CC BY
50
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2016 Управление, вычислительная техника и информатика № 1 (34)
УДК 519.2
DOI: 10.17223/19988605/34/5
А.А. Назаров, В.И. Бронер
СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ С ГИПЕРЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ОБЪЕМОВ ПОТРЕБЛЕНИЯ РЕСУРСОВ
Проводится исследование математической модели системы управления запасами с релейным управлением объемом накопленных запасов. Рассмотрен случай гиперэкспоненциального распределения объемов потребления ресурсов. Найдено явное выражение для стационарной плотности распределения значения запасов в системе. Приводятся результаты численного эксперимента. Ключевые слова: управление запасами; релейное управление; гиперэкспоненциальное распределение; математическое моделирование.
В последние десятилетия к математическим моделям управления запасами проявляют большой интерес. В качестве таковых в работах [1-5] рассматриваются математические модели деятельности фонда социального страхования с релейным управлением капиталом фонда. В [1] исследуются основные характеристики деятельности фонда социального страхования в случае непрерывной скорости поступления денежных средств и экспоненциально распределённых страховых выплат. В [2, 5] рассматриваются и исследуются модели фонда социального страхования при релейном управлении (в [2] также рассмотрено релейно-гистерезисное управление) капиталом такого фонда, когда выплаты по страховым случаям и выплаты на финансирование социальных программ образуют пуассоновские потоки событий с постоянной и переменной интенсивностями соответственно, а величины выплат являются одинаково распределенными независимыми случайными величинами с экспоненциальной функцией распределения.
В [3] построена и исследована математическая модель деятельности некоммерческого фонда в случае пуассоновского потока поступающих платежей постоянной интенсивности при экспоненциальном распределении страховых премий и релейного управления капиталом. А в [6] на основе диффузионного приближения исследуется аналогичная [3] модель.
В [7] находится выражение для функции скорости выделения средств на социальные программы в диффузионном приближении для процесса изменения капитала фонда в условиях математической модели [1].
В работах [8-11] рассматриваются различные математические модели управления запасами. Например, в [9] предполагается, что продавец приобретает ресурс в фиксированном объеме, который потребляется в течение торговой сессии. Так как спрос не определен, то целью исследования в аналогичных работах, как правило, ставится задача нахождения объема запасов, такого, чтобы спрос был удовлетворен и в конце торговой сессии не оставалось нереализованной продукции.
В данной работе исследуется модель, аналогичная [2, 5], в случае, когда объемы запроса на расходование имеют гиперэкспоненциальное распределение.
1. Математическая модель
В качестве математической модели управления запасами рассмотрим систему (рис. 1), на вход которой непрерывно поступают некоторые ресурсы с постоянной скоростью v = 1.
Обозначим через s(t) объем накопленных ресурсов в системе к моменту времени t. Будем считать, что потребление ресурса осуществляется в случайные моменты времени партиями случайного объема.
Моменты потребления образуют пуассоновский поток с кусочно-постоянной интенсивностью A,(s), зависящей от значений s(t) = s величин накопленных запасов к моменту времени t поступления заявки на расходование ресурса, здесь
4s) =
где S - некоторое пороговое значение уровня запасов s(t).
s < S,
s > S,
(1)
S
v = 1
X(s), B(x)
Рис. 1. Система управления запасами
Будем полагать, что объемы потребления ресурсов имеют гиперэкспоненциальную функцию распределения
B(x) =nbk (l - e) k=1 v '
n-го порядка с параметрами > 0 и bk > 0, причем
E bk = 1.
k=1
(2)
(3)
Заметим, что процесс s(t) может принимать отрицательные значения s(t) < 0 и система продолжает функционировать, откладывая исполнение заявки на потребление ресурсов.
Условие существования стационарного режима в рассматриваемой системе имеет вид
\Ъ < 1 <Х2Ь, (4)
где Ъ - среднее значение объема одной партии на потребление ресурсов.
Таким образом, при < и s(t) < S объем ресурса в системе будет увеличиваться в среднем, а при достижении уровня S и его превышении, т.е. s(t) > S, в связи с возрастанием интенсивности потребления объем ресурса будет уменьшаться.
В силу (2) величина Ъ может быть представлена следующим образом
n bk b = E—.
k=1 Ц k
(5)
Из описания математической модели следует, что случайный процесс является марковским с непрерывным временем ? и непрерывным множеством значений - да < 5 < да. Обозначим его плотность распределения
дР [КО < 5}
&
и запишем следующее равенство:
P( s, t) = -
P( s + At, t + At) = P (s, t )(1 - X(s) At) + At J s + x) P (s + x, t )dB (x) + o( At),
0
из которого для стационарного распределения P( s) = lim P( s, t) получим уравнение
P'(s) + X(s)P(s) = J X(s + x)P(s + x)dB(x),
0
(6) (7)
решение Р(5) которого удовлетворяет краевым условиям
Р(-сю) = Р(с) = 0.
Отметим, что уравнение (6) является основным при исследовании математических моделей систем управления запасами.
Найдем решение Р(5) уравнения (6) в явном виде, взяв в качестве функции распределения В(х) объемов партий потребления гиперэкспоненциальную функцию распределения.
да
да
Обозначив
р(^)Н>; (8)
можем записать уравнение (7) в виде двух уравнений
да
Р2 (5) + ^2Р,(5) = ^2 I Р2(5 + Х)М(х), 5 >5 , (9)
0
5-5 да
Р/(5) + ХРС?) = Х1 I Р^ + х)ёБ(х) + Х2 I Р2(5 + х)ёБ(х), 5 < 5 . (10)
0 5-5
Найдем решения уравнений (9) и (10), удовлетворяющие краевым условиям
Р(-да) = 0, Р2(да) = 0. (11)
2. Решение уравнения для Р2^)
Решение Р2(5), 5 > 5, уравнения (9) будем искать в виде
Р2(5) = Се-У(5-5\ 5 > 5 . (12)
Подставляя (12) в (9), получим равенство
да
X2 -у = Х21в~1хйБ(х), (13)
0
которое является нелинейным уравнением относительно величины у.
Очевидно, что уравнение (13) имеет нулевой корень у = 0, но в силу краевого условия (11) Р2(ю) = 0 он является посторонним в рассматриваемой задаче.
Нетрудно показать, что при выполнении условия (4) Х2Ь > 1 уравнение (13) кроме нулевого решения имеет единственный положительный корень у > 0 для любой функции распределения Б(х), поэтому решением уравнения (9) является функция (12), определяемая с точностью до мультипликативной постоянной С, значение которой найдем ниже.
3. Решение уравнения для Р^)
В силу (12) представим уравнение (10) в виде
5-5 да
Р/(5) + ХВД = Х1 | Р(5 + х)с1Б(х) + Х2Се-у(5-5) | в~1хйБ(х). (14)
0 5-5
Принимая во внимание (2), получим
да да п п да п 11
| в-1хёБ(х) = | е-ух 2 Ьк= 2 Ькцк | е-(ц*+У>хйх = 2 Ьк-^-(ц*+У5>,
5 - 5 5 - 5 к=1 к=1 5 - 5 к=1 Цк + У
поэтому (14) можем записать следующим образом:
Р1' (5) + Х1Р1 (5) = Х1 5Р1 (5 + х)с1Б(х) + Х2С 2 Ьк-^Цк(8-8).
0 к=1 Цк +У
Подставляя в это равенство выражение (2) для функции распределения Б(х), получим уравнение
для Р:(5)
Р1' (5) + Х1Р1(5) = 2Ьк цк ГХ15-5Р1(5 + x)e-ЦkXdx + СеЦк 8 е-Цк5 I. (15)
к=1 I 0 Цк +У I
Прежде чем сформулировать теорему о виде функции Р^), рассмотрим уравнение
2+х=х, (16)
к=1 Цк - 2
которое нетрудно преобразовать к алгебраическому уравнению степени п + 1, откуда следует, что уравнение (16) имеет п + 1 корней. Достаточно очевидно, что 2 = 0 является корнем этого уравнения.
Для остальных корней г = г„, V = 1,п, уравнения (16) докажем следующее утверждение.
Лемма 1. При выполнении условия (4)
\Ь < 1
все корни г = zv, V = 1,п, уравнения (16) действительные и положительные.
Доказательство. Будем полагать, что значения цк упорядочены по возрастанию, т.е. ц < ц2 < • • < Цп. Рассмотрим функцию
/ (г) = ^12 Ьк , к=1 -к - г
совпадающую с правой частью уравнения (16). Так как
/'(г) = ¿Ьк / -к >0,
к=1 (-к - г)
то в интервале 0 < г < ц функция / (г) непрерывна, монотонно возрастает и принимает значения X] < / (г) < да. При выполнении условия ^ Ь < 1 на интервале 0 < г < ц уравнение (16) имеет по крайней мере один корень г! > 0.
Далее рассмотрим функцию / (г) на интервале цу-1 < г < ц,, где / (г) непрерывна, монотонно возрастает и принимает значения -да < /(г) < да, поэтому уравнение (16) на интервале < г < ц также
имеет по крайней мере один корень гу > 0.
Количество рассматриваемых интервалов равно п, совпадающее с числом положительных корней
г = V = 1, п.
Лемма доказана.
Следствие 1. Корень 0 < г! < ць а для любого V = 2,п, < zV < .
Сформулированное следствие существенно упрощает численное нахождение всех положительных корней уравнения (16).
Докажем следующее утверждение.
Теорема 1. Решение Р^) уравнения (15) имеет вид
ЗД = С ¿XV ^(5-5>, 5 < 5 , (17)
V=1
где гу - положительные корни уравнения (16), параметры ху распределения (17) являются компонентами вектора X - решения системы линейных алгебраических уравнений
АХ = Ь , (18)
где элементы Лку матрицы А и компоненты Ьк вектора Ь имеют вид
А V = ~ , Ьк = -^+-, (19)
-к- ^ -к + -
нормирующая константа С определяется равенством
С =
Г1 п г,Л 1
V- V=l
Доказательство. Решение Р1(5) уравнения (15) будем искать в виде (17).
Подставляя выражение (17) в (15) и выполняя несложные преобразования, получим равенство
2 XVе^-' { zv + 2 Ьк — \ = 2 Ьк' { 2 XV —+^
(20)
Ь XV(5} {zv + ^ + ^ Ьк = Ьк-ке—(5} { 2 >
=1 | к=1 Zv —к I к=1 1^=1
v=1 I к=1 zv - —к I к=1 | v=1 zv - — к —к + —
Приравнивая в полученном выражении коэффициенты в линейной комбинации экспонент ег5 к нулю, получим равенства
п — -
Zv+^ + 2 Ьк п =0, у = 1,и,
к=1 zv - —к
которые при всех V = 1, п совпадают с (16), следовательно, г = гу являются корнями уравнения (16). 46
Аналогично для экспонент е* получим равенства
п X -—
2 ху-^ = —к — 1,п ,
у=1 Ц* - ^у Ц* + У
которые составляют неоднородную систему линейных алгебраических уравнений относительно ху, совпадающую с системой (18), в которой элементы А^ матрицы А и компоненты к* вектора Ь определяются равенствами (19).
Значение константы С найдем из условия нормировки
то £ то п £ то
1 = I — } Р^^ + IР2С?)й? — С2 ху I е2*(4)й* + СIе—у(4)—
—то —то £ у—1 —то £
п 0 то Г п х 1 1
= С 2 Ху I в'ухйх + СI е—ухйх — С \ 2— +1 \. У—1 —то 0 I У—1 у)
Отсюда следует равенство
С —
С п ху 1 Л 2—+ -
уу=1 2у У у
которое совпадает с (20). Теорема доказана.
В силу (17) и (12) распределение Р(*) из (8) имеет вид
Р( 4) =
С п х 1 ^ 1
2 Ху + 1
ЧУ—1 2у У у
у—1 (21)
е—У(4>, 4 > £,
где параметры у и 2У этого распределения являются положительными корнями уравнений (13) и (16), параметры ху являются компонентами вектора X - решения системы линейных алгебраических уравнений (18).
Явное выражение (21) для решения Р(^) уравнения (6) полностью решает проблему исследования математической модели управления запасами при выполнении указанных ограничений: релейное управление и гиперэкспоненциальное распределение объемов партий потребления ресурсов.
4. Пример
Рассмотрим в качестве закона распределения объемов потребления гиперэкспоненциальное распределение третьего порядка
В(х) —2 Ьк (1 — е—ц*х), к—1 4 '
где значения цк и Ьк определяются вектор-строками ц и Ь соответственно:
ц — (1 0,4 10), Ь — (0,2 0,3 0,5), (22)
при которых средняя величина объемов потребления Ь = 1.
Для заданных значений параметров X = 0,8 и = 1,2 найдены положительные корни уравнений
(13)и(16)
у — 0,099; — 0,094; г2 — 0,899; 23 — 9,617. Таким образом, уравнение (13) имеет единственное решение, а уравнение (16) имеет три положительных корня. Оба уравнения имеют нулевые корни, которые, как было показано выше, являются посторонними.
Найдем плотность распределения вероятностей значений объема запасов при заданных параметрах (22) и £ = 10.
Параметры ху, у —1,3, распределения (16), являющиеся компонентами вектора X - решения системы (18) линейных алгебраических уравнений, имеют вид
х1 — 0,945; х2 — 0,036; х — 0,019, а нормирующая константа С = 0,049, тогда имеет место график, представленный на рис. 2.
0,06
0,05
0,04
P(s) 0,03
0,02
0,01
0 -40 -30 -20 -10 0
10 20 30 40 50 60
s
Рис. 2. Плотность распределения вероятностей значений процесса P(s)
Следует отметить, что плотность распределения вероятностей Р(5) значений процесса 5(/) является непрерывной для всех значений 5, что естественно, но также и в точке 5 = 5, что не является очевидным.
В данной работе построена математическая модель системы управления запасами. Получено аналитическое выражение для стационарной плотности распределения значений объема запасов при гиперэкспоненциальном распределении объемов потребления и релейном управлении объемом запасов. Предложенный подход может быть применен к аналогичным задачам при различных распределениях объемов расходования ресурсов.
1. Змеев О. А. Математическая модель деятельности фонда социального страхования при экспоненциальных страховых выплатах // Вестник Томского государственного университета. 2003. № 280. С. 130-135.
2. Вальц О.В., Змеев О.А. Математическая модель деятельности фонда социального страхования при экспоненциальных страховых выплатах и со случайными расходами на социальные программы // Вестник Томского государственного университета. 2004. № 284. С. 37-41.
3. Лившиц К.И., Шифердекер И.Ю. Математическая модель деятельности некоммерческого фонда при релейном управлении капиталом // Вестник Томского государственного университета. Приложение. 2006. № 18. С. 302-308.
4. Лившиц К.И., Сухотина Л.Ю., Шифердекер И.Ю. Пуассоновская модель деятельности некоммерческого фонда при релейном управлением капиталом // Вестник Томского государственного университета. Приложение. 2006. № 19. С. 302-312.
5. Китаева А.В., Терпугов А.Ф. Модель фонда социального страхования при релейном управлении капиталом и экспоненциально распределенных страховых выплатах и выплатах по социальным программам // Вестник Томского государственного университета. 2006. № 293. С. 35-37.
6. Лившиц К.И., Шифердекер И.Ю. Диффузионная аппроксимация математической модели деятельности некоммерческого фонда при релейном управлении капиталом // Вестник Томского государственного университета. 2006. № 293. С. 38-44.
7. Китаева А.В., Терпугов А.Ф. Управление капиталом фонда социального страхования // Вестник Томского государственного университета. 2006. № 290. С. 167-168.
8. Arrow K.J., Harris Th.E., Marschak J. Optimal Inventory Policy // Econometrica. 1951. V. 19, is. 3. P. 205-272.
9. Khouja M. The single-period (newsvendor) problem: Literature review and suggestions for future research // Omega. 2000. V. 27. Р. 537-553.
10. Nahmias S. Demand estimation in lost sales inventory systems // Naval Research Logistics. 1994. V. 41. P. 739-757.
11. Gallego G., Moon I. The distribution free newsboy problem: Review and extensions // The Journal of the Operational Research Society. 1993. V. 44. P. 825-834.
Назаров Анатолий Андреевич, д-р техн. наук, профессор. E-mail: nazarov.tsu@gmail.com
Бронер Валентина Игоревна. E-mail: valsubbotina@mail.ru
Томский государственный университет
Заключение
ЛИТЕРАТУРА
Поступила в редакцию 12 декабря 2015 г.
Nazarov Anatoliy A., Broner Valentina I. (Tomsk State University, Russian Federation). Inventory control system with hyperexponential distribution of demand's batch size. Keywords: inventory control; on/off control; hyperexponential distribution; mathematical modeling
DOI: 10.17223/19988605/34/5
Consider a mathematical model of inventory control. Let the product flow be continuous with the fixed rate v = 1. Let s(t) be an inventory level at the moment t. The demand occurs according to a Poisson process with piecewise constant intensity X(s),
| X, s < S,
s) =
X2, s ^ S,
where S is the threshold inventory level of s (t). The values of purchases are independent and identically distributed random variables from the n-th order hyperexponential distribution with the first moment equal to 1.
For stationary distribution probability density function P(s) we obtained the equation
to
P'(s) + X(s)P(s) = J X(s + x)P(s + x)dB(x), 0
where P(s) satisfies the boundary conditions
P(-TO) = = 0. Then, the expression for the probability density function P(s) is derived:
P(s) =
where zv and y are positive roots of equations
( n xv 1 V Z—+-v=1 zv Y,
Vk
Z xv ezv(s-S), s < S,
-Y( s-S)
s > S,
z + X = X z bk-.
k=1 Vk - z
X2 - y = X2 J e-YxdB(x). 0
Here xv are components of the vector X, which is a solution of a system of linear algebraic equations
AX = h,
where Akv are elements of the matrix A, hk are elements of the vector h. The elements Akv and hk have the form
Akv ="
Vk - zv
hk =■
and normalizing constant C is determined by the equation
(
C =
1 n xv
-+z —
Y v=1 zvy
Vk +Y
A-1
TO
REFERENCES
1. Zmeyev, O.A. (2003) The model of the social insurance fund with exponential distributed insurance payments. Vestnik Tomskogo
gosudarstvennogo universiteta - Journal of the Tomsk State University. 280. pp. 130-135. (In Russian).
2. Valts, O.V. & Zmeyev, O.A. (2004) Mathematical model of advertising campaign taking into account the effect of "boring" of adver-
tisement. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta - Journal of the Tomsk State University. 284. pp. 37-41. (In Russian).
3. Livshits, K.I. & Shiferdeker, I.Yu. (2006) Mathematical model of incomercial fund functioning under the relay control of its capital.
Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta - Journal of the Tomsk State University. 18. pp. 302-308. (In Russian).
4. Livshits, K.I., Suhotina, L.Yu. & Shiferdeker, I.Yu. (2006) Puasson model of incomercial fund functioning under the relay control of
its capital. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta - Journal of the Tomsk State University. 19. pp. 302-312. (In Russian).
5. Kitaeva, A.V. & Terpugov, A.F. (2006) The model of the social insurance fund on the relay management of capital and exponential
distributed insurance payments and payments on social programs. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta - Journal of the Tomsk State University. 293. pp. 35-37. (In Russian).
6. Livshits, K.I. & Shiferdeker, I.Yu. (2006) Diffusion approximation of the mathematical model of the non-profit foundation with the relay
money management. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta - Journal of the Tomsk State University. 293. pp. 38-44.
7. Kitaeva, A.V. & Terpugov, A.F. (2006) Control of the social insurance fund's surplus. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universi-
teta - Journal of the Tomsk State University. 290. pp. 167-168. (In Russian).
8. Arrow, K.J., Harris, Th.E. & Marschak, J. (1951) Optimal Inventory Policy. Econometrica. 19(3). pp. 205-272. DOI: 10.2307/1906813
9. Khouja, M. (2000) The single-period (newsvendor) problem: Literature review and suggestions for future research. Omega. 27.
pp. 537-553.
10. Nahmias, S. (1994) Demand estimation in lost sales inventory systems. Naval Research Logistics. 41. pp. 739-757. DOI: 10.1002/1520-6750(199410)41:6<739::AID-NAV3220410605>3.0.CO;2-A
11. Gallego, G. & Moon, I. (1993) The distribution free newsboy problem: Review and extensions. The Journal of the Operational Research Society. 44. pp. 825-834. DOI: 10.1038/sj/jors/0440809
