CC BY
61
СИНТЕЗИРОВАННЫЕ ФАЗОВЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ДЛЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ КОГЕРЕНТНЫХ ОПТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ Ввеление
Настоящая работа является обзорной по циклу работ [2, 3, 5, 6, 10,
16] .
За последние годы существенно расширилось применение когерентного оптического излучения в тех областях физики и техники, где требуются по ля сложной и управляемой структуры. В настоящее время это в первую очередь область оптического приборостроения, оптическая обработка информации и волоконно-оптическая связь, интегральная оптика. Как показывает анализ развития применений когерентных полей, в том числе лазеров, пере ход от использования излучения простой структуры к использованию излучения сложной и управляемой структуры является одним из важных факторов Развития этой области техники.
Разложение поля по различным полным системам функций (модам) (то есть интегральные преобразования поля, дающие его разложения в спектр
обобщенных пространственных частот, и основанные на них методы пространственной фильтрации) - один из основных способов гибкого управления структурой когерентных оптических полей в различных средах. Так, изучение оптического преобразования Фурье фактически совершило переворот в когерентной оптике и ее применениях.
Важность фазы при обработке сигналов и широкие возможности фазового управления оптическими сигналами подчеркивались в работах [9, 46, 82,
86] . Основными достоинствами фазовых методов управления когерентными полями является, помимо энергетических соображений, возможность использования отражательных элементов (в том числе и адаптивных зеркал) с присущими им ахроматическими свойствами и лучевой стойкостью [30] . Основными препятствиями на пути внедрения фазовых методов управления когерентными полями являются как недостаточное развитие высокоразрешающей техники построения бездисторсионных изображений и методов создания сложных фазовых профилей [70 , 76], так и сложность встающих здесь математических задач. Дальнейший прогресс в этой области связан с развитием адаптивной техники и с решением новых задач по управлению полем: нелинейных задач, связанных с фазовым управлением, сложных двумерных задач, применением новых полных систем функций. Развитие этих методов должно дать новый импульс методам адаптивного управления полем, но на начальной стадии своего развития они могут применяться и независимо.
Основным преобразованием, наиболее широко применяемым в современной когерентной оптике, является, без сомнения, двумерное преобразование Фурье. Его применениям посвящено большое количество литературы. В основном эти применения основаны на частотной фильтрации (в том числе согласованной голографической фильтрации для распознавания образов) двумерных сигналов [56, 58, 66, 67] .
Частотная фильтрация приводит к подавлению ряда частот в спектре сигнала, что позволяет выделить его полезную часть. Другим методом обработки сигналов является использование фазовых фильтров как в частотной, так и в пространственной областях.
Использование фазовых фильтров не приводит к потере информации, но позволяет управлять структурой сигнала, видоизменять используемые преобразования сигнала и т.д. Одним из примеров такого подхода является (одномерное по сути) преобразование Меллина, которое получается из одномерного преобразования Фурье заменой координаты с помощью фазового одномерного фильтра. Оно может параллельно выполняться и по обеим координатам одновременно. Другим примерам посвящены следующие разделы.
1. Бессель-оптика
Название Бессель-оптика происходит от термина Фурье-оптика [25], так как здесь интегральные преобразования с ядром в виде функции Бесселя
играют ту же роль, что и преобразование Фурье в Фурье-оптике, а преобразование Бесселя нулевого порядка совпадает с преобразованием Фурье (для полей с круговой симметрией).
Вопрос об оптической реализации преобразований Бесселя произвольного заданного порядка впервые был поднят в работе [68] . в этой работе отмечается, что оптическая реализация преобразований Бесселя была бы весьма полезна для работы с осесимметричными системами типа лазерных резонаторов и оптических многомодовых волокон. Предлагаемые в этой работе подходы, основанные на совмещении систем с пространственной фильтрацией и систем с преобразованием координат, конструктивно чрезмерно усложнены, а получаемые на выходе сигналы нельзя непосредственно использовать в оптическом тракте. В результате получаются системы скорее типа аналоговых вычислителей, чем оптических преобразований, а сам принцип совместного применения преобразования координат в каскаде интегрального преобразования не вполне корректен физически, так как преобразование координат (по Брингдалу [71]) основано на приближение геометрической оптики (а не на дифракционном), что вносит сильные и неустранимые искажения в получающееся преобразование.
1.1. РАСЧЕТ ФАЗОВОГО ФИЛЬТРА ДЛЯ РАЗЛОЖЕНИЯ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО КОГЕРЕНТНОГО ОПТИЧЕСКОГО ПОЛЯ ПО БЕССЕЛЕВЫМ МОДАМ ЗАДАННОГО ПОРЯДКА
Теория разложения в ряды по функциям Бесселя и теория интеграла Фурье-Бесселя детально разработаны [43, 58, 61] .
В пространстве функций с конечной энергией для каждого N=0,1,2,... Функции Бесселя ^(с^х) образуют полную ортогональную систему.
Уже первые три бесселевы моды содержат 99,8% энергии гауссова пучка, что показывает эффективность разложений в ряд Фурье-Бесселя в данном случае (для разложения в ряд Фурье от двух переменных с такой точностью потребовалось бы учесть больше членов - около 20). Это является прямым следствием учета симметрии задачи и ее одномерности: вместо к2 коэффициентов при двумерном разложении требуется только м коэффициентов при одномерном разложении с той же точностью.
Преобразование Бесселя £ (г)-г(Ю,
Г(И) = /гИг)*! (гЮс^г о 1*
является обратимым интегральным преобразованием и совпадает со своим обратным. Отсюда видно, что бесселевы гармоники переходят в дельтафункции, что позволяет осуществлять фильтрацию в области пространственных частот так же, как в Фурье-оптике.
Более точно, ввиду конечности апертуры оптической системы, получаются не дельта-функции, а кольца конечной ширины со структурой, которую
можно определить с помощью интегралов Ломмеля. Численное построение графиков этих величин показало, что их вид аналогичен эл-пс-функциям в Фурье-оптике. Это узкие кольца с максимом там, где должны быть дельтафункции, с быстро спадающей к краю интенсивностью и дифракционными колебаниями на краях. Преобразования Бесселя высших порядков превращают гауссовы пучки в пучки кольцевой структуры и обратно.
Для выполнения преобразования Бесселя порядка N над одномерным сигналом £ (г) с помощью двумерной оптической системы используется двумерный сигнал с осевой симметрией:
£ (х, у) = £ (г) , где г2 •-= х2+у2.
Во входной плоскости Фурье-каскада помещают оптический элемент (Бессель-элемент порядка Ю с поверхностью в виде N сегментов геликоида и суммарной высотой Мп-1). Таким образом, комплексную функцию пропускания Бессель-элемента порядка N выбирают равной е^1^, где Э - полярный угол в плоскости элемента.
Преобразование Фурье-Бесселя получают, выполняя двумерное преобразование Фурье от сигнала eІN0.
В итоге это дает в выходной плоскости Фурье-каскада сигнал е*^ р(Ю с таким же фазовым искажением, которое было внесено на входе
и может быть устранено с помощью Бессель-элемента порядка -Ы, то есть такого же элемента, но поставленного обратной стороной.
В Бессель-элементе фаза растет вдоль окружностей, концентричных началу координат против часовой стрелки (если смотреть вдоль оптической оси по ходу лучей). Если его повернуть другой стороной, то фаза будет
расти по часовой стрелке. В итоге комплексная функция пропускания эле-
1М0 - 1гд0
мента, поставленного обратной стороной, будет не е , а е , то есть
сопряженная к е*мв, что и позволяет использовать его для подавления фа-1.
зы сигнала е 1 Г(И) (для произвольных фазовых элементов это, конечно, неверно).
В случае использования в выходной плоскости амплитудного детектора необходимость во втором Бессель-элементе отпадает. Поэтому для осуществления преобразования Бесселя от оптического поля £ (х, у) = £ (г) на входной плоскости достаточно иметь квадратичный фазовый фильтр (линзу), осуществляющий Фурье-преобразование, и два фазовых фильтра типа е ,
-1ме
е , расположенных во входной и выходной плоскостях соответственно.
Измерение коэффициентов ряда можно проводить, если выполнить преобразование Бесселя порядка Ы, при котором Л. (Ь, х) <--------> 6(К-Ь,), и из-
Гч К К
мерять яркость получающихся колец, вырезая их кольцевыми диафрагмами или используя кремниевый фотодетектор с кольцевыми элементами [60] .
Следует отметить, что элементная база Бессель-оптики фактически отличается от базы Фурье-оптики только включением фазовых фильтров с
±±N0
комплексной функцией пропускания е , что определяет простоту перехода от Фурье-оптики к Бессель-оптике.
Интересно, что те же элементы позволяют получать базисные решения двумерного уравнения Гельмгольца вида
еш^(сг),
что позволит применить эти элементы для решения различных волноводных задач [1, 4, 41, 50, 64].
1.2. ВЛИЯНИЕ ДИСКРЕТИЗАЦИИ И КВАНТОВАНИЯ НА РАБОТУ СИНТЕЗИРОВАННОГО ФИЛЬТРА
Независимо от способа кодирования и регистрации фильтра дискретизацию фазовой функции фильтра можно описать как последовательность двух операций [25, 58].
Первая операция - умножение на гребенку Дирака - приводит к появлению дополнительных изображений, образующих в частотной плоскости решетку с шагом г/с! (здесь Ъ - фокальный параметр: произведение длины волны света на фокусное расстояние Фурье-линзы).
Появление дополнительных изображений за счет дифракции на растре никак не влияет на качество работы синтезированного Бессель-элемента, так как все помехи, вызванные дискретизацией, имеют спектр за пределами рабочей зоны пространственных частот (от -1/2с1 до +1/2(3 в соответствии с пределом Найквиста).
Последствия дискретизации сводятся к следующему:
1) потери энергии в высшие порядки дифракции на растре (до 30%);
2) ограничение полосы пространственных частот обрабатываемого сигнала (предел Найквиста).
Наконец, дискретизация приводит к разрушению фазовой функции Бессель-элемента, имеющего особенность в центре (при г=0) на радиусе порядка N(1, что выражается в рассеянии энергии сигнала в круге такого радиуса под псевдослучайными углами.
Влияние квантования на М уровней фазовой функции на работу Бессель-элемента более сложно.
Наиболее точные результаты дает рассмотрение квантования как нелинейного искажения фазы [78, 79] по одному и тому же на всем элементе закону (весь диапазон значений фазы разбивается на М отрезков и в каждом из них берется среднее значение).
Обозначим фазу через р, а квантованную фазу Р(р). Так как Р(р) периодична, то Р(р) можно разложить в ряд Фурье. Разлагая прямоугольные Функции (гесЪ (х) =1 при 1x1 <1/2 и гесЫх)=0 при 1x1 >1/2) в ряд Фурье и суммируя, имеем:
_1Р(о) 1°° . Лу л.(кМ+1)р (-1)^ .
е = 2 81пс(й)е шРГ
к=-°°
Эта формула показывает, что при квантовании фазовой функции Бессель элемента кроме преобразования заданного порядка N, соответствующего к=0, возникают преобразования Бесселя кратных порядков (kM+l)N, k=±l,±2,±3,..., которые когерентно складываются. Из них максимальную энергию имеет преобразование, соответствующее к=-1. При М=2 (бинарное квантование) энергии для k=0, -1 равны, то есть когерентно складываются преобразования Бесселя порядков N,-N, что дает периодическую модуляцию выходного сигнала по углу 0, близкую к cos2 (N3).
Формула дает и оценку общей энергии помехи, обусловленной квантованием, в долях энергии сигнала по отношению к полной энергии
е = 0.60, 0.19, 0.05, 0.01, 0.003, 0.0008 при М = 2 4 8 16 32 64 соответственно.
Таким образом, квантование фазы приводит к "структурированным" по“ мехам на высоких обобщенных пространственных частотах (радиусах в выходной плоскости), так как средний радиус сигнала после преобразования порядка N растет примерно пропорционально корню N. Это показывает, что при больших М помехи квантования не только малы по энергии, но и слабо перекрываются с полезным выходным сигналом, что дает возможность работать с небольшим числом уровней квантования фазы.
Все вышесказанное относится к помехам квантования для Бессель-эле-ментов, изготовленных в виде элементов плоской оптики, то есть непосредственно в виде фазового рельефа.
При изготовлении их в виде искусственных голограмм, то есть методами цифровой голографии с наложением пространственной несущей, вместо фазы р в формулы для фазы следует подставлять р+ах+Ьу, где (а, Ь) - вектор пространственной несущей.
Это показывает, что преобразования Бесселя кратных порядков, вызванные квантованием, не накладываются когерентно на основное, а уходят в высшие порядки дифракции.
Аналогично могут быть выведены оценки для любых регулярных (по одинаковому закону на всем элементе) искажениях фазы Бессель-элемента и их общему действию.
Вместе с тем, при использовании несущей требуется максимально возможная пространственная частота (ограничение состоит в том, чтобы период изменения фазы р+ах+Ьу был везде меньше 2с1 как по х, так и по у) для отделения рабочего дифракционного порядка от высших порядков, а это, в свою очередь, вводит ограничения (в 2-4 раза) на максимальные пространственные частоты фазы Бессель-элемента, то есть уменьшает допустимый порядок N преобразования и увеличивает радиус вышеупомянутого круга, в котором происходит "распад" фазовой функции, то есть ограничивает снизу пространственный диапазон обрабатываемых сигналов.
- 14-
1.3. ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕКТРАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, ПОЛУЧЕННОГО С ПОМОЩЬЮ СИНТЕЗИРОВАННОГО ФИЛЬТРА
В данной работе в качестве Бес-сель-элементов использовались непосредственно маски-фотошаблоны в виде амплитудных голограмм (в основном бинарные [15]) на фотопленке (рис. 1). При этом не учитывались ни фазовые шумы подложки и эмульсии, ни нелинейность характеристик записи, а оптическая схема собиралась на стандартных элементах из комплекта УИГ-2 (линза с £=400 мм) с использованием гелий-неонового лазера ЛГ-52-3 (4 мВт). Преобразование Бесселя 24-го порядка от простейшего входного сигнала (равномерно освещенная круглая апертура, плоский
р волновой фронт) наблюдалось в +1 и
ис* 1• Бессель-элемент 24-го порядка
с несущей порядках дифракции.
Было заметно влияние неточности ручной юстировки положения апертурной диафрагмы относительно оптической оси, проявляющееся в некоторой асимметрии выходного сигнала. Размеры темного пятна в центре спектрального распределения соответствовали рассчитанному с помощью ЭВМ.
1.4. 803БУЖДЕ НИЕ БЕССЕЛЕВЫХ МОД ЗАДАННЫХ ПОРЯДКОВ В ОПТИЧЕСКОМ ВОЛОКНЕ СО СТУПЕНЧАТЫМ ПРОФИЛЕМ ПОКАЗАТЕЛЯ ПРЕЛОМЛЕНИЯ
Как было указано выше, ввиду того, что преобразование Бесселя любого порядка совпадает со своим обратным, его можно использовать для мо-дового синтеза, то есть для получения когерентного поля, являющегося заданной комбинацией бесселевых мод.
Для создания каждой отдельной моды используется тот факт, что преобразование Бесселя от дельта-функции (что физически соответствует тонкой кольцевой щели, концентричной началу координат) дает в выходной плоско-
• хтО
сти моду вида: е *1., (аг) , где номер моды "а" пропорционален радиусу
N
исходной щели. Важным является то, что эта мода как по распределению амплитуд, так и по форме волнового фронта является модой оптического волокна со ступенчатым профилем показателя преломления всюду, кроме тонкого переходного слоя от сердцевины волокна к оболочке. Это дает возмож-
ность возбуждать данную моду в волокне практически в чистом виде (с уровнем шумов в доли процента).
Возможно также возбуждение сразу нескольких мод с помощью пластинки с несколькими концентрическими кольцевыми щелями. Такого рода пластинки изготавливаются в виде зеркальной пленки металлического хрома, напыленной на стеклянную оптическую подложку. На этой пленке вытравливается рисунок щелей, наносимый с помощью кругового генератора изображений, используемого для рисования фотошаблонов дифракционных линз [6 2] . Генератор изображений позволяет получать кольца с минимальной шириной до 1 мкм и шагом до 3 мкм. Эти пластинки можно использовать и как пространственные фильтры в каскаде Бессель-оптики для подавления определенных мод или измерения энергии фиксированных мод в осесимметричном поле когерентного излучения.
Следует отметить, что при освещении нормально падающей плоской волной непрозрачной диафрагмы с одной или несколькими тонкими щелями большая часть энергии не проходит в щели и, таким образом, не используется для возбуждения мод в волокне. Для решения этой проблемы мы предлагаем использовать тот факт, что пленка хрома обладает высоким коэффициентом отражения, и поэтому пластинку с кольцевыми щелями можно установить на место выходного полупрозрачного плоского зеркала стандартного полукон-фокального резонатора лазера, используемого для возбуждения мод в волокне. Тогда весь вывод излучения из резонатора, кроме обычных дифракционных потерь, будет идти через кольцевые щели и вся энергия генерации лазера будет использоваться для возбуждения мод.
Таким образом, на основе модифицированного резонатора и Бессель-каскада можно создать простое и высокоэффективное устройство для возбуждения в волокне со ступенчатым профилем показателя преломления бесселевых мод заданного порядка.
2. Фазовые оптические элементы с заданной диаграммой направленности
Оптическое преобразование Фурье пространственно разделяет спектральные компоненты когерентного поля (плоские волны) и, собирая энергию каждой компоненты в точку, позволяет изменять их энергии независимо, то есть осуществлять их пространственно-частотную фильтрацию. Обратной задачей к данной является получение заданного спектрального распределения энергии когерентного поля по плоским волнам за счет управления его фазой (без потерь энергии). Данная задача является типичной нелинейной обратной задачей оптики, ее постановка аналогична постановке некорректных задач математической физики [32, 53, 57]. В частности, множество фазовых функций, среди которых ищут решение, представляет собой компакт.
- М-
Фактически вопрос сводится к управлению амплитудной диаграммой направленности с помощью оптимизации фазовой функции модулирующего элемента.
Управление диаграммой направленности (ДН) искусственных фазовых оптических элементов важно во многих практических задачах, возникающих сейчас в голографии, интегральной оптике, оптической обработке информации, фокусировке когерентного излучения, оптической томографии и других областях современной оптики. Значительный прогресс в решении задач такого типа достигнут в настоящее время в теории антенн [7, 8, 27, 28, 37] .
В оптических задачах вопрос об управлении диаграммой направленности не менее важен, а круг задач, в которых он естественно возникает, даже шире [9, 22, 25, 45, 52]. Мы будем рассматривать постановку задачи, отличающуюся от постановки задач по синтезу диаграмм направленности в теории антенн: краевыми волнами здесь можно пренебречь, а в качестве цели выступает не увеличение коэффициента направленного действия или снижение уровня боковых лепестков, а поиск возможностей по манипулированию формой диаграммы направленности в наиболее широких пределах. Кроме того, точность реализации фазовых функций в оптическом диапазоне существенно меньше, чем в случае антенн, что делает нерациональным решение задач типа получения сверхнаправленности (с подавлением боковых лепестков на 30-40 дБ).
Вместе с тем точность расчета диаграмм направленности в десятые доли процента вполне достаточна для оптических приложений, что позволяет использовать для расчета обычные приближения Френеля и Фрауенгофера.
В чистом видр оптический элемент с заданной диаграммой направленности - это, например, фазовая дифракционная решетка с заданным распределением энергии по дифракционным порядкам. Применяя такой элемент в комбинации с другими искусственными и традиционными фазовыми оптическими элементами, можно получить ряд интересных устройств: расщепители пучка, многофокусные линзы и мультипликаторы изображений [62, 80] , многоканальные системы фильтрации, киноформы, фокусаторы [30] и т.п.
Использование многоканальной система с такого рода дифракционными решетками в качестве расщепителей пучка для построения оптической схемы импульсной трехмерной томографии плазмы описано нами в [5, б] .
Расчет фазового дифракционного элемента со сложной диаграммой направленности применялся для получения измерителей мощности лазерного излучения путем отвода малой заданной части энергии в первый порядок Дифракции, а также для получения двумерных преобразователей гауссова пучка в пучок, близкий к равномерному, и расщепителей пучка с большим числом каналов при малом числе уровней квантования фазы (для травления фотолитографическими методами).
Настоящая работа в экспериментальном плане посвящена в основном одномерным фазовым элементам ИК диапазона. Главный фактический материал -
большое число (несколько сотен) модельных исследований-расчетов на ЭВМ.
В качестве экспериментального объекта были выбраны фазовые дифракционные решетки, так как на них можно наиболее просто и точно измерить диаграмму направленности без использования сложной специализированной аппаратуры .
2.1. МЕТОДИКА РАСЧЕТА ФАЗОВОЙ ФУНКЦИИ,
ДАЮЩЕЙ ЗАДАННУЮ ДИАГРАММУ НАПРАВЛЕННОСТИ
Будем предполагать, что плоский волновой фронт когерентного монохроматического излучения падает нормально на поверхность фазового оптического элемента. Обозначим: а - угол дифракции, u=sin(a)/X - спектральная координата, X - длина волны света. Тогда интенсивность света, дифрагированного в направлении, есть, как известно [54]:
I(u) = IF (и) I2 I sin(nN0ud)/sin(nud)I 2, (2.1)
где
Nq - число повторений (периодов)?
d - величина одного периода.
Здесь F(u) обозначает (с точностью до постоянного множителя) преобразование Фурье от фазовой функции периода р(х) [54, 55]:
F(u) = ;e_2niuxeip(x)dx. (2.2)
О
Поскольку рассчитываемые элементы, как правило, изготовлялись в виде элементов плоской оптики [30], самым естественным типом профиля является кусочно-постоянный (растровый), при котором период делится на N элементов размера 6=d/N. Для такого профиля (2.2) сводится к ДПФ:
F(u ) = const • sincfi) NE e-2rufreipk • (2*3)
N k=0
Здесь un=n/d - главные направления (максимумы) решетки, II<1/X. Уравнение (2.3) позволяет рассчитывать поле в главных максимумах решетки прямо через БПФ (быстрое преобразование Фурье), что является основой для простоты и эффективности моделирования и решения этой задачи на ЭВМ.
Уравнения (2.1), (2.3) определяют поле во всей области изменения и. Задача, таким образом, сводится к определению фаз р^, которые дают наилучшее приближение IF (и )1, то есть ДН к заданной. Достаточно рассмат-
п
ривать только F(un), так как F(u) восстанавливается по F(un) очевидным образом (теорема отсчетов).
В качестве критерия близости диаграммы направленности к заданной выберем
~~~~~ I А)
е = На - <alb>b II2, к
где а = а/11а11, b = b/ilbll - нормированные вектора а = {ап> , b = {Ъп},
ГДе ап ” заданные величины IГ (ип) I ^ а - рассчитанные. Здесь Ма112 =
£а£, <а1Ь> = £а Ь .
* п п
Таким образом, е имеет физический смысл энергии компенсирующего поля, которое необходимо добавить к рассчитанному, чтобы получить в точности заданную диаграмму направленности (в относительных единицах энергия заданного поля полагается равной 1).
В качестве основного алгоритма расчета диаграммы направленности был выбран итерационный алгоритм типа алгоритма Герчберга-Сакстона [82] с различными ограничениями как в пространственной, так и в частотной (спектральной) областях - коррекция амплитуд, квантование фаз, коррекция дифракции на растре.
2.2. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ ПО СИНТЕЗУ ДИАГРАММ НАПРАВЛЕННОСТИ НА ЭВМ
Выравнивание диаграммы направленности в заданном угле
Выравнивание ДН в заданном угле - одна из наиболее интересных задач в плане широты применения результатов. Получив ДН типа 1 в заданном угле, типа 0 вне его, можно, например, построить фазовую дифракционную решетку, расщепляющую плоский волновой фронт (параллельный пучок) на веер одинаковых плоских фронтов (пучков); многофокусную линзу с линейной или прямоугольной матрицей фокусов (с одинаковым распределением энергии в каждом из фокусов); элементы, фокусирующие когерентное излучение в отрезок или прямоугольник.
Применение дифракционных решеток, расщепляющих параллельный пучок лучей на веер таких же пучков с числом пучков в несколько десятков и примерно равными энергиями (отличие максимальной энергии от минимальной не более чем в 1,5-2 раза) в схемах голографической интерферометрии [5, 6], делает технически возможной оптическую томографию быстропроте-кающих процессов, например плазменного разряда с длительностью порядка микросекунд. Использование здесь такого рода искусственных оптических элементов со сложной фазовой функцией упрощает во много раз оптическую схему просвечивания плазмы и схему голографической регистрации, так как вся информация записывается на одну или две голограммы (при числе точек разрешения по глубине до сотни).
Большой практический интерес сейчас представляют решетки с симметричным набором дифракционных порядков и равными энергиями во всех заданных порядках (задаются при этом фактически энергии не равные, а пропорциональные 1/б1пс(^) так, чтобы учитывать дифракцию на растре).
Некоторые примеры точности расчета для решеток с дифракционными порядками -В,...,0,... ,+В, (2В+1=К) и равными энергиями в этих порядках
(в остальных порядках задается энергия 0) приведены в табл. 2.1.
Зависимость е для оптимальных построенных решеток от числа порядков (с равными энергиями) К и числа элементов растра дискретизации
N К 1 ; ^ Г ; ^ 1 ; 9 1 * 15 * ! ! 31 1 ; 37 1 ! 73
8 .017 .00008 _ _ - - -
16 .090 .027 .070 .002 - - -
32 .110 .026 .061 .034 .001 - -
64 .109 .025 .056 .040 .030 .014 -
128 .109 .025 .055 .039 .037 .033 .018
Впервые возможность решения задачи такого типа была продемонстрирована в [80]. В этой работе решалась задача получения фазовой дифракционной решетки с равными энергиями в порядках -В,..•,0,...,+В, а фазовая функция периода решетки предполагалась квантованной бинарно, но без дискретизации (эта постановка была обусловлена имевшейся технологией изготовления фотошаблонов и фотолитографического травления). Такая постановка задачи приводила к необходимости решать нелинейную систему уравнений с размерностью, равной "В”, при предположении симметричности фазовой функции периода (без этого предположения эта размерность была бы равна "2В+1", а снижение этой размерности является одной из главных проблем). Авторам удалось получить решения с величиной "В" до 8. В дальнейшем Ю.Г. Туркевич и С.Т. Бобров [62] получили решения этой задачи с величиной "В” до 11, а при больших "В" решения найти не удалось, хотя оно/ скорее всего, существует.
В нашей постановке задачи с дискретизацией фазовой функции и квантованием на произвольное число уровней трудности,связанные с ростом размерности практически отсутствуют, хотя наблюдается некоторое замедление сходимости, особенно близки решения, что приводит к необходимости модификации алгоритма на последних шагах расчета, если необходимо более точное выравнивание энергий в порядках -В,...,0,...,+В. Вне этого интервала подавление ненужных порядков дифракции всегда хорошее (то есть почти вся энергия идет в рабочие порядки -В,...,0,...,+В обычно более 98-99%). Величина "В" задает угол, в котором выравнивается ДН. Гри расчете элемента с N элементами растра должно быть В<Ы. Существуют, однакс>, два фактора, искажающих реальную ДН, которую нужно сделать прямоугольной .
Первый фактор аналогичен эффекту Гиббса и выражается в том, что если задавать ДН как чисто прямоугольную (то есть круто срезанную на краях), то внутри рабочей зоны и сразу за ее краем появляются неустранимые осцилляции амплитуды, величину которых нельзя редуцировать расчетным путем.
Этот эффект можно в значительной степени подавить, если сразу задать искомую ДН не как прямоугольную, а как, например, трапециевидную, то есть плавно срезанную на краях. Получающаяся при этом ДН в среднеквадратичном больше отклоняется от прямоугольной, чем имеющая осцилляции, однако если ограничиться той частью, где амплитуда ДН задана все же постоянной, то здесь точность значительно выше. В итоге оказывается, что за хорошее (до 1-2%) выравнивание в рабочей зоне ДН надо заплатить некоторой потерей энергии (обычно небольшой - до 5%).
Второй фактор - падение дифракционной эффективности с пространственной частотой, обусловленное ДН одного элемента растра. В случае точно ступенчатой формы профиля этот эффект учитывается множителем з1пс(п/Ы), однако для реальных элементов форма профиля растра никогда не получается строго прямоугольной, реальное падение дифракционной эффективности несколько больше.
Данный эффект имеет и полезную сторону - за счет изменения формы профиля рельефа на элементе растра, чтобы обеспечить более крутое падение экспериментальной кривой, можно эффективно подавить боковые лепестки, сохраняя при этом программную коррекцию формы ДН в центральной зоне (главный лепесток).
Элементы с асимметричной и сложной диаграммой направленности
Как показали расчеты, проведенные на ЭВМ, почти для любого распределения а^ (то есть ДН) можно найти фазы р^, создающие его с приемлемой точностью. Величину этой точности трудно предугадать заранее; можно только сказать, что она, как правило, улучшается при увеличении числа
ненулевых аж.
п
Двумерные элементы
Для случая факторизующейся ДН Г (и, V) = А(и)В^), где и, V - спектральные координаты, соответствующие х, у, можно осуществлять поиск фазовых функций, дающих нужную ДН, независимо по х и у. Найденные фазовые Функции складываются, что и дает искомую двумерную фазовую функцию (рис. 2).
Как показали эксперименты и моделирование на ЭВМ, двумерный случай Даже в этом простейшем варианте предъявляет более высокие требования как к точности получаемых решений, так и к точности изготовления элементов. Основной причиной этого является перекрестная когерентная интерференция дополнительных дифрагирующих волновых фронтов, образующихся из-за неточностей расчетов и технологии не только по каждой из координат, но и между ними.
Рис. 2. Факторизующаяся двумерная фазовая функция для фокусировки в квадрат (с добавлением фазовой Функции линзы)
Для ИК диапазона (10.6 мкм) были изготовлены элементы с квадратной, сетчатой и квазилинейной (в виде отрезка) ДН . Геометрические размеры ДН при этом удавалось выдерживать достаточно точно (подавление ДН там, где заданы ап=0), но внутри ДН по указанным причинам наблюдались заметные колебания интенсивности.
2.3. ВЛИЯНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ В ЗАДАНИИ ФАЗЫ НА ДН
На вид ДН фазового оптического элемента наиболее сильно влияют технологические погрешности, вызванные несовершенством методов изготовления элементов. Наиболее общие методические погрешности, свойственные всем технологиям, - это клиппирование (умножение на фактор, близкий к единице) фазы и нелинейность ее регистрации. Пусть f - фаза, 0<£<1.
Для функции пропускания элемента тогда имеем (£)
1Г(П _ 1П£ ,2
= п£—спе ' п п =
Когда передача фазы идеальна (совершенная технология), с1=1 и сп=^ для остальных п. В реальной ситуации 1с I2 - энергия дополнительно возникающих волновых фронтов с кратной фазой. Для элементов с несущей (голограмм) это энергия, идущая не в рабочий порядок дифракции, а для элементов с линзой (см. ниже) это энергия, идущая в дополнительные (ве-
щественные и мнимые) фокусы, равные ¥/п (Г - фокусное расстояние добавляемой линзы). Во втором случае можно непосредственно измерить эти энергии и по ним определить реальную функцию передачи фазы. Это позволяет производить соответствующую коррекцию при расчете. Величина 1-1с 1а фактически выражает потери от нелинейности.
Клиппирование лучше изучать на конкретных примерах. Для элемента, собственная погрешность ДН которого мала, погрешность, обусловленная клиппированием, изменяется так:
1+С .7 .8 .9 .95 .98 1.00 1.01 1.05 1.1
е .23 .11 .03 .008 .001 .000 .000 .01 .03
Наличие растра проявляется в появлении боковых лепестков
N-1 0 .кп . _
Г (и ) = БЗ-ПСС—) 2 е ^ е к П Ы к=о
то есть периодическая по п функция под знаком суммы модулируется умножением на з1пс(^). Фактически рассчитывается N амплитуд Г(ип); физически их число около 2с1/А (здесь А. - длина волны), поэтому рассчитывается только центральная часть (половина ширины) главного лепестка (то
N
есть зоны IпI< у). Для подавления ДН вне заданного угла лучше исполь-N
зовать В< ^ , тогда всплески энергии могут появиться только в боковых лепестках. Поскольку N6=^1, то число боковых лепестков определяется отношением размера элемента растра 6 к длине волны и при размере элемента растра менее половины длины волны боковых лепестков (в указанном смысле) не возникает.
Необходимость в исследовании влияния квантования фазы на качество элементов определяется в первую очередь технологией их изготовления.
В настоящее время для изготовления элементов в оптическом диапазоне со сложным периодом самым перспективным методом является, по-видимому, фотолитография, так как этот процесс, хорошо освоенный в производстве интегральных схем, сравнительно доступен при весьма высокой точности получаемых результатов. При этом благодаря имеющейся аппаратуре совмещения есть возможность многостадийного травления с использованием нескольких фотошаблонов. Как показали расчеты, для всех решеток при М=32 погрешности квантования фазы становятся пренебрежимо малы, а при М = 16 или М = 8 они, как правило, еще вполне терпимы. Два примера приведены в таблицах 2.2 и 2.3.
Кроме того, эти данные показывают, что характерная величина ошибки Фаз решетки, приводящей к заметному ухудшению качества, порядка 1/8, а ошибки меньше 1/16 практически не существенны, что также указывает на устойчивость получаемых решений. Фундаментальной причиной этого служит то, что дискретизация регуляризует данную некорректную обратную задачу.
Зависимость е для решеток с 15 порядками равной энергии при N=32 и N=64 от числа уровней квантования фазы М
111111 м ; 2 ;4 ;в ;1б ;з2 ;•
N ; ; ; ; ; ;
32 .20 .15 .07 .04 .03 .03
64 .18 .19 .08 .05 .04 .04
Таблица 2. 3
Зависимость е для решеток с 31 порядком равной энергии при N=32 и N=64 от числа уровней квантования фазы М
1 1 ■ II м; 2 ; 4 ; 8 ; 16 N ^|||| • • • • "Т — ; 32 1 ■| ■ - 00 1 1
32 .11 .07 .03 .001 .001 .001
64 .35 .18 .07 .04 .03 .03
Это легко показать, дифференцируя величины IГ(и ) I по вариациям дискретизованных фазовых функций.
2.4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ, СИНТЕЗИРОВАННЫХ ДЛЯ 10.6 мкм ИК ДИАПАЗОНА
Для экспериментального исследования ДН фазовых оптических элементов растрового типа была выбрана технология формирования рельефа на желатине с последующим напылением в вакууме тонких слоев алюминия и меди [30] . Фотошаблоны (многоградационные маски для задубливания желатина (рис. 3)) изготавливались на растровом сканирующем устройстве вывода на фотопленку Р-1700. Элементы помещались в пучок многомодового 10.6 мкм когерентного излучения. Поскольку при расчете к фазовой функции элемента добавлялась фазовая функция линзы (с фокусным расстоянием 400 мм) , то в фокальной плоскости этой линзы наблюдалась картина дифракции Фрау-енгофера в виде набора точек (главных максимумов) для решетки или в виде прямоугольника, отрезка и т.п. для апериодического элемента (киноформа ) .
Энергия в главных максимумах измерялась при помощи калориметра. Кроме того, наблюдалось визуально тепловое воздействие излучения на бумагу, плексиглас и другие материалы. Точность измерений калориметром оценивалась в 8-10% по уровню измеряемых величин.
Замерялась общая энергия падающего излучения и энергия в главных максимумах решетки, а также в дополнительных (кратных) фокальных плос-
Рис. 3. Фотошаблоны для фазовых дифракционных решеток
(с добавлением линзы)
костях, возникающих за счет нелинейности регистрации фазы. Как правило, за счет диффузного рассеяния, наличия.боковых лепестков и еще больше -из-за значительной нелинейности регистрации фазы - в основной фокальной плоскости суммарная энергия (то есть величина I с1Iа - см.выше) составляла 4 0-50% энергии пучка. Величина 1с-|2 - около 15%, |с I2 -
2 ' о
около 10% и т.п., то есть нелинейность была значительной. Точность измерений была недостаточной для приемлемого по точности восстановления функции передачи фазы, которая отличалась нестабильностью в силу нестабильности свойств использованных фотоматериалов и процессов обработки. По измерениям на интерференционном микроскопе можно было оценить величину клиппирования (неточность контроля глубины рельефа), которая составляла около 10%, но была довольно неоднородна по площади элементов.
В то же время форма ДН в главной фокальной плоскости по данным калориметрически х измерений практически совпадала с заданной, так как здесь на нее влияло в основном только клиппирование, которое, по оценкам, давало искажение формы ДН до е=0.03, то есть не различимое визуально и с помощью калориметра.
Для измерения кривой уменьшения дифракционной эффективности (ДЭ) с пространственной частотой на реальном растре была изготовлена решетка с N=32 элементами растра и заданы ап=1 ПРИ 1п1<6, а обычная коррекция величин а^ для учета этого уменьшения ДЭ не производилась.
п 0 1 2 3 4 5 6
Теория: 1 .99 .95 .89 .81 .71 .61
Эксперимент: 1 .$6 С Г .77 .66 .62 . 57
Полученные данные подтвердили предположение о заметном влиянии технологического сглаживания профиля растра на скорость уменьшения ДЭ с пространственной частотой и величину боковых лепестков.
Разработанный метод дает возможность быстро и с очень небольшими вычислительными ресурсами управлять диаграммой направленности растровых фазовых оптических элементов. Это позволяет применить его к задачам реального времени, например, с использованием реверсивных голографических сред.
Описанная методика расчета фазовых дифракционных решеток с заданны ми параметрами (свойствами) позволяет решать целый ряд задач управления электромагнитным излучением в видимом, ИК и других диапазонах. Сравнительная простота расчета и изготовления таких решеток обеспечивают этому методу широкие возможности применения в различных областях физики и техники.
3, Синтез и исследование фазовых пространственных фильтров для заданных криволинейных преобразований координат
Для оптической обработки информации (как в когерентном, так и в некогерентном свете) одной из типичных операций является преобразование координат в изображении, то есть такое преобразование светового поля, при котором точке во входной плоскости системы соответствует точка в выходной плоскости системы, где соответствие понимается в смысле геометрической оптики. Задача о получении нужных для конкретной задачи преобразований при помощи искусственных голограмм многократно ставилась в литературе (см., например, [18, 71-75]). Фактически для построения нужной фазовой функции необходимо решить систему дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка.
Эта глава посвящена выяснению вопроса о том, когда данная система уравнений интегрируема (то есть когда нужная фазовая голограмма может быть получена в принципе)? методам получения решений этой системы (интегрирования) с помощью комплексных функций, а также одному из перспективных приложений - голографическому распознаванию образов (с помощью двумерной корреляции), инвариантному к поворотам, изменению масштаба и сдвигам входного сигнала (а не только к сдвигам, как это имеет место в обычных голографических корреляторах).
3.1. РАСЧЕТ ФАЗОВЫХ ФИЛЬТРОВ ДЛЯ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ КООРДИНАТ
Рассмотрим схему преобразования координат изображения с использованием частотной плоскости линзы [71]. Если фазовую функцию оптического элемента (безразмерную) обозначить через Г(х, у), то для параксиальной области имеем
и(х, у) = | Гх(х, у), У(х, у) = | у)/ (3.1)
где
(х, у) - декартовы координаты луча в передней фокальной плоскости линзы (в этой плоскости располагается элемент);
(u, v) - декартовы координаты луча в задней фокальной плоскости
линзы (в этой плоскости наблюдается преобразованное изображение) ; f - фокусное расстояние линзы*
к - волновое число;
Fxf Fy - частные производные F(x, у) по х и у.
Систему уравнений (3.1) будем рассматривать как систему уравнений
для решения обратной задачи: для заданных функций u(x, y)f v(x, у) найти F(x, у) - фазовую функцию оптического элемента, выполняющую данное преобразование.
Очевидно, что необходимым условием существования гладкой F(x, у)
является условие u =v . Можно показать [32, 59, 63], что это условие
У эс
является и достаточным для односвязных областей. Это условие фактически означает независимость интеграла по кривой udx + vdy от кривой, по которой производится интегрирование. Это позволяет легко построить функцию по функциям и(х, у), V(х, у) с помощью численного вычисления соответствующих интегралов на ЭВМ.
Для получения оптической системы для преобразования координат без помощи линзы можно непосредственно использовать уравнения геометрической оптики [36] . Исходная система уравнений здесь такова: u = х + sP (х, у);
Л
v = у + sPy(x, у); (3.2)
S = f/(l-Pa - Р2) 1/2.
X у
Здесь
f - расстояние между плоскостью оптического элемента и плоскостью наблюдения? s - оптическая длина пути луча?
Р - эйконал (то есть F(x, у) = кР(х, у).
Преобразуя эту систему к виду, аналогичному (3.1), имеем:
Р = X/(1+X2+Y2)1/а, Р = Y/(l+X2+Y2)(3.3)
X у
где X = (u-x)/f, Y = (v-y)/f.
В параксиальном приближении
РХ = Х' Ру = Y- {3-4)
Условие интегрируемости системы Ху=^х совпадает с условием существования, как и следовало ожидать, для параксиальной области.
Во многих практически важных случаях решение системы, то есть фазовую функцию F(х, у), можно получить явно, не используя численного интег-
рирования уравнений со всеми присущими ему недостатками (сложность расчета, необходимость учета погрешностей, обеспечение устойчивости и т.д.), Основанием для этого служит наблюдение, что условие существования совпадает с одним из пары уравнений Коши-Римана для комплексных антианалити-ческих функций [43] , то есть функций вида £ (г*) , где £(г) - комплексноаналитическая функция (например, полином, si.ii, 1п, ехр) , а звездочка означает комплексное сопряжение.
Таким образом, если преобразование (х, у)-(и, V), записанное в комплексном виде V/ = , VI = и + IV, г* = х - ±у, есть антианалитическая
функция, то выполнено условие существования и, кроме того, еще второе уравнение Коши-Римана. Тогда интегрирование можно описать так: ис1х + vdy = Ие (г *) йг *} , где dz* = dx - idy.
Это позволяет получить явную формулу для ¥{х, у)
Р(х, у) = (2*)аг*} . (3.5)
Таким образом, преобразование
(х, 1п г) (3.6)
осуществимо, а соответствующая фазовая функция имеет вид:
Г (х, у) = хв + у 1п г-у. (3.7)
Соответствующие фотошаблоны показаны на рисунках 4 и 5 .
Рис. 4. Фазовая Функция (3.7) с добавлением линзы
Рис. 5, Фазовая функция (3.7)
3.2. ИНВАРИАНТНОЕ РАСПОЗНАВАНИЕ ОБРАЗОВ НА ОСНОВЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ
Одной из главных проблем для голографических систем распознавания образов и других оптических систем, работающих на основе пространственной фильтрации, является то, что пространственный фильтр, необходимый для решения данной задачи, сильно зависит от искажений входного (двумерного) сигнала. Для систем голографического распознавания образов этими искажениями являются в первую очередь изменение масштаба входного сигнала (то есть распознаваемого образа) и его поворот.(Более конкретно см. [74].) Поворот изображения на входе относительно пространственного фильтра на 2-3 градуса или изменение масштаба на 2-3% приводит к полной неработоспособности системы.
Существует очень большое количество работ, посвященных попыткам преодолеть (хотя бы частично) вышеназванные трудности. Одним из наиболее логичных нам представляется подход, предложенный в работах [74, 92], где предлагается строить систему распознавания образов так, чтобы искажения входного сигнала, тип которых заранее известен, но не известны их параметры (то есть их величина), с помощью соответствующих преобразований переводить в конечном итоге в сдвиги, что делает систему инвариантной к данному типу искажений (то есть сигнал можно распознавать даже при сильных искажениях данного типа), а также по величине получаемых сдвигов (которые приводят к соответствующему смещению корреляционного пика на выходе системы) определить величину искажений.
Так, для распознавания образов, инвариантного к сдвигам, повороту и изменению масштаба, необходимо преобразование координат (3.6). В работе [74] предполагалось, что это преобразование можно разбить на два этапа, один из которых необходимо выполнять на ЭВМ (то есть строить гибридный процессор), а другой этап можно реализовать с помощью искусственной голограммы (преобразование Меллина) или специальной системы ввода изображения с логарифмическим отклонением электронного луча.
Как показывают результаты, приведенные выше, такое преобразование можно реализовать в один этап с помощью только одной искусственной голограммы с фазовой функцией (3.7). При этом в формулу (3.7) следует лишь ввести коэффициенты, учитывающие конкретную реализацию, то есть £, к, масштаб в выходной плоскости М и средний радиус входного сигнала Г0. Уточненная формула будет вкгглядеть так:
Г(х, у) = Мк + у 1п(£ ) -V) . (3.8)
£ о
Возможность осуществления таких оптических преобразований, как замены координат в изображении с помощью искусственных голограмм или фазовых элементов, предоставляет целый ряд принципиально новых возможно-
стей для построения гибких, надежных и мощных оптических систем технического зрения на основе двумерного преобразования Фурье. Это позволяет надеяться на практическое освоение новых областях применения оптической обработки информации.
3.3. ФИЗИЧЕСКИЕ ОГРАНИЧЕНИЯ ПРИ СИНТЕЗЕ,
ОБУСЛОВЛЕННЫЕ ДИСКРЕТИЗАЦИЕЙ, КВАНТОВАНИЕМ И НЕПАРАКСИАЛЬНОСТЬЮ
Как указывалось в разделе 1, дискретизация фазового фильтра, независимо от его внутренней структуры, приводит к ограничению его максимальных пространственных частот, пространственных частот обрабатываемого сигнала (для изображений это величина пространственного разрешения 1/2с1 линий/мм (для использованного устройства это составляло 20 линий/ми), а также к некоторой потере энергии за счет дифракции на растре, не накладывающейся на выходной сигнал.
Точно так же влияние квантования и нелинейных искажений фазовой функции следует рассматривать отдельно для двух случаев - элементов плоской оптики и искусственных фазовых голограмм. Здесь остаются в силе все выводы подраздела 1.2.
3.4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ СИНТЕЗИРОВАННЫХ ФИЛЬТРОВ
Для синтеза элементов для преобразований координат с помощью генератора изображений была написана программа, по структуре аналогичная программе синтеза элементов Бессель-оптики. В качестве тестового элемента для первоначального экспериментального исследования был синтезирован элемент со следующими параметрами:
- частота несущей, близкая к максимальной (около 15 линий/мм);
- размеры выходного изображения, определяемые масштабным коэффициентом М и фокусным расстоянием Фурье-объектива ± составляли
1 =2.8, 1 =8.6 мм при апертуре г =12.8 мм и £=750 мм (объектив С2) у шах
(3.8).
Фурье-каскад был собран на базе УИГ-2М с использованием гелий-неонэвого лазера ЛГ-52.
Преобразование от круглой равномерно освещенной апертуры показано ня рис. 6.
Наблюдались следующие отклонения преобразования от заданного. При смещении апертурной диафрагмы относительно центра элемента (в идеале отрезок прямой г=сопб*:) приобретает Б-образное искривление с величиной 1^ ^Г/Гшахг пР°п°РЦиональной величине смещения Ьг# Ширина линий в преобразованном изображении близка к оцениваемой по формуле 010а=сопБ1 , где
Э1 - ширина линии в исходном изображении;
- ширина линии в выходном изображении;
X - длина волны (0.633 мкм), £=750 мм.
Рис. 6. Преобразование (3.6) от круглой равномерно освещенной апертуры с использованием голограммы с функцией (3.7)
Изображение края апертуры также отклонялось от прямолинейного за счет дисторсии и искривления фотошаблона (фильтр на пленке Кодак-649), фазовых шумов подложки и эмульсии (иммерсия не использовалась), ненулевой кривизны волнового фронта на элементе, возникающей из-за неточности юстировки схемы, а также за счет использования параксиального приближения .
Преобразование, рассчитанное в параксиальном приближении по формуле (3.6) с фазовой функцией (3.7), будет отличаться от заданного преобразования (3.6). Это отличие будет выражаться, как это следует из формул (3.1), в появлении перед функциями и(х, у), v(x, у) множителя, близкого к единице, вида:
(1-Р2
X
Р2)“1/2,
У
Р |«1,
Р 1«1 У
(3.9)
По формулам (3.5) Р^ = X, Р^ = У с точностью до членов третьего порядка малости (по 1X1, IУI), откуда мы получаем, что главный член разложения в ряд Тэйлора множителя (3.9) имеет вид:
((и-х)2+ (V—у)2)/(2£2).
Это позволяет оценить отклонение от точного преобразования:
и = и(1+е), V = V (1 +е) , е = (Х2+У2) /2,
где
X = (и-х)/*:, У = (ч-у)/£ - углы наклона лучей к оси по х, у. Например, при 1X1, IУI<1/10 получим е <1/100. В наших экспериментах было £ = 750 мм, 1x1, I у I <13 мм, 1и1 < 3 мм, IVI <5 мм, что дает оценку:
е <1/2000, то есть это искажение было пренебрежимо малым.
Литература
1. А д а м с М. Введение в теорию оптических волноводов. М.: Мир, 19 84.
2. А з а р о в А.А., Б а г б а я И.Д., Берез-
н ы й А.Е., С и с а к я н И.Н., С о й ф е р В.А. Фазовые оптические элементы с произвольной заданной диаграммой направленности // Компьютерная оптика. М.: МЦНТИ, № 1, 19 87.
3. Андреев А.Н., Березный А.Е., С и с а -
к я н И.Н. Фазовые оптические элементы для аналитических преобразований координат // Компьютерная оптика. М.: МЦНТИ, № 1, 1987.
4. Ананьев Ю.А. Оптические резонаторы и проблема расходимости лазерного излучения. М..' Наука, 19 79 .
5. Б а г б а я И.Д., Березный А.Е., С и с а -
к я н И.Н., С о й ф е р В.А., Шварцбург А.Б. Рекон-
структивная томография термоядерной плазмы методами цифровой голографии // Оптическая запись и обработка информации. Куйбышев, 1986, с. 43-50.
6. Б а г б а я И.Д., Березный А.Е., С и с а -
к я н И.Н., С о й ф е р В.А., Шварцбург А.Б. Способ
голографической интерферометрической визуализации неоднородностей и трехмерных фазовых объектах. А.с. СССР 1340291, приоритет от 28.6.86.
7. Б а х р а х Л.Д., Кременецкий С.Д. Синтез излучающих систем: теория и методы расчета. М.: Сов. радио, 1974.
8. Бахрах Л.Д., Курочкин А.П. Голография в микроволновой технике. М.: Сов. радио, 19 79.
9. Бахрах Л.Д., Литвинов О.С. О взаимосвязи амплитуды и фазы волновых полей. ДАН СССР, 19 82, т. 266, 2, с. 324-327.
10. Березный А.Е., Брусиловский Л.И., Отливанчик Е.А.,Сагателян Д. М., С и с а -
к я н И.Н. Проект системы автоматизации проектирования, создания, исследования и применения элементов плоской оптики // Компьютерная оптика. М.: МЦНТИ, № 2, 19 87.
11. Березный А.Е., Прохоров А.М., С и с а -
к ян И.Н.,Сойфер В.А. Бессель-оптика: Доклады
АН СССР, т. 274, вып. 4, (1984).
12. Березный А.Е., Прохоров А.М., С и с а -
к ян И.Н.,Сойфер В.А. Преобразование Бесселя в оптической обработке информации / 5-я Всесоюзная школа по оптической обработке информации. Киев, 19 84.
13. Березный А.Е., С и с а к я н И.Н. Оптические
преобразования координат // Оптическая запись и обработка информации. Куйбышев, 19 86, с. 22-28.
14. Березный А.Е., Сисакян И.Н. Оптические
системы для преобразования координат в изображении на основе
искусственных фазовых оптических элементов / 2-я Всесоюзная конференция по формированию оптического изображения. Кишинев, 1985.
15. Березный А.Е.,Сисакян И.Н. Бинарные элементы Бессель-оптики // Компьютерная оптика. М.: МЦНТИ, № 1, 1987.
16. Березный А.Е., Комаров С.В., Прохоров А.М., С и с а к я н И.Н., С о й ф е р В.А. Фазовые дифракционные решетки с заданными параметрами: Доклады АН СССР, т. 287:3 (1986), с. 623-627.
17. Березный. А.Е., Прохоров А.М., С и с а -
к ян И.Н.,Сойфер В.А. Оптическое устройство для вы-
полнения преобразования Фурье-Бесселя произвольного заданного порядка. А.с. по заявке 4035339/10 от 13.12.85, положительное решение от 01.12.86.
18. Брингдал О. Оптические преобразования. Автометрия, 2 (1983), с. 30.
19. Быстрые алгоритмы в цифровой обработке изображений /
Под ред. Т. Хуанга. М.: Радио и связь, 19 84.
20. Василенко Г.И.,Цибулькин Л.М. Голографические распознающие устройства. М.: Радио и связь, 1985.
21. Василенко Г.И. Теория восстановления сигналов.
М.: Наука, 1979.
22. Васин А.Г., Голуб М.А., Данилов В.А.,
Ка занский Н.Л., С и с а к я н И.Н., С о й ф е р В.А., Уваров Г.В. Расчет и исследование когерентного волнового поля в фокальной области радиально-симметричного оптического элемента: Препринт. ФИАН, 304 (1983).
23. Вычислительная оптика / Под ред. М.М. Русинова. Л.: Машиностроение, 19 84.
24. Голуб М.А., Кривошлыков С.Г., Прохоров А.М., С и с а к я н И.Н., С о й ф е р В.А. Пространственные фильтры для анализа и формирования поперечно-модо-вой структуры когерентного электромагнитного излучения: Препринт. ФИАН, 21, 1983.
25. Гудмен Дж. Введение в Фурье-оптику. М.:
Мир, 1970.
26. Звелто О. Принципы лазеров. М.: Мир, 1984.
27. 3 е л к и н Е.Г., Петрова Р.А. Линзовые антенны.
М.: Сов. радио, 1974.
28. 3 е л к и н Г.Е., Соколов В.Г. Методы синтеза
антенн. М.: Сов. радио, 1980.
29. Иванченков В.П., Посконный Г.И. Спектральный анализ сигналов в оптико-электронных системах с пространственно-некогерентным источником излучения. Автометрия, 1983, 2, с. 52-56.
30. Данилов В.А., Попов В.В., Прохоров А.М., Сагателян Д.М., С и с а к я н И.Н.,
С о й ф е р В.А. Оптические элементы, фокусирующие когерентное излучение в произвольную фокальную линию! Препринт. ФИАН,
69, 1983.
31. Горелик А.Л., Гуревич И.Б., Скрип-к и н В.А. Современное состояние проблемы распознавания. М.: Радио и связь, 1985.
32. Канасевич Э.Р. Анализ временных последовательностей в геофизике. М.: Наука, 1985.
33. Клименко И.С. Голография сфокусированных изображений и спектин'т'ерферометрия. М.: Наука, 1977.
34. Компьютеры в оптических исследованиях / Под ред. Б. Фри-дена. М.: Мир, 1983.
35. Колобродов В.Г. Погрешности сборки и юстировки когерентных оптических спектроанализаторов. ОМП, 1983, 9, с. 6.
36. Кравцов Ю.А., Орлов Ю.И. Геометрическая оптика неоднородных сред. М.: Наука, 1980.
37. К ю н Р. Микроволновые антенны. Л.: Судостроение, 1967.
38. JI а е р и Ф.,Тигуди Т. Когерентная оптическая обратная связь. Автометрия, 1983, 2, с. 15-17.
39. Лаврентьев М.М., Резницкая К.Г.,
Я х н о В.Г. Одномерные обратные задачи математической физики. Новосибирск. Наука, 1982.
40. Майоров С.А., О ч и н Е.Ф., Романов Ю.Ф. Оптические аналоговые вычислительные машины. Л.: Энергоатом-издат, 1983.
41. Мировицкий Д.И., Б у д а г я н И.Ф., Дубровин В.Ф. Микроволновая техника и голография. М.: Наука, 1983 .
42. Мэйтлэнд А., Данн М. Введение в физику лазеров. М.: Наука, 1978.
43. Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики. М.: Наука, 1978.
44. н ик олов И.Д. Применение зеркальных систем в устройствах обработки информации. Автометрия, 1984, 6, с. 58.
45. Обратные задачи в оптике / Под ред. Г.П. Болтса. М.: Машиностроение, 1984.
46. О п п енхайм А.В., Лим Дж. Важность фазы при обработке сигналов. ТИИЭР, 1981, т. 69, 5, с. 39-54.
47. Оптическая голография / Под ред. Г. Колфилда. М.: Мир, 1983.
48. Оптические и оптико-электронные методы обработки изображений и сигналов / Под ред. С.Б. Гуревича. Л.: Изд-во ЛИЯФ, 1982.
49. Пахомов И.И., Цибуля А.Б. Расчет оптических систем лазерных приборов. М.: Радио и связь, 19 86.
50. Польский Ю.Е. Оптические резонаторы мощных газовых лазеров // Итоги науки и техники. М., ВИНИТИ, 19 80. Сер. Радиотехника, т. 21.
51. Применение методов оптической обработки информации и голографии. Л.: Изд-во ЛИЯФ, 19 80.
52. Прямые и обратные задачи теории дифракции. М.: Изд-во ИРЭ АН СССР, 19 79.
53. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984.
54.Руссо М.,Матье Ж.П. Задачи по оптике. М.: Мир, 19 76.
55. С и в у х и н Д.В. Оптика. М.: Наука, 1980.
56. С о й ф е р В.А. Цифровая голография и ее применение.
Куйбышев, Изд-во КУАИ, 1978.
57. С о р о к о Л.М. Гильберт-оптика. М.: Наука, 1981.
58. С о р о к о Л.М. Основы голографии и когерентной опти-
ки. М.: Наука, 1971.
59. Тихонов А.Н., Арсе нин В.Я. Методы решения некоррекных задач. М.: Наука, 1986.
60. Томпсон Б.Дж. Гибридные системы обработки. ТИИЭР, 19 77, т. 65, вып. 1.
61. Трахтман А.М. Введение в обобщенную спектральную теорию сигналов. М.: Наука, 1972.
62. Туркевич Ю.Г., Бобров С.Т.,
Грейсух Г.И. Оптика дифракционных элементов и систем,
Л.: Машиностроение, 19 86.
63. У и д д е р Д.В., X и р ш м а н И.И. Преобразования типа свертки. М., 1958.
64.Хансперджер Р. Интегральная оптика. М.: Мир, 1985.
65. Ярославский Л.П., Мерзляков Н.С. Методы цифровой голографии. М.: Наука.
66. Ярославский Л.П., Мерзляков Н.С. Цифровая голография. М.: Наука, 1982.
67. Экспериментальная радиооптика / Под ред. В.А. Зверева, Н.С. Степанова. М.: Наука, 1977.
68. A t h а 1 е R.A., S z u Н.Н., Lee J.N. Optical implementation of integral transforms with Bessel kernels. Optics Letters, v. 7, N 3, pp. 124-126.
69. Bennett J.J. Achromatic combinatios of hologram optical elements. Applied Optics, 1976, v. 15, N 2, pp. 542-545.
70. Biedermann K., Holmgren O. Large size distorsion-free computer-generated holograms in photoresist. Applied Optics, 1977, v. 16, N 8, pp. 2014-2016.
71. Bryngdahl O. Optical map transformations. Optical communications, v. 10 (1974), p. 164.
72. Bryngdahl O. Optical scanner-light deflection using computer-generated difractive elements. Optical communications, v. 15 (1975), p. 237.
73. Bryngdahl 0. Computer-generated holograms as generalized optical components, Optical Eng., v. 14:5 (1975), p. 426.
74. Casasent D.,Psaltis D. Deformation invariant optical processors using coordinate transformations. Applied Optics, v. 16:8 (1977), p. 2288.
75.Cederquist J,Tai A.M. Computer-generated holograms for geometric transformations. Applied Optics,
v. 23:18 (1984), p. 3099.
76. Clair J.J.,Abitol C.I. Recent advances in phase profiles generation, Progress in Optics, 1978, v.16, p. 73.
77. Dainty J.C., Nieto-Vesperinas M.
Testing for uniqueness of phase recovery in two dimensions. Optics Commun., 1984, v. 52, N 2, p. 94.
78. Dallas W.J. Phase quantization-a compact derivation. Applied Optics, v. 10:3 (1971), p. 673.
79. Dallas W.J., L о h m a n n A.W. Quantization and
other nonlinear distorsions of the hologram transmittance. Optical Communications, 1972, v. 5, N 2, pp. 78-81.
80.Dammann H.,Gortler K. High efficiency in-line mutiple imaging by means of multiple phase holograms. Optical Communications, v. 3:5 (1971), p. 312.
81. Electromagnetic theory of gratings, R. Petit, ed. Springer, Berlin, 1980.
82. Fienup J.R. Phase retrieval algorithms: a comparison. Applied Optics, 1982, v. 21, N 15, pp. 2758-2769.
83. Giles C.L., S z u H.H. Optical implementation of coordinate transformations for pattern recognition. JOSA,
v. 73 (1983), p. 1860.
84. H u c k F.O., Park S.K. Otical-mechanical line-scan imaging proc.: its information capacity and efficiecy. Applied Optics, 1975, v. 14, N 10, pp. 2508-2520.
85. Lee W.H. Computer-generated hoograms: techniques and applications. Progress in Optics, 1978, v. 16, p. 121.
86. Liu B., Gallagher N.C. Convergence of a spectrum shaping algorithm. Applied Optics, 1974, v. 13, pp. 2470-2471.
87. Lohmann A.W., Rhodes W.T. Two-pupil synthesis of optical transfer function. Applied optics, 1978, v. 17, N 7, p. 1141.
88. Lohmann A.W., Streibl N. Map transformations by optical anamorphic processing. Applied Optics, v. 22:6 (1983) , p. 780.
89. Marks R.J. Coherent optical extrapolation of 2-D bandlimited signals: processor theory. Applied Optics, 1980, v. 19, pp. 1670-1762.
90.Maystre D. Rigorous vector theories of difraction gratings. Progress in Optics, 1984, v. 21, pp. 3-70.
91. Psaltis D. Incoherent electro-optic image correlator. Optical Eng., 1984, N 1.
92. Saito Y. Scale and rotation invariant real tme optical correlator using computer-generated hologram. Optical Communications, v. 47 (1983), p. 8.
93. Sawchuk A. Space-variant image restoration by coordinate transformation. JOSA v. 6:2(1974), p. 138.
94. Sehamhl G., Rudolph D. Holographic difraction gratings. Progress in Optics, 1977, v. 14, pp. 195-244.
95. W a 1 k u p J.F. Space-variant copherent optical processing. Optical Eng., 1980, v. 19, pp. 339-346.
96. Yokomori K. Dielectric surface relief gratings with high difraction efficiency. Applied Optics, 1984, v. 23,
N 14, pp. 2303-2310.
