CC BY
22
Мунерман В.И.,
Смоленский государственный университет
vimoon@gmail.com
Сенчилов В.В.,
Смоленский государственный университет
wsen@gmail.com
Синицын И.Н.
ИПИ РАН sinitsin@dol.ru
Системы компьютерной математики как средство формирования детерминированного и стохастического
воображения у учащихся
За последнее десятилетие компьютер, как средство коммуникации, приобретает все большее значение, а овладение им хотя бы на уровне пользователя, становится одним из условий эффективного участия в социальной жизни.
Особенно необходим компьютер для обучения учащихся и должен занять в данном процессе достойное место.
С введением курса информатики неоднократно производились попытки внедрения компьютера в процесс обучения другим предметам. Первоначально для этой цели использовались простые тренажеры, зачастую созданные школьниками этой же школы под руководством учителя информатики в лучшем случае при участии энтузиаста-предметника. Как правило, попытки внедрения компьютера в процесс обучения проваливались довольно быстро из-за несовершенства программного продукта, организационных сложностей, связанных с загруженностью компьютерного класса и неподготовленностью предметника к самостоятельной работе в компьютерном классе.
Появление программно-методических комплексов психологически несколько сдвинули процесс внедрения информационных технологий в образование, но в силу организационно-методических сложностей не привело к ожидаемой цели. Сегодня же наблюдается возрастающий интерес учителей-предметников к использованию информационных технологий в обучении. В современной школе компьютер все шире используется не только на уроках информатики, но и на уроках математики, химии, биологии, русского языка, литературы, изобразительного искусства, иностранного языка, а достоинства и недостатки применения информационных и телекоммуникационных
технологий в школьном образовании широко обсуждаются на страницах практически всех методических журналов и газет. При этом каждому учителю, безусловно, очевидна целесообразность применения компьютеров для обучения, как на начальном этапе обучения, так и в среднем и старшем звеньях школы. Богатейшие возможности представления информации на компьютере позволяют изменять и неограниченно обогащать содержание образования; выполнение любого задания, упражнения с помощью компьютера создает возможность для повышения интенсивности урока; использование вариативного материала и различных режимов работы способствует индивидуализации обучения.
Значительное место в системе формирования интеллектуальной и творческой личности обучающегося отводится изучению математики как дисциплины, обладающей огромным гуманитарным и мировоззренческим потенциалом.
В настоящее время можно выделить более десятка примеров программных средств обработки математических данных, однако недостатки большинства из них привели к тому, что наиболее популярными для учащихся и преподавателей являются следующие:
• системы компьютерной математики MathCAD, Maple, MatLab (поскольку эти математические пакеты являются автоматизированными системами для динамической обработки данных в числовом и аналитическом виде, поэтому они значительно облегчают решение сложных математических задач, их грамотное применение в учебном процессе обеспечивает повышение фундаментальности математического и технического образования, содействует подлинной интеграции процесса образования, а новые версии систем позволяют готовить электронные уроки и книги с применением новейших средств мультимедиа, включая гипертекстовые и гипермедиа-ссылки, анимированные графики различной степени сложности, фрагменты видеофильмов и звуковое сопровождение);
• табличный процессор MS Excel (может быть использован как средство для построения диаграмм, описывающих динамику изучаемых процессов, как инструмент для экспериментирования, что формирует у ученика умение находить оптимальное решение, возможность выражать решение уравнений в графической и аналитической форме, умение отыскивать целочисленные решения; используя MS Excel, ученик приобретает навыки построения графиков по заданным значениям x и y, исследования схемы построения числовых последовательностей, анализа статистических данных);
• электронный учебник-справочник «Планиметрия» (считается одним из первых программных средств для изучения математики на компьютере, причем от большинства других компьютерных обучающих программ «Планиметрия» отличается полнотой изложения курса геометрии, функциональностью, минимальной условностью подачи материала);
• программа «Живая математика» (компьютерная система интерактивного моделирования, исследования и анализа широкого круга задач при изучении геометрии, стереометрии, алгебры, тригонометрии, математического анализа, является эффективным средством для широкого спектра пользователей от учеников 1 класса до студентов вуза, хотя в основном она рассчитана на поддержку школьного курса геометрии и алгебры).
Однако необходимо отметить, что для изучения школьного курса математики наиболее подходящим средством является именно система «Живая математика». Системы компьютерной математики MathCAD, Maple, MatLab являются достаточно дорогостоящими. Для использования табличного процессора MS Excel учащиеся должны иметь некоторый базовый уровень необходимых знаний. «Планиметрия» трудна для первичного изучения математики из-за широкого использования теоретико-множественных понятий и символов, что, безусловно, связано с системой аксиом, которую выбрали авторы в качестве базовой для своего учебника.
Очевидно, что для достижения высокого уровня математической подготовки учащихся необходимо обеспечить возможность приобретения ими фундаментальных знаний, развития воображения, стремления к самостоятельному изучению нового материала. Однако результаты единого государственного экзамена по математике показывают, что уровень знаний и умений школьников является достаточно низким, причем достаточно серьезные проблемы учащиеся испытывают при решении геометрических задач, а многие ученики вовсе не приступают к решению подобных заданий.
Малое количество наглядных примеров приводит к тому, что в 10 классе, начиная изучать новый раздел геометрии - стереометрию, ученики, имевшие дело в 7-9 классах с геометрией на плоскости, испытывают серьезные затруднения при переходе из плоскости в пространство. «Лишнее» измерение создает особенные сложности уже в начале изучения стереометрии, когда учащиеся сталкиваются с необходимостью представить себе столь абстрактные понятия, как бесконечно протяженные прямая и плоскость в пространстве, которым посвящено большинство теорем и задач курса 10 класса. Причем понятие прямой на плоскости, которое школьники изучили еще в седьмом классе, практически не позволяет упростить сложность восприятия схожего объекта с дополнительным свойством.
Второе затрудняющее школьников обстоятельство - как подойти к доказательству теоремы или решению зачастую весьма абстрактной задачи. А проблема учителей - как научить школьников находить нужный подход. Дело в том, что хотя геометрическое, пространственное воображение присуще некоторым школьникам, но таких не так уж много.
Большинству школьников требуется помощь в развитии умения представлять и изображать стандартные стереометрические конфигурации, их приходится как-то обучать геометрическому видению -пониманию теорем и условий задач, сформулированных словесно.
Усиление логической составляющей курса геометрии, стремление построить курс на строго дедуктивной основе привело к тому, что проблема развития пространственного мышления отошла на дальний план, что отрицательно отразилось на результатах обучения геометрии и, в первую очередь, стереометрии.
Процесс формирования и развития пространственных представлений характеризуется умением мысленно конструировать пространственные образы или схематические конфигурации изучаемых объектов и выполнять над ними мыслительные операции, соответствующие тем, которые должны быть выполнены над самими объектами.
Очевидно, что проблема наглядности, связанная с тем, что изображения даже простейших стереометрических фигур, выполненные в тетрадях или на доске, как правило, содержат большие погрешности, является одной из основных проблем при изучении стереометрии. Чтобы сделать восприятие материала более легким учителя часто используют такие наглядные пособия на уроках геометрии, как модели параллелепипеда, пирамиды, правильных многогранников, которые можно найти в большинстве кабинетов математики. При этом чаще всего такие модели используются с чисто иллюстративной целью: все, что с ними можно делать - это разглядывать с разных сторон. Однако запастись моделями для всего разнообразия решаемых на уроках задач невозможно.
Использование при изучении стереометрии вещественных моделей для показа взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве необходимо, но недостаточно. Во-первых, не всегда просто показать расположение объектов внутри геометрических тел; во-вторых, невозможно проследить динамику построений; в-третьих, переход от вещественной пространственной модели к ее изображению на плоском чертеже затруднен для учащихся. Отсюда повышенный интерес к виртуальному трехмерному моделированию и его применениям в школе.
Визуальное представление определений, формул, теорем и их доказательств, качественных чертежей к геометрическим задачам, предъявление подвижных зрительных образов в качестве основы для осознанного овладения научными фактами обеспечивает эффективное усвоение учащимися новых знаний и умений.
В современной школе многие учителя математики имеют некоторые навыки применения новых информационных технологий на уроках и при подготовке к ним. Подготовить к уроку материал, иллюстрирующий доказательство теоремы или решение задачи в трехмерном пространстве, можно такими распространенными программными средствами, как, например, MS PowerPoint. Однако их применение для подобных целей
требует от пользователя не только высокого уровня знаний и навыков работы с системой, но и умения обеспечить выполнение дидактических целей занятия. Кроме того, при создании таких проектов учитель должен самостоятельно следить не только за соблюдением необходимых технических требований при построении тех или иных линий в чертеже, но и за его соответствием условию поставленной задачи.
Справиться со многими такими проблемами помогает программа «Живая математика». Поскольку в основе системы программный инструмент фирмы Key Curriculum «Geometers Sketchpad», поэтому «Живая математика» наиболее часто применяется для иллюстрации именно геометрических элементов. Кроме того, пакет Geometer's Sketchpad дополняют разработки Института новых технологий - компьютерные альбомы, задачники, примеры использования программы, а также печатные методические материалы.
Являясь достаточно простой в освоении, рассматриваемая компьютерная проектная среда позволяет создавать красочные, легко варьируемые и редактируемые чертежи, осуществлять операции над ними, а также проводить измерения геометрических величин. Использование программы в преподавании геометрии обеспечивает развитие деятельности учащегося по таким направлениям, как анализ, исследование, построение, доказательство, решение задач, головоломок и даже рисование.
Кроме того, работа в такой «квазитрехмерной среде» отлично развивает пространственное воображение. Появляется возможность по-новому ставить и решать задачи на построение в пространстве, причем проверка правильности решения обеспечивается самой возможностью взглянуть на конструкцию с разных сторон. Да и другие виды задач и методы их решения при переносе на интерактивные модели получают новое качество, в первую очередь следует отметить задачи на метод проекций.
Преподаватель, располагающий компьютером, мультимедийным проектором и экраном, имеет возможность интенсифицировать процесс обучения, сделать его более наглядным и динамичным. При помощи программы «Живая математика» можно легко строить сечения в прямоугольном параллелепипеде и в тетраэдре, на которые при ручном построении тратится немало времени. В процессе работы можно вращать многогранник для лучшего представления сечения. Ученики начинают лучше понимать отличие скрещивающихся прямых от пересекающихся, отличать видимые точки пересечения от настоящих точек пересечения.
Рассмотрим простую задачу с построением сечения методом следов в прямоугольном параллелепипеде. Дан прямоугольный параллелепипед. Построить сечение параллелепипеда, проходящее через след а и точку Р (рис. 1).
й'3*4-1
Овгтрп?мч« свчвмич прчтмы по чго г^чду • основана н точке Р Ш-11
к_лГ
Рис. 1. Исходная модель При построении можно провести ортогональные проекции точек на боковых гранях, а также включить в любой момент вращение конструкции вокруг одной или нескольких осей чтобы, выбрав новый ракурс изображения, проверить правильность выполненных построений (рис. 2).
Рис. 2. Итоговая модель
Современная трехмерная графика позволяет создавать модели достаточно сложных геометрических фигур и их комбинации, вращать их на экране, выбирать удобное для решения положение фигур, освещать и выделять нужные объекты.
Иллюстрациями качественных утверждений служат подвижные чертежи, позволяющие работать со всеми объектами, составляющими конфигурации, используемые в формулировках. Иногда такие чертежи содержат некоторые значения численных характеристик, если последние подтверждают справедливость качественных утверждений. Перемещая
элементы чертежа, учащийся может убедиться в истинности утверждений, при этом учитель имеет возможность контролировать понимание формулировок: задавать вопросы о существенности условий, просить ученика точно формулировать его наблюдения.
Использование данной программы позволяет сделать процесс обучения интересным и наглядным, развивает творческую деятельность учащихся, их абстрактное и логическое мышление.
Среда «Живая математика» представляет собой электронный аналог готовальни, разумеется, с дополнительными возможностями, например, таким как создание своеобразных геометрических "мультфильмов".
Следует отметить, что сама среда не является обучающей и "сама ничего не делает", - все чертежи в ней создаются пользователем, а программа лишь предоставляет для этого необходимые средства, так же как и возможности для усовершенствования чертежей и их исследования.
Для создания чертежей используются такие стандартные геометрические операции, как проведение прямой (луча, отрезка) через две точки, построение окружности по заданному центру и точке на окружности (или по заданным центру и радиусу), биссектрисы угла, середины отрезка, проведение перпендикулярных и параллельных прямых, фиксация пересечения прямых, окружностей, прямой и окружности.
Имеется хорошо развитая система измерений длин, углов, площадей, периметров, отношений с достаточно большой точностью, которая легко регулируется.
Имеющаяся система преобразований позволяет производить над объектами такие операции как отражение, растяжение, сдвиги, повороты. А главное, во время работы с «Живой математикой» пользователь может взять точку на созданном чертеже и переместить ее по предписанной траектории. При этом изменяется длина, форма линий, то есть первоначальное изображение принимает совсем иные формы. И ощущение от этого совсем иные, чем при разглядывании статистического чертежа!
Таким образом, одно из главных достоинств «Живой геометрии» -возможность непрерывно менять объекты, что создает предпосылки для развития компьютерного эксперимента.
Орнаменты и рисунки самая увлекательная и творчески развивающая часть программы. Здесь ученику приходится применять все свои умения и навыки в построении геометрических фигур для создания красивых узоров. Самыми интересными являются задания, где требуется придумать свои узоры. Здесь каждому ученику представляется возможность показать свои способности.
Эта обучающая программа может использоваться при изучении математики по любым учебникам, в любом классе позволяя учителю продемонстрировать изучаемый материал.
Пакет «Живая математика» позволяет не только изучать основные геометрические объекты и их свойства, создавать интерактивные чертежи,
а также выполнять различные измерения. Кроме того, она лучше развивает понимание при формулировании теорем и последующего их доказательства. С помощью программы можно также найти примеры, ручной поиск которых занял бы много времени или же просто невозможен.
Выделим основные достоинства программы "Живая математика" для процесса обучения:
• развивает навыки самостоятельного мышления;
• формирует положительное и ответственное отношение к учебе, прослеживается рост успеваемости;
• повышается самооценка учащегося, самокритичность;
• появляется заинтересованность и потребность в получении дополнительных знаний;
• раскрывается интерес к научной деятельности, что является существенным достижением в период значительного спада интереса к математике;
• высокий эстетический уровень оформления работ, делает изучение математики привлекательным.
Следовательно, программа «Живая математика» представляет собой уникальный продукт, позволяющий строить современный компьютерный чертеж, который легко идентифицируется с традиционным, но в отличие от него программный чертёж можно тиражировать, деформировать, перемещать и видоизменять, элементы чертежа легко измерить компьютерными средствами, а результаты этих измерений допускают дальнейшую компьютерную обработку. Именно динамический, визуальный метод «Живой математики» позволяет младшим ученикам приобретать необходимый опыт манипуляции математическими объектами. С помощью Sketchpad учащиеся могут создать объект, а затем изучить его математические свойства, просто перемещая объект мышью. Все математические отношения, заложенные при построении, сохраняются, позволяя ученикам изучить целый комплекс аналогичных случаев за несколько секунд. Такой стиль работы, как отмечают психологи, подводит учащихсяих к обобщениям самым естественным путем. Sketchpad помогает процессу открытия, при котором даже студенты сначала представляют себе и анализирует проблему, и затем делают предположения, прежде, чем попытаются доказать.
В задачах динамической обработки данных широкое применение нашли различные вероятностно-статистические методы. Успех в их усвоении и практической реализации во многом зависит от того, как рано учащийся познакомится с вероятностно-статистическими подходами, например, описанными в [4, 5]. Поэтому формирование как "ансамблевого" воображения, так и "фильтрационного" воображения имеет фундаментальное значение для понимания основ современной стохастической информатики.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 10-07-00021).
Литература
1. Высоцкий И.Р. Единый государственный экзамен. Универсальные материалы для подготовки учащихся. Математика. Под редакцией Семенова А.Л., Ященко И.В. / ФИПИ - М.: Интеллект-Центр, 2010. 96с.
2. Дубровский В.Н. Стереометрия с компьютером // Компьютерные инструменты в образовании, 2003. № 6. С. 3-11.
3. Рязановский А.Р., Мирошин В.В. Математика, решение задач повышенной сложности. М.: Интеллект-Центр, 2007. 480с.
4. Синицын И.Н., Корепанов Э.Р., Белоусов В.В., Шоргин В.С., Макаренкова И.В., Конашенкова Т.Д., Агафонов Е.С., Семендяев Н.Н. Развитие компьютерной поддержки статистических исследований систем высокой точности и доступности // Системы и средства информатики, 2011. Вып. 21. № 1. С. 7-37.
5. Синицын И.Н. Канонические представления случайных функций и их применение в задачах компьютерной поддержки научных исследований. М.: ТОРУС ПРЕСС, 2009. 768 с.
