Синтез супервизорного управления объектомна основе сетей Петри с ограничивающими дугами Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 621. 9.048.4

А.А. Амбарцумян, *В.В. Аристов

Институт проблем управления РАН, г. Москва

* Омский государственный технический университет, г. Омск

СИНТЕЗ СУПЕРВИЗОРНОГО УПРАВЛЕНИЯ ОБЪЕКТОМ НА ОСНОВЕ СЕТЕЙ ПЕТРИ С ОГРАНИЧИВАЮЩИМИ ДУГАМИ

Отличительная особенность дискретно-событийных систем (ДСС) - это разделение в исходных данных модели объекта - G и требований к его поведению - K, и затем постановка и решение задачи синтеза S - супервизора (управляющей компоненты ДСС), обеспечивающего поведение G в соответствии с требованиями K. Как правило, G и K определяются конечными автоматами, языками или сетями Петри (СП). Основные трудности в практическом использовании ДС-моделирования - это размерность модели объекта управления (для реальных задач число состояний конечного автомата порядка несколько тысяч) и вычислительная сложность методов синтеза супервизора.

Будем рассматривать ДСС как триплет < К, Ее >• Объект Q — ■[&* , ... G~

это совокупность автономных компонент (АК), которые будем моделировать автоматными СП. Каждая сеть - это традиционное определение позиций, переходов, входных и выходных дуг и начальной разметки. Спецификация K - это язык (множество строк), определяющих требуемую последовательность срабатывания переходов G. Спецификация может определяться последовательностями операций АК, заданными графом операций - Ga. Супервизор Sc - это расширенная сеть Петри с ограничительными дугами, спроектированная так, что объединенная сеть выполняет только те последовательности переходов, ко-

торые определены в K (Ga).

Приведем формальное определение расширенной сети Петри с ограничительными дугами (СПОД) без связи с супервизором ДСС.

S =< Р, Т, Pre, Post, PreiiLf PreSiLf T

Рте: (РхТ) -* N Post-.(TxF)^N

, где р~ конечное множество из m позиций, конечное множество ИЗ П переходов, причем Р [J Т Р П Т = &

( ) входная (соответственно - выходная) функция

переходов, определяющая обычные взвешенные дуги между позициями и переходами (N -набор неотрицательных целых чисел); Рте^: (Р К Г} —► N ~ входная ингибиторная функция переходов, определяющая ингибиторные дуги от позиций к переходам,

220

- входная разрешающая функция переходов, определяющая взвешенные разрешающие дуги от позиций к переходам, ^ «чу?»! - конечное, непустое

множество условий срабатывания переходов, ц- вектор размерности ш, значения (положительные целые) представляют разметку - количество меток в каждой позиции сети, - соответственно начальная разметка. Условие срабатывания перехода связанное с переходом

- это логическая переменная, которая может быть 0: в этом случае связанный переход не может сработать, или 1: переход может сработать, если он еще и разрешен [3]. СПОД имеет три типа дуг обычные (□), ингибиторные (—о), разрешающие (—□). Состояние сети характеризуется разметкой сети, а смена разметок осуществляется путем срабатывания разрешенных переходов.

(Рр Ч) Г О

(Рр г а ш(^) *Рге^ъ((рР сО

£;

Правило разрешения для С ПОД . Переход /, разрешен, если: 1) ^ — 1; 11) для всякой обычной дуги 111) для всякой разрешающей дуги

; 1у) для всякой ингибиторной дуги

. Иными словами число меток в позициях на концах обычных и разрешающих входных дуг перехода должно быть больше или равно весу дуги, а число меток в ингибиторной входной дуге должно быть строго меньше веса соответствующей дуги.

Правило срабатывания для СПОД . Переход и срабатывает, если он разрешен, при

этом:

1) из позиций на концах входной обычной дуги изымается число меток, равное весу дуги; 11) во все позиции на концах выходных дуг перехода и добавляем количество меток равное весу дуги; 111) количество меток в позициях на концах ограничительных дуг (разрешительных и ингибиторных) не изменяется.

В настоящей работе предлагается метод синтеза супервизора по СБФ, представляющей логику передачи управления в соответствии со спецификацией. Основные этапы метода:

1. Построение структурированного описания ДСС: объект £ и его поведение - граф операций. Формируем по £ множество строк ад допустимых для начального состояния £. Определяем по строкам н-пары.

2. Формирование конечного автомата, управляющего переходами в н-парах (КАУП). Преобразование КАУП в систему функций управления выходами и памятью (СФУВП).

3. Формирование управляющих позиций контроллера и конструирование по термам функции управления н-парами подмножества входных ограничивающих дуг для второго перехода в н-паре.

с

На первом этапе по описанию конструкции объекта и его технологии формируется его ДС-модель в виде пары , где множество АК, заданных автоматными сетями Петри, а это граф операций автономных компонент. Вер-

в* £ А &п X

шины взвешены операциями, выполняемыми в , ребра из Д отражают порядок

следования, - это дополнительные логические условия на следование (могут отсутствовать).

Приведем пример (взят из работы [1]). На рис. 1 а) приведена конструкция узла дозирования (УД), состоящего из 2-х механизмов: £1 эт0 клапан, который открывает - закрывает выход ингредиентов из бункера Д и дозирующая емкость О2 с приводом, которая принимает ингредиент и перемещает его в реактор Дг.

в

Р1

Р2

и *2

Р3 Р5

Р6

*6

Р

в2

в1

и *з

Р4

в

*8 *7

Р8

1

а) б)

Рис. 1. Установка дозирования: а) механика, б) СП-модель поведения

Модель на СП поведения механизмов представлена на рис. 1 б). Каждая операция представляется событием - командой, позицией выполнения и событием завершения выполнения операции, например для G1: открыть - ^, р2, Ь и закрыть - 13,р3, (аналогично для G2). Упро-

стим описание поведения УД - опустим правила взаимодействия с сопутствующими процессами: пусть циклически выполняется единственная последовательность операций механизмов. Модель технологически востребованного поведения объекта представлена графом операция - рис. 2 .

гЧИ)-^С~)—ЧИ)—«сэ

^2> ^5

*6> *3

^4> ^7

t1.p2.t2 t5.p6.t6 t3.p4.t4 t7.p8.t5 8 1

Рис. 2. Граф операций установки дозирования (вариант 1)

Поведение базовой СП, соответствующее графу операций, представим языком

ио

}* (в нашем примере циклически повторяющаяся строка переходов). Введем понятие несвязанной пары переходов (н-пары) [1] для

структурированного описания объекта С на автоматных сетях Петри и спецификации в языке последовательности срабатывания переходов

Н-пары для нашего примера: Легко видеть, что ка-

ждая н-пара соответствует одному ребру графа операций Оа поэтому их можно представить как пометки ребер.

Задачи супервизора структурированной ДС-модели будем определять как

функцию конечного автомата, управляющего н-парами, который воспринимает состояние (}

и, в соответствии с последовательностями, заданными в £я, вырабатывает команды (сигналы) разрешающие срабатывание вторых переходов в н-парах.

Будем интерпретировать р - множество имен позиций сети О как множество двоичных переменных. При этом р, =1, если в соответствующей позиции есть метка, иначе рi =0. Обозначим 0= , £ = 1^'] множество, каждый элемент которого =< > - дво-

ичный вектор, соответствующий разметке допустимому в этой разметке значению дополнительных логических условий. Для упрощенного представления двоичных векторов будем использовать опорную функцию [4].

222

АО

Применительно к разметке сети Петри, по аналогии будем говорить об опорной функции (ОФ) разметки. Для краткости значение 8пррвг1( будем называть состоянием si сети Б

ца = [10001000] Р

= Р±1Ь

Определим - множество двоичных переменных, управляющих сра-

батыванием н-пар. Каждая переменная сопоставляется второму переходу в н-паре (£/Л) а ее единичное значение инициирует срабатывание соответствующего перехода £„ Восстановим по в и начальному состоянию ^ последовательность маркировок востребован-

в

ных в соответствии с (для нашего примера маркировки представлены в левой части таблицы 1) и включим их в .

Сформулируем определение конечного автомата управляющего срабатыванием н-пар: Конечный автомат управления срабатыванием н-пар - это

=< А, Р,2, фЗ, X, а» >

, где А - множество состояний, совпадающее с состоя-

ниями ; Р - множество структурных двоичных входов', ^ - это множество

структурных двоичных входов сопоставленных дополнительным логическим условиям, 0

- множество входных векторов, Z - множество двоичных выходов, сопоставленных с н-парами;

Л ^ ^ ^

= 1 Щ

- функция переходов, определенная графом переходов, структурно совпа-

даюгцим с - функция выходов, определяющая значения ^ £ 2

так, что в состоянии на наборе 5(, переводящем Аф в а .

Для нашего примера в соответствии с определением по графу операций построим граф переходов автомата управления срабатыванием н-пар, как это представлено на рис. 3. Структура графа (вершины и переходы) повторяет структуры £ но взвешивание представляет входные наборы 0 и соответствующие входным наборам наборы значений 2 На рис. 3 нулевые выходные наборы представлены как 0.

По графу переходов легко проследить, что в любом состоянии - как только имеет место входной набор, соответствующий переходу в следующее состояние, то в следующем состоянии на этом входном наборе равна 1 переменная щ, определенная как управляющая для соответствующей н-пары.

(имеется в виду состояние при разметке . Например, для

состояние .

Р1 Рб/^1 Р2,Рб/0 РэРб/га Рз,Рб/0 РэРт^З Р4,Р7/0 Р1Р7^7 Р1,Рв/0

Р2, Рб Рз, Р7 Р1, Р7

Эо Й2 Эз

Р1, Рб

Рис. 3. Граф переходов автомата управления н-парами

В соответствии с классической теорией логического синтеза [2], для сконструированного автомата выполним минимизацию числа внутренних состояний, кодирование состояний и синтез системы булевых функций управления выходами и памятью (если это потребуется).

В результате получаем следующую СБФ:

^ = Рг А! = Ра Р?! *5 = РЖ = р^р? (1)

223

Легко убедиться, что каждая zi равна 1 только в состоянии, требующем срабатывания соответствующей н-пары.

Пусть р множество имен дополнительных переменных, введенных на этапе логического синтеза СБФ и Ра ф 0. Произведем расширение множества Р сети О путем включения дополнительных позиций управления, с теми же именами, что и дополнительные перемен-

ные.

Р := Р и р . Определим ДЛЯ каждой ре£ £ ^ входные и выходные переходы следующим образом. Пусть ре1 метает значение 0—►1 в одной строке с , а значение 1 —>-0 в одной

строке с ^ (это определяется по таблице однотактного эквивалента). Тогда:

■рге(ры) = ■ргеЬрь 'Х а •

(2)

Перейдем к определению по термам СБФ управления вторыми переходами н-пар множеств ограничительных дуг для этих переходов. Пусть все функции содержат по одному терму. Обозначим множество имен переменных составляющих терм Т . По каждой

!■ = 7- , определим для перехода и множества:

Разрешающих дуг :

Ингибиторных дуг:

(3)

(4)

= /(7г)\>«ррог£СГг^

Заметим, в (3) из Г; выбираются имена неинверсных переменных и исключаются позиции, являющиеся входными дляГ,, а в (4) выбираются имена только инверсных переменных..

На рис. 4 а) представлена СПОД, синтезированная для варианта поведения УД по формулам (1) в соответствии с правилом (4) - нет ингибиторных дуг. Для сравнения на рис. 5 б) приведена ординарная сеть Петри, выполняющая туже функциональность (синтезированная для этого же поведения методом домино из [1])

Х2

Хв tв

Бо Р°4 Рс2

Р2

Рс1 Рсз

Рв

Р1 Р

Х4 Хз

Р

2

Р

в

7

Р

з

Pi

P5

8 7

ti t2

t3 te

t7

t4

ts

ts

P3

P7

P4

P4

Sp

Ps

Ps

a)

б)

Рис. 4. Сети Петри для УД 224

Если сравнить СПОД, реализующую поведения с решением этого же примера методом домино, как это представлено в работе [1], то следует заметить, что решение на СПОД более экономно - содержит на 4 позиции меньше и в два раза меньше дополнительных дуг. Однако нужно помнить, что правила смены состояний в СПОД сложнее.

Предложенный метод обеспечивает выполнение требований, заданных в спецификации к объекту, путем выявления несвязанных пар переходов (н-пар) и конструирования для них структур передачи управления. Логика передачи управления между переходами н-пары определяется с помощью конечного автомат управления проводимостью н-пар, который конструируется по последовательностям, заданным в спецификации. Далее логика передачи управления в н-парах представляется с помощью системы булевых функций (СБФ), конструируемой по КАУП. Заключительный этап метода - синтез контроллера сети путем преобразования СБФ в сеть Петри с ограничительными дугами.

t

Библиографический список

1. Амбарцумян, А. А. Моделирование и синтез супервизорного управления на сетях Петри для рассредоточенных объектов / А. А. Амбарцумян // Автоматика и телемеханика. -2011.- № 8.- С. 151-169.

2. Колдуэлл, С. Логический синтез релейных устройств / С. Колдуэлл. - М. : Наука ,

1961.

3. Питерсон, Дж. Теория сетей Петри и моделирование систем / Дж. Питерсон. - М. :

Мир, 1984. - 264 с.

4. Yamalidou, K. Feedback control of Petri nets based on place invariants / K. Yamalidou, J. O. Moody, M. D. Lemmon, P. J. Antsaklis // IEEE Transaction on Robotics and Automation. -1996. - N 32(1). - P. 15-16.