Научная статья на тему 'Система управления запасами с гиперэкспоненциальным распределением объемов потребления ресурсов'

Система управления запасами с гиперэкспоненциальным распределением объемов потребления ресурсов Текст научной статьи по специальности «Математика»

143
35
Поделиться
Ключевые слова
УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ / РЕЛЕЙНОЕ УПРАВЛЕНИЕ / ГИПЕРЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ / МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ / INVENTORY CONTROL / ON/OFF CONTROL / HYPEREXPONENTIAL DISTRIBUTION / MATHEMATICAL MODELING

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Назаров Анатолий Андреевич, Бронер Валентина Игоревна

Проводится исследование математической модели системы управления запасами с релейным управлением объемом накопленных запасов. Рассмотрен случай гиперэкспоненциального распределения объемов потребления ресурсов. Найдено явное выражение для стационарной плотности распределения значения запасов в системе. Приводятся результаты численного эксперимента.

Inventory model with hyperexponential distribution of demand''s batch size

Consider a mathematical model of inventory control. Let the product flow be continuous with the fixed rate v = 1. Let s(t) be an inventory level at the moment t. The demand occurs according to a Poisson process with piecewise constant intensity X(s), | Xj, s < S, X( s) X2, s > S, where S is the threshold inventory level of s (t). The values of purchases are independent and identically distributed random variables from the n-th order hyperexponential distribution with the first moment equal to 1. For stationary distribution probability density function P(s) we obtained the equation да P'(s) + X(s)P(s) = J X(s + x)P(s + x)dB(x), 0 where P(s) satisfies the boundary conditions P(-да) P(O)) 0. Then, the expression for the probability density function P(s) is derived: С n xv 1 У 2-+v-1 Zv У. 2 xv eZv (s-S), s < S, P(s) -у( s-S ) s > S, where zv and у are positive roots of equations да M* X2 у X2 J e-yxdB( x). 0 z + xj xj 2 b*-. m* Z Here xv are components of the vector X, which is a solution of a system of linear algebraic equations AX h, where A*v are elements of the matrix A, h* are elements of the vector h. The elements A*v and h* have the form X1 X2 h* -· M* +у V1 1 n xv -+2 у V-1 Zvy A*v " M* Zv and normalizing constant C is determined by the equation ( С =

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

Текст научной работы на тему «Система управления запасами с гиперэкспоненциальным распределением объемов потребления ресурсов»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2016 Управление, вычислительная техника и информатика № 1 (34)

УДК 519.2

DOI: 10.17223/19988605/34/5

А.А. Назаров, В.И. Бронер

СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ С ГИПЕРЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ОБЪЕМОВ ПОТРЕБЛЕНИЯ РЕСУРСОВ

Проводится исследование математической модели системы управления запасами с релейным управлением объемом накопленных запасов. Рассмотрен случай гиперэкспоненциального распределения объемов потребления ресурсов. Найдено явное выражение для стационарной плотности распределения значения запасов в системе. Приводятся результаты численного эксперимента. Ключевые слова: управление запасами; релейное управление; гиперэкспоненциальное распределение; математическое моделирование.

В последние десятилетия к математическим моделям управления запасами проявляют большой интерес. В качестве таковых в работах [1-5] рассматриваются математические модели деятельности фонда социального страхования с релейным управлением капиталом фонда. В [1] исследуются основные характеристики деятельности фонда социального страхования в случае непрерывной скорости поступления денежных средств и экспоненциально распределённых страховых выплат. В [2, 5] рассматриваются и исследуются модели фонда социального страхования при релейном управлении (в [2] также рассмотрено релейно-гистерезисное управление) капиталом такого фонда, когда выплаты по страховым случаям и выплаты на финансирование социальных программ образуют пуассоновские потоки событий с постоянной и переменной интенсивностями соответственно, а величины выплат являются одинаково распределенными независимыми случайными величинами с экспоненциальной функцией распределения.

В [3] построена и исследована математическая модель деятельности некоммерческого фонда в случае пуассоновского потока поступающих платежей постоянной интенсивности при экспоненциальном распределении страховых премий и релейного управления капиталом. А в [6] на основе диффузионного приближения исследуется аналогичная [3] модель.

В [7] находится выражение для функции скорости выделения средств на социальные программы в диффузионном приближении для процесса изменения капитала фонда в условиях математической модели [1].

В работах [8-11] рассматриваются различные математические модели управления запасами. Например, в [9] предполагается, что продавец приобретает ресурс в фиксированном объеме, который потребляется в течение торговой сессии. Так как спрос не определен, то целью исследования в аналогичных работах, как правило, ставится задача нахождения объема запасов, такого, чтобы спрос был удовлетворен и в конце торговой сессии не оставалось нереализованной продукции.

В данной работе исследуется модель, аналогичная [2, 5], в случае, когда объемы запроса на расходование имеют гиперэкспоненциальное распределение.

1. Математическая модель

В качестве математической модели управления запасами рассмотрим систему (рис. 1), на вход которой непрерывно поступают некоторые ресурсы с постоянной скоростью v = 1.

Обозначим через s(t) объем накопленных ресурсов в системе к моменту времени t. Будем считать, что потребление ресурса осуществляется в случайные моменты времени партиями случайного объема.

Моменты потребления образуют пуассоновский поток с кусочно-постоянной интенсивностью A,(s), зависящей от значений s(t) = s величин накопленных запасов к моменту времени t поступления заявки на расходование ресурса, здесь

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

4s) =

где S - некоторое пороговое значение уровня запасов s(t).

s < S,

s > S,

(1)

S

v = 1

X(s), B(x)

Рис. 1. Система управления запасами

Будем полагать, что объемы потребления ресурсов имеют гиперэкспоненциальную функцию распределения

B(x) =nbk (l - e) k=1 v '

n-го порядка с параметрами > 0 и bk > 0, причем

E bk = 1.

k=1

(2)

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

(3)

Заметим, что процесс s(t) может принимать отрицательные значения s(t) < 0 и система продолжает функционировать, откладывая исполнение заявки на потребление ресурсов.

Условие существования стационарного режима в рассматриваемой системе имеет вид

\Ъ < 1 <Х2Ь, (4)

где Ъ - среднее значение объема одной партии на потребление ресурсов.

Таким образом, при < и s(t) < S объем ресурса в системе будет увеличиваться в среднем, а при достижении уровня S и его превышении, т.е. s(t) > S, в связи с возрастанием интенсивности потребления объем ресурса будет уменьшаться.

В силу (2) величина Ъ может быть представлена следующим образом

n bk b = E—.

k=1 Ц k

(5)

Из описания математической модели следует, что случайный процесс является марковским с непрерывным временем ? и непрерывным множеством значений - да < 5 < да. Обозначим его плотность распределения

дР [КО < 5}

&

и запишем следующее равенство:

P( s, t) = -

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

P( s + At, t + At) = P (s, t )(1 - X(s) At) + At J s + x) P (s + x, t )dB (x) + o( At),

0

из которого для стационарного распределения P( s) = lim P( s, t) получим уравнение

P'(s) + X(s)P(s) = J X(s + x)P(s + x)dB(x),

0

(6) (7)

решение Р(5) которого удовлетворяет краевым условиям

Р(-сю) = Р(с) = 0.

Отметим, что уравнение (6) является основным при исследовании математических моделей систем управления запасами.

Найдем решение Р(5) уравнения (6) в явном виде, взяв в качестве функции распределения В(х) объемов партий потребления гиперэкспоненциальную функцию распределения.

да

да

Обозначив

р(^)Н>; (8)

можем записать уравнение (7) в виде двух уравнений

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

да

Р2 (5) + ^2Р,(5) = ^2 I Р2(5 + Х)М(х), 5 >5 , (9)

0

5-5 да

Р/(5) + ХРС?) = Х1 I Р^ + х)ёБ(х) + Х2 I Р2(5 + х)ёБ(х), 5 < 5 . (10)

0 5-5

Найдем решения уравнений (9) и (10), удовлетворяющие краевым условиям

Р(-да) = 0, Р2(да) = 0. (11)

2. Решение уравнения для Р2^)

Решение Р2(5), 5 > 5, уравнения (9) будем искать в виде

Р2(5) = Се-У(5-5\ 5 > 5 . (12)

Подставляя (12) в (9), получим равенство

да

X2 -у = Х21в~1хйБ(х), (13)

0

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

которое является нелинейным уравнением относительно величины у.

Очевидно, что уравнение (13) имеет нулевой корень у = 0, но в силу краевого условия (11) Р2(ю) = 0 он является посторонним в рассматриваемой задаче.

Нетрудно показать, что при выполнении условия (4) Х2Ь > 1 уравнение (13) кроме нулевого решения имеет единственный положительный корень у > 0 для любой функции распределения Б(х), поэтому решением уравнения (9) является функция (12), определяемая с точностью до мультипликативной постоянной С, значение которой найдем ниже.

3. Решение уравнения для Р^)

В силу (12) представим уравнение (10) в виде

5-5 да

Р/(5) + ХВД = Х1 | Р(5 + х)с1Б(х) + Х2Се-у(5-5) | в~1хйБ(х). (14)

0 5-5

Принимая во внимание (2), получим

да да п п да п 11

| в-1хёБ(х) = | е-ух 2 Ьк= 2 Ькцк | е-(ц*+У>хйх = 2 Ьк-^-(ц*+У5>,

5 - 5 5 - 5 к=1 к=1 5 - 5 к=1 Цк + У

поэтому (14) можем записать следующим образом:

Р1' (5) + Х1Р1 (5) = Х1 5Р1 (5 + х)с1Б(х) + Х2С 2 Ьк-^Цк(8-8).

0 к=1 Цк +У

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

Подставляя в это равенство выражение (2) для функции распределения Б(х), получим уравнение

для Р:(5)

Р1' (5) + Х1Р1(5) = 2Ьк цк ГХ15-5Р1(5 + x)e-ЦkXdx + СеЦк 8 е-Цк5 I. (15)

к=1 I 0 Цк +У I

Прежде чем сформулировать теорему о виде функции Р^), рассмотрим уравнение

2+х=х, (16)

к=1 Цк - 2

которое нетрудно преобразовать к алгебраическому уравнению степени п + 1, откуда следует, что уравнение (16) имеет п + 1 корней. Достаточно очевидно, что 2 = 0 является корнем этого уравнения.

Для остальных корней г = г„, V = 1,п, уравнения (16) докажем следующее утверждение.

Лемма 1. При выполнении условия (4)

\Ь < 1

все корни г = zv, V = 1,п, уравнения (16) действительные и положительные.

Доказательство. Будем полагать, что значения цк упорядочены по возрастанию, т.е. ц < ц2 < • • < Цп. Рассмотрим функцию

/ (г) = ^12 Ьк , к=1 -к - г

совпадающую с правой частью уравнения (16). Так как

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

/'(г) = ¿Ьк / -к >0,

к=1 (-к - г)

то в интервале 0 < г < ц функция / (г) непрерывна, монотонно возрастает и принимает значения X] < / (г) < да. При выполнении условия ^ Ь < 1 на интервале 0 < г < ц уравнение (16) имеет по крайней мере один корень г! > 0.

Далее рассмотрим функцию / (г) на интервале цу-1 < г < ц,, где / (г) непрерывна, монотонно возрастает и принимает значения -да < /(г) < да, поэтому уравнение (16) на интервале < г < ц также

имеет по крайней мере один корень гу > 0.

Количество рассматриваемых интервалов равно п, совпадающее с числом положительных корней

г = V = 1, п.

Лемма доказана.

Следствие 1. Корень 0 < г! < ць а для любого V = 2,п, < zV < .

Сформулированное следствие существенно упрощает численное нахождение всех положительных корней уравнения (16).

Докажем следующее утверждение.

Теорема 1. Решение Р^) уравнения (15) имеет вид

ЗД = С ¿XV ^(5-5>, 5 < 5 , (17)

V=1

где гу - положительные корни уравнения (16), параметры ху распределения (17) являются компонентами вектора X - решения системы линейных алгебраических уравнений

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

АХ = Ь , (18)

где элементы Лку матрицы А и компоненты Ьк вектора Ь имеют вид

А V = ~ , Ьк = -^+-, (19)

-к- ^ -к + -

нормирующая константа С определяется равенством

С =

Г1 п г,Л 1

V- V=l

Доказательство. Решение Р1(5) уравнения (15) будем искать в виде (17).

Подставляя выражение (17) в (15) и выполняя несложные преобразования, получим равенство

2 XVе^-' { zv + 2 Ьк — \ = 2 Ьк' { 2 XV —+^

(20)

Ь XV(5} {zv + ^ + ^ Ьк = Ьк-ке—(5} { 2 >

=1 | к=1 Zv —к I к=1 1^=1

v=1 I к=1 zv - —к I к=1 | v=1 zv - — к —к + —

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

Приравнивая в полученном выражении коэффициенты в линейной комбинации экспонент ег5 к нулю, получим равенства

п — -

Zv+^ + 2 Ьк п =0, у = 1,и,

к=1 zv - —к

которые при всех V = 1, п совпадают с (16), следовательно, г = гу являются корнями уравнения (16). 46

Аналогично для экспонент е* получим равенства

п X -—

2 ху-^ = —к — 1,п ,

у=1 Ц* - ^у Ц* + У

которые составляют неоднородную систему линейных алгебраических уравнений относительно ху, совпадающую с системой (18), в которой элементы А^ матрицы А и компоненты к* вектора Ь определяются равенствами (19).

Значение константы С найдем из условия нормировки

то £ то п £ то

1 = I — } Р^^ + IР2С?)й? — С2 ху I е2*(4)й* + СIе—у(4)—

—то —то £ у—1 —то £

п 0 то Г п х 1 1

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

= С 2 Ху I в'ухйх + СI е—ухйх — С \ 2— +1 \. У—1 —то 0 I У—1 у)

Отсюда следует равенство

С —

С п ху 1 Л 2—+ -

уу=1 2у У у

которое совпадает с (20). Теорема доказана.

В силу (17) и (12) распределение Р(*) из (8) имеет вид

Р( 4) =

С п х 1 ^ 1

2 Ху + 1

ЧУ—1 2у У у

у—1 (21)

е—У(4>, 4 > £,

где параметры у и 2У этого распределения являются положительными корнями уравнений (13) и (16), параметры ху являются компонентами вектора X - решения системы линейных алгебраических уравнений (18).

Явное выражение (21) для решения Р(^) уравнения (6) полностью решает проблему исследования математической модели управления запасами при выполнении указанных ограничений: релейное управление и гиперэкспоненциальное распределение объемов партий потребления ресурсов.

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

4. Пример

Рассмотрим в качестве закона распределения объемов потребления гиперэкспоненциальное распределение третьего порядка

В(х) —2 Ьк (1 — е—ц*х), к—1 4 '

где значения цк и Ьк определяются вектор-строками ц и Ь соответственно:

ц — (1 0,4 10), Ь — (0,2 0,3 0,5), (22)

при которых средняя величина объемов потребления Ь = 1.

Для заданных значений параметров X = 0,8 и = 1,2 найдены положительные корни уравнений

(13)и(16)

у — 0,099; — 0,094; г2 — 0,899; 23 — 9,617. Таким образом, уравнение (13) имеет единственное решение, а уравнение (16) имеет три положительных корня. Оба уравнения имеют нулевые корни, которые, как было показано выше, являются посторонними.

Найдем плотность распределения вероятностей значений объема запасов при заданных параметрах (22) и £ = 10.

Параметры ху, у —1,3, распределения (16), являющиеся компонентами вектора X - решения системы (18) линейных алгебраических уравнений, имеют вид

х1 — 0,945; х2 — 0,036; х — 0,019, а нормирующая константа С = 0,049, тогда имеет место график, представленный на рис. 2.

0,06

0,05

0,04

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

P(s) 0,03

0,02

0,01

0 -40 -30 -20 -10 0

10 20 30 40 50 60

s

Рис. 2. Плотность распределения вероятностей значений процесса P(s)

Следует отметить, что плотность распределения вероятностей Р(5) значений процесса 5(/) является непрерывной для всех значений 5, что естественно, но также и в точке 5 = 5, что не является очевидным.

В данной работе построена математическая модель системы управления запасами. Получено аналитическое выражение для стационарной плотности распределения значений объема запасов при гиперэкспоненциальном распределении объемов потребления и релейном управлении объемом запасов. Предложенный подход может быть применен к аналогичным задачам при различных распределениях объемов расходования ресурсов.

1. Змеев О. А. Математическая модель деятельности фонда социального страхования при экспоненциальных страховых выплатах // Вестник Томского государственного университета. 2003. № 280. С. 130-135.

2. Вальц О.В., Змеев О.А. Математическая модель деятельности фонда социального страхования при экспоненциальных страховых выплатах и со случайными расходами на социальные программы // Вестник Томского государственного университета. 2004. № 284. С. 37-41.

3. Лившиц К.И., Шифердекер И.Ю. Математическая модель деятельности некоммерческого фонда при релейном управлении капиталом // Вестник Томского государственного университета. Приложение. 2006. № 18. С. 302-308.

4. Лившиц К.И., Сухотина Л.Ю., Шифердекер И.Ю. Пуассоновская модель деятельности некоммерческого фонда при релейном управлением капиталом // Вестник Томского государственного университета. Приложение. 2006. № 19. С. 302-312.

5. Китаева А.В., Терпугов А.Ф. Модель фонда социального страхования при релейном управлении капиталом и экспоненциально распределенных страховых выплатах и выплатах по социальным программам // Вестник Томского государственного университета. 2006. № 293. С. 35-37.

6. Лившиц К.И., Шифердекер И.Ю. Диффузионная аппроксимация математической модели деятельности некоммерческого фонда при релейном управлении капиталом // Вестник Томского государственного университета. 2006. № 293. С. 38-44.

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

7. Китаева А.В., Терпугов А.Ф. Управление капиталом фонда социального страхования // Вестник Томского государственного университета. 2006. № 290. С. 167-168.

8. Arrow K.J., Harris Th.E., Marschak J. Optimal Inventory Policy // Econometrica. 1951. V. 19, is. 3. P. 205-272.

9. Khouja M. The single-period (newsvendor) problem: Literature review and suggestions for future research // Omega. 2000. V. 27. Р. 537-553.

10. Nahmias S. Demand estimation in lost sales inventory systems // Naval Research Logistics. 1994. V. 41. P. 739-757.

11. Gallego G., Moon I. The distribution free newsboy problem: Review and extensions // The Journal of the Operational Research Society. 1993. V. 44. P. 825-834.

Назаров Анатолий Андреевич, д-р техн. наук, профессор. E-mail: nazarov.tsu@gmail.com

Бронер Валентина Игоревна. E-mail: valsubbotina@mail.ru

Томский государственный университет

Заключение

ЛИТЕРАТУРА

Поступила в редакцию 12 декабря 2015 г.

Nazarov Anatoliy A., Broner Valentina I. (Tomsk State University, Russian Federation). Inventory control system with hyperexponential distribution of demand's batch size. Keywords: inventory control; on/off control; hyperexponential distribution; mathematical modeling

DOI: 10.17223/19988605/34/5

Consider a mathematical model of inventory control. Let the product flow be continuous with the fixed rate v = 1. Let s(t) be an inventory level at the moment t. The demand occurs according to a Poisson process with piecewise constant intensity X(s),

| X, s < S,

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

s) =

X2, s ^ S,

where S is the threshold inventory level of s (t). The values of purchases are independent and identically distributed random variables from the n-th order hyperexponential distribution with the first moment equal to 1.

For stationary distribution probability density function P(s) we obtained the equation

to

P'(s) + X(s)P(s) = J X(s + x)P(s + x)dB(x), 0

where P(s) satisfies the boundary conditions

P(-TO) = = 0. Then, the expression for the probability density function P(s) is derived:

P(s) =

where zv and y are positive roots of equations

( n xv 1 V Z—+-v=1 zv Y,

Vk

Z xv ezv(s-S), s < S,

-Y( s-S)

s > S,

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

z + X = X z bk-.

k=1 Vk - z

X2 - y = X2 J e-YxdB(x). 0

Here xv are components of the vector X, which is a solution of a system of linear algebraic equations

AX = h,

where Akv are elements of the matrix A, hk are elements of the vector h. The elements Akv and hk have the form

Akv ="

Vk - zv

hk =■

and normalizing constant C is determined by the equation

(

C =

1 n xv

-+z —

Y v=1 zvy

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

Vk +Y

A-1

TO

REFERENCES

1. Zmeyev, O.A. (2003) The model of the social insurance fund with exponential distributed insurance payments. Vestnik Tomskogo

gosudarstvennogo universiteta - Journal of the Tomsk State University. 280. pp. 130-135. (In Russian).

2. Valts, O.V. & Zmeyev, O.A. (2004) Mathematical model of advertising campaign taking into account the effect of "boring" of adver-

tisement. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta - Journal of the Tomsk State University. 284. pp. 37-41. (In Russian).

3. Livshits, K.I. & Shiferdeker, I.Yu. (2006) Mathematical model of incomercial fund functioning under the relay control of its capital.

Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta - Journal of the Tomsk State University. 18. pp. 302-308. (In Russian).

4. Livshits, K.I., Suhotina, L.Yu. & Shiferdeker, I.Yu. (2006) Puasson model of incomercial fund functioning under the relay control of

its capital. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta - Journal of the Tomsk State University. 19. pp. 302-312. (In Russian).

5. Kitaeva, A.V. & Terpugov, A.F. (2006) The model of the social insurance fund on the relay management of capital and exponential

distributed insurance payments and payments on social programs. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta - Journal of the Tomsk State University. 293. pp. 35-37. (In Russian).

6. Livshits, K.I. & Shiferdeker, I.Yu. (2006) Diffusion approximation of the mathematical model of the non-profit foundation with the relay

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

money management. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta - Journal of the Tomsk State University. 293. pp. 38-44.

7. Kitaeva, A.V. & Terpugov, A.F. (2006) Control of the social insurance fund's surplus. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universi-

teta - Journal of the Tomsk State University. 290. pp. 167-168. (In Russian).

8. Arrow, K.J., Harris, Th.E. & Marschak, J. (1951) Optimal Inventory Policy. Econometrica. 19(3). pp. 205-272. DOI: 10.2307/1906813

9. Khouja, M. (2000) The single-period (newsvendor) problem: Literature review and suggestions for future research. Omega. 27.

pp. 537-553.

10. Nahmias, S. (1994) Demand estimation in lost sales inventory systems. Naval Research Logistics. 41. pp. 739-757. DOI: 10.1002/1520-6750(199410)41:6<739::AID-NAV3220410605>3.0.CO;2-A

11. Gallego, G. & Moon, I. (1993) The distribution free newsboy problem: Review and extensions. The Journal of the Operational Research Society. 44. pp. 825-834. DOI: 10.1038/sj/jors/0440809