Система уравнений теории вязкоупругих сред Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 541.132

Система уравнений теории вязкоупругих сред

Ю. А. Попов*, Н. А. Ковальчуков1^

* Кафедра теоретической физики, Российский университет дружбы народов, Россия, 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6 f Кафедра общей физики, Российский университет дружбы народов, Россия, 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6

Изложена система представлений линейной теории упругости. Выведены ее основные уравнения. Рассмотрена теория поля упругих волн, теория вязкоупругой среды.

В механических моделях абсолютно жесткого тела приложенная к его поверхности внешняя сила действует на него, как на единое целое. Все его части одновременно получают ускорение или, напротив, приходят в равновесие. Такая модель предполагает, что скорость распространения взаимодействий в теле бесконечно велика. Этим резко упрощается решение многих задач механики, но вместе с тем утрачивается возможность рассмотрения условий равновесия, различных релаксационных процессов, упругих волн и других явлений в твердых телах и жидкостях. Их механика представляет предмет теории упругости, рассматривающей их как сплошную среду.

Теория упругости изучает поведение упругих тел, деформации в которых исчезают при снятия нагрузки. Они предполагаются достаточно малыми, так что изменения расстояний между близкими точками тела малы сравнительно с расстояниями в недеформированном состоянии.

Деформирование может вызываться или сопровождаться тепловыми эффектами и быть либо изотермическим, либо адиабатическим. При квазистатических, т.е. достаточно медленных деформациях (например, при снятии нагрузки малыми порциями) тело успевает принять температуру окружающей среды. Поэтому его температуру можно считать постоянной, т. е. квазистатические деформации являются изотермическими.

Напротив, в динамическом режиме (например, при быстропеременной внешней нагрузке или при ее быстром снятии) в упругом теле возникает волновое движение, но при этом передача тепла между его смежными участками практически не происходит. Их энтропия сохраняется и одинакова во всем теле, т. е. быстрые деформации являются адиабатическими.

В обоих случаях законы деформации одинаковы. Различны лишь численные значения параметров, называемых упругими постоянными.

В упругой волне реализуются два совершенно разных процесса. Во-первых смещения частиц из равновесных положений и их колебаний около равновесия, как материальных точек. Во-вторых передачи этих локализованных колебаний, их распространение в объеме среды со скоростью звука. Таким образом распространение упругой волны не сопровождается переносом массы, и поэтому ее затухание мало. Амплитуда смещений (громкость звука) зависит от величины внешней силы. Скорость волны определяется свойствами ее среды, ее упругостью, т. е. величиной возникающих при данной деформации напряжений; ее плотностью, с ростом которой ускорения частиц при их смещениях и, следовательно, скорость звука уменьшаются.

В настоящей статье изложены основные понятия и уравнения линейной теории упругости. Ее методическая цель состоит в системности и последовательности всех выводов.

1. Тензоры напряжений, деформаций и модулей

упругости

1.1. Тензор напряжений

При деформации в теле возникают силы, стремящиеся вернуть взаимодействующие атомы и молекулы в исходные равновесные состояния. Их плотность названа напряжениями, радиус их действия в макроскопической теории считается равным нулю, т.е. принимается модель близкодействия. Окружающая среда действует на каждый объем AV непосредственно через его граничную поверхность, т.е. напряжения от каждой точки передаются к ближайшим точкам с конечной скоростью. —♦

Поэтому сила F, действующая со стороны окружающих частей тела на объем AV, слагается из сил, приложенных к его поверхности 6S . Они создают в ДУ

внутренние напряжения, и сила F определяется объемным интегралом

F= J Fdv, (1)

(AV)

—+

где F — эквивалентная плотность объемных сил (внутренних напряжений).

Но поскольку F слагается из поверхностных сил, то объемный интеграл (1) преобразуется в интеграл по граничной поверхности AS, и каждая компонента Fi объемной плотности F представляет дивергенцию некоторого тензора второго ранга Loik, т.е.

= (2)

dxk

Отсюда

Pi= J FidV= J = / °ikdsk )

(AV) (AV) (AS) ■

ds = nds, dsk = nkds

Fi - j> crik ■nk-ds= <j> fids, (AS) (AS)

где величина

fi - <*ik ■ Tik (3)

означает г-ю компоненту плотности поверхностных сил, действующих на площадку ds; пк — проекция ее внешней нормали п на к-ю ось декартовой системы координат тела; величина Oik называется тензором напряжений в теле; индексы г, к означают, что напряжение направлено по координатной оси Хк и приложено к площадке, ориентированной нормально координатной оси Хй поскольку сумма агк ■ пк представляет напряжение на площадке ds, нормальной Xi, то согласно (3) плотность напрягающей силы в каждой точке среды определяется девятью величинами aik, зависящими от координаты точки.

Изложенный способ введения тензора напряжений формален. Возможен другой подход, состоящий в следующем.

1. В некоторой точке О тела строится декартова система координат. На ее осях Х\,Х2,Хз пишется прямоугольный тетраэдр с вершиной А на вертикальной оси Х\ и взаимно ортогональными боковыми гранями OAXiAXk, расположенными в координатных плоскостях. Их площади

или

{ASt - ДХ2ДХ3, Д52 - Д^ДХз, Д5з - АХгАХ2} ,

внешние нормали N1, Л?2, N3 антипараллельны осям Х\, Хч, Х3. Четвертая грань ААХ2АХ3 наклонная. Она замыкает поверхность тетраэдра. Ее площадь — Д5, внешняя нормаль — тг, причем

{Д51 = тцД5, Д52 = п2Д5, Д53 = АБ}, (4)

где пк — проекция п на ось Хк, к = 1,2,3.

2. На к-ю боковую грань тетраэдра и четвертую грань ААХ^АХ^ со стороны окружающих частей тела действуют силы АРк, ДФ, плотность которых / и

| Арк = ак ■ Авк = ак-пк- Ав 1 ^

\ ДФ = /• Д5, к = 1,2,3 /"

Стационарный баланс сил, действующих на объем деформированного тела,

з

ДФ + Х>Л = 0. (6)

к-1

В (6) опущены пренебрежимо малые при AXi —> оо внешние объемные силы, ибо они пропорциональны АХх ■ АХ2- АХ3, а учтенные поверхностные силы пропорциональны АХх ■ АХ2 и т.д. Поскольку плотность <?к противоположна направлению оси Хк, то из (6) имеем

з

/ ~ ^ ' Пк = 0' к=1

или по правилу написания сумм = о^ -Пк- Так как / и п векторы, то девять величин а ¡к образуют тензор второго ранга, что и требовалось доказать. В отсутствие моментов сил он симметричен, т.е.

(7)

Наклонная грань тетраэдра ААХ%АХ3 проходит через точку А тела, ничем не выделенную. Ее ориентация также не выделена, т. е. она представляет произвольную площадку в деформированном теле. Поэтому тензор напряжений ст^. определяет напряженное состояние во всем объеме.

Структура тензора ст^ зависит от вида деформации. При всестороннем равномерном сжатии поверхность тела находится под нормальным давлением р и тензор напряжений

<Укг — ~р5гк (8)

содержит лишь один параметр. Произвольная деформация разлагается на всестороннее сжатие и чистый сдвиг. Ее тензор напряжений недиагонален, и для изотропного тела содержит два параметра, называемыми постоянными Ламе. В общем случае

(9)

где \¥ — потенциальная энергия деформированного тела, е^ — тензор деформации.

Компоненты огк зависят от координат точки, а в процессе деформации они зависят также от времени. При равновесии временная зависимость исчезает и выполняется условие равновесия упругой сплошной среды

где /об — плотность объемных сил. Граничное условие к уравнению (10) на поверхности 5 тела

[°гк ■ пк - (/об)г]ь. =0.

Согласно (10) объемные и поверхностные силы, действующие на элементы объема сплошной среды, взаимно уравновешиваются.

В твердом упругом теле деформирование происходит медленно. Этот процесс считается квазистатическим, т. е. в каждый момент времени состояние системы предполагается почти равновесным. Соответственно уравнение (10) применяется к вычислению упругой энергии Ш тела, выделяющейся в процессе его деформирования.

1.2. Тензор деформаций

Зависимость компонент сг,^ от координат точки тела определяется тензором деформации е^. Он выражается через изменение расстояния ¿1 = (¿ж?)1/2 между двумя близкими точками, обусловленного их смещением й = й{г,Ь) из равновесных положений. После деформации расстояние Ш изменяется на

ш'2 - Ых{ + -^<1хк) = (II2 + 2е{к -(1х1-(1хк, (11)

где

е - 1 | ®Пк | дит дигп

1к 2 \дхк дхг дxi дхк

— тензор деформаций, всегда симметричный. Упругие деформации малы, последним слагаемым справа пренебрегаем и тогда

е.к = I (^2. + (12)

гк 2 \дхк. дхг)

Изменение 5x1 расстояния А.т, между соседними точками по координатной оси X,

¿XI = (Ах\ + ^-ДжЛ - Аху = ец ■ Ах\, V дхг )

и т. д. Отсюда относительное изменение объема ДУ — Ах\ ■ Ах% ■ Дхз деформируемого тела с точностью до малых второго порядка

А\" - ДУ Ах', ■ Ах'п ■ Ах', -АУ ,,

-=-;--' -= ец. (13)

АУ АУ

Оно равно сумме диагональных элементов, т.е. первому инварианту тензора второго ранга.

Недиагональные элементы е^ описывают пары сопряженных сдвиговых деформаций. Сдвиги связаны с тем, что при смещениях й(х\,х2,хз) точки некоторой плоскости (хих]) не только сдвигаются вдоль ее координатных осей XI и Х:1, но могут из нее выйти. Тогда соединяющие их линии и плоскость также сдвинутся и совершат поворот на некоторый угол.

Всякая деформация является суммой чистого сдвига и всестороннего сжатия, так как имеет место тождество

е-1к = (еис ~ ^к • етт^ + ■ етт, (14)

в котором справа первое слагаемое представляет чистый сдвиг, а второе — всестороннее сжатие.

Тензор ецс (как и любой симметричный тензор) в каждой точке можно привести к главным осям, т.е. в ней существует декартова система координат, в которой тензор диагонален. Координатные оси Х\, Х2, Х3 этой системы названы главными осями тензора, его диагональные элементы и^К В остальных точках

тензор уже недиагонален. Но в них существует своя система главных осей. В окрестности ее центра элемент длины ¿1' аналогично (11) равен

сИ'2 = <1х¿2 = (дц; + 2lгk)dxidx2 —

- (1 + 2и^х\ + (1 + 2иЮ)ёх1 + (1 + 2и^)йх1

Три слагаемых в последнем равенстве означают, что деформация в каждой точке представляет сумму трех независимых парциальных деформаций по главным осям. И так как с!х\ — VI + 2и(*> • ¿XI, то каждая из них является растяжением (или сжатием) по соответствующей главной оси.

Отметим, что в случае однородных деформаций тензор е^ по определению постоянен во всем объеме тела.

(16)

1.3. Тензор модулей упругости

В общем случае связь тензоров напряжений и деформаций имеет вид

СГгк = , О5)

где — функция тензорного аргумента ец.

Упругие деформации малы, поэтому она разлагается в ряд Тейлора и в линейном приближении

(дПгк\ еИ /о

Коэффициенты (¿цс^ связывают два тензора второго ранга сг^ и е^. Поэтому каждое (¿иеЦ является тензором четвертого ранга, называемым тензором модулей упругости, а соотношение (16) представляет собой обобщенный закон Гука.

Каждый из четырех индексов тензора принимает три значения 1, 2, 3.

Поэтому он имеет 81 зависящую от свойств вещества компоненту, но вследствие симметрии лишь небольшая их часть независима.

Действительно, тензоры ец, ст^ симметричны и имеют по 6 независимых компонент. Поэтому тензор симметричен относительно перестановок индексов в их первой и второй парах, т. е. (¿цсц = — (¿гШ] = (Энц и число независимых компонент не может превысить 36.

Квадратичные формы (¿^ц представляют величины типа упругой энергии деформированного тела и должны быть скалярами. Поэтому тензор Qikjl симметричен относительно перестановок пар индексов, т. е.

(17)

Это равенство дает 15 уравнений (сочетание из шести пар по два), и число независимых компонент Qikjl уменьшается до 21.

Модель деформирования должна быть симметричной относительно зеркального отражения от координатных плоскостей (замена Х{ —> -я,, щ —> — щ ничего не изменяет). Но при этом е^ —> -е^ и согласно (16) зеркальная симметрия возможна лишь при условии (¡цы = Следовательно должно быть

<Э«и = 0. (18)

если только в четверке индексов г, к, 3, I какой-либо из них содержится нечетное число раз (один или три раза). Поэтому отличны от нуля лишь компоненты вида

<2тъ • • ■ , Я2233, 2211, (^1212, <2п33> <Эз22Э, • ■ • > ФэЗЗЗ • (19)

2. Обобщенный закон Гука для изотропной среды

Соотношение (16) содержит неизвестные компоненты (Зад тензора модулей упругости. Пока что выяснены только свойства симметрии (17), (18), (19), Соотношение (16) указывает лишь, что функциональная связь тензоров напряжений и деформаций должна быть линейной. Для полного определения этой связи и последующего вывода уравнений теории упругости соотношение (16) нужно конкретизировать и найти потенциальную энергию запасенную в деформированном твердом теле. С ее помощью получается конкретное выражение для тензора напряжений ацс и далее выводится искомое уравнение движения частиц в процессе деформирования твердого тела.

2.1. Потенциальная энергия ш упругой деформации. Связь с

тензором напряжений (Тцс

Выделим в теле объем АV, ограниченный поверхностью АЙ1 с внешней нормалью п(г). Деформирующая сила с плотностью / распределена по поверхности А5 и согласно (7) компоненты этой силы fi = ст^ • пк, г. к — 1,2,3. При смещении на 8п(г) площадки (1в поверхности Д5 сила / производит работу

8 А = ацс ■ пк8щ{г) (¿5, ,2о)

8А = т,

изменяющую потенциальную энергию ]У на <Ш. Работа АА деформации всей поверхности Д5

АА = £ 8А = £ аце ■ щ • 5щ(г) сЬ. (21)

(Дй) Д5

Под интегралом в (21) величина <7^ • 5щ является компонентой вектора. Поэтому интеграл преобразуется по теореме Гаусса-Остроградского к виду

= £ (агк • 8щ) 71к • £¿5 — J ^ =

Д5 (ДУ)

(АУ) (АУ)

Согласно (10) первый интеграл справа равен нулю (в отсутствии внешних сил). Во втором интеграле справа также преобразуем

ОЧк ■

х(диЛ 1 /ЗиЛ 1 х{дик\

1 (9щ\ 1 [2 \дхк) 2 и^/

Поэтому

(ДК) (ДУ) (22)

= I (71к81к-йУ= I 8А ■ 6У.

{АУ) (АУ)

Отсюда следует выражение для работы 6А, произведенной при смещении площадки (¡в на 5щ(г) в новых переменных:

8А = <Tik(r) ■ Seik(f), 5А = 6W ■

(23)

При бесконечно малых смещениях еК после замены ¿е^ —> йе^к в (23) имеем

¿А = агк ■ йе1к = сПУ, (24)

и искомое выражение для тензора сг^

« = • (25)

дeik

Итак, функция тензорного аргумента Ж(е,;/ь) однозначно определяет тензор напряжений а {к , для которого предварительно установлено соотношение (16). Эта функция представляет потенциальную энергию, запасенную телом при упругой деформации и называемую иногда упругой энергией. Зависимость ]¥ — ЭД^(е^) установим далее в явном виде.

2.2. Термодинамические соотношения

Изложенному определению тензора агк соответствуют термодинамические соотношения, рассмотренные ниже. В теории упругости предполагается, что упругая релаксация по своей скорости превосходит деформацию. Поэтому деформирование считается квазистатическим процессом, т. е. к нему применимо основное равенство термодинамики

<5е0 = TÓS0 + 6 А. (26)

Величины feo, 5So обусловлены тем, что производимая внешней, т.е. деформирующей объем тела силой / работа 5А затрачивается на изменение внутренней энергии и энтропии тела. Механизм появления feo состоит в том, что работа 6А превращается в упругую энергию W, составляющую часть внутренней энергии е0. При бесконечно малых смещениях du после замены 5й du, 5kk —■■> dlik вместо (26) будет с учетом (24)

de о = TdSo + &ikdeik ,

dA - aik ■ deik — dW, 9W ( de0 -

дегк \ де1к; %

Эти соотношения соответствуют адиабатическим условиям деформации. И если она по своей скорости превосходит теплопередачу, то адиабатичность имеет место и (27) соответствует реальным процессам.

В изотермическом случае вместо внутренней энергии во рассматривается свободная энергия /о и тогда вместо (27) пишем

(//о = 5У>о!Г + dA,

dA = &1к ■ deik = dW ,

(д*Л

°%к \detk) т /о = £о - TSq .

Таким образом в адиабатических и изотермических условиях

= Огк ■ <1егк = (с^оЬо = (<#0)т ,

де0 ^ / д/Ь\ = дШ

кде-гк)во \deikJr дегк. '

2.3. Обобщенный закон Гука для изотропной среды

Обобщенный закон Гука определяет функциональную связь тензоров напряжений и деформаций. Пока что она фиксирована формулами (16) и (24), (27).

— ягкц ■ ец , (28)

(д\У\ \deik/ з

■ (29)

Поскольку согласно (16) зависимость ст^ от e¿fc линейна, то энергия \¥ упругой деформации должна быть однородной квадратичной функцией тензорного аргумента вгк- Точнее, для совместности (16) и (24) необходимо выполнение условия

УУ = \Qikji ■ егк ■ ец • (30)

Тогда = С}гк^ • ец — 0{к> причем в (30) могут присутствовать лишь коэффициенты типа (17), (18), (19).

Однако в рассматриваемом случае изотропной среды на эти величины налагается еще одно условие. Действительно, при вращениях системы координат выражение энергии изотропного тела не изменяется. Поэтому квадратичная форма (30) должна быть инвариантной относительно вращений и следовательно состоять из инвариантов тензора деформаций е^к- Но любой тензор второго ранга д1к имеет два инварианта 1\ и

1\ — 5г<с !

Ь = д'п + 922 + <Лл + 2.912 + 2.913 + .923

2,2,2,02,0212

Единственной однородной квадратичной формой, удовлетворяющей всем условиям (17), (18), (19), (31), является выражение

™ = ~(еп + е22 + е33)2 + М(е2п + е222 + е*3 + 2е?2 + 2е23 + е|3), (32)

где Ли М коэффициенты, называемые упругими постоянными Ламе. Они связаны с ЯгкА формулами

2М = 31212, А = дП22, Л + 2М = д1т. (33)

Остальные, отличные от нуля компоненты (¿гкц получаются из (33) циклической перестановкой индексов. Искомый тензор напряжений с^ изотропного твердого

тела определяется согласно (24), т.е. — (эелс)^' Совместно с (32) это дает

Огк = Ае^- + 2Мегк . (34)

Постоянные Ламе выражаются через модули Е, А и К, (т. е. модули Юнга, чистого сдвига и всестороннего сжатия), а также через эффективный модуль Юнга и коэффициент Пуассона и. Соответствующие выражения получены ниже.

3. Постоянные Ламе

Коэффициенты Ли М, вошедшие в фундаментальную формулу (34) и называемые постоянными Ламе, выражаются через основные параметры теории упругости. Ими являются модуль Юнга Е, модуль чистого сдвига (л, модуль всестороннего сжатия К, коэффициент Пуассона v, эффективный модуль Юнга ,ЕЭф.

Роль этих величин принципиальна, ибо любая упругая деформация разлагается на всестороннее сжатие и чистый сдвиг. С их помощью формулируется закон Гука, который по своему значению в теории упругости сопоставим с законами Ньютона в классической механике. Исходными являются и соотношения между указанными параметрами, рассмотренные ниже.

3.1. Основные параметры теории упругости

Согласно Гуку напряжение <т деформации е одностороннего равномерного растяжения

а — Ее, е — — .

I

Поперечное сжатие т связано с е коэффициентом Пуассона v

Ah

T = -ve> T = ~h-

Минус необходим, ибо AI и Ah всегда противоположны по знаку. Напряжение д чистого сдвига 7 на угол а определено модулем ß

9 = т, 7 = tg а « а.

Модули Е и (х связаны

" = ЩТ^' <35)

Из линейности приведенных формул следует принцип суперпозиции, согласно которому сумме F сил Fi

¿=1

соответствует сумма е парциальных взаимно-независимых деформаций ei

п i=1

С помощью этого принципа определяется модуль К всестороннего сжатия. Для этого рассматривается элементарный параллелепипед АV с ребрами I, V, т, на

грани которого 5/, £„, окружающая среда действует с нормальной силой Рг,„1Ш.

Ее давление Р — изменяет длину ребер и объем ДУ на 51, 6у, 8ги, 6У,

причем Д V — I ■ у ■ ю и

5У = [(/ + 51)(у + 6у)(Ш + 6ю) - д v] ^

По принципу суперпозиции слагаемые справа вычисляются независимо. Учитывается эффект поперечного сжатия или растяжения. Для 61, 6ь, 6т имеем

öl öv öw I V W

■AV.

61 = Sli + 6l2 + 513

5Ji _ 5J± - _ 5J± - yl

l ~ E ' I ~ I ~U~T ~ ~E

и т. д. В целом

IP vP wP

51 = - —(1-2и), 5v = -—(1 — 2и), Sw = ~(l-2v).

Отсюда

или

(36)

В термодинамике модулю всестороннего сжатия К соответствует коэффициент изотермического сжатия

2_ /ЗУД К~ У\дР)т'

Всегда К > 0, ц > 0 поэтому из (35) и (36) следует -1 < и <

3.2. Эффективный модуль Юнга Еэф

Модуль ЕЭф описывает всестороннее растяжение (или сжатие), при котором запрещены боковые смещения частиц элементарного параллелепипеда AV. Через Еэф выражается одна из постоянных Ламе.

Рассматривается декартова система координат X,Y,Z грани параллелепипеда в ней обозначены Sx<VtZ, его ребра — lx,y,z- Ось Y вертикальна, внешняя сила Fx направлена вдоль X. Смещения вдоль Y и Z запрещены, что возможно, если параллелепипед заключен между двумя противоположными неподвижными плоскостями (стенками), нормальными к осям Y и Z. Они действуют на грани Sy и Sz силами реакций Fy и Fz. Вследствие поперечных эффектов это дает дополнительный вклад в смещение 51х. В целом 81у — 81г = 0, 51 х ф 0.

Соответствующие уравнения деформаций по осям X, Y, X

Slx 1 'Fx Fy Dy FA

lx ~ Ё ,SX

Sly 1 'Fy Fx Ox Fz]

ly ~~ Ё Sy

Slz 1 Fz Fx -US~x _uFy Sy.

lz ~ Ё Sz

Два последних уравнения определяют силы Еу, ^ реакции неподвижных стенок, ограничивающих параллелепипед. Сила Рх считается заданной. Из (37) следует

ОX — -^эф ' 1 £х — » :

~ (1 - 2и) • (1 + и)

Формулы (35), (36), (38) определяют соотношения между Е, ц,. К, у и Еэф, полученные ниже.

£к

(38)

3.3. Функциональная зависимость постоянных Ламе от параметров Е, ц, К, и, Еэф

Зависимость постоянных Ламе А и М от указанных параметров можно установить, рассматривая деформации всестороннего сжатия и продольного растяжения при запрещенных боковых смещениях, используя при этом общие формулы (13), (34)

8У

Oik — j ■ 6lk + 2Meik .

Ду -- 1 "гк

Согласно (8) тензор напряжений агк всестороннего сжатия давлением Р равен

{<Тгк = -Р5.1к, т. е. (Гц = (722 = 0-33 = сг = -Р} ■ Независимо от этого, согласно (13), (34), (39) и (36) «Гц = (2М + ЗА)-еи,

еп + е22 + е33 = Зец ,

Е

(39)

5V ду

р

Р=-стп-Последние соотношения совместно дают

(2 м + за)

К

Е

3(1 - 2v)

1 -2v

(40)

При продольном растяжении I на А1 с запрещенными боковыми смещениями и2 и и3 будет

А1 дщ

и2 = -из = 0, — = — = еп , е22 = е33 = 0, согласно (38) единственная компонента тензора напряжений

<тц = а — Е,

эф

Ы I '

^эф

(1 -у)Е (l + v)(l-2v) '

AI

-Г = еп ■

Независимо и в соответствии с (34), (39)

а и = (а+ 2 М)-еп

Отсюда

А + 2 М =

Е-(1-й)

(41)

(1 +1/)(1 - 21/)

Таким образом для постоянных Ламе А и М получили систему уравнений (40), (41)

Е

2 м + за =

А + 2М

(1 - 2и) E-{l-v)

(1 + v)(l — 2v)

Отсюда

Е-v

(l + i/)(l-2i/) l-i/ 2(1 + и)

■ Е,

эф

Из сопоставления (42) с (35) видно, что

М = ц

(43)

т. е. постоянная Ламе М совпадает с модулем /л чистого сдвига. Этим окончательно определяется тензор напряжений ац, изотропной сплошной среды (43), (34)

4. Общее уравнение движения упругой изотропной

Процесс деформирования упругой среды обусловлен подвижностью ее частиц, их способностью смещаться под действием внешних сил на некоторый вектор й(г,Ь) относительно своих равновесных положений. Соответственно радиус-вектор г частиц изменяется до величины

Функциональная зависимость смещения и(г,£) от внешних и внутренних сил определяется рассмотренным ниже уравнением движения частиц среды. Его называют также уравнением смещений.

В среде выделяется некоторый объем V ограниченный поверхностью 5. Если плотность вещества р, то инерция массы объема V равна

<?гк = А • е^ ■ <5гк + 2(1 ■ вгк ,

(44)

где А определено формулой (42).

среды

г" — г + й(г, Ь).

(v)

Поверхностная сила Р = действующая на поверхность 5 со стороны остальной части среды в соответствии с (7), выражается интегралом

(5)

Объемная сила Ф0б внешних полей

Баланс всех сил

С

(45)

причем по теореме Гаусса-Остроградского

Поэтому

Поскольку объем V произволен, то отсюда получаем уравнение смещений частиц деформируемой упругой среды (уравнение ее движения)

дацс

При равновесии

рщ =

dcjjk dxk

dxk

+ (/об )i

(46)

(/об)« = 0,

причем это уравнение применимо и к квазистатическому процессу (см. (10)).

В общем уравнении (46) первое слагаемое вычисляется с помощью (34), именно

0~гк — а ■ ■ 5ik + 2/х • ецс

д^к . , дегк , „ дегк - А ■ 0гкТ7— + 2ц-

или

. дхк doik

дхк

дхк

дхк

dejj д / дщ дик\ dxi ^дхк \дхк dxi)

X.

Но поскольку

де

д / дик дХг дХг \дхк

то

dtJik д2щ

= Мтг^" + (A +W

дхк

дх\

д2щ

94

д fдик\ дхг \дхк]

А и,.

Поэтому (46) принимает вид

ш=gradl(di™}

Окончательная векторная форма уравнения движения изотропной среды ри = цАи + (А + д) grad (div и) + /об -

При равновесии

/хДы + (А + ц) grad (div й) + /об = 0.

Так как тождественно

А = grad ■ div - rot • rot, то существует равносильная форма уравнения (47)

pUi = (А + 2/./) grad (div и) - ц rot • rotu + f0a . Поскольку, согласно (42), (43),

E-v Е

(47)

(48)

а =

то

(l + i/)-(l-2i/)'

А + ц =

ц =

2(1 + 1/) '

2(1 + г/) • (1 - 2и) ' и уравнение (47) представимо в еще одной форме

Е

'at2 ~ 2(1 + 1/)"" ' 2(1 + V) ■ (1 - 2v)

-Ай +

grad • (divu) + /0б

(49)

5. Волновое движение в упругих средах

Уравнение (47)

д2й

р!й? = + + ёГас1 ■ (Й™)

определяет произвольное движение в изотропной однородной упругой среде. Его коэффициенты А, ц,, р постоянны, т.е. среда однородна. Если характерное время движения мало относительно времени теплообмена, то каждый ее участок с характерным линейным размером считается теплоизолированным, находящимся в адиабатических условиях. Этому должны соответствовать и значения параметров р, А, ц.

Уравнение упругих деформаций (47) по своему виду отличается от волнового. Но поскольку процесс деформирования реализуется посредством распространения упругих колебаний малой амплитуды, (т. е. волны), то волновое движение должно в (47) содержаться. Это показано ниже.

5.1. Продольные и поперечные волны в однородном твердом

теле

Воспользуемся тем, что всякий вектор можно представить суммой градиента некоторого скаляра и ротора некоторого вектора. Положим

й=щ+щ, iit — rot А, щ = grad ц>, divwt = 0, rot щ — 0.

(50)

Величины А и ¡р являются функциями координат и времени и называются векторным и скалярным потенциалом. Учтем тождество graddiv — A- rot rot и, подставив (50) в (47), получим

д2(щ) + щ X + 2/л /л

'о-=---■

atz р р

Отсюда следует

div

rot

д2щ А + 2 ft

dt2 р д2щ А + 2 ц

dt2

Д щ д щ

-0, = 0,

(51)

div rot

д2щ м "

-^-5---Aut

at2 p

d2ut (j, '

—---Ащ

dt1 p

0, 0.

(52)

В (51), (52) в квадратных скобках векторы, у которых div и rot во всем пространстве равны нулю. Следовательно, равны нулю и сами векторы, т.е.

д2щ A + 2/x д2щ

Ащ = 0,

dt2

-Ащ = 0.

Полученные волновые уравнения для смещений й = (щ + йе) приводятся к стандартному виду

&Щ

dt2 Л+ 2 ц Р

д2щ

С?Ащ

= 0

(1 - v)E

С?

dt2 Х + 2ц

р(1 + f)(l — 2и) С? Ли, = 0 ]

и)Е

р ; 2р{1 + и) Аналогично для скалярного <р и векторного А потенциалов имеем

д2у

dt2 d2A dt2

-CfAip = 0,

С2 А А = 0.

(53)

(54)

(55)

Уравнения (55) описывают продольную и поперечную волны. Их решение

<Р = /(п-г-С[ ■<),

г = г(хих2,хз) ,

(56)

где ¡р и А — гладкие функции радиус-вектора г точки и вектора й произвольного направления. Например, для ¡р

Отсюда

п ■ Г- Cit,

dip _ dip ^ dip d2ip __ d2V

—L—t — —С — di ' dt 1 di '

дЬ

д<р d^p <9£

n ■ Г — TliXi ,

С?

dip

— л ■

dxt d£, dxi 1 d£'

dt2

d2ip 2 d2<P

dt2

= CrAip,

т.е. <р> удовлетворяет (55). Доказательство для А аналогично.

Функция 1р(£) в (56) описывает продольную волну. Действительно, во-первых, она постоянна в любой момент t во всех точках пространства, радиус-вектор которых удовлетворяет условию

£ = (п • г — Cit) = const, = const.

Эти точки расположены в плоскости, ортогональной вектору п и согласно (55) движущейся вдоль п со скоростью

Она называется, как известно, фронтом волны. Во-вторых, в этой волне смещения частиц й(£) направлены вдоль вектора п, т. е. волна продольная. Действительно,

и = grad </?(£) = п^ .

dr 1

Аналогично доказывается, что функция А(ф) в (56) описывает поперечную волну. Действительно, во все моменты t она постоянна во всех точках пространства, радиус-вектор г удовлетворяет условию

ф = (пг — Ctt) = const, А(ф) = const.

Точки находятся в плоскости, ортогональной вектору п и согласно (55) движущейся вдоль п со скоростью

с1ф dr

!i = n = ~dt=Ct-

В этой волне (в ее плоском фронте) смещения й(ф) частиц направлены ортогонально направлению п, т. е. волна поперечная. Действительно,

й(ф) = TOtA = [УЛ]

_ dA

In.

Поперечными смещениями частиц в волне обусловлены деформации сдвига. Поэтому поперечную волну А(ф) иногда называют сдвиговой. Для чистого сдвига у тензора деформаций отличны от нуля лишь недиагональные компоненты. В монохроматической упругой волне смещения частиц

и = В.е{щ(г)} ■ е~''шг.

Амплитуда щ(г) определяется уравнением

и>2щ + дДйо + (А + ц) grad div йо — 0.

Соответственно продольная и поперечная части монохроматической волны определяется уравнениями

й=щ+щ, Ащ + = 0, Щ =

и>

Ащ + К2щ — 0, Кг = — .

ш

5.2. Волны в анизотропной среде

Закономерности распространения упругих волн в анизотропных средах, примером которых служат кристаллы, более сложны. В этом случае выражения для упругой энергии \¥ и других физических величин неинвариантны относительно вращений системы координат. Поэтому соотношения (32), (34), (47) уже не имеют места. Сохраняется лишь общее соотношение (16)

агк = Qik.il ' ,

из которого по-прежнему следует общее уравнение движения упругой среды (46)

дОгк , ,, ч

РЩ = --Ь (/об)г ■

О'-'-к

В дальнейшем для простоты внешние объемные силы /0б в нем не рассматриваются.

Два последних соотношения дают общее уравнение движения в виде

= О ' (5?)

В (57) учтем, что тензор упругости (¿гк31 симметричен относительно перестановок индексов в их парах г/с, а тензор деформаций

1 / ди-! дщ = 2 + д.щ

также симметричен. Поэтому в (57) немые индексы з, I можно переставить, и тогда

гк^ дхк \дх1 ' дху) дхк \дх^

В результате имеем общее уравнение движения (57) в виде

рщ = ■ . (58)

ОХкОХ]

В случае кристаллов компоненты тензора Qikjl определяются специально в конкретных случаях. Например, в наиболее простом случае кубического кристалла в декартовой системе координат (ХьХ2,Хз) с осями вдоль ребер куба отличны от нуля компоненты

<31111 = фзззз = <?1, (¿1122 ~ <2п33 = 42, <31212 = <ЗшЗ = ЯЗ ,

т. е. тензор имеет лишь три различных модуля упругости.

Частным решением общего уравнения (58) является плоская монохроматическая волна

Щ — «о» ■ ехр[г(& - г — ш- Ь)].

Волновой вектор к и частота ш в ней определяются так, чтобы удовлетворилось (58), т. е. должны выполняться три линейных однородных уравнения для неизвестных щ, щ, щ

{р ■ и>2 ■ щ - • кк ■ к^щ) = 0, г, к, з, I = 1, 2, 3.

Отсюда при щ = 6ц ■ щ имеем

(р • и>2 ■ 5ц - ■ кк ■ к^) = 0. (59)

Условием разрешимости (59) является равенство нулю детерминанта третьего порядка

Iр-Ш2 ■ ёц - кк ■ = 0.

Это уравнение третьей степени относительно ш2 имеет три корня шз, зави-

сящие от к\, /сг, кз. Они определяют три ветви закона дисперсии, т.е. зависимости частоты ш от волнового вектора к = {к\,к2,кз}.

Каждому корню ши т.е. каждому к соответствует, после подстановки ид в (59), решение уравнения (59)

щ = к), и2 = ш2{к), I — 1,2,3,

к = {к1,к2,к3}.

Функции щ, представляющие компоненты вектора й смещений частиц в волне, определяют его направление относительно к. Оно называется поляризацией смещения й, или поляризацией волны.

Таким образом, каждому к соответствует три волны. Каждая имеет частоту и;г(к) из их спектра ц, ш3 и соответствующую поляризацию, т.е. ориентацию относительно к смещения й(к) частиц волны. Специально доказывается, что все три возможные направления вектора й взаимно перпендикулярны. При этом ни одно из них не является ни чисто продольным, ни чисто поперечным относительно

вектора к, т.е. относительно направления распространения фронта волны.

6. ВЯЗКОУПРУГАЯ ИЗОТРОПНАЯ СРЕДА 6.1. Максвелловская релаксация среды

Вязкость некоторых жидкостей (глицерин, нефть, в пределе аморфные структуры, стекло) может быть настолько большой, что в течение достаточно малых временных интервалов г (однако больших сравнительно с атомными временами), она подобна твердому телу. В течение т она сохраняет не только объем, но и форму, т. е. после снятия нагрузки в ней сохраняются затухающие во времени деформации сдвига. По идеям Максвелла время затухания г представляет время релаксации, в пределах которого жидкость не описывается уравнением Навье-Стокса и проявляет не только большую вязкость т?, но также характеризуется модулем сдвига рь. Между порядками величин г, г/, /л существует связь, установить которую можно на примере деформации под действием внешней периодической силы с частотой

, , _ 2тг и) — -Тр-.

Если ш мало, то деформация медленная, и т « Т, т.е. жидкость успевает релаксировать. Она проявляет себя как обычная вязкая жидкость, описывается

уравнением Навье-Стокса, плотность силы вязкости £ ~ ^(з^)' где 1/0' ^о — характерные масштабы скорости и длины (например, расстояние между пластинами и их относительной скоростью). Соответственно тензор напряжений

!егк \

а**; = 2Т] ■ ¿Не, ¿гк ~ -у- I ^^

При большой частоте ш время релаксации г » Г, т. е. жидкость не успевает релаксировать и проявляет поэтому свойства твердого тела. Она обладает упругостью относительно чистого сдвига, и тензор напряжений согласно (34), (44) равен

¿и =0 I (б1)

Таким образом, формулы (60), (61) соответствуют предельным случаям малых и больших частот, т<Тит»Т. В промежуточном случае средних частот (и ~ £), когда т ~ Т напряжения ст^, определенные согласно (60), (61), по порядку величины должны совпадать, т. е.

{2г] ■ ¿4к ~ 2д • егк , ¿гк ~ •

Отсюда следует искомая связь

Т] ~ тц.

(62)

6.2. Уравнение движения вязкоупругой среды

Итак, особо вязкие вещества, в зависимости от внешних условий, в предельных случаях проявляют себя либо как обычные вязкие жидкости, либо как твердые среды с упругими свойствами.

Используя установленную связь (62) между т, г/, ц, можно вывести (следуя Максвеллу) приближенное уравнение деформирования этой среды. Предполагается для простоты, что релаксация, т. е. затухание остаточных упругих напряжений происходит по закону

(1(Тгк 1 , , ,ч „ (\

М

в котором функция х(Ь) определяется с помощью предела (61) твердого состояния

сг^/с = 2/1 • е^к

(1о1к I (63)

т оо, ш —> 00

и, следовательно, для ст^ имеем уравнение

<1(У{к 1 . 0 Авгк

-7Г =--°гк + 2/Х — . (64)

(11 Т (II

Из него получается и предел состояния вязкой жидкости (60), т.е.

| агк = 2г,-егк 1 [ т -» 0, ш ->■ 0 ]

Действительно, перепишем уравнение (64) в виде

¿(Тгк , 1

—тт +

о1 т

где правая часть представляет источник внутренних напряжений, а слева первое слагаемое в пределах т —> 0 пренебрежимо мало. В итоге получаем соотношения (63).

Следовательно, уравнение (64) описывает оба предельных состояния (жидкое (60), (65) и твердое (61), (63)), обусловленные медленными и, напротив, быстрыми внешними воздействиями. Поэтому оно может служить приближенным уравнением и для промежуточных случаев средних частот, когда

1

ш ~ —. г

Поэтому (64) есть общее уравнение движения вязкоупругой среды.

7. Акустические волны в гидродинамике 7.1. Общие представления

Волновые процессы в сплошных средах определяют механизм многих явлений. Основным фактором является способность волны переносить энергию на большие расстояния без переноса массы. В многообразии волновых процессов выделены акустические волны в газах и жидкостях, например, в нефтяных залежах или в морской среде. Акустика в них по своему значению сравнима с электромагнитными

волнами в атмосфере. Но последние, как известно, быстро затухают в морской среде и других жидкостях, а акустика распространяется в них на многие мили.

По своей природе акустические волны в жидкости идентичны продольным упругим волнам в твердых телах. Они обусловлены силами упругости, возникающими под влиянием внешнего давления. Поэтому сжимаемость среды играет принципиальную роль.

Имеет значение и нелинейность уравнений гидродинамики, отражающая взаимодействие волн. Поэтому точная теория волновых процессов в общем случае нелинейна. Но в большинстве практически важных задач акустические волны слабо возмущают состояние среды. Мало акустическое давление волны, которое является движущей силой ее распространения. Поэтому допустима линеаризация уравнений гидродинамики и использование принципа суперпозиции. Их условие получается из сравнения слагаемых

ди dt

~ ш ■ Щ И (0 ■ 4)0

kv?

о •

Должно быть

ди dt

(¿7- V)i/

кщ _ vp

ш Сф W

(66)

Сф =

г

где и>, к, Ц), сф — соответственно частота волны, ее волновое число, амплитуда скорости частиц жидкости, фазовая скорость звука. Таким образом, линеаризация допустима, если скорость частиц в волне мала сравнительно с фазовой скоростью звука. Опираясь на это условие нетрудно провести линеаризацию в случае идеальной жидкости, исходные уравнения которой

да _ vp

^ + div (р ■ 0) = О Р

(67)

P(P,S)

Движение ее частиц адиабатично, поскольку скорость теплообмена (определяемая скоростью частиц щ) между участками сжатий и разряжений мала сравнительно со скоростью волны, что согласуется с условием (66). Поэтому каждый участок практически теплоизолирован и его энтропия неизменна. Соответственно адиабатическая скорость звука

S = const

используя (66) положим далее

Ро +

Р = Ро + Pi дР

др

Pi = Ра + Pi

где ро, Ро — равновесные давление и плотность. Согласно (66), (67) в линейном приближении имеет место система трех уравнений для трех неизвестных рь Рь и:

at ро

9Р* , А' - п — + ро • div v = О

dt

Отсюда, в частности, находится звуковое давление

ЭРг (дР\ _

(дР\ ' _

~ \~др ) $ и йй

и ~ т

(69)

где й — смещение частиц в волне. Согласно (69) поток вещества из любого элемента среды (жидкости) уменьшает давление в объеме элемента, и это верно для любой жидкости, ибо использованы только уравнения непрерывности и состояния. В этом состоит физический смысл (69).

7.2. Волновые уравнения

Линейная система (69) описывает продольные акустические волны, ибо

д

НЕ YH

dt ро

dt

rot V = О

(rot ¿7) — О

Поэтому поле скоростей потенциально, и с учетом первого уравнения (68)

( р = grad у \

эЛ.

Рх = -Ро

dt

Отсюда следует, что с учетом двух последних уравнений (68), а также (69) 8Р1 (дР\ дР1 (ЭР\ . . . д2ч>

dt

dt2

т dt

и, следовательно,

d2y dt2

c2Aip = 0,

d2P

dt2

- — с2АР\ = 0,

(70)

дР dp

s,

причем второе уравнение (70) получается дифференцированием по t первого уравнения. Скорость и находится интегрированием (68)

v{r,t) = v{r,t0)

С

-V [ Р(г,т) Po J

*о

dr.

В одномерном (плоском) случае, как известно, имеем

d2^p 2 д1^

dt2 dx2 °

О, vx = v д<р

dx

Общее решение (71) Расходящаяся волна

Отсюда

р = ¡(х - с£) + /т(х + а).

V = ¡(х - а), ^ = !'(х - а), д<р

Рг

-ро = рос/'(х - а).

РОС :

Р\

Величина рос, равная отношению звукового давления к скорости частиц в плоской волне, называется волновым сопротивлением, а обратная величина — ^^ волновой проводимостью.

7.3. Монохроматические волны

В акустике используются монохроматические источники звука, работающие на определенной частоте ш. Создаваемое ими звуковое давление

Р\ = ф (г) ■ ехр(-гиЛ),

Аф + —тф = 0. сг

В плоском случае решение уравнения Гельмгольца

ф(г) — А ехр(гкг),

кг =

ш

Для скорости V колебаний частиц в волне сохраняется (68)

дУ ] УРг

Ы ро

0

Р\= А - схр[г(А;г — V = щ ■ схр[г(/сг — и>Ь)]

откуда

или

и)

кс.

v —

гшро

А р0кс

УР1,

к ■ схр[г(£г — и>1)}.

Видно, что скорость частиц в плоской волне направлена вдоль волнового вектора

к (направления распространения фронта волны), т.е. она продольная. Две плоские гармонические волны с одинаковыми амплитудами и частотами, но противоположно направленные (т.е. к — -к') образуют стоячую волну:

Р = 2А ■ соэ(кг) ■ схр(-гц;£)

V = —— • — 8т(£г) • ехр(—гшЬ) р(,с к

и1 = кс

В задачах с цилиндрической симметрией уравнение (70) для потенциала ц> имеет вид

' 11 (г*р) _ i

г дг\дг) с2 \ дЬ2 )

V = §гас11р

0

Для монохроматической волны его решение

<р(г, Ь) = АЯ(г) • ехр(-го»£),

Я" + -К' + к2Я.

г

где г — расстояние точки до оси 2. Решение уравнения Бесселя

Д(г) - АгМкг) + А2Н1(кг),

где Зй(кг), (кг) — функции Бесселя и Ханкеля первого рода, причем при г —> О и г —> оо соответственно

Jo(fcr)

2 cos(kr — 7г/4)

7Г

у/кг

Щ(кг) ~ — ln(fcr)

2 г

j—>о

я0Чи

Jo(fcr)~ 1

2 gi(fcr-7r/4)

\fkr

UDC 541.132

Viscous-Elastic Media Set of Equations

Yu. A. Popov *, N. A. Kovalchukov f

* Department of Theoretical Physics, Peoples' Friendship University of Russia, 6, Miklukho-Maklaya str., Moscow, 117198, Russia f Department of General Physics, Peoples' Friendship University of Russia, 6, Miklukho-Maklaya str., Moscow, 117198, Russia

The conceptual system of linear elasticity theory is presented. Its basic equations are derived. Elasticity theory for waves is considered as well as the theory of viscous elastic media.