CC BY
153
Шабанова М.В.
Северный (Арктический) федеральный университет имени М.В. Ломоносова, д.п.н., профессор, заведующая кафедрой методики преподавания математики,
m. shabanova@narfu. ru
Системы динамической геометрии в обучении математике: проблемы и пути их решения
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА:
Системы динамической геометрии, динамические листы визуальное мышление, стиль математического мышления, уровень интерактивности,уровень геометрической подготовки.
АННОТАЦИЯ:
Системы динамической геометрии (DGS) и динамические листы (Dynamic Worksheets), разработанные на их основе, завоевывают все большую популярность в математическом образовании. Они открывают дорогу исследовательскому подходу в обучении, делая доступным его применение к учащимся разного уровня геометрической подготовки. Вместе с тем многочисленные эксперименты, проведенные учеными разных стран, показывают, что применение этих программных продуктов существенно меняет модель исследовательского поведения участников образовательного процесса (учителей и учащихся). Эти изменения столь значительны, что вызывают опасения - не теряет ли математическое образование больше, чем приобретает при переходе от обучения посредством карандаша и бумаги к обучению с использованием компьютера.
В статье раскрыто содержание наиболее очевидных проблем математического образования с DGS и Dynamic Worksheets: «экспериментально-теоретический разрыв» в учебном математическом познании, проблема развития визуального мышления учащихся, проблема определения оптимального уровня интерактивности при использовании динамических листов адаптированных к возможностям учащихся. А также представлены некоторые из возможных путей решения этих проблем.
Система динамической геометрии (DGS - dynamic geometry software) -это программный продукт научного и образовательного назначения, позволяющий создавать динамические изображения математических объектов и использовать эти изображения для исследования их свойств.
Первая из таких сред Cabri Géomètre была создана во Франции в 1986 году на основе обобщения возможностей программы Cahier de B Rouillon
Informatique (по-русски, «Черновик для информатики») группой студентов под руководством Жан-Мари Лаборде. Практически сразу вслед за ней в 1989 году в США появился аналогичный программный продукт The Geometer's Sketchpad (по-русски, «Блокнот Геометра»). Его создателем стал Николас Джакей.
Первые же попытки использования этих программных продуктов в обучении математике не только продемонстрировали богатство открывшихся образовательных возможностей, но и выявили ряд проблем, которые стали предметом бурной дискуссии в математическом сообществе. В США, Канаде, Англии, Франции и ряде других стран пик обсуждения этих проблем пришелся на период между 1990 и 2000 годами. Свидетельством этого является всплеск публикационной активности, приходящийся на этот период. Не утихают эти споры и сегодня.
Что же так взволновала математическую общественность?
Во-первых, это эффекты, к появлению которых привела реализация в массовой школе идеи исследовательского обучения математике с использованием DGS и динамических листов в качестве средства проведения разведки, эвристики и проверки гипотез.
Эффект 1. Изменение стиля математического мышления учителей и учащихся.
В отношении учителей математики этот эффект был зафиксирован исследованиями из Израиля R. Leikin и D.Grossman [1]. Они обследовали две группы учителей (различающихся тем, что одни используют DGS в практике своей работы, а другие нет) на предмет готовности к преобразованию задач на доказательство в исследовательские. Оказалось, что подходы к оставлению задач у учителей этих групп принципиально различны. Стиль учителей первой группы можно назвать экспериментальным (они вносят изменения в данные и смотрят, к чему эти изменения приведут; цели исследования, которые они определяют нечеткие или вовсе отсутствуют). Стиль учителей второй группы можно назвать теоретическим (они анализируют взаимосвязи свойств, вносят лишь те изменения в данные, которые приведут к заранее спрогнозированным изменениям, требования составленных ими задач более четкие).
Со сходными проявлениями в изменении стиля математического мышления у учителей мы столкнулись и в своих исследованиях, работая с учителями пилотных площадок проекта «Методики и информационные технологии в образовании (MITE)». Мы предложили группе учителей весьма простую серию задач на нахождение геометрического места точек: «Найти внутри а) ромба; б) параллелограмма; в) равнобедренной трапеции; г) дельтоида точки сумма расстояний от которых до прямых, содержащих стороны этого четырехугольника, наименьшая». Мы попросили учителей решать эту задачу без использования DGS. Однако, поиск, который они проводили, даже в простейших ситуациях (ромба и параллелограмма) был
экспериментальным. Они ставили точки и проводили перпендикуляры, чтобы увидеть, как зависят их длины от места положения точек. Получив нужный результат, они не делали попыток обосновать его теоретически, а переходили к решению следующей части задачи, где все повторялось.
Постановка перед учащимися экспериментальных классов той же серии задач показала, что у большинства из них также преобладает тяга к экспериментальной поисковой деятельности. Лишь один из испытуемых сразу заявил об устойчивости суммы расстояний, по отношению к положению точки внутри параллелограмма (и ромба, как его разновидности). При этом он ссылался на теоретический факт (равенства длин перпендикуляров, заключенных между параллельными прямыми), а не на экспериментальные пробы.
Такое влияние DGS может привести к тому, что выпускники школ утратят способность к применению таких важных составляющих стиля математического мышления как эвристик теоретического поиска: как анализ в форме расчленения, восходящий анализ, аналитико-синтетический метод, метод аналогии и т.п. [2, 3, 4, 5].
Эффект 2. Отказ учащихся и учителей от обращения к дедуктивному доказательству как к методу обоснования теоретических положений школьного курса математики из-за высокой степени убедительности наглядных демонстраций, создаваемых средствами DGS. Появление этого эффекта связано с целым комплексом причин, сопутствующих введению DGS. В Российской системе образования это: сокращение учебного времени, отводимого на изучение математики в школе, перенос акцентов в обучении доказательствам в школе с освоения системологии науки на развитие способности к ведению дискуссии, к оценке правдоподобия получаемой информации; снижение требования к строгости решения задач с развернутым ответом с ЕГЭ и ГИА по математике. За рубежом - это приоритет культурологический подхода в обучении геометрии, низкий уровень учебной мотивации большинства учащихся государственных школ.
Это явление не прошло незамеченным в западных системах образования. Для того, чтобы урегулировать вопрос соотношения дедуктивных методов и компьютерных экспериментов в обучении математике в стандарты школьной математики, утверждаемые национальным советом учителей математики США и Канады в 2000 году были внесены соответствующие дополнения. Аналогичная мера была предпринята годом раньше и департаментом образования и занятости Великобритании. Этими документами сегодня зафиксирована обязательность обучения доказательству на всех уровнях математического образования. Перенесен акцент с реализации дедуктивными методами функции установления истинности утверждений, на реализацию других функций: объяснение, систематизация, вывод новых утверждений, демонстрация связей утверждений, построение теорий, коммуникации и
др.
Сформулированы требования к результатам обучения математике на второй ступени:
«Учащиеся должны уметь:
• признавать рассуждения и доказательства, как фундаментальные аспекты математики;
• формулировать и исследовать математические гипотезы;
• выдвигать и оценивать математические аргументы и строить доказательства;
• выбирать и использовать различные типы мышления и методы доказательства» [6].
Ученые отреагировали на возникновения данной ситуации разработкой методик использования DGS в качестве средства обучения доказательству. Описание одной из таких методик мы нашли в статье испанских ученых R. Marrades и A. Gutierrez [7]. Ее суть состоит в использовании деятельности в DGS как мотивационной основы обращения к дедуктивным методам:
- постановка перед учащимися задач на построение в DGS и исследование, которые не могут быть решены без обращения к теоретическим фактам;
- постановка перед учащимися исследовательских задач, компьютерное решение которых приводит учащихся к различным результатам;
- предъявление к учащимся требований обосновывать правильность построений, объяснять экспериментально установленные факты.
Знаниевую основу обучения доказательствам при этом составлял электронный каталог «Принятых результатов», который учащиеся дополняли в ходе обучения и к которому они обращались при проведении дедуктивных рассуждений.
Экспериментальная апробация данной методики осуществлялась в математических классах. Авторами было признано, что 30 часовой период обучения с 2 уроками в неделю не достаточен для формирования умений доказывать даже для учащихся с хорошим уровнем математической подготовки. Обучение доказательству это длительный процесс, особенно при переносе методики в массовую школу.
Предлагаемый нами подход по идейным основам во многом сходен с подходом, который предложен испанскими учеными. Однако он ориентирован на массовую школу и согласован с логикой изучения программного материала курса геометрии основной школы. Так же как и испанские коллеги, мы предлагаем начать с предоставления учащимся права использовать контрольные компьютерные эксперименты как методы оправдания (предварительной проверки) выдвинутых гипотез. Но, это период мы ограничивает изучением первой темы курса геометрии основной школы «Начальные геометрические сведения». В этот период
необходимо особо обращать внимания учащихся на ситуации, когда результаты эксперимента вступают в противоречие с очевидными фактами из-за наличия погрешностей в измерении, неадекватной работы динамической модель, ошибок в ее создании. Изучение тем «Треугольники», «Параллельные прямые» и «Соотношения между сторонами и углами треугольника» создают условия для введения требований логического контроля правильности построения динамического чертежа, так как его создание опирается на правила построения циркулем и линейкой. Обоснование этих правил включено в содержание данных тем. Задача второго этапа - не только формирование привычки подкреплять свои конструктивные действия ссылкой на положения теории, но и накапливать представления о механизмах взаимосвязи свойств, которые пока имеют смысл причинно-следственных, а не логических. В содержание этих тем входят также теоремы о существовании и единственности, конструктивное доказательство которых может быть использовано в качестве мотива отказа (пока для некоторых случаев) от подтверждения фактов компьютерным экспериментов. Динамические листы, созданные средствами DGS, являются хорошим подспорьем для овладения техникой дедуктивных доказательств. Они позволяют визуализировать процесс умозаключений в том случае, если он предполагает проведение мысленных экспериментов, реконструкцию образов, признание тех или иных наборов элементов чертежа как значимых для осуществления логического шага.
Эффект 3. Утрата навыков визуального мышления при постоянном обращении к динамическим листам с готовыми чертежами как к средству постановки и сопровождения решения задач.
Термин «визуальное мышление» был введен в научный оборот американским психологом Рудольфом Арнхеймом в 1969 году [8], для обозначения невербального (не языкового) мышления, в которое состоит в управляемом получении информации от зрительных каналов восприятия. Ему удалось существенно расширить научные представления об участии образов в познании, показав существенность различий между понятиями «смотреть» и «видеть». Он раскрыл особенности визуальных (зрительных) операций мышления тем самым положил начало новому направлению в исследовании образов, объясняющем, в частности, такие феномены как «геометрическое видение» и «интуиция». К числу наиболее значимых для процесса познания визуальных операций мышления он относит: подбор зрительных образов, варьирование их структуры, перекодирование, оценка и переоценка значимости свойств образов; выявление скрытых составляющих образов. Очень часто динамические листы используются в качестве уникального средства, облегчающего учащимся геометрическое видение. Особенно часто такое использованием они находят при обучении стереометрии. В отношении такого использования DGS сложились две [9], [10]:
- привлечение DGS к учебному процессу столь же вредно для развития воображения и визуального мышления, как и использование калькуляторов для формирования у них вычислительных навыков;
- DGS является уникальным средством активизации и развития компонентов визуального мышления, существенно обогащает спектр эвристик, доступных учащимся.
В целях снижения опасности проявления данного эффекта в практике учебной работы необходимо снижать, насколько это возможно, частоту использования готовых динамических изображений, так как сама деятельность по их созданию обладает развивающим эффектом. Этот эффект может быть еще и усилен за счет постановки развивающих задач решаемых средствами DGS, а также использования в обучении математике методов решения задач, основанных на преобразовании образов («выход в пространство», «метод проекций», «метод вспомогательных построений», «метод геометрических преобразований» и т.п.).
Эффект 4. Утрата процессом обучения с использованием DGS своего главного преимущества - исследовательского характера при замене работы DGS работой с динамическими листами, адаптированными к уровню компьютерной и математической подготовки учащихся.
Одним из терминов, которые наиболее часто используются на практике для обозначения систем динамической геометрии, является термин «интерактивная геометрическая среда». Его использование призвано подчеркнуть, что программные продукты этого класса обладают уникальными возможностями для обеспечения активного взаимодействия пользователя с контентом (т.е. наивысшим исследовательским уровнем интерактивности по шкале А.В.Осина [11]). Ориентируясь на принятую шкалу интерактивности, мы классифицировали динамические листы, используемые в практике учебной работы (таблица 1).
Таблица 1. Классификация ЭОР, разработанных на основе DGS по уровням
интерактивности
Виды ЭОР, разработанные на основе DGS Доступные средства взаимодействия с программой Уровни интерактивности пользователя (по расширенной классификации А.В. Осина)
Анимированны е изображения Средства запуска/остановки 0 уровень - пассивные формы деятельности (наблюдение контента)
Линейные манипуляторы Средства линейной навигации по контенту: ползунок, флажок. 1 уровень - условно-пассивные формы деятельности (определение продолжительности наблюдения элементов контента, выбор значимых элементов).
Нелинейные манипуляторы Средства нелинейной навигации по контенту: набор ползунков, флажков, 2 уровень - активные формы деятельности (3D навигация, нелинейная навигация, множественный выбор, масштабирование, изменение угла,
активных клавиш. точки зрения).
Апплеты Ограниченный набор инструментов среды, невозможность экспорта и импорта элементов контента. 3 уровень - деятельностные формы (имитация свободы действий пользователя в выборе целей, планирования и осуществления деятельности с предопределенным результатом проявления этой свободы за счет ограниченности условий осуществления деятельности)
Динамические чертежи -заготовки Контент среды, дополненный готовой исследовательской моделью 4.1 уровень - исследовательские формы деятельности, ограниченные свойствами предложенной виртуальной модели
Система динамической геометрии Контент среды 4.2 уровень - исследовательские формы деятельности без ограничений.
Эту классификацию мы использовали для проведения анализа комплектов ЭОР, предлагаемых различными авторами (таблица 2). Его результаты показывают, что практически никто из них не предполагает предоставления учащимся возможности использования самих систем динамической геометрии в качестве инструмента учебной деятельности.
Таблица 2. Результаты анализа коллекций ЭОР, предлагаемых разными авторами для поддержки изучения курса геометрии 7-9 по учебнику Л.С. Атанасяна.
Коллекции ЭОР Уровни интерактивности
0 1 2 3 4.1 4.2
И.С.Храповицкий + + + - - -
В.Н.Дубровский - - - + - -
В.И.Рыжик + + + + + -
Дистанционные курсы Центра образования «Технологии образования» + + +
Т.Ф.Сергеева и др. + - - + + +
Такие ограничения они объясняют необходимостью снижения временных затрат, связанных с освоением самого программного продукта, а также тем, что построение собственных динамических чертежей доступно не всем учащимся из-за недостаточного уровня геометрической подготовки. Эти доводы неоспоримы, однако нельзя забывать того, что использование в учебном процессе динамических листов низкого уровня интерактивности нивелирует саму идею создания DGS. Нам видится, что правильнее было бы решать вопрос не о выработке единых требований к уровню интерактивности динамических листов, а о предоставлении участникам образовательного процесса права самостоятельно принимать решение, о том, какое средство им использовать в той или иной ситуации.
При этом, конечно потребуется разработка рекомендаций по постепенному переводу учащихся на обучение с использованием средств более высокого уровень интерактивности, по мере роста уровня их компетентности.
В нашей стране острота обсуждения представленных в статье проблем только нарастает. Пока участниками подобных дискуссий являются лишь члены исследовательских групп, занимающихся разработкой концептуальных основ применения DGS («Математический конструктор», «Живая математика», «GeoGebra») для реализации требования ФГОС общего образования [12]. Введение их в действие не за горами. Тогда представленные нами проблемы буду касаться всех участником образовательного процесса: работников учреждений управления образованием, авторов учебно-методических комплексов по математике, учителей, учащихся и их родителей. Хотелось бы, подойти к этому моменту уже подготовленными, вооруженными знаниями об условиях и способах эффективного использования этого мощного программного продукта. Для этого очень важно не только заниматься совершенствованием самих DGS, но и вносить соответствующие изменения в содержание обучения математике, особенно в те учебные материалы, которые должны представить учащимся образцы математической деятельности.
Решение этой задачи осложнено тем, что в математическом сообществе пока не сложилось единого взгляда условия привлечения информационных технологий к научной деятельности (Вавилов Н.А. [13], Матиясевич Ю.В.[14]).
Литература
1. R.Leikin, D.Grossman Teachers modify geometry problems: from proof to investigation // Educ. Stud. Math. 82, No. 3, 515-531 (2013)
2. Д.Пойя Как решать задачу. Пособие для учителей/ Пер. с англ. В.Звонарёвой и Д.Белла; Под ред. Ю.Гайдука. — Изд. 2-е. — М.: Учпедгиз, 1961. — 207 с.
3. Д.Пойя Математика и правдоподобные рассуждения/ пер. с англ. И.А.Вайнштейна -М.Наука, 1975 - 464 с.
4. Д.Пойя Математическое открытие/ Пер. с англ. Бермана В.С. М. Наука. 1970г. 452с
5. Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи. - М.: Просвещение, 1989. - 192 с
6. Principles and standards for school mathematics, NCTM, 2000[электр. ресурс, точка доступа: http://mathforum.org/nctm.standards.2000/, проверено 30.10.13]
7. Marrades, R., Gutierrez, A. Proofs produced by secondary school students learning geometry in a dynamic computer environment/ International Journal of Computers for Mathematical Learning, 6, 257-281. (2000).
8. Arnheim R. Visual thinking. Berkley: Univ. of California Press, 1969
9. Straesser, R. Cabri-géomètre: Does Dynamic Geometry software (DGS) change geometry and its teaching and learning?// International Journal of Computers for Mathematical Learning, 2001, № 6, 319-333.
10. Parzysz, B. "Knowing" vs. "seeing": Problems of the plane representation of space geometry figures // Educational Studies in Mathematics, 1988, № 19(1), 79-92
11. Осин А.В. Открытые образовательные модульные мультимедиа системы - Москва: Агентство "Издательский сервис", 2010. - 328 с
12. Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования [электр. ресурс, точка доступа: http : //standart. edu.ru/].
13. Вавилов Н.А. Что доказывает математическое доказательство?// Доклад на совместном заседании Санкт-Петербургского математического общества и секции математики Дома ученых 23 марта 2010 года [электр. ресурс, http://www.mathnet.ru/].
14. Матиясевич Ю.В. Математическое доказательство: вчера, сегодня, завтра //Стенограмма содоклада, сделанного на совместном заседании Санкт-Петербургского математического общества и секции математики Дома ученых 23 марта 2010 года [электр. ресурс, http://www.mathnet.ru/].
