Синтез стабильных фильтров Калмана в задаче улучшения эво Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.396

А.С. Толстиков, А.Г. Ханин ФГУП «СНИИМ», Новосибирск

СИНТЕЗ СТАБИЛЬНЫХ ФИЛЬТРОВ КАЛМАНА В ЗАДАЧЕ УЛУЧШЕНИЯ ЭВО

Калмановская фильтрация является методом оптимальной обработки результатов измерений, искаженных помехами. Данный метод позволяет решить широкий круг задач: провести фильтрацию, интерполяцию,

экстраполяцию, сглаживание непрерывных и дискретных сигналов; оценить параметры состояния при реализации алгоритмов оптимального управления в случаях, когда компоненты вектора состояния объекта не поддаются непосредственному измерению и др. [1, 2].

Применение фильтра Калмана в задаче улучшения ЭВО с целью фильтрации шума, исключения аномальных значений в составе измерений и восполнения пропущенных значений, является обоснованным. Но использование алгоритма классической калмановской фильтрации в данной задаче не всегда возможно. Основной проблемой являются вероятная потеря сходимости процесса оценивания и, как следствие этого, потеря работоспособности фильтра.

Расходимость фильтра может быть обусловлена разными причинами. В рассматриваемой задаче расходимость вызвана аномальными значениями в составе измерений и пропусками измерений. Потеря работоспособности фильтра происходит также и при подаче на его вход многомерного сигнала, не имеющего аддитивного шума хотя бы в одной проекции. Подобные трудности довольно часто возникают при решении разного рода прикладных задач.

Обозначенные проблемы устраняются при использовании идей и методов адаптации и регуляризации в алгоритмах классического фильтра Калмана [3, 4].

В конечном счете, синтез устойчивого фильтра Калмана сводятся к тому или иному способу определения и установки коэффициента усиления K(k) фильтра. Потеря стабильности вызвана как раз тем, что вычисляемый по невязке

о\ =|\Z(k) - H(k)~(k)||2 (1)

коэффициент усиления K(k) фильтра становится ниже некоторого порогового значения. Из-за этого фильтр становится нечувствительным к дальнейшей динамике процесса. Компонентами невязки (1) являются:

Z(k) - многомерный сигнал на входе фильтра;

~ (k) - сигнал на выходе фильтра (оценка выделяемого сигнала);

H(k) - линейный оператор преобразования вектора сигнала x(k), подлежащего оценке, в вектор сигнала Z(k).

Сигнал на входе фильтра определяется следующим образом:

Z (k) = H (k) x(k) + s(k), (2)

где s(k) - аддитивная помеха (шум) в исходном сигнале.

Синтез стабильного фильтра Калмана в общем случае будет определяться следующим выражением:

~ (к +1) = Е (к +1, к)~ (к) + Ка (к + 1)Еи (к +1). (3)

Предсказание Е(к +1, к)~(к) (3) получается как результат действия линейного матричного оператора на вектор оценки ~ (к). Результатом будет оценка сигнала ~(к +1, к) (предиктор фильтра).

Коэффициент усиления Ка (к+1) (3) фильтра определяется по формуле К (к +1) = V (к +1, к )НТ (к + Х)У, (к) + аЕ(к +1)]-1, (4)

где У~(к +1,к) - ковариационная матрица погрешности выходного сигнала (задается либо вычисляется); - ковариационная матрица шума входного сигнала; Е(к +1) = Z(к +1) - Н(к +1)~(к +1, к) - вектор невязки; а -

параметр регуляризации, минимизирующий невязку ||ЕИ (к +1)||2.

Ну и теперь главное. Невязка в выражении (3) есть

Еи(к) = Е(к) + и(к), (5)

где и(к) - дискретный стационарный случайный сигнал, улучшающий статистические свойства фильтра и делающий его стабильным. Подобный алгоритм логичен. Если найти некоторую «наихудшую» модель помехи и построить для нее оптимальный фильтр, то этот фильтр обеспечит

сходимость оценки полезного сигнала и для других помех.

При синтезе стабильных фильтров с привлечением методов

регуляризации устойчивость решения имеет место в том случае, если погрешность результата обработки согласована с погрешностью исходных данных. В задаче формирования ЭВО это условие часто нарушается из-за наличия аномальных погрешностей (промахов, грубых ошибок, выбросов). Аномальные значения обычно выявляются и редактируются на этапе

предварительной обработки, однако возникают ситуации, когда аномальные результаты носят скрытый характер. Такое скрытое засорение выборки трудно идентифицируемо и может привести к серьезному изменению свойств оценок.

Обеспечить устойчивость фильтра к аномальным выбросам можно введением параметра регуляризации, определяемого соотношением

1 п

а{к) = - к)

п і=1

1п

- К(к)

п І=1

(6)

где еІ(к) - компоненты вектора невязки Е(к); ^(к) - компоненты вектора

ад.

Оценка а(к) управляет интенсивностью шума и(к) и коэффициентом усиления фильтра.

Для восполнения пропущенных значений в измерениях, в данной задаче используется следующий подход. На каждой итерации предварительно анализируется величина входного сигнала. При равенстве нулю хотя бы одной проекции, какого значения в составе наших измерений явно не может быть (дальность до спутника не может быть нулевой), на выход фильтра

поступает лишь сигнал с его предиктора, но с одним немаловажным условием. Прогноз подается не в чистом виде, а искусственно зашумляется, чтобы фильтр не начал расходиться по собственному прогнозу. Характер искусственного шума должен соответствовать характеру реальных помех в измерениях. Априорная информация является ключевым условием для синтеза данного фильтра.

В качестве экспериментального сигнала, подаваемого на вход фильтра, в работе используется рассчитанный трек псевдодальностей X(?) для одного спутника относительно одной измерительной станции на конечном интервале времени t е [1; 15000].

Исходный сигнал X ^) дискретизируется с шагом А =1 с (сигнал X) и искажается случайным шумом с нормальным законом распределения. Моделируются аномальные выбросы измерений и пропуски. В итоге получаем сигнал для экспериментальной обработки Xр , имитирующий

реальные измерения (рис. 1).

24 000 22 000 20 000 18 000 16 000 14 000 12 000 10 000 8 000 6 000 4 000 2 000 0

Рис. 1. Зашумленный сигнал на входе фильтра

Эксперимент показал, что классический вариант фильтра Калмана начал расходиться на самом первом пропуске в измерениях (1, = 1000 с). Чтобы проанализировать влияние аномальных значений на обычный фильтр, был убран первый пропуск сигнала на интервале t е [1000; 1050]. Данный алгоритм оказался непригодным и для фильтрации выбросов. На рис. 2 представлена относительная ошибка оценивания классическим фильтром Калмана одной из проекций сигнала в процентах. Аномальный выброс в момент времени t=3268 с вызвал расходимость процесса оценивания.

1

1

►

..............—.................

0 2 000 4 000 6 000 8 000 10 000 12 000 14 000

Рис. 2. Относительная ошибка оценивания классического фильтра (%)

Модифицированный стабильный фильтр Калмана успешно обработал все три скачка в измерениях и два интервала пропусков, но недостатком стала несколько увеличенная относительная ошибка оценивания на всем интервале. В абсолютных единицах максимальная величина ошибки на исследуемом интервале составила порядка 10 м. Классический фильтр Калмана дает ошибку порядка 4 см.

2 00 0 4 0 00 6 0 00 8 0 00 1 0 0 00 1 2 0 00 14 000

Рис. 3. Относительная ошибка оценивания стабильного фильтра Калмана (%

Рассмотренный в работе алгоритм сочетает в себе схемы регуляризованного и робастного фильтров Калмана. В алгоритм дополнительно внедрен элемент адаптивного фильтра, работающего по собственному прогнозу. Фильтр является сугубо прикладным и оптимальным

в рамках данной задачи. Он является стабильным, но немного проигрывает по точности классическому фильтру Калмана.

Работа служит наглядным примером того, что те или иные модификации фильтров применяются исходя из предварительного анализа обрабатываемых измерений. Например, использование данного подхода для обработки зашумленного сигнала без пропусков и аномальных значений не оправдано, т.к. несет в выходной сигнал необоснованную составляющую погрешности.

Предложенный подход не является единственным в своем роде. Существуют и другие модификации фильтров. Авторы работы исследовали и применили комбинированный вариант фильтра для улучшения его стабильности и устойчивости.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Воскобойников Ю. Е. Рекуррентное оценивание в динамических системах. Учеб. пособие - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2002. - 92 с.

2. Фомин В.Н. Рекуррентное оценивание и адаптивная фильтрация. М.: Наука, 1984. 288с.

3. Регуляризующие алгоритмы и априорная информация / А.Н. Тихонов, А.В. Гончарский, В.В. Степанов, А.Г. Ягола. М.: Наука, 1983. 200с.

4. Сотсков Б.М., Щербаков В.Ю. Теория и техника Калмановсой фильтрации при наличии мешающих параметров // Зарубежная радиоэлектроника. 1985. №2. С.3-29.

© А. С. Толстиков, А. Г. Ханин, 2005