CC BY
121
УДК 004.9
СИСТЕМА АВТОМАТИЗИРОВАННОГО ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА И ПОЛУЧЕНИЯ УРАВНЕНИЯ РЕГРЕССИИ
Е. В. Селезнева, Т. А. Юрина
Аннотация. В статье рассматривается методика планирования полного факторного эксперимента и обработки его результатов. Описывается разработанный авторами программный комплекс «Планирование эксперимента», с помощью которого можно осуществлять автоматизированное планирование эксперимента с использованием описанной методики и получать уравнения регрессии, связывающие исходные факторы и исследуемый параметр объекта.
Ключевые слова: автоматизация, планирование эксперимента, уравнение регрессии.
Введение
Одной из основных задач экспериментальных исследований является определение численных значений параметров, необходимых для расчета коэффициентов математических моделей и подтверждение адекватности математических моделей.
В настоящее время в экспериментальных исследованиях широко применяются методы планирования эксперимента, которые позволяют с минимальными затратами материальных, временных и людских ресурсов получить всю информацию, необходимую для построения адекватных математических моделей исследуемых объектов [1, 2].
Описание методики планирования эксперимента.
Техника планирования эксперимента такова: на каждом шаге ставится небольшая серия опытов, в каждом из которых варьируются по определённым правилам все факторы. Математическая обработка результатов эксперимента позволяет выработать условия проведения следующей серии опытов, направленных к достижению оптимума.
Особенности планирования
эксперимента:
• стремление к минимизации общего числа опытов;
• одновременное варьирование всеми переменными, определяющими процесс, по специальным правилам - алгоритмам;
• выбор четкой стратегии, позволяющей принимать обоснованные решения после каждой серии экспериментов.
Планирование эксперимента может служить основой для автоматизированного проектирования какого-либо процесса.
Рассмотрим методику полного факторного эксперимента [3, 4]. В соответствии с данной методикой при проведении экспериментов все факторы варьируются на трех уровнях -среднем (основном, нулевом), верхнем и нижнем, отстоящих от основного на одинаковую величину, называемую интервалом варьирования АХ.
Для упрощения записей и последующих расчетов уровни факторов переводят в кодовый (нормализованный) масштаб с помощью следующего преобразования:
х =
X - X
,0
АХ,.
(1)
где х, - значение /-го фактора в новом кодовом масштабе; АХ, - интервал варьирования /-го фактора; Х, - значение /-го фактора в старом натуральном масштабе; Хю - основной уровень /-го фактора.
Таким образом, в новом масштабе верхний уровень фактора будет равен (+1), нижний уровень равен (-1), основной уровень равен 0.
Нижняя граница интервала варьирования не может быть меньше погрешности определения фактора, верхняя граница интервала варьирования определяется условием невыхода из области определения фактора. Интервал варьирования корректируется в ходе эксперимента, если не удовлетворяется условие адекватности модели.
Эксперименты в зависимости от количества факторов выполняются по специальному плану.
После реализации эксперимента по выбранному плану проводят обработку результатов эксперимента с построением математических зависимостей свойств исследуемого объекта от выбранных факторов и получают математические зависимости в виде полинома п-ой степени.
Для планов первого порядка:
к к
У, = Ь0 + Е ЪгХг +Е ЬУХ'Х1 ' . (2) 1 1
Для планов второго порядка:
У, = Ь0 +ЕЪгХг +ЕЪпХ1 +1ЕЪУХГХ] ' ^ (3)
1 1 1
где /, у = 1, 2, ... к - порядковые номера факторов; у - исследуемое свойство бетона; X - исходные факторы; Ь, и Ь -коэффициенты уравнений, которые вычисляются по следующим формулам:
N
Е \ Уи
Ъо = 1
N
N
^Х у
и и
Ъ, = 1
N
N
^Х Х у
г и .и У и
Ъ .. -
г N
(6)
где уи - значение исследуемого свойства бетона в и-м опыте; х/и - значение /-го фактора в и-м опыте; х/и - значение у-го фактора в и-м опыте (/^/); N - число опытов в плане за исключением опытов в нулевых точках.
Далее осуществляют проверку отличия коэффициентов Ь, от нуля и пригодности уравнений для описания исследуемых зависимостей.
По результатам опытов в нулевых (основных) точках, определяют: среднее арифметическое значение, дисперсию ошибки, среднее квадратическое отклонение, характеризующее ошибку опыта, среднюю квадратическую ошибку в определении коэффициентов.
Далее определяют расчетное значение критерия Стьюдента и сравнивают для каждого Ь полученное значение ^ с табличным при числе степеней свободы п0-1.
Если то при заданном уровне
значимости а коэффициент считают равным нулю, а соответствующий ему член уравнения отбрасывают. Начинать проверку следует с наименьшего по абсолютному значению коэффициента, так как в случае его значимости надобность в проверке остальных величин отпадет. После отбрасывания незначимых членов получают уточненное уравнение, выражающее зависимость искомого параметра от исследуемых факторов.
Затем полученное уравнение
подвергается проверке на пригодность (адекватность). Для этого вычисляют дисперсию адекватности (или остаточную дисперсию), определяют расчетное значение Рр-критерия Фишера и сравнивают его с табличным значением. Уравнение признается пригодным, если Fр<F.
Полученные в результате расчетов зависимости (уравнения) уточняются производственными экспериментами и в дальнейшем могут использоваться для решения различных производственных задач.
Описание программного комплекса
Авторами статьи разработан программный комплекс «Планирование эксперимента». С помощью него можно осуществлять автоматизированное планирование
эксперимента с использованием методики полного факторного эксперимента и получать уравнения регрессии, связывающие исходные факторы и исследуемый параметр объекта.
Блок-схема алгоритма работы
программного комплекса показана на рисунке 1.
Рассмотрим работу программного комплекса «Планирование эксперимента»:
1. Задается количество факторов, участвующих в эксперименте (рис. 2).
2. С помощью кнопки «Ввод» вводятся названия факторов, значения основного уровня и интервалов варьирования (рис. 3).
3. С помощью кнопки «План» автоматически составляется матрица планирования эксперимента для заданных факторов и выводится в таблицу (рис. 4).
4. Пользователем вводятся в таблицу экспериментальные данные Yэ (см. рис. 4).
5. С помощью кнопки «Расчет» по введенным данным автоматически составляется и выводится на форму уравнение регрессии, вычисляются теоретические значения исследуемого параметра Yт и выводятся в таблицу (см. рис. 4).
6. Производится оценка значимости коэффициентов полученного уравнения регрессии и оценка его адекватности, в соответствии с методикой, описанной выше.
7. С помощью кнопки «Очистка» можно удалить из таблицы все данные. Кнопка «Назад» позволяет вернуться к окну ввода количества факторов и начать планирование эксперимента заново (см. рис. 2).
Полученные в результате расчетов уравнения регрессии могут применяться для прогнозирования свойств исследуемого объекта.
Рис. 1. Блок-схема алгоритма
Рис. 2. Окно ввода количества факторов
Ввод данных
Название фактора В/Ц Основной уровень 0,4 Интервал Ю05
✓ ок
Рис. 3. Окно ввода факторов
Ф1 Планирование эксперимента
Факторы jtl-ЕЩ х2 П/Щ лЗ-Еода Yt=Rc2k=37,64-5,74x1-1,49x2+1,71x1x3
□0®
х2 кЗ Тэ Yt План
0,45 0,45 190,00 30,2 32,12 Расчет
0,45 0,45 170,00 28,1 28,70 Очистка Назад
0,45 0,35 190,00 35,3 35,10
0,45 0,35 170,00 34 31,68
0,35 0,45 190,00 39,1 40,18
0,35 0,45 170,00 47,2 43,60
0,35 0,35 190,00 42,5 43,15
0,35 0,35 170,00 44,7 46,57
0,40 0,40 180,00 36,3
0,40 0,40 180,00 37,5
0,40 0,40 180,00 38,1
Рис. 4. Окно планирования эксперимента
Заключение
Разработанный программный комплекс позволяет осуществлять автоматизированное планирование эксперимента с
использованием методики полного факторного эксперимента и получать уравнения регрессии, связывающие исходные факторы и исследуемый параметр объекта. Это позволяет оптимизировать процесс планирования эксперимента и обработки его результатов.
Созданный программный комплекс позволяет оптимизировать процесс планирования и обработки результатов эксперимента.
Библиографический список
1. Джонсон, Н. Статистика и планирование эксперимента в технике и науке: Методы планирования эксперимента / Н. Джонсон, Ф. Лион.
- М.: Мир, 1981. - 520 с.
2. Красовский, Г. И. Планирование эксперимента / Г. И. Красовский, Г. Ф. Филаретов.
- Мн.: Изд-во БГУ, 1982. - 302 с.
3. Вершинин, В. И. Планирование и математическая обработка результатов химического эксперимента: учебное пособие / В.И. Вершинин, Н. В. Перцев. - Омск: Изд-во ОмГУ, 2005. - 216 с.
4. Монтгомери, Д. К. Планирование эксперимента и анализ данных. - Л.: Судостроение, 1980. - 384 с.
SYSTEM OF COMPUTER-AIDED PLANNING OF EXPERIMENT AND RECEIVING REGRESSION EQUATION
E. V. Selezneva, T. A. Yurina
Abstract. The article is devoted to the methodology of planning complete factorial and processing of its results. The developed by the authors software package "Planning of experiment" is described by which the computer-aided planning of experiment can be implemented using described methodology and regression equations, connecting the initial factors and investigated object's parameter, can be received.
Keywords: automation, planning of experiment, regression equations.
Bibliographic list
1. Johnson N. Statistics and experimental design in engineering and science: Methods of experimental design / N. Johnson, F. Lyon. - New York: Wiley, 1981. - 520 p.
2. Krasovskii G. I. Experiment planning / G. I. Krasovskii, G. F. Filaretov. - Minsk. Univ BSU, 1982. -302 p.
3. Vershinin V. I. Planning and mathematical treatment of the results of chemical experiment: a tutorial / V. I. Vershinin, N. V. Peppers. - Omsk Univ OmSU, 2005. - 216 p.
4. Montgomery D. K. Design of experiments and data analysis. - L.: Shipbuilding, 1980. - 384 p.
Селезнева Елена Викторовна - кандидат педагогических наук, доцент Сибирской государственной автомобильно-дорожной
академии (СибАДИ). Основные направления научной деятельности: информационные технологии. Общее количество опубликованных работ: 20.e-mail: [email protected]
Юрина Татьяна Александровна - кандидат технических наук, доцент Сибирской государственной автомобильно-дорожной
академии (СибАДИ). Основные направления научной деятельности: информационные технологии, системы автоматизированного проектирования. Общее количество
опубликованных работ: 28.e-mail:
Sankova_ Tanja@mail. ru
