединяющие их стержни (рис. 3, б). При этом узловые элементы крепления (рис. 6) также разбиваем на элементы. Заносим в программу «вйчиМАХ» координаты узлов, стержни, соединяющие узлы, с их жесткостны-ми характеристиками и соотношения между внешней нагрузкой.

Произведя расчет, получаем эпюру моментов в предельном состоянии с местами образования пластических шарниров (рис. 4) и параметр предельной

а)

7 22

Рис. 2 Экспериментальная модель рамы

I 1Р

24 14 гь

4Р

21 21 ЗР

2Ь

13

I 2Р

12 30 11

26

20

I 6Р

31

19 33 16.

I

4Р

н'т

| 20см

б)

19 20

16 15

тгт

| 20см | 20см |

15см

Л

} -1

21

22 23 24

Л

25 _26 ЗР

28

2Р

>0

29 30

18

31 32

| 6Р _2

.16,

33 34'

15

14

111111

Рис. 3 Конечно-элементная схема рамы а- с обозначением узлов, б - элементов

13 ТВ

I

4Р

I

гп

ТГ

ЭПЮРА МОМЕНТОВ

Рис. 4 Эпюра моментов в предельном состоянии с местами образования пластических шарниров в программе «БйхнМАХ»

тттттт

Рис. 5 Схема разрушения рамы

нагрузки = 12,096/ из условия прочности, и ^^ = 8,401/ с учетом устойчивости.

По полученной эпюре моментов (рис. 4) с местами образования пластических шарниров строим предполагаемую схему разрушения рамы (рис. 5).

Проводим экспериментальные исследования. Поэтапно загружаем раму однопараметрической нагрузкой, определяем перемещения системы, фиксируем схему деформации и определяем предельную нагрузку в момент предшествующий разрушению.

По расчетной схеме (рис. 1) была изготовлена стальная рама (рис. 2), элементами которой являются стальные стержни прямоугольного сечения: 35><1мм2, 35x1,5 мм2, 35x2 мм2. Длина стержней составляет 30 см и 60 см. Марка стали ст08пс по ГОСТ 16523-97 с группой прочности К270В.

Гибкие стальные элементы модели рамы были приняты специально, чтобы получить в критическом состоянии более наглядную схему деформаций. Таким образом, планировалось получить и изучить качественную картину деформирования модели в предельном состоянии с учетом устойчивости.

Рис. 6 Узловые соединения экспериментальной модели

Жесткое соединение стержней в узлах моделировалось защемлением их посредством специальных соединений (рис. 6):

1) узел, соединяющий два стержня под углом 90° (рис. 6, а), состоит из уголка 1 и крепежных пластин 2, притянутых к боковым граням уголка посредством двух болтов 3 между которыми защемляются стержневые элементы конструкции 4;

2) узел, соединяющий три стержня под углом 90° (рис. 6, б), состоит из тавра 5 и крепежных пластин 2, притянутых к граням тавра посредством двух болтов 3 между которыми защемляются стержневые элементы конструкции 4;

3) узел, соединяющий четыре стержня под углом 90° (рис. 6, в), состоит из креста б и крепежных пластин 2, притянутых к граням креста посредством двух болтов 3 между которыми защемляются стержневые элементы конструкции 4.

4) опорный узел (рис. 6, г), жестко соединяющий стержень с конструкцией стенда, состоит из уголка 1, жестко закрепленным со стендом 8 двумя саморе-

зами 7 с одной стороны и крепежной пластиной 2, притянутой двумя болтами 3, между которыми защемляется стержень рамы 4.

Все соединения легко собираются и разбираются, что дает возможность их многоразового применения.

С помощью специальных подвесок, закрепленных на ригелях, моделируется вертикальное загружение, а с помощью тросов протянутых через блоки стенда моделируется горизонтальное загружение. Рама статически загружается грузами до критического состояния. После снятия показаний индикаторов разгру-жение происходило постепенно от критического состояния до нуля.

Рис. 7 Нагруженная рама в предельном состоянии

Поэтапно производим загружение и фиксируем перемещения узловых соединений рамы (узлы 1, 4, 7, 8, 11, 14, 15, 18, 21, 23, 26, 29, 32 на рис. 3) и заносим данные в табл. 1.

На фотографии рис. 7 изображена загруженная рама критическим весом, а на фотографии рис. 8 - после снятия нагрузки с остаточными деформациями.

Рис. 8 После снятия нагрузки с остаточными деформациями

По полученным данным строим схемы перемещений в процессе нагруже-ния рамы (рис. 9) и остаточных деформаций (рис. 10).

В ходе эксперимента получаем параметр предельной нагрузки Ртах =9,81/ , что меньше расчетного значения полученного только из условия прочности на 23,3%, и больше на 14,4%, полученного с учетом устойчивости сжатых элементов. Значение предельной нагрузки близко к расчетным данным, полученным из условия устойчивости сжатых стержней рамы.

Таблица 1

Перемещения узлов рамы в ходе эксперимента

№ узла ПЕРЕМЕЩЕНИЯ

50% нагрузки 75% нагрузки 100% нагрузки остаточные

X, мм У, мм X, мм У, мм X, мм У, мм X, мм У, мм

1 0 0 0 0 0 0 0 0

4 16,5 -2,8 24,8 -3,8 39,0 -7,0 0,3 0

7 51,0 -11,2 106,1 -18 147,0 -27,0 30,0 -8,1

8 0 0 0 0 0 0 0 0

11 16,1 -2,5 24,0 -3,0 36,0 -6,5 0,2 0

14 50,5 -10,4 105,2 -17,3 142,0 -26,3 29,6 8,0

15 0 0 0 0 0 0 0 0

18 15,2 -2,0 22 -2,4 29,0 -3,5 -5,4 8,0

21 49,3 -8,1 101,5 -16,2 132,0 -25,8 29,4 8,0

23 50,5 -20,5 105,8 -34,0 145,8 -52,0 29,9 8,1

26 49,9 -14,4 103,3 -24,0 140,5 -37,0 29,5 8,0

29 16,2 -3 24,4 -3,4 37,0 -7,0 0,2 0

32 15,6 -7,5 23 -10,5 33,0 -23,0 0,1 18

1';

;' 1'

ч I

КГ

777777

II »1 »1

III NI

а

«I

«

к

I

~777777

; < '

11' ц,

///У/У

Рис. 9 Схема перемещений в процессе нагружения рамы

Проанализировав результаты расчета и опыта, получаем следующие выводы. Параметр предельной нагрузки, полученный в упругопластическом расчете только из условия прочности, ниже экспериментального на 23,3%. Из этого следует, что для стержневых систем с большой гибкостью стержней, как в экс-

периментальной модели, недостаточно, только расчета на прочность. Необходимо расчет производить из условия устойчивости для сжатых стержневых элементов большой гибкости.

Предельная нагрузка, полученная в упругопластическом расчете из условия устойчивости, превышает на 14,4% экспериментальные данные. Это возможно

л*

л*

777777

~777777

777777

Рис. 10 Схема остаточных деформаций

благодаря тому, что по ГОСТ 16523-97 временное сопротивление стали, находится в пределах от 270 до 410 МПа. Для расчета мы принимаем наименьшее значение. В реальности же оно несколько больше 270 МПа.

Схема разрушения конструкции (рис. 5), полученная вследствие расчета, совпадает со схемой остаточных деформаций (рис. 10) полученных экспериментальным путем.

Эпюра моментов в предельном состоянии (рис. 4) с максимальными усилиями в местах образования пластических шарниров показывает, что часть конструкции превратилась в кинематически изменяемую (механизм), о чем свидетельствует схема остаточных деформаций (рис. 10), а другая - лишь уменьшила степень статической неопределимости за счет образования дополнительных пластических шарниров.

Места образования всех пластических шарниров, в которых происходит исчерпание несущей способности сечений у стержневых систем с большой степенью статической неопределимости, не всегда возможно определить методом комбинированных механизмов.

Метод комбинированных механизмов выявляет только те явные пластические шарниры, по которым происходит разрушение конструкции в критическом состоянии. Скрытые же пластические шарниры, которые лишь уменьшают степень статической неопределимости, появляющиеся в местах исчерпания несущей способности сечений, можно выявить статическим способом метода предельного равновесия в конечно-элементном виде, который реализован в программе «StroiMAX» упругопластического расчета стержневых систем, разработанной в системе программирования Delphi.

Литература

1. Раевский, А.Н. Качественный анализ предельного состояния рамных каркасов по прочности с образованием пластических шарниров/ Раевский А.Н., Белов M.B.II Сборник материалов XXXII Всероссийской научно технической конференции, Часть 2: «Актуальные проблемы современного строительства», -Пенза, ПГАСА, Изд. ПГАСА, 25-27 марта 2003 г. - С. 79-80.

2. Белов, М.В. Идея метода предельного равновесия в конечно-элементной постановке задачи с использованием линейного программирования/ Белов М.В., Раевский А.Н. // Строительная механика и расчет сооружений, №1. - Москва, Изд. ООО «Градация П», 2005 г. - С. 61 - 65.

3. Белов, М.В. Метод расчета стержневых систем в упругопластической стадии в конечно-элементном представлении из условия прочности// Труды XXI Международной конференции, СПб. 4-7 октября 2005 г., Том 2: «Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов». - СПб: ВВМ, 2006г. - С. 73-79.

4. Белов, М.В. Конечно-элементная постановка задачи упругопластическо-го расчета стержневых систем с учетом прочности и устойчивости// Вестник Евразийского национального университета им. Л.Н. Гумилева. Серия естественных и технических наук. - № 4 (50). - Астана: ЕНУ, 2006 г. - С. 82-89.

5. Белов, М.В. Конечно-элементное представление расчета стержневых систем в предельном состоянии с образованием пластических шарниров из условий прочности и устойчивости// Материалы Международной научно- технической конференции: «ИНТЕРСТРОЙМЕХ 2006». - М.: МГСУ, 19-22 сентября 2006 г.-С. 153-159.

THE HIDDEN AND EXPLICIT PLASTIC ROTATING JOINTS OF STATICALLY INDEFINABLE ROD SYSTEMS IN THE LIMITING STATE

Belov M. V., RaevskyA.N.

Calculation of statically indefinable steel frame is produced in an elasto-plastic stage with experimental researches. The mechanics of origin of plastic rotating joints is explored in the limiting state. The scheme of deformation of the experimental model is analyzed.