Системная долговечность материалов Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3.4.22: 548.4

СИСТЕМНАЯ ДОЛГОВЕЧНОСТЬ МАТЕРИАЛОВ

© 2010 г. И.К. Коханенко, В.А.Москаев

Ростовский военный институт ракетных войск Rostov Military Institute of the Rocket Troops

На основе изучения фрактальности пространственного распределения неоднородных флуктуации плотности и сдвига в твёрдых телах формализована связь изменений плотности фракталов с напряжением. Это позволило получить вероятностное распределение времени разрушения и оценить долговечность группы элементов — системную долговечность. Приведены количественные оценки системной долговечности для стеклопластика и алюминиевого сплава.

Ключевые слова: фрактальная размерность; самоподобие; длительная прочность; долговечность; вероятность; напряжение; стеклопластик; алюминиевые сплавы.

On the basis of studying fractal's spatial distribution of non-uniform fluctuations of density and shift in firm bodies communication of changes of density of fractals with pressure is formalized. It has allowed to receive likelihood distribution of time of destruction and to estimate durability of group of elements — system durability. Quantitative estimations of system durability for fiberglass and an aluminum alloy are resulted.

Keywords: fractal's dimension; self-similarity; long durability; durability; probability; pressure; fiberglass; aluminum alloys.

Наличие сложных технических комплексов длительной эксплуатации делает актуальной задачу оценки как возможности, так и сроков продления их времени жизни. Такая задача связана с изучением долговечности отдельных элементов комплексов и прежде всего конструкций. Последние представляют конфигурации в основном из конденсированных тел и находятся под действием нагрузок, далёких от критических значений. В таких ситуациях в конструкции развивается длительный процесс, который, в конце концов, приводит к разрушению; его можно назвать износом. Разрушение оказывается не столько критическим, сколько кинетическим явлением [1]. В кинетике деформаций и разрушения играют существенную роль флуктуации плотности и сдвига. В работах [2, 3] показано, что сдвиговая устойчивость твёрдых тел, обусловленная дальнодействующими силами, приводит к фрактальности пространственного распределения неоднородных флуктуаций плотности и сдвига в твёрдых телах. Теория упругости фракталов [3] основана на постулатах поведения упругоизотропных фракталов при малых деформациях: возникновения характерного масштаба длины и самоподобия, приводящего к связи изменений плотности фракталов р с геометрией. При этом считается, что фрактальная размерность dj■ структурных возмущений трёхмерной кристаллической решётки, определяемая отношением продольной и сдвиговой жёсткостями, связана с топологической размерностью d и коэффициентом Пуассона ф соотношением =( d -1)(ф +1).

Но в механике деформаций фракталы характерны не только для геометрических пространств. Это позволяет использовать результаты [4] фрактальной динамики для оценки долговечности конструкций.

В предположении малости и продолжительности нагрузок, деформаций, изменений плотности р можно принять скорость такого изменения пропорциональной самой плотности, что соответствует простейшей модели эволюции, когда связи между параметром порядка (это, как правило, деформация), управляющим параметром (это, как правило, плотность или напряжение) и сопряжённым полем пренебрежимо малы. Аналогично внутренние напряжения также могут быть представлены в форме экспоненциального закона. В результате получается автокаталитическая модель системы двух автономных линейных дифференциальных уравнений, описывающих динамику плотности и напряжений ст. Модель трансформируется в аналогичную систему относительно плотности и элементарной длины I. Отсюда следуют две фрактальные зависимости [5]:

р = с1 -(1+а) и р = с1Х-(1+а)\ (1)

где х = ст-1.

Физика коэффициентов автокатализа в правых частях уравнений моделей даёт следующее выражение для определения фрактальной размерности:

а = (d - dj■ -1). Модель интерпретируется как частный случай кинетического уравнения для броуновских частиц типа ФПК. Первое уравнение описывает (после нормирования) на уровне элементов плотность вероятности f = р некоторого числа дефектов (аномалий типа размножающихся дислокаций, вакансий, атомов внедрения и замещения, краудионов и т.п.) в материале конструкции, являющегося причиной изменения физической плотности, второе - на уровне кластеров элементов описывает плотность вероятности

п = 1/1кр некоторого числа кластеров дефектов, также

являющегося причиной изменения физической плотности.

Связь плотности и напряжения (1) интересна не только из-за изложенного, но и потому, что для изделий с большими сроками безопасного использования можно применить известные эмпирические зависимости между напряжениями и временем до разрушения (степенными, экспоненциальными, уравнением Лар-сона - Миллера). Так, для ряда полимерных композиционных материалов, к которым относятся стеклопластики, экспериментально подтверждена [6] степенная зависимость вида

t = ест

-ß

(2)

где р и с - эмпирические коэффициенты; t - время

до разрушения (в смысле предела длительной плотности); ст - напряжение, вызывающее разрушение за время t при данной температуре, т.е. предел длительной прочности.

Зависимость (2) после элементарного преобразования приобретает вид:

■ = At1,

(3)

где A = е 1, у = -ß

Если воспользоваться приведенными в работе [7] результатами экспериментальных исследований однонаправленного органопластика, то несложно получить у = 0,055, А = 0,927. Здесь время измеряется в сутках, а напряжения в МПа.

Зависимость (3) может быть интерпретирована как следствие условия самоподобия, условия, обусловленного множеством степеней свободы, многофакторностью статистически стационарных процессов; условие самоподобия получается из функционального уравнения, выражающего масштабную инвариантность [8]: ст^) / ст(^) = ст (¿/¿0); это уравнение

имеет решение, близкое к (3), и описывает динамическую инвариантность изменений напряжений, постоянство относительной скорости изменения напряжений. Понятно, что в плоскости (1п ст, 1п t) решения

этого уравнения изображаются прямыми с наклоном у , что подтверждается целым рядом экспериментальных исследований [7].

Теперь следует обратиться к зависимости (1), которая после подстановки в неё соотношения (3), приобретает вид

р^) = с ^у)-Л, = (1 + а)2.

Отсюда вероятность Р ^) того, что время разрушения одного элемента системы будет не меньше t, определяется интегралом, значение которого нормируется подбором с1 таким образом, чтобы вероятность была равна единице при значении времени, когда разрушение обязательно произойдёт:

Р^) = )Л .

0

Долговечность определяется как корень t уравнения Р ^) = РЗ , где РЗ - допустимая вероятность

разрушения элемента; часто она равна 0,05 - 0,1. Эта величина принимается на основе простейших рассуждений. Действительно, если в системе т элементов, изготовленных из одного материала, и для разрушения системы достаточно отказа одного элемента, то вероятность того, что система будет разрушена, равна

Р = 1 -(1 - РЗ )т . Если т =150, то при РЗ =0,05 вероятность разрушения системы Р =1, а при Рз=0,1 и т =30 Р =1. Использование вероятности Рз приводит к изучению системной долговечности - долговечности группы элементов системы (долговечности конструкции).

Количественные оценки системной долговечности для однонаправленного органопластика таковы: tд =

= 280...1100 сут. Коэффициент Пуассона принимался равным 0,46, фрактальная размерность 2,92, долговечность материала 8-104 сут.

Следует заметить, что такие оценки системной долговечности tд существенно зависят от t из (2),

которую можно назвать долговечностью материала. График рис. 1 подтверждает это для случая Рз=0,05.

300 240 180 120 60 0

td(t)

/

/

1 1,8 2,6 3,4 4,2 5,0 5,8 6,6 7,4 tx104, сут

Рис. 1. Зависимость системной долговечности от долговечности материала

С целью сравнения были проведены оценочные расчёты для алюминиевых сплавов типа АЛ7, АЛ19, АЛ33. Методика не отличалась от описанной, но исходные данные поменялись. Коэффициент Пуассона для сплавов принимался равным 0,32, а фрактальная размерность 2,64. Параметр у =0,003, полученный по результатам изучения многочисленных источников. В результате для указанных сплавов tд = 3750.7650

суток. На рис. 2 приведены графики зависимостей вероятности разрушения от времени Р ^) - для стеклопластика и ) - для алюминиевых сплавов.

Рисунок иллюстрирует значительность разницы в распределениях времён разрушения стеклопластиков и алюминиевых сплавов, подтверждая существенность отличий приведенных выше системных долго-вечностей, соответствующих РЗ =0,05.

1,0 0,8 0,6 0,4 0,2

1

P(t)

.....

.....

...... ^P1(i)

......

C"

0,9 1,8 2,7 3,6 4,5 5,4 6,3 7,2 ¿х104, сут

Рис. 2. Законы распределения долговечностей материалов

В заключение следует отметить, что основные соотношения (1) данной работы интересны не только при оценке системной долговечности; связь плотности с элементарной длиной I может использоваться при синтезе системы измерений для оценки работоспособности конструкции.

Литература

1. Слуцкер А.И. Характеристики элементарных актов в кинетике разрушения металлов // Физика твёрдого тела. 2004. Т. 46., вып. 9.

2. Баланкин А.С. Фрактальная динамика деформируемых сред // Письма в ЖТФ. 1991. Т. 17, вып. 6.

3. Баланкин А.С. Теория упругости и энтропийной высоко-эластичности фракталов // Письма в ЖТФ. 1991. Т. 17, вып. 17.

4. Коханенко И.К., Пищик В.И. Оценка «времени жизни» долговременной памяти системы // Обозрение прикл. и промышл. мат. 2004. Т. 11, вып. 3.

5. Коханенко И.К., Коханенко Т.И. Модели фрактальной динамики разрушений // Обозрение прикл. и промышл. мат. 2005. Т. 12, вып. 4.

6. Биргер И.А., Мавлютов Р.Р. Сопротивление материалов. М., 1986. 560 с.

7. www.rae.ru/use/pdf/2006/11/2006_11_43.pdf

8. Капица С.П. Феноменологическая теория роста населения Земли // Успехи физ. наук. 1996. Т. 166, № 1.

Поступила в редакцию

16 июня 2010 г.

Коханенко Игорь Константинович - д-р техн. наук, профессор, кафедра «Конструкция ракет», Ростовский военный институт ракетных войск. Тел. 8(863)264-62-55. E-mail: kik112@yandex.ru

Москаев Вячеслав Александрович - адъюнкт, кафедра «Конструкция ракет», Ростовский военный институт ракетных войск. Тел. (863) 227-10-53. E-mail: moskaev82@mail.ru

Kokhanenko Igor Constantinovich - Doctor of Technical Sciences, professor, department «Rockets construction», Rostov Military Institute of the Rocket Troops. Ph. 8(863)264-62-55. E-mail: kik112@yandex.ru

Moskaev Vjatcheslav Alexandrovich - adjunct, department «Rockets construction», Rostov Military Institute of the Rocket Troops. Ph. (863) 227-10-53. E-mail: moskaev82@mail.ru_