CC BY
13
А
нализ и синтез систем управления
УДК 62-501.2 РС!: http://doi.org/10.25728/pu.2020.3.1
СИНТЕЗ СИСТЕМ СТАБИЛИЗАЦИИ ПРИ ОДНОСТОРОННИХ ОГРАНИЧЕНИЯХ
V -
НА УПРАВЛЯЮЩИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ1
А.В. Уткин, В.А. Уткин
Аннотация. Отмечено, что в практических приложениях теории автоматического управления часто встречаются ситуации, когда управляющие воздействия ограничены некоторой областью значений, в частности, могут принимать только неотрицательные значения. В таких случаях популярные методы синтеза такие, как например, методы синтеза модального и оптимального управления, неприменимы. Предложены методы стабилизации выходных (регулируемых) переменных в линейных стационарных системах с одним входом и одним выходом при неотрицательных (однополярных) ограничениях на управления. Основная идея состоит в реализации управляющих воздействий в виде линейных функций с насыщением, постоянные значения которых совпадают с ограничениями на управления. В качестве иллюстрации разработанных алгоритмов рассмотрен импульсный преобразователь напряжения постоянного тока, в котором управление имеет ключевую природу с состояниями «включено — выключено». Приведены результаты моделирования в среде МаНаЪ 81ти11пк.
Ключевые слова: стабилизация, односторонние ограничения на управления, инвариантность, преобразователь напряжения.
ВВЕДЕНИЕ
Примерами систем автоматического управления, в которых управления могут принимать односторонние (например, только положительные) значения, могут служить системы управления транспортными средствами с однонаправленной тягой, системы нагрева теплоносителя с естественным охлаждением и др. В случае таких систем классические методы синтеза обратной связи, такие как синтез модального управления, стандартные методы теории скользящих режимов, теории систем с глубокими обратными связями [1, 2], не могут быть применены непосредственно. Интуитивно
1 Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Программы фундаментальных научных исследований по приоритетным направлениям, определяемым Президиумом РАН, № 7 «Новые разработки в перспективных направлениях энергетики, механики и робототехники».
понятно, что идеология построения регуляторов с учетом ограничений на управляющие воздействия должна опираться на физику протекающего в объекте управления процесса. Например, скорость беспилотного транспортного средства может быть стабилизирована в окрестности заданного значения с помощью ускоряющей тяги и естественных или искусственно создаваемых тормозящих сил; при нагреве в заданной рабочей точке будет поочередно нагреваться и охлаждаться рабочее тело и т. п. Некоторые результаты получены для разрывных управлений «единица — ноль» для класса систем, в которых может быть реализован односторонний скользящий режим. В частности, такие режимы применяются в импульсных преобразователях напряжения с электронными ключами [3, 4].
В данной работе рассматриваются задачи стабилизации применительно к линейным системам с одним входом и одним выходом при действии внешних постоянных возмущений с односторон-
ними ограничениями на управление. Разработаны алгоритмы управления в форме динамической обратной связи с использованием в законе управления кусочно-линейных обратных связей с насыщением. Свойства робастности и инвариантности замкнутых систем обеспечиваются с помощью наблюдателей состояния и возмущений на скользящих режимах и с большими коэффициентами усиления. Такой подход позволяет получить оценки не только компонент вектора состояния, но также оценки неизвестных составляющих модели объекта управления и внешних возмущений и использовать их для компенсации неопределенностей [5]. Полученные результаты применяются в задаче управления импульсным преобразователем напряжения постоянного тока [6, 7], модель которого описывается системой дифференциальных уравнений с параметрическими неопределенностями, при действии внешних возмущений и при неполных измерениях вектора состояния. Эффективность предложенных алгоритмов подтверждается результатами имитационного моделирования в среде МаНаЪ БтиНпк.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассматриваются л инейные стационарные системы с одним входом и одним выходом
x = Ax + bu +
т
y1 = d x,
(1)
где х(1) е Я" — вектор состояния, и(1) е Я — управление, у1(1) е Я — выходная (регулируемая) переменная, §(/) е Я1 — вектор внешних неконтроли-
т
руемых возмущений, А, О и Ь, й — вещественные матрицы и векторы соответствующих размеров с постоянными элементами, пара (А, Ь) управляет
мая, пара (й , А) наблюдаемая.
Ставится задача асимптотической стабилизации выходной переменной
lim y1(t) = 0
t ^ + w
(2)
в предположениях:
— вектор внешних возмущений содержит постоянные неизвестные функции времени ^ = 0;
— управляющее воздействие принимает неотрицательные значения:
u(t) е [0; U], t > 0, U = const > 0.
Обратим внимание, что задача регулирования
выходной переменной lim y1(t) = y1d = const сво-
t ^
дится к задаче стабилизации ошибки регулирования e1(t) = y1(t) — y1d, где y1d = const — заданное значение. Нижеследующие построения применимы для этого случая, если вместо выражения (2) определить цель управления в виде: lim e1(t) = 0.
t ^ w
В § 2 приводятся методы решения поставленной задачи применительно к системам первого порядка. В § 3 полученные результаты распространяются на системы общего вида (1). В § 4 приводятся примеры синтеза управления в понижающем инверторе напряжения постоянного тока.
2. СИСТЕМЫ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Рассмотрим задачу стабилизации системы первого порядка
x = bu + n(x, t)
(3)
с учетом ограничений на управление 0 < и(1) < и и в предположении, что слагаемое п(х, 1) удовлетворяет ограничениям
-Ni < n(x, t) < Nv
ör\ dt
< N,
дц dx
< N, t > 0,
Ь, и, N2, N, — известные положительные константы. В системе (3) управление и неотрицательно, и е [0, да), тогда как слагаемое п(х, 1) строго отрицательно (п(х, 1) е [——N2]) и включает в себя как нелинейность, так и внешнее возмущение.
Введем два вида одностороннего управления — разрывное и непрерывное.
Для разрывного управления
u = 0,5М[1 - sign(s)],
(4)
где s = х, M = const > 0, условие существования скользящего режима на л инии переключения s = 0 определяется соотношением ss < 0, s ф 0 [2, 3]. Отсюда следуют неравенства на выбор амплитуды разрывного управления
ss> 0 = П < 0, ss< 0 = bM + п > 0 ^ M > Nl/b,
при выполнении которого обеспечивается стабилизация переменной состояния x(t) = 0 за конечное время.
Теперь введем линейное управление с насыщением
u = Msat+(—s), s = kx + п,
k, M = const > 0, (5)
где Msat+( s) = min(| s |, M )0,5[1 + sign( s)]. Из нечетности функции знака sign(—s) = —sign( s) сле-
дует, что Msat+(—s) = min(|s|, M)0,5[1 — sign(s)]. Для b = const > 0 примем
bMsat+(s) = min(|s|, bM)0,5[1 + sign(s)].
Покажем, что в замкнутой системе (3), (5) можно обеспечить асимптотическую стабилизацию переменной состояния x(t) при соответствующем выборе параметров регулятора k, M.
Лемма 1. Если в замкнутой системе (3), (5) значения параметров управления k, M = const удовлетворяют неравенствам
k > N + Nx, bM > N1 + -Д- , N2 x 1 k + Nx
то для произвольного начального условия x(0) < да обеспечивается асимптотическая стабилизация переменной состояния: x(o>) = lim x(t) = 0.
t ^
Доказатель ство. В силу уравнения (3) запишем дифференциальное уравнение относительно вспомогательной переменной s = kx + n
s = k(n + bu) + d + Ixx (n + bu).
Задача синтеза состоит в том, чтобы выбором значений параметров M и k обеспечить попадание и удержание переменной s (t) в линейной зоне s (t) е (—bM, 0).
Рассмотрим возможные варианты. • При s (t) < — bM имеем u = bM и, следовательно,
s = I k
dn
Э(n + bu) + I •
Ы
при этом справедлива оценка: I > (к — Nx)(—N + ЬМ) —
— N. Тогда требование I > 0 в этой области приводит к следующему неравенству для выбора амплитуды при
к > N ЬМ > N + N/(к — при выполнении которого
за конечное время обеспечивается I (?) > —ЬМ.
• При I (?) > 0 имеем и = 0 и, следовательно,
s = I k
dn
" d.
S)n + dn
dt '
при этом справедлива оценка I < —(к + N^N2 + N. Тогда требование I? < 0 в этой области приводит к следующему неравенству для выбора коэффициента усиления:
(к + Жх) > N /Ж2, при выполнении которого за конечное время обеспечивается I (?) < 0. Выбор коэффициента усиления из условия к > N /Ы + N удовлетворяет обоим рассмотренным вариантам.
Таким образом, при выполнении обоих указанных условий переменная I при любых начальных условиях попадает в линейную зону I (?) е (—ЬМ, 0) за конечное время (либо уже находится в линейной зоне) и остается
в ней. В линейной зоне управление имеет вид Ьи = — I = = —кх — п, что обеспечивает устойчивость замкнутой системы: х = —кх. Лемма 1 доказана. ♦
Обратим внимание, что производная по управлению равна нулю вне линейной зоны I г (—ЬМ, 0), а в линейной зоне ограничена величиной
Ьи = -1 ^ Ь| и | < (к + ^(ЬМ - Щ + N
и, следовательно, определяется выбором коэффициента усиления к > 0.
3. СИСТЕМЫ ОБЩЕГО ВИДА
3.1. Стабилизация при действии постоянных возмущений
Рассмотрим задачу стабилизации выходной переменной системы (1) в сделанных в § 1 предположениях.
Утверждение 1 [8]. Пусть система (1) замкнута стабилизирующей линейной обратной связью и = fТх: х = Ах + О%, где матрица А = А + Ь/Т гурвицева. Тогда в пределе (при ? ^ да) имеем: [А х(да) + О% =
= 0] ^ х(да) = — А 1 О%, где здесь и далее под х(да) понимается установившееся значение переменной. ♦
Подставляя полученное соотношение в выражение для выходной переменной у1(да) = й х(да) =
Т— -1
= —й А О%, убеждаемся, что для стабилизации выходной переменной (2) в «узкой» постановке (т. е. без расширения пространства состояния) требуется, чтобы выбор вектора f , кроме устойчивости замкнутой системы, дополнительно обеспечивал выполнение равенства [8]:
йТА О = йТ(А + Ь/)—10 = 0.
Пусть в системе (1) возмущения согласован -ные, т. е. действуют в пространстве управлений 1т О е 1тЬ [8]. Тогда система (1) может быть представлена в виде
х = Ах + Ь(и + #Т%), ЬцТ = О, % е Я1,
% = 0. (6)
Для системы (6) имеет решение задача стабилизации всего вектора состояния. Действительно, с помощью невырожденного линейного преобразования
Tx = Г1 x
x1 е Rn 1, x0 е R, detTф 0
система (6) представима в регулярной форме [5] в виде двух подсистем:
х 1 -А-цХ^ I .^^юХо,
Хо = Я(и хх + йоохо + Ьо(и + I), (7)
где в силу управляемости пары (А, Ь) пара (Ап, А10) также управляемая и Ь0 ф 0. Полагая в первой подсистеме (7) х0 виртуальным управлением, введем
локальную связь хо = х0 — /°х1. После выполнения соответствующих преобразований подобия система (7) примет вид
х1 = А11х1 1 А10 хо,
хо = Он х1 + аоо хо + Ьо(и + д°I), (8) (
где выбором вектора /1 обеспечивается гурвице-вость матрицы А11 = (А11 + А12 /°), = а(1 +
+ аоо/1 - /Т А11, аоо = аоо - /Т А1о.
Расширим пространство состояний системы (8), дополнив ее интегральным звеном ¿о о = хо . Тогда справедливо
Утверждение 2 (векторный аналог ПИ-регулятора). Существуют такие константы/о,/1о ф о, что замкнутая расширенная система (8) с управлением
-Т - -
Ьои = — ао1 х1 + (/о — аоо)хо + /1о^о будет асимптотически устойчивой: х(да) = 0.
Доказатель ство. В первой подсистеме (8) собственные движения устойчивы, следовательно, задача стабилизации сводится к стабилизации только второй подсистемы (8), которая с учетом расширения пространства
_ _ Т _ _
состояний примет вид ¿о = хо, хо = ао1 х1 + аоо хо + + Ьо(и + #о1). С введенным выше управлением имеем замкнутую систему ¿о = хо , хо = /охо + /1ого + ЬоI, которая с учетом обозначений /1о ¿о = /1ого + Ьо I примет
вид Iо = хо , хо = /охо + й1о¿о - Очевидно, что выбором параметров /о, /1о можно обеспечить асимптотическую
сходимость переменных хо (да) = о, ¿о (да) = о и, следовательно, х1(да) = 0, при этом ¿о(да) = — /ц)1 Ьо Утверждение 2 доказано. ♦
Следствие из утверждения 2. Для систем с согласованными возмущениями (7) ПИ-регулятор обеспечивает решение задачи стабилизации произвольной выходной переменной у1 = й х: х(да) = = о ^ у(да) = о. ♦
Следующий пример демонстрирует тот факт, что с помощью метода расширения пространства состояний можно обеспечить стабилизацию выходной переменной системы с несогласованными возмущениями [8].
Пример 1. Рассмотрим задачу стабилизации выходной переменной y1 = х1 системы второго порядка при действии постоянных, несогласованных возмущений: X1 = Х2 + ^1, х2 = u + ^2, 11 = 12 = 0.
Расширим пространство состояний z 1 = х1 и для расширенной системы сформируем линейную стабилизирующую обратную связь u = — d1z1 — k1x1 — k2x2, где d1, k1, k2 = const > 0 соответствуют коэффициентам гурви-цева полинома. Расширенная замкнутая система z1 = х1, хх1 = х2 + х 2 = — d1z1 _ k1x1 — k2х2 + после невырожденной замены переменных z1 = z1 + (k2^1 + ^2)/d1, х2 = х2 + относительно переменных z1, х1, х2 примет канонический вид с устойчивой матрицей z 1 = х1,
х 1 = х2 , х2 = — d1 z1 — k1x1 — k2 х2 , что обеспечивает
асимптотическую сходимость в ноль указанных переменных, в частности, выходной переменной исходной системы х1(да) = 0. В установившемся режиме выполняются соотношения z1(®) = _(k2^1 + ^2)/d1, х2(да) = —♦
Одно из обобщений данного примера сводится к следующему утверждению. Пусть в системе (1) относительный порядок v = min{i' е 1, n : dTAl - 1b ф 0} меньше, чем размерность системы: 0 < v < n. Тогда с помощью невырожденной линейной замены переменных
Тх = , уТ = (у1, ..., д е Я", хо е Я", деХТ ф о
система (1) может быть представлена в виде двух подсистем [9]:
У = + 1 + ^' l = 1 v- ! =
Уу = avT1 y + flvT0 xq + bvu + ^
(9)
хо = Ао1У + Аоохо + 0о%, I/ = % = о, (1о)
где (9) — подсистема внешней динамики (форма «вход — выход» с учетом возмущений), Ь^ =
= аТАу 1Ь ф о, а (1о) — подсистема внутренней динамики.
Расширим пространство состояния подсистемы (9), дополнив ее интегральным звеном £ 1 = у1. Тогда справедливо
Утверждение 3. Существуют такие константы
Т
/V , /у\ ф о, что в замкнутой расширенной подсистеме
(9) с линейной обратной связью bvu = ( fV — aj1 )y
— ау0 х0 + обеспечивается асимптотическая
стабилизация выходной переменной: ух(да) = 0.
Доказатель ство. С введенным выше управлением имеем замкнутую систему
¿1 = УР у, = У,- + 1 + , ' = 1 V- 1,
Уу = £у + Ля + IV,
которую представим в каноническом виде относительно смешанных переменных у1 = у1, у, +1 = у, + 1 + %1,
i = 1, V - 1:
z1 = yi, yi = y2, yt = yi + 1, i = 1 V - 1,
= fj ( y - I ) + fv1Z1 + lv , lT = (0, h, ■■■, ^v - 1).
С учетом обозначений fv1 Z1 = fv1z1 - fV \ - получим:
z1 = y1, y1 = y2, yt = yi +1, i = 1> V- 1,
yv = fv y + fvl V
Очевидно, что выбором параметров , f^ можно обеспечить асимптотическую сходимость в ноль переменных данной системы и, следовательно, обеспечить y1(œ) = 0.
При этом в установившемся режиме fv1z1(a>) = \ + ■ Утверждение 3 доказано. ♦
Предложенный алгоритм стабилизации выходных переменных будет работоспособным, если в подсистеме внутренней динамики (10) матрица A00 окажется гурвицевой. Методы компенсации неустойчивой нулевой динамики при постоянных возмущениях хорошо изучены, например, в работе [9] ■
3.2. Стабилизация с односторонними управлениями
Законы модального управления, представленные в п. 3.1, в общем случае не приемлемы в системах с односторонними управлениями. Выделим класс систем, приводимых к виду (9), (10) с устойчивыми собственными движениями в подсистеме внутренней динамики, в которых задача стабилизации выходной переменной у1 имеет решение при односторонних ограничениях на управление. Идея представленного далее результата заключается в использовании идеологии блочного подхода [5], позволяющей свести задачу стабилизации системы
высокого порядка к задаче стабилизации системы первого порядка вида (3).
Для удобства дальнейшего изложения представим подсистему (11) более детально:
У = У, + 1 + %,, - = 1 у- ^ уу- 1 = Уу + %у- П
уу = аТ- 1 У + ау^у + аТ0 х0 + Ьуи + %V , (11)
где у = (ур ..., Уу — Х)Т.
Расширим пространство состояний = у1 и, рассматривая переменную уу в (у — 1)-м уравнении системы (11) в качестве фиктивного управления и введя стабилизирующую локальную связь
Уу = Уу + 1 У + Лполучим:
¿1 = Ур yi = yi + 1 + ^, i = 1> V-2,
yv- 1 = -fT- 1 У - fv1Z1 + yv + ^V- 1 » (12)
yv = bvu + nv(y > zp yv, t),
(13)
где nv = (aTv_ i - anfT_ !> у + anyv - anfv 1z1 +
+ avT0 + ^v + fT-1 y + fv 1У1-
Устойчивые собственные движения в системе
(12) относительно переменных zv У обеспечиваются выбором параметров f v _ 1, f1. Если будет решена задача стабилизации переменной yv в системе (13), то согласно утверждению 3 будет обеспечена задача и стабилизации выходной переменной у1 в системе (12).
Ограничим класс систем, в которых задача стабилизации выходной переменной у1 имеет решение при односторонних ограничениях на управление предположением о том, что для системы (13) выполняются условия леммы 1. Тогда задача стабилизации системы (13) решается выбором управления в виде, аналогичном (5), а именно:
u = Msat+(— sv ), sv = kyv + nv, k, M = const > 0.
Отметим, что для решения задачи стабилизации выходной переменной достаточно для системы (13) решить задачу поддержания координаты на любом
постоянном уровне yv ^ const, что оказывается проще, чем решение задачи стабилизации.
Замечание. Для разрывного одностороннего управления (4) скорость сходимости к плоскости
у = 0 при различных знаках различна по уровню,
и в реальном скользящем режиме возникает смещение. В установившемся режиме указанное смещение постоянно в силу утверждения 1. В § 5 будет показано, что введение астатизма позволяет компенсировать это смещение.
4. ПРИМЕНЕНИЕ К УПРАВЛЕНИЮ ПОНИЖАЮЩИМ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕМ НАПРЯЖЕНИЯ ПОСТОЯННОГО ТОКА
Рассмотрим задачу регулирования выходного напряжения понижающего преобразователя постоянного тока (рис. 1), описываемого уравнениями вида [4]:
Lxc1 = х2 /^1 + uE, Cx2
1 R
(14)
где x1 = I — входной ток, х2 = V = const — выходное напряжение, С — емкость конденсатора, L — индуктивность дросселя, R — сопротивление нагрузки, r — активное сопротивление катушки, E — входное напряжение, u — управление.
Особенность модели (14) состоит в том, что управление имеет ключевую природу u = {0, 1}, т. е. может принимать два значения: 0, когда ключ разомкнут, и 1, когда ключ замкнут. В данном параграфе представлены два подхода к синтезу обратной связи. В п. 4.1 управление синтезируется в виде разрывной функции (4) и непосредственно применяестся в алгоритме переключения ключа. Приводятся два алгоритма синтеза стабилизирующего разрывного управления. В одном из них синтезируется непосредственно разрывное управление по измерениям входного тока и нагрузки, в другом непосредственным измерениям доступны значения входного тока и входного напряжения. В п. 4.2 синтезируется непрерывное управление вида (5), которое применяется в стандартных методах синтеза широтно-импульсных модуляторов.
4.1. Управление на скользящих режимах
Процедура синтеза 1. В предположении, что измеряются входной ток х1 и нагрузка R, ставится зада обеспечения заданного значения выходного напряжения х2 ^ Vd = const.
Представим систему (14) относительно переменных s = х1 — Vd/R, e2 = х2 — Vd:
Ls = -(e2 + Vd) - r(s + R Vd) + uE,
ce 2 = — — e2 + s.
2 R 2
(15)
Выберем одностороннее управление в форме разрывной обратной связи
и = о,5(1 - аяп(5)), (16)
где переменная 5 = х1 — Уй/Я определяет плоскость скольжения. Условия возникновения скользящего режима на плоскости 5 = о имеют вид 55 < о при 5 ф о, откуда следует
Lss> о = —х2 — 4 s + R Vd) < 0
Рис. 1. Схема понижающего преобразователя напряжения
£55 < о = —х2 — Я5 + яЧ + Е > о ^
^ о < х2 < Е — ЯУ*.
Уравнение движения в скользящем режиме получим из системы (15) при 5 = о:
Се2 = — Я е2 ^ е2 ^ о ^ х2 ^
При малых положительных 5 « о выполняется соотношение:
Lss > о = —х2 — r[s + R Vd) « —x2 — RVd < 0,
при малых по модулю отрицательных значениях s < 0 имеем
Ls s < 0 = —x2 — r (s + R Vd) + E * —x2 — RVd + E > 0.
Поскольку скорость с разных сторон от плоскости скольжения зависит от входного напряжения, то в общем случае происходит смещение плоскости на интервале переключения, и второе из уравнений (15) можно переписать в виде Ce2 = — e2/R + s + sm, где sm = const — среднее значение отклонения от плоскости реального скольжения в установившемся режиме. Полагая в установившемся режиме
х
1
смещение плоскости скольжения от нуля постоянным !т = 0, согласно утверждению 2 следует выбрать вместо плоскости скольжения I = 0 (16) скорректированную плоскость вида
s0 = s(t) + aj e2(x)dx, a
= const > 0,
e2 X2
(17)
Очевидно, что для компенсации смещения sm требуются измерения выходного напряжения.
В предположении, что нагрузка доступна для измерения, организация скользящего движения по плоскости (16) обеспечивает робастное регулирование выходного напряжения, так как в этом случае для синтеза разрывного управления (16) не требуется знание параметров модели управления (14). В то же время, из описания первой подсистемы (15) следует, что для ее стабилизации непрерывным управлением, кроме измерения х1 и R, требуется дополнительная информация о переменных x2 и E. Существенный недостаток данной процедуры синтеза состоит в требовании измерения нагрузки преобразователя.
Рассмотрим альтернативную схему синтеза, которая основана на получении оценки нагрузки с помощью наблюдателя состояния и возмущений.
Процедура синтеза 2. В предположении, что измеряются ток хг и напряжение E, нагрузка неизвестна и постоянна R = const, для оценивания нагрузки представим систему уравнений (14) в виде
LX1 = X"\ гхл + uE, CX2 = х1 — х2х3, X3 = 0
(X3 = 1/R)
(18)
и на ее основе построим наблюдатель состояния на скользящих режимах
Lz1 = - z2 - rz1 + uE + Vj,
Cz2 = z1 - z2 z3 + V
2
z3 = V3
(19)
i = 1, 2, 3 -
где ¿, — переменные состояния, у,, разрывные корректирующие воздействия наблюдателя. Задача наблюдения сводится к задаче стабилизации ошибок наблюдения е. = х1 — ¿{, , = 1, 2, 3, для которых с учетом выражений (18) и (19) имеем систему дифференциальных уравнений
L 6 1 = —62 — r&1 — Vp
Се2 = 6! — 6263 — z2 63 — 62z3
Кратко приведем типовую схему каскадного синтеза разрывных корректирующих воздействий [10—12] наблюдателя (19). При у1 = L1sign(е1) и выполнении достаточного условия ех ех < 0 ^ > |е2| в виртуальном пространстве ошибок наблюдения за конечное время ? > > 0 возникнет скользящий
режим по плоскости ¿1 = |ех = 0} ^ ¿1 = х1, а эквивалентное значение корректирующего воздействия, получаемое с выхода фильтра с малой посто-
янной времени т 1
+ v1, даст оценку фик-
(20)
тивного выхода для второго из уравнений системы (20) = тх и —е2. При выборе у2 = L2sign(—тх) с
амплитудой е2 е2 < 0 ^ Ь2 > |—е2е3 — ¿2 е3 — е2 ¿31 за теоретически конечное время ? > ?2 > ?1 возникнет скользящий режим по плоскости ¿2 = {¿1 Пе2 = 0} ^
^ ¿2 = х2, а эквивалентное значение корректирующего воздействия, получаемое с выхода фильтра ц2т2 = —т2 + у2, даст оценку фиктивного выхода для третьего из уравнений системы (20) у2ед = т2 =
= — ¿2е3 ^ е3 = —т2/¿2, ¿2 (?) ф 0. При выборе
у3 = L3sign(—т2/¿2), Ь3 > 0 за теоретически конечное время ? > ?3 > ?2 возникнет скользящий режим
по плоскости ¿3 = {¿2 п е3 = 0} ^ ¿3 = х3 = 1/Я, что решает задачу оценивания неизвестной постоянной нагрузки.
Полученные оценки используются для синтеза динамической обратной связи (16)
и = 0,5(1 — sign(5)), 5 = ¿1 — ¿3 Уй. (21)
Заметим, что в законе управления (21) можно воспользоваться и оценками, получаемые с наблюдателя (28) — см. далее.
Недостаток наблюдателей состояния на скользящих режимах заключается в необходимости расширения динамического порядка системы путем введения в контур обратной связи фильтров, создающих эффект неучтенных динамических не-идеальностей, что приводит к неудовлетворительному качеству (негладкости) оцениваемых сигналов [1]. В п. 4.2 будет представлен альтернативный метод синтеза наблюдателя состояния с помощью непрерывных корректирующих воздействий.
Отметим, что благодаря оценке выходного напряжения удается обеспечить произвольные темпы сходимости выходного напряжения к заданному значению. Действительно, замена переменных
0
= —
1
v
2
63 = —V3
s1 = x1 + (m — 1/R) z2 — mVd, m = const > 0 при z2 = x2 приводит систему (14) к виду
Cx2 = —m(x2 — Vd) + sp
s1 = 8Л + g2s1 + uE/L + g3Vd,
«=— L + (m-R)( L-C) .
= -L + C (m - R) ■ g3 = -Lm + C (m - R) .
Тогда синтез разрывного управления u = 0,5(1 — — sign(s1)) и организация скользящего режима по плоскости s1 = 0 обеспечат понижение динамического порядка указанной системы: х2 = —m(x2 — Vd),
где выбор коэффициента m > 0 определяет темпы сходимости выходного напряжения к заданному значению.
Далее приводится процедура синтеза управления выходным напряжением понижающего преобразователя с помощью широтно-импульсной модуляции.
4.2. Управление на основе широтно-импульсной модуляции
Рассмотрим задачу поддержания выходного напряжения преобразователя (см. рис. 1) на заданном уровне х2 ^ Vd с помощью непрерывного управления, подаваемого на вход широтно-импуль-сного модулятора.
Перепишем уравнения (15) так, чтобы первое уравнение имело вид, аналогичный уравнению (3):
Ls = — rs + uE + Пр Ce 2 = — R e2 + s, (22)
где щ = —(e2 + Vd) — rV/R < 0, s = ^ — V/R
Для конкретной схемы инвертора напряжения в предположении R > Rq = const > 0 можно получить следующие оценки
Nn < П1 < — N
12
Nn = Vd (1 + Ж
N = V
1 12 Vd
и |щ J < N1.
Выберем одностороннее непрерывное управление
Eu = Mjsat (—s), s = k1s +
k1, M1 = const > 0,
где параметры k1, M1 = const > 0 выбираются согласно лемме 1 с учетом Nx = 0:
- > 1
em1 > nh+N- •
Тогда за конечное время выполняется соотношение Еи = —к15 — п1, и замкнутая система (22), (23) принимает вид
1
Vd
Ь5 = —(г + к)5, Сх2 = — Я х2 + (5 + -Я] ,
т. е. в асимптотике 5(да) ^ о, х2(да) ^ V*, что и решает поставленную задачу. Как видно, для реализации управления (23) требуется информация о переменных х1(1), е2(1) и нагрузке Я.
Предлагаемый далее наблюдатель состояния и нагрузки отличается от предложенного в п. 4.1 тем, что корректирующие воздействия выбираются непрерывными, а порядок наблюдателя равен порядку соответствующей модели объекта управления. Кроме того, при выборе амплитуд корректирующих воздействий применяются менее консервативные оценки, не требующие учета переходных процессов в наблюдателе состояния.
В предположении, что в системе (14) для измерения доступны переменные х(), Е(1), построим наблюдатель вектора состояния и нагрузки вида
Lz 1 = —rz1 + uE + v1, Cz2 = z1 + v2,
+ uE +
¿3 = v3
(24)
и для ошибок наблюдения е,. = х{ — / = 1, 2, 3 в силу выражений (18) и (24) получим систему:
S1 х2 r S1 V1, ^C S 2 S1 х2хз V2,
S 3 = —v3.
(25)
(23)
Приведем пошаговую процедуру синтеза наблюдателя (24). Ниже Ь., I,, Др 8,, / = 1, 3 — положительные константы.
Шаг 1. Выберем = Ь18а1(/1е1). При Ь1 > Е переменная е1 за конечное время попадет в линейную зону и первое из уравнений (25) примет вид Ь е 1 = —х2 — (г + /1)е1, откуда следует соотношение |е1| < Е/(г + /1) = Д1, т. е. выбором коэффициента /1 можно обеспечить наперед заданную точность получаемой оценки е1. Результат первого шага: = /1е1 = —х2 + 81, где 81(/1 ^ да) ^ о — бесконечно малая величина.
Шаг 2. Выберем у2 = —Х38а1[/2(у1 + ¿2)]. При Ь2 > Е/Вц + А1 переменная е2 за конечное время попадет в л инейную зону, и второе из уравнений (25) примет вид С е 2 = —х2х3 — 12(е2 + 81), откуда следует
|е2 < 1 (Е + А') + = А2'
т. е. выбором коэффициента 12 (и значения 81) можно обеспечить наперед заданную точность получаемой оценки е2. Результат второго шага: у2 = 12(е2 + 81) = —х2х3 + 52, где 52(/2 ^ да) = 0 есть бесконечно малая величина.
Шаг 3. Выберем у3 = —Х38а1[£3(у2 + ^¿3)]. Третье из уравнений (25) в линейной зоне принимает вид е 3 = — 13(х2е3 + е2¿3 + 52), откуда следует оценка
Ы < А3 = 1 ^ + 62! <
х0
х0
А2
1
v-0 + Ч ^ Vi
А2
R + 521,
v R0
А3 ^ 0 при А2, 61 ^ 0.
Таким образом, с помощью наблюдателя состояний (24), как и в случае наблюдателя (19),
получены оценки переменных: z1 ^ х1,
z3 ^ х3
z2 ^ X2'
1/R. С помощью этих оценок формируется непрерывное управление вида (23)
Eu = M1sat+(—S), s = k1s + Пр k1, M1 = const > 0, где s = z1 — z3Vd, П1 = —z2 — z3rVd. (26)
В заключение параграфа отметим особенности применения непосредственно разрывного управления и непрерывного управления с широтно-им-пульсной модуляцией. Если нагрузка известна, то для синтеза разрывного управления (16) не требуется дополнительной информации, кроме измерения входного тока, что наделяет замкнутую систему робастными свойствами (за исключением возникающего смещения, для компенсации которого требуется информация о выходном напряжении (17)). В то же время, применение непрерывного управления (23) заведомо предполагает использование информации о выходном напряжении. Если нагрузка неизвестна, то для синтеза и разрывного (16), и непрерывного (23) управления требуется получить оценку неизвестной нагрузки с помощью наблюдателей (19) или (24), что предполагает получение оценки выходного напряжения. В этом контексте тот факт, что в разрывном управлении не используется оценка выходного напряжения, а в непрерывном используется, становится не принципиальным.
5. РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ
При моделировании выбраны такие параметры модели (14): X = 6,914 х 10—3 Гн, г = 0,2 Ом, С = 14,14 х 10—6 Ф, Е = 20 В, V = 12 В.
В предположении, что для измерения доступен входной ток и параметры модели объекта управ -ления известны, вводится наблюдатель состояния вида (24) с параметрами: = 20, Х2 = 2, Х3 = 1; 11 = 10 000, 12 = 10, 13 = 500.
Нагрузка изменяется по такому сценарию: В =30 Ом при ? е [0; 0,05) и [0,1; 0,12) и В = 20 Ом при ? е [0,05; 0,1).
На рис. 2 представлены результаты моделирования замкнутой системы (14) с разрывным управлением (16) с введением астатизма (17), где выбрано а = 10. Как видно из графиков, наблюдается небольшое перерегулирование в начале переходного процесса по выходному напряжению, а затем оно полностью компенсируется. Дополнительные исследования показывают, что без введения астатиз-ма при частоте переключений управления, равной 20 кГц, смещение выходного напряжения составляет 0,1 В, а при частоте 200 кГц уменьшается на два порядка до 0,01 В.
На рис. 3 показаны графики изменения нагрузки В(?) и ошибок наблюдения (25) применительно к замкнутой системе (18) с управлением (21).
На рис. 4 показаны результаты моделирования замкнутой системы (18) с разрывным управлением (21), сформированным по оценкам наблюдателя (24). Погрешность отработки заданного значения выходного напряжения составляет |е2| < 10 4 В.
Рис. 2. Графики R(t), x^t) и x2(t) в замкнутой системе (14), (16), (17)
R, Ом
-------------
0 0,02 0,04 0,06 0,08 0, L0 t, с
у
0 0,02 0,04 0,06 0,08 0, __________!____________j___________!____________i__________:_ 10 t, с ■
__ __ !______
г -
0 0,02 0,04 0, 06 0,08 0,10 t,
............. -----------
0,02
0,04 0,06
0,08
0,10 t, с
Рис. 3. Графики R(t), Sj(t) и e2(t) e3(t) в замкнутой системе (16), (18), (24)
xi, А 1,5 1
0,5 О
х2, В 15 10 5 О
i _-- -
-
0,02 0,05 0,08 0,1 t, с
L-i- Г^-—
i i
0,02
0,05
0,08 0,1 t, с
Рис. 4. Графики x1(t) и x2(t) в замкнутой системе (18), (21), (24)
Рис. 5. Графики x1(t), x2(t) и K1(t) в замкнутой системе (18), (24), (26)
На рис. 5 показаны результаты моделирования замкнутой системы с управлением (26) при ^ = = 2000, сформированным по оценкам с наблюдателя (24), с периодом широтно-импульсной модуля-
ции, равным T = 10 5 с. Погрешность отработки выходного напряжения составляет |е2| < 4 х 10 3 В. Переходные процессы в наблюдателе (24) с управлением (26) близки к изображенным на рис. 4.
Как и следовало ожидать, характер поведения замкнутых систем во всех алгоритмах мало зависит от активного сопротивления катушки.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Разработаны алгоритмы управления выходной переменной в многомерных линейных системах при воздействии внешних постоянных возмущений и/или производных задания в предположении, что управления односторонние (неотрицательные), ограниченные по амплитуде функции. Разрывные управления благодаря созданию скользящих режимов обеспечивают инвариантность по отношению к внешним неконтролируемым возмущениям и робастность замкнутых систем. При дополнительных требованиях на ограниченность и скорость роста управления введен односторонний (неотрицательный) аналог линейной функции с насыщением. В этом случае для обеспечения инвариантных свойств замкнутой системы применяется стандартный ПИ-регулятор.
В качестве приложения рассмотрены задачи управления импульсными понижающими преобразователями напряжения постоянного тока. Предложенные алгоритмы управления, предусматривающие измерение только входного тока, не робастны к изменению параметров объекта управления. По-видимому, построение робастных алгоритмов возможно только при измерении выходного напряжения. Эта задача требует д альнейших исследований.
ЛИТЕРАТУРА
1. Shtessel, Y, Edwards, C, Fridman, L, Levant, A. Sliding mode control and observation. — Boston: Birkhauser, 2012. — 356 p. — URL: https://www.springer.com/gp/book/9780817648923
2. Utkin, V.I, Guldner, J., Shi, J. Sliding Mode Control in Electro-Mechanical Systems. — New York: CRC Press, 2009.
3. Sabanovic, A., Sabanovic, N., Ohnishi, K., Sliding Mode in Power Converters and Motion Control Systems // Int. J. Control. — 1993. — Vol. 57, no. 5. — P. 1237—1259.
4. Shtessel, Y.B., Zinober, A.S.I., and Shkolnikov, I.A. Sliding Mode Control of Boost and Buck-boost Power Converters Using Method of Stable System Center // Automatica. — 2003. —
Vol. 39. — P. 1061—1067.
5. Краснова С.А., Уткин В.А., Уткин А.В. Блочный подход к анализу и синтезу инвариантных нелинейных систем слежения // Автоматика и телемеханика. — 2017. — № 12. — С. 26—53. [Krasnova, S.A., Utkin, V.A., Utkin, A.V. Block Approach to Analysis and Design of the Invariant Nonlinear Tracking Systems // Automation and Remote Control. — 2017. — Vol. 78, no. 1. — P. 2120—2140.]
6. Kapat, S. Improved Time Optimal Control of a Buck Converter Based on Capacitor Current // IEEE Trans. on Power Electron. — 2012. — Vol. 27, no. 3. — P. 1444—1454.
7. Stefanutti, W, Mattavelli, P. Saggini, S., and Ghioni, M. Autotuning of Digitally Controlled DC-DC Converters Based on Relay Feedback // IEEE Trans. on Power Electronics. — 2007. — Vol. 22. — P. 199—207.
8. Wonham, W.F. Linear Multivariate Control: A Geometric approach. — N.-Y.: Springer-Verlag, 1985.
9. Уткин В.А., Уткин А.В. Задача слежения в линейных системах с параметрическими неопределенностями при неустойчивой нулевой динамике // Автоматика и телемеханика. — 2014. — № 9. — С. 62—81. [Utkin, V.A., Utkin, A.V. Problem of Tracking in Linear Systems with Parametric Uncertainties under Unstable Zero Dynamics // Automation and Remote Control. — 2014. — Vol. 75, no. 9. — P. 1577—1592.]
10. Уткин В.А. Метод разделения движений в задачах наблюдения // Автоматика и телемеханика. — 1990. — № 3. —
С. 27—37. [Utkin, V.A. A Method for the Separation of Motions in Observation Problems // Automation and Remote Control. — 1990. — Vol. 51, no. 3. — P. 300—308.]
11. Comanescu, M. Speed and Rotor Position Estimation of the PMSM by SM Observers with Compound Manifolds and Linear Feedback // 9th International Conference on Compatibility and Power Electronics (CPE), 2015.
12. Yang, Z, Zhang, D, Sun, X., and Ye, X. Adaptive Exponential Sliding Mode Control for a Bearingless Induction Motor Based on a Disturbance Observer // IEEE Access. — 2018. — Vol. 6. — P. 35425—35434.
Статья представлена к публикации членом редколлегии
В.Н. Афанасьевым.
Поступила в редакцию 18.07.2019, после доработки 13.02.2020.
Принята к публикации 4.03.2020.
Уткин Антон Викторович — д-р техн. наук,
Н utkin-av@rambler.ru,
Уткин Виктор Анатольевич — д-р техн. наук,
Н vicutkin@ipu.ru,
Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН,
г. Москва.
THE SYNTHESIS OF STABILIZATION SYSTEMS UNDER ONE-SIDED RESTRICTIONS ON CONTROL ACTIONS
A.V. Utkin, V.A. Utkin
V.A. Trapeznikov Institute of Control Sciences of Russian Academy of Sciences, Moscow, Russia H utkin-av@rambler.ru, H vicutkin@ipu.ru
Abstract. In practical applications of automatic control theory, situations are often encountered where control actions are limited to a certain range of values, in particular, they can only take non-negative values. In this case, such popular synthesis methods as modal and optimal control are not applicable. In this paper, the methods are proposed for stabilizing output (controlled) variables in linear stationary SISO systems under non-negative (unipolar) control constraints. The main idea is to implement control actions in the form of linear functions with saturation, constant values of which coincide with the restrictions on the controls. As an illustration of the developed algorithms, a pulsed DC/DC voltage converter is considered, in which the control has a switching nature with the «on — off» states. The simulation results in Matlab Simulink are presented.
Keywords: stabilization problem, one-sided control restrictions, invariance, DC/DC voltage converter.
Funding. The work was partially supported by the Fundamental Research Program in priority areas determined by the Presidium of the Russian Academy of Sciences (no. 7 «New Developments in Promising Areas of Energy, Mechanics, and Robotics»).
