Синтез устройств с требуемыми частотными свойствами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 66.047+681.5+519.6

Синтез устройств

с требуемыми частотными свойствами

О.П. Петросян1, А.К. Горбунов1, А.Б. Кожевников1, Е.А. Горбунов2, А.О. Петросян1

1 КФ МГТУ им. Н.Э. Баумана, Калуга, 248000, Россия

2 ОАО «КАДВИ», Калуга, 248018, Россия

Изложены разработанные методика и алгоритм построения активных RC-фильтров с требуемыми частотными свойствами при минимальной конструктивной сложности. В процессе решения задач использованы алгоритмические процедуры оптимального спектрального приближения численных результатов.

Ключевые слова: исполнительные механизмы, амплитудно-частотные характеристики, фазочастотные характеристики, алгоритм расчета активных фильтров.

Для качественного управления исполнительными и иными механизмами, динамические характеристики которых известны, необходимы управляющие устройства с вполне конкретными амплитудночастотными (АЧХ) и фазочастотными характеристиками (ФЧХ) или, что то же самое, с вполне конкретными передаточными функциями. Обычно такие устройства конструируют на основе радиоэлектронных узлов и элементов и называют активными RC-фильтрами.

Многие известные методы проектирования активных RC-фильтров, широко применяемых в настоящее время в различных устройствах, базируются на таком задании аналитических выражений A (о) и ф(о) соответственно для АЧХ и ФЧХ фильтра, которые

позволяют получить передаточную функцию W (5) фильтра в дробно-рациональном виде. Это накладывает ограничения на методы аппроксимации АЧХ и ФЧХ, а также на возможности минимизации числа элементов и звеньев, входящих в структуру фильтра. Кроме того, при проектировании не всегда учитывают частотные свойства используемых активных элементов, что вносит дополнительную погрешность в результаты расчетов [1, 2]. Далее изложен алгоритм расчета активных RC-фильтров, свободный от указанных ограничений и недостатков.

Пусть заданы аналитические выражения для A (о) и ф(о), аппроксимирующие исходные АЧХ и ФЧХ, т. е.

A (шУф(о) = F (jo).

Это позволяет записать интегральное уравнение относительно импульсной переходной функции g (t) фильтра:

да

J e~Jmtg (t )dt = F (j(s>). (1)

о

В интегральном уравнении (1) сделаем замену переменной j® на s и проведем аналитическое преобразование функции F (j®), приводящее к получению передаточной функции W (s) фильтра не

дробно-рационального вида. Для перехода к дробно-рациональному приближению W (s) воспользуемся интегральным уравнением

да

J e"stg (t)dt = W (s).

о

Его решение с применением процедур построения оптимальных базисов дает точность приближения для импульсной переходной функции в виде следующего ряда:

g (t ) = z Ae"“''

i=1

причем требуемая точность приближения в классе экспоненциальных базисов достигается при минимальном значении n.

Преобразуя g (t) по Лапласу, получаем передаточную функцию фильтра в дробно-рациональном виде:

W (s ) = ї

i=1

Di s +

При этом точность приближения W (s) к W (s) не хуже, чем g (t) к g (t), так как используется операция интегрирования.

В структуру предполагаемого RC-фильтра обязательно входят активные элементы (транзисторы, операционные усилители и др.), передаточные функции которых, как правило, неизвестны. Используя изложенный алгоритм, можно получить передаточные функции таких элементов в дробно-рациональном виде [1]. Необходимые для этого АЧХ и ФЧХ применяемых активных элементов можно взять из справочной литературы или определить экспериментально.

Таким образом, для построения искомого фильтра имеем его передаточную функцию в дробно-рациональном виде. Реализация тако-

го фильтра не вызывает технических затруднений. В фильтр будут входить RC-звенья и активные элементы.

Стабильность характеристик сконструированного фильтра будет зависеть от чувствительности значений g (t) к изменению значений

коэффициентов Di и параметров аг-, i = 1, ..., n. Для повышения стабильности этих характеристик необходимо выбрать такую область значений параметров af, i = 1, ..., n, в которой их изменения слабо влияют на значения коэффициентов Df, i = 1, ..., n, а значит, и на значения g (t) и W (5).

В отличие от существующих методов проектирования RC-фильтров при применении данного метода учитываются частотные свойства всех элементов, входящих в фильтр, и гарантируется получение требуемых АЧХ и ФЧХ при минимальном числе элементов структуры фильтра.

Изложим более детально алгоритм аналитических преобразований при синтезе рассматриваемых устройств. Пусть заданы характеристики A (о) и ф(о) устройства, необходимого для управления известным

исполнительным механизмом. Требуется синтезировать на базе радиоэлектронных активных и пассивных RC-элементов такое устройство, передаточная функция которого W (s) была бы такова, что характеристики A (о) и ф(о), построенные на ее основе, соответствовали с определенной точностью заданным A (о) и ф(о).

Алгоритм решения такой задачи с использованием методологии построения оптимальных базисов будет содержать следующие процедуры.

Шаг 1. Определение по АЧХ и ФЧХ Re W (уо):

где Ф (of ) = A (of) cos ф(оі), i = 1,2,... (графически или аналитически и достаточно точно по дискретным значениям о = oi, i = 1,2,...).

ReW (уо) = Ф (о),

Шаг 2. Выполнение кусочно-линейной аппроксимации Ф (о):

m

Ф (°) = Za* (°)(а* о +bk )

к=1

где

0 при Ш£[Шк, Шк+1];

1 при оє[ок, ок+1 ];

Ф (°к+1)-Ф (°к ) Ь Ф ( )

ak =——-—-—-; bk = Ф(o)-ao

°к+1 -°к

Шаг 3. Вычисление импульсной переходной (весовой) функции

g (t):

om+1 m

I cos ot Laк (ш)(ак ш + Ьк )d о =

0 к=1

r\ m

ZL

К

к=1L

cos ot , , ч sin ot

ак——+(ак o+Ьк )——

Шаг 4. Определение передаточной функции W (s):

X)

I e-stg (t )dt = W (s),

0

где

m

W (s )=-L

Tl

к=1

0,5aкs ln

s2 +°İ+1 2 2 s2 +oİ

+ Ьк

f

arctg

V

0к+1 s

t Ок к

arctg—

s J

Шаг 5. Нахождение дробно-рационального приближения W (s) для передаточной функции W ( s):

n D

W (s > = L ^

Шаг 6. Построение принципиальной схемы фильтра с учетом, что его АЧХ и ФЧХ определяются соответственно выражениями

A (o) =

L

Dİ

2 2 — s, + О

L [ а/(s,2+О2) ф(о) =-arctg o^1

L[ Ds/( +o2)

i=1

Шаг 7. Конец.

Итак, применение процедур спектральной оптимизации позволило получить искомую конструкцию устройства с минимальным числом формирующих его элементов [3]. Аналогично можно построить оптимальное спектральное приближение численных результатов при решении многих технических задач.

При решении задач, особенно связанных с проведением экспериментальных исследований или численными методами расчета, например при решении нелинейных дифференциальных и интегральных уравнений, а также краевых задач, возникает необходимость в компактном представлении полученных численных данных в виде той или иной аналитической зависимости, что следует отнести к задачам интерполяции и (или) аппроксимации. Такая же по сути задача возникает при необходимости аналитического представления графически заданных зависимостей.

Наиболее простым способом решения задач данного класса является кусочно-аналитическое представление полученных экспериментальных и численных зависимостей с последующей аппроксимацией этих зависимостей непрерывными в области их определения функциями. Поясним, что под кусочно-аналитическим представлением функции z (xj) одного аргумента (х = Xj) имеется ввиду применение функций fj (Xj), j = i,..., r, каждая из которых определена следующим образом:

интерполирует численную зависимость на этом отрезке.

Наиболее простым вариантом кусочно-аналитического представ-

функции [2], все элементы которой есть линейные функции fj (xj):

при xj < Xj j z (Xj) = 0; на отрезке xjj < xj < xjj+j z (xj) = fj (xj); при Xj > Xj j+j z (xj ) = 0.

Здесь каждая функция fj (xj), аналитическая на отрезке

ления z (xj) является применение для этих целей полигональной

fj ( xj ) = ajxj + bj,

причем

aj =

z ( xjj+j)~ z ( xjj )

xj j+j _ xj j

где j = j, ..., r.

Таким образом, для z (x1 ) получаем следующее выражение:

где

Г

Z(xi^Zg (x1 )(jx1j +

j=1

Gj (xi)

0 при Xi g[ Xij, xij+1 ];

1 при xi є[ xi j, xij+i ],

(2)

т. е. Gj (xi) есть селектирующая функция, выделяющая соответствующую подобласть 5j (x1) из общей области определения g.

Если имеет место многомерная исходная численная зависимость, то z(x), где x = (, ..., xk), можно представить в виде

mi-1 mk-1

z (x) = Z... Z G1..4(x )Піай3 (j+bLh)

ii =1 it =1 j=1

или в более удобной для программирования форме

1 1 k

mi-1 mk-1

z (x ) = Z... ZGii... k(x)

ii=1 ik =1

z.-z П

vi =0 vk =0 e=1

где каждая функция множества |gİi...it (x)} аналогично (2) определяет

связную подобласть области определения g .

Для аппроксимации такой функции z (x) непрерывной функцией

воспользуемся методом построения оптимальных неортогональных базисов, т. е. будем искать приближенное выражение для искомой функции z (x) в виде разложения в ряд по системе линейно независимых функций

z (x ) = Z Dif (x) (3)

i =i

при условии достижения требуемой точности приближения

||z (x) - z (x )|| < 0

при минимальном значении n в принятом классе функций.

Класс функций определяется выбранным интегральным преобразованием исходной функции z (X) . Преобразуем ее по Лапласу с

учетом, что ядро интегрального преобразования Лапласа в данном случае определяется как

K (s, X ) = П e“ Xv, (4)

v=1

а исходное интегральное уравнение

X1mi Xkmk

I ... I K(s,x)z(x)dx = Y(s), (5)

X11 Xk1

учитывая пределы интегрирования по каждому аргументу в выражении (3), будет иметь следующую правую часть:

X1m1 Xkmk к Ш1 “1 Шк “1

Y(s)= I... IПe—SvXv S... (x)

v=1 i1 =1 ik=1

Л11 Лк1

1 1

S ...S <1.:Г П

v1 =0 vk =0

e=1

dx

или, если учесть границы каждой селектирующей функции множества К...ik (x)},

Ш1-1 шк-1

Y (s ) = S... S

i1 = 1 ik = 1

1 1

к x‘e(ie+1)

S... S a”..'î”k П I e'seXexedxe

n1 =0 Пк=0

e=1

Интегрирование последнего выражения по частям дает

Ш. —1 Шк — 1

Y (s )=S...S

i,=1 ik =1

1 1

S ... S <1..r П F (e , Xe(ie +1), se , Ve )

v, = 0 vk = 0

e=1

(6)

где

eiel -~e(ie +1) ^e? y e

)=—)

1 v

X + —

V se у

Xj;

( +1)

Возможны и иные варианты интегральных преобразований, например ядро интегрального преобразования следующего вида:

K (s, X) = П e sv1Xv Xs2 cos (sv3Xv + sv4 ).

(7)

v=1

Причем в соответствии с методологией спектральной оптимизации, если ядро, определяемое соотношением (4), позволяет построить

требуемый экспоненциальный базис, то ядро вида (7), имеющее большее число степеней свободы, дает возможность строить не только экспоненциальный, но и экспоненциально-полиномиальный (при sV3 = 0, sv4 = 0), экспоненциально-гармонический (при sv2 = 0), полиномиально-гармонический (при svl = 0) и экспоненциально-полиномиально-гармонический базис.

Так, при x = Xj для получения z (x) в виде экспоненциальнополиномиального ряда:

z (x ) = ї Dfi-'^x “”,

i=1

в ходе соответствующих преобразований установлено следующее интегральное уравнение:

m xk+і

X I e-SjXxS2 (akx + bk }dx =

k= X

m

=-Z

k=1

üke

- SjX

S2 +1 S2 +1

—+z

S1 v=1

(s2 + 1) s2 (s2 - 1) • • ■ (s2 + 1 - v + 1)

s2 +1-v

,v+1

S1

+

+ bke

- slt

XS2 + ^ S2 (S2 - 1)-"(s2 — v + 1)

S + X S v+1

S1 v=1 S1

xk+1 xk

а для нахождения z (x) в виде экспоненциально-гармонического ряда:

П

z (x) = 2Die ЩіХ cos (a2iX + a3i),

i=1

в качестве исходного интегрального уравнения имеем

m xk+1

X I e-s'x cos (s2x + s3)a^x + bk )dx =

i=1

xk

m e-s1x

X“2------2 {(^ + bk ) [S2 Sİn (S2x + S3 ) - S1 COS (s2x + S3 )] -

k=1 S1 + s2

ak

2 2 S1 + s2 L

2s1s2 sin (s2x + s3) - ( - sf ) cos (s2x + s3)

xk+1 xk

при ограничениях s1 > 0, s2 > 0, 0 < s3 < л.

Наконец, для получения z (x) в виде экспоненциально-полиномиально-гармонического ряда:

n

z(х) = SDie~a'‘:xxa'2i cos(a3ix + a4i),

i=1

исходное интегральное уравнение будет следующим:

m Xk+1

S I e-s'xxs cos (s3х + s4 )акх + bk )х =

k=1 х

Лк

Sak (-1)

2 +1 Х

S2 +1

Xs

к=1

XsİL

L2 +1

G (s )+S bk (-1)L2 2 ).

к=1

где

G (s ) = -

s1e 1 k+1 cos s3 xk+1 - s1e 1 k+1 sın s3 xk+1

2 3

S1 + s2

L1e-SlXk COs S3Xk -L1e-L1 Xk sinS3Xk

2 3

S1 + s2

cosS4 +

cosS4 +

+ s3e 1 1 cos s3 xk+1 - s1e 1 1 sın s3 xk+1 sin s 4 S12 + s2 4

s3e-S'Xk cos s3xk -s1e-sXk sinS3xk . ;

S12 + S23 4’

s = (, S2, S3, S4).

При решении определенного класса задач один из этих базисов может оказаться предпочтительным.

Интегральное уравнение (5) позволяет найти решение задачи в

виде ряда (3) путем поиска базиса {a* | и элемента z*(x) в соответствии с постановкой задачи в работе [1], если совокупность исходных базисов { f (X)} строить по правилу

f (x) = f (a, x) = K (s, x )| s, i = 1,2,„.

Итак, принятый подход к аппроксимации функции z (x), заданной кусочно-непрерывной зависимостью, позволил построить базис {. f*(x )} , в котором

/*(х) = К (а*, X),

i = 1,

и элемент

г(х )=X в; /Т(х),

i=1

обеспечивающий требуемую точность приближения 9 при минимальном значении n = n*.

Если использовать преобразование Лапласа, то функции {b, (, аj ) можно вычислить по формуле

к

bij (ai,а j ) = п

v=1

( t \ xm Л

е_(а” + 0, К

(vi +аvj■)

V X.1 )

При решении рассматриваемых вариантов аналитических приближений численных результатов для уверенности в достоверности полученных решений желательно иметь оценку точности приближения, что не вызывает затруднений, так как точность приближения 9 в данном случае определяется по формуле

9

V

z

2 + F (n, а)

•100%,

где

Ші-1 Шк-1 Х1 т1 Хктк к 2

и 12=ı.~ xj .jn (Xj+ьи )2,

İ1 = 1 ik = 1 х11 хк1 j=1

а вычисления дают

m1 -1 mk-1 к

X-X n

i1 =1 ik =1 j= 1

или с учетом формулы (6)

X,

V

aJ. . х,

1 ii... ik J

aJ . x,-^-----------+

h...h j 3

( , )2 V i1..i-)

j’j+1

m, -1 m- -1

INI 2 = X... Xci,..it (x)

i =1 і =1

1 1

X- X AA П

v1 =0 v-=0 e=1

Итак, поставленная задача решена.

2

ЛИТЕРАТУРА

[1] Кожевников А.Б., Петросян О.П. Эжекция и сушка материалов в режиме пневмотранспорта. Москва, Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010, 132 с.

[2] Кожевников А.Б., Петросян О.П. Эффективная идентификация технологических объектов водоподготовки. Материалы IVМеждунар. науч.-прак. конф. «Технологии очистки воды». Калуга, 2008, с. 140-143.

[3] Кожевников А.Б., Петросян О.П. Программа спектральной оптимизации численных результатов. Св. гос. рег. № 2010615194, Роспатент, 2010, 70 с.

Статья поступила в редакцию 03.04.2014

Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом:

Петросян О.П., Горбунов А.К., Кожевников А.Б., Горбунов Е.А., Петросян А.О. Синтез устройств с требуемыми частотными свойствами. Инженерный журнал: наука и инновации, 2014, вып. 3. URL: http://engjoumal.ru/ catalog/pribor/hidden/1259.html

Петросян Ованес Петрович родился в 1950 г., окончил МГУ им. М.В. Ломоносова в 1978 г. Канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры «Физика» КФ МГТУ им. Н.Э. Баумана. Область научных интересов: автоматизация технологических процессов. e-mail: petrosyan-kravt@mail.ru

Горбунов Александр Константинович родился в 1947 г., окончил МФТИ в 1971 г. Д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры «Физика» КФ МГТУ им. Н.Э. Баумана. Область научных интересов: автоматизация технологических процессов. e-mail: gorbunov@kadri.ru

Кожевников Александр Борисович родился в 1942 г., окончил МГУ им. М.В. Ломоносова в 1970 г. Канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры «Физика» КФ МГТУ им. Н.Э. Баумана. Область научных интересов: автоматизация технологических процессов. e-mail: kravt@kaluga.ru

Горбунов Евгений Александрович родился в 1974 г., окончил МГТУ им. Н.Э. Баумана в 1998 г. Канд. экон. наук, зам. начальника экономического отдела ОАО «КАДВИ». Область научных интересов: автоматизация технологических процессов. e-mail: gorbunov@kadri.ru

Петросян Анастасия Ованесовна родилась в 1993 г. Студентка КФ МГТУ им. Н.Э. Баумана кафедры «Промышленная экология и химия». e-mail: petrosyan-kravt@mail.ru

Synthesis of devices with the required frequency properties

O.P. Petrosyan1, A.K. Gorbunov1, A.B. Kozhevnikov1,

2 1 E.A. Gorbunov , A.O. Petrosyan

1 Kaluga Branch of Bauman Moscow State Technical University, Kaluga, 248000, Russia

2 KADVI, Public Corporation, Kaluga, 248018, Russia

The article describes the developed methods and algorithms for constructing active RC-filter with the required frequency properties with minimal constructive complexity. In the process of solving the tasks we used algorithmic procedures of optimal spectral approximation of the numerical results.

Keywords: actuators, the amplitude frequency characteristics, phase frequency characteristics, algorithm for calculating the active filters.

REFERENCES

[1] Kozhevnikov A.B., Petrosyan O.P. Ezhektsiya i sushka materialov v rezhime pnevmotransporta [Ejection and drying of materials in pneumatic transport mode]. Moscow, BMSTU Publ., 2010, 132 p.

[2] Kozhevnikov A.B., Petrosyan O.P. Effekivnaya identifikatsiya tekhnolo-gicheskikh ob"ektov vodopodgotovki [Effective identification of water treatment technological objects]. Materialy IV Mezhdunarodnoi nauchno-prakticheskoi konferentsii “Tekhnologii ochistki vody” [Proc. of the IV Int. sci.-pract. conf. "Water Treatment Technologies"]. Kaluga, 2008, pp. 140-143.

[3] Kozhevnikov A.B., Petrosyan O.P. Programma spektral'noi optimizatsii chislen-nykh rezul'tatov [Spectral optimization program of numerical results]. Cert. gov. reg. No. 2010615194, Rospatent, 2010, 70 p.

Petrosyan O.P. (b. 1950) graduated from Lomonosov Moscow State University in 1978. Ph.D., Assoc. Professor of the Physics Department at Kaluga Branch of Bauman Moscow State Technical University. Scientific interests include automation of technological processes. e-mail: petrosyan-kravt@mail.ru

Gorbunov A.K. (b. 1947) graduated from Moscow Institute of Physics and Technology in 1971. Dr. Sci. (Phys.&Math.), Professor of the Physics Department at Kaluga Branch of Bauman Moscow State Technical University. Scientific interests include automation of technological processes. e-mail: gorbunov@kadri.ru

Kozhevnikov A.B. (b. 1942) graduated from Lomonosov Moscow State University in 1970. Ph.D., Assoc. Professor of the Physics Department at Kaluga Branch of Bauman Moscow State Technical University. Scientific interests include automation of technological processes. e-mail: kravt@kaluga.ru

Gorbunov E.A. (b. 1974) graduated from Bauman Moscow State Technical University in 1998. Ph.D., deputy head of the Economics Department at the Public Corporation “KADVI”. Scientific interests include automation of technological processes. e-mail: gorbunov@kadri.ru

Petrosyan A.O. (b. 1993) is a student at the Industrial Ecology and Chemistry Department of Kaluga Branch of Bauman Moscow State Technical University. Scientific interests include automation of technological processes. e-mail: petrosyan-kravt@mail.ru