Синтез систем переменной структуры с учетом характеристик реальных элементов Текст научной статьи по специальности «Физика»

________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И

Том V 1974

№ 6

УДК 62-50

СИНТЕЗ СИСТЕМ ПЕРЕМЕННОЙ СТРУКТУРЫ С УЧЕТОМ ХАРАКТЕРИСТИК РЕАЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Н. С. Мельников

Предлагается метод синтеза систем переменной структуры с запаздыванием для объектов второго порядка с учетом характеристик реальных элементов, существенно влияющих на поведение подобных систем. Параметры линии переключения определяются путем выделения одной пары доминирующих комплексно-сопряженных корней трансцендентного характеристического уравнения замкнутой системы. Устойчивая фазовая траектория одной из структур приближенно находится при учете двух первых членов в разложении запаздывающей фазовой координаты в ряд Тэйлора по величине запаздывания.

При решении широкого круга практических задач стабилизации летательных аппаратов использование известных методов синтеза систем переменной структуры [1, 2, 3] связано с определенными трудностями, так как они разработаны, в основном, применительно к линейным объектам второго и третьего порядков и не всегда позволяют учитывать характеристики реальных звеньев. Так, например, в сервоприводах часто встречаются нелинейности типа „люфт“ и „зона нечувствительности“, которые в сочетании с инерционными элементами динамически эквивалентны звеньям запаздывания. Аппроксимация подобных элементов передаточной функцией запаздывающего звена е~р% позволяет отразить важные динамические свойства реальных систем, такие как ограниченная полоса пропускания замкнутой системы, невозможность сохранить устойчивость при неограниченном возрастании коэффициента усиления путем линейной коррекции и т. п.

Синтез приемлемой системы переменной структуры с запаздыванием для управления реальными объектами и выводы относительно ее устойчивости (асимптотическая устойчивость, предельные циклы и т. д.) затруднены вследствие того, что возможные режимы работы системы заранее неизвестны. Сложность анализа и синтеза систем переменной структуры с запаздыванием заключается и в том, что в таких системах используются непредельные

значения управлений (в отличие от оптимальных и релейных систем), вследствие чего величина запаздывания влияет не только на положение линии переключения, но и изменяет вид фазовых траекторий. В работах [4] и [5] была исследована возможность применения линейной теории для анализа систем переменной структуры на основе гармонической линеаризации логического закона коммутации. Такой подход может быть распространен и на системы с запаздыванием, однако его применимость для случаев, когда задача выходит за пределы определения периодических решений, не исследована.

«(«, ф)=\+!

Т'Т’Т' ]-/ при (Г* ц>) =£ О Фиг. 1

В работе предложен метод синтеза систем переменной структуры с запаздыванием для объектов второго порядка с учетом характеристик реальных элементов, существенно отражающихся на поведении подобных систем.

Сущность предлагаемого метода синтеза системы заключается в следующем. Параметры линии переключения определяются путем выделения одной пары доминирующих комплексно-сопряженных корней трансцендентного характеристического уравнения замкнутой системы с запаздыванием. Устойчивая фазовая траектория одной из структур приближенно находится при учете двух первых членов разложения запаздывающей фазовой координаты в ряд

Тэйлора по величине запаздывания т.

Рассматривается система, структурная схема которой показана на фиг. 1. Коэффициент усиления объекта аа, который может изменяться в широком диапазоне, входит в уравнения системы в произведении С коэффициентом регулятора &!• Это произведение обозначено через к. Соответствующие этой системе дифференциальные уравнения

(1)

решить аналитическими методами невозможно. Приближенные уравнения интегральных кривых на фазовой плоскости можно

найти, ограничиваясь конечным числом членов разложения функции х{Ь — т) в ряд Тейлора по малому параметру т. В разложении

,± ч /,ч , дх , д2 х т2 ,

X (Ь — Т) = х(Л) + -д- Т + -3-7- -5-+...

4 ' 4 ’ 1 дх т=о 1 т=о 2

в дальнейшем ограничимся двумя первыми членами. При этом

дх дх ,,ч , ...

= - йГ = — у (*) + а1 ■* ДО-

Интегрирование полученной приближенной системы уравнений может быть осуществлено с помощью подстановки у = гх. Вычис-

ленные таким путем фазовые траектории, подтвержденные математическим моделированием системы (1) на цифровой вычислительной машине, представлены на фиг. 2.

При отрицательном & в семействе траектории с особой точкой типа „седло“ имеется устойчивая фазовая траектория, представляющая собой прямую, проходящую через начало координат. Ее угловой коэффициент а является функцией параметров системы к, ах, х.

Фиг. 2. Фазовые траектории в системе переменной структуры с запаздыванием при нейтральном объекте (а, = 0)

Вводя в приближенные уравнения безразмерные величины

а = ах, а1 = а1х, & = £х2 и безразмерное время

1 = ¿/х,

получим

¿ = -А + 1 + |/к+ (а’ + *)2 . (2)

В дальнейшем будем пользоваться безразмерными величинами и обозначать их теми же символами без черточки.

Задача синтеза состоит в определении допустимых значений углового коэффициента линии переключения &0 и может быть решена следующим образом: линия переключения находится как геометрическое место точек, которые через время запаздывания х попадают на устойчивую фазовую траекторию. Так как угловая скорость вектора фазового состояния системы при + & не зависит от его модуля, а устойчивая траектория является прямой линией, то искомая линия переключения также будет прямой. Ее угловой коэффициент &0 представляет собой тангенс разности двух углов: угла наклона устойчивой траектории и угла поворота вектора фазового состояния за время запаздывания, который определяется корнями трансцендентного характеристического уравнения

(р2 + аг р) еР + й = 0. (3)

При подстановке Р = х+]у в характеристическое уравнение (3) и приравнивании нулю вещественной и мнимой частей получаем два уравнения, связывающие х и у с параметрами системы ах и Их решение дает следующие зависимости:

■ - - (-2‘- + У с«у) ± У ^ ^, (4>

е* (2 ху 4- а-х у) вш у

(5>

Среди всего множества корней характеристического уравнения (3) при любых значениях параметров ах и & имеется пара доминирующих с модулем, значительно меньшим модулей остальных корней. Траектории этих корней на комплексной плоскости в функции коэффициента усиления таковы, что с уменьшением последнего они сближаются и при аф О и к, меньшем некоторого значения ккр = /(а1), вместо пары комплексно-сопряженных корней образуются два близких по величине отрицательных вещественных корня. В этом случае исследование фазовых траекторий листа, соответствующего +6, может быть осуществлено следующим образом. Пусть хх и х2 значения доминирующих корней характеристического уравнения системы. Тогда характеристическое уравнение приближенно можно представить в виде

Р2 - (*1 + Хг) р + хг х2 ^ 0, (6)

а соответствующее ему дифференциальное уравнение в виде

7ЙГ+ ■*,*,?%(). (7)

Производная тангенса угла наклона вектора фазового состояния, согласно уравнению (7) равная

т = - (у)2 + (?) - *2 = /=• (^ ) ,

является функцией отношения (<р/ч>) и значения корней характеристического уравнения. В частности, она обращается в нуль при . . . ф (<р/<р) = .*1 и (ср/ер) = х2. Функции /7(<р/<р) положительна при Х1 < ~<^Х2,

а это означает, что в секторе, ограниченном прямыми с угловыми коэффициентами хх и х2, вектор фазового состояния вращается против часовой стрелки. В этом случае угловой коэффициент линии переключения может быть сколь угодно большим, так как в качестве линии переключения выступает указанный сектор. Прямая с меньшим угловым коэффициентом хх характерна тем, что в ее окрестности фазовые траектории направлены вдоль нее к началу координат, откуда следует, что быстродействие системы увеличивается с увеличением модуля меньшего из доминирующих корней характеристического уравнения. Таким образом, для решения задачи синтеза необходимо определить угловой коэффициент линии переключения для значений коэффициентов усиления системы, при которых доминирующие корни комплексно сопряжены.

В этом случае решение для выходной координаты у и ее производной запишем в следующем виде:

ср = ext {А с os yt -f В sin yt),

<p = ext [(Ax +By) cos yt + (Bx — Ay) sin_yi].

Примем за начало отсчета момент (¿ = 0), когда фазовая точка находится на искомой линии переключения с угловым коэффициентом —кй

Из этих начальных условий определяем соотношение постоянных А и В

Границу области допустимых настроек (максимально допустимые значения ¿0) определим из условия попадания фазовой точки через время запаздывания на устойчивую фазовую траекторию системы с угловым коэффициентом а, зависящим от параметров системы согласно формуле (2).

Определив из указанных уравнений коэффициент £0, получим основную формулу синтеза, связывающую максимально допустимые значения углового коэффициента линии переключения с параметрами системы:

где а, у, х зависят от ах и k в соответствии с формулами (2), (4) И (5). Формула (8) определяет границу области допустимых настроек в пространстве параметров k0, k и аь Можно показать, что при выполнении условия (8) в системе с переменной структурой будет обеспечиваться асимптотическая устойчивость, а переходные процессы при отработке начальных условий типа д:(0)==0 и д:(0)=1 будут иметь монотонный характер. В самом деле, при k0^komaK фазовые траектории направлены к линии переключения, а среднее за период значение скорости регулируемой координаты ®>0 при 9<0 и ср<0 при ср > 0. В то же время фазовые траектории не пересекают устойчивую фазовую траекторию, проходяшую через начало координат. Это возможно лишь при затухающем переходном процессе. Такой процесс, полученный методом численного интегрирования на ЭЦВМ точных уравнений (1), показан на фиг. 3. Видно, что колебания в системе около линии переключения затухают по мере приближения изображающей точки к началу координат.

На фиг. 4 показаны сечения а, = const поверхности, ограничивающей в соответствии с формулой (8) область допустимых настроек в трехмерном пространстве параметров k0, k, ах. Для системы с постоянными параметрами полученные зависимости позволяют задать параметры k0 и k, при которых быстродействие системы максимально. В системах с переменными параметрами эти зависимости дают возможность выбрать настройки, обеспечивающие максимальное быстродействие в заданном диапазоне изменения ах и k при выполнении условий монотонности и устойчивости.

-Р(О)

А

X

У

ko

а (у cos у — х sin у) — (X2 + у2) sin у

(8>

шах

у cos у + х sin у + a sin у

Однако характер движения в системах переменной структуры вблизи начала координат резко отличается от рассмотренного, когда имеются погрешности в элементах системы при ее реализации. В частности, такого вида схемы весьма чувствительны к разнице между выходной координатой х, участвующей в формировании линии переключения, и такой же координатой х, поступающей по цепи обратной связи на вход системы. Физически эти координаты различны, так как реализуются на разных устройствах (усилителях)

и полностью отождествить их нельзя, хотя бы из-за дрейфа нулей любого из усилителей. Обозначим разницу между ука-

0.9

0.8

и

0.6

ол

03

0.2

0.1

\

\

1

\

>

N. \ а=1,0

Ч > \

\ \

\

\ Ч N. ч

\ \ 0,3 ' 0,5

Г \, < \ ч

т \ ч \ \

V \ \ ч. \

>а=0' ч V V \

о,г ч V Ч \

Фиг. 4. Области допустимых настроек "Фиг. 3. Переходный процесс в систе- параметров, обеспечивающих мономе при отработке начальных условий ТОнность переходных процессов и

х— 1, л: = 0, к = 10 !/с2, /г0= 1,75 >/с, асимптотическую устойчивость систе-

X = 0,1 с мы переменной структурой

занными физическими сигналами через Дх относительно сигнала х в обратной связи эта же выходная координата в уравнение линии переключения входит как х + Дх.

Уравнение линии переключения в этом случае будет иметь вид

(х + Дх) {Т х - Ь х 4- Дх) = 0

или

(Тх + х) = — Тх Дх— 2х Дх — Дх2. (9)

Из уравнения (9) видно, что линия переключения в этом случае не проходит через точку х = 0, х = 0, а пересекает ось х на расстоянии — Дх от начала координат. Очевидно, что на роль точек

равновесия в таком случае могут претендовать две точки фазовой плоскости: 1) л: = 0; х = 0; 2) х = — Дл; л =0. Точка с координатами х = 0; х = 0 теперь уже принадлежит одному листу, соответствующему -|- является особой точкой типа неустойчивый фокус. Вторая точка также не может быть точкой устойчивого равно-

(Рх

весия, так как в этой точк$= + & Дл; ^ 0.

В результате для системы остается единственная возможность предельного цикла. ,

Фиг. 5. Предельный цикл в системе переменной структуры при равенстве модулей переключаемых коэффициентов £=£] = = 10 !/с2 и погрешности Д;е=0,02

Для удобства исследования будем рассматривать фазовые траектории на смещенной путем замены координат х' = х Дх; х' — х фазовой плоскости. Тогда дрейф нулей можно учесть путем подачи Дл; в основной контур системы.

Когда в системе при переключении изменяется лишь знак коэффициента, ее фазовые траектории при движении вдоль линии переключения Тх х — 0 неизбежно пересекут в какой-то момент ось координат х — 0, являющуюся второй линией переключения. В этом случае образуется предельный цикл с более чем двумя переключениями за период, как это показано на фиг. 5. Наличие такого цикла в системе нежелательно, так как его частота мала, а амплитуда велика. Предотвратить его образование можно, например, путем изменения модулей переключаемых коэффициентов таким образом, чтобы фазовые траектории на конечном участке не попадали на линию переключения х = 0. Это может быть достигнуто при | — £]|>|А|, что видно по характеру движения, показанного на фиг. 6 для 1 — ¿! | = 2] й |. В этом случае при приближении к началу координат наступает момент, когда среднее за период колебаний значение х становится равным нулю, и устанавливается предельный цикл с двумя переключениями за период. Его ампли-

туду по координате х приближенно можно найти при замороженном значении х, которое по сравнению с х мало изменяется при частоте колебаний, определяемой только запаздыванием \х\ —

= (Дх + 8) т

к 4- к\ 2

где 8 —среднее значение смещения координаты х,

обусловленное неравенством модулей коэффициентов кх и к. Значение 8 может быть определено из условия равенства нулю сред-

Фиг. 6. Предельный цикл в системе с переменной структурой при к — == 10 1/с2; £] = — 20 !/с2 и погрешности Д;с = 0,02

него за период значения скорости регулируемой координаты. Из этого условия получим следующую зависимость 8 от параметров системы и Ах:

« (¿! — к) Ах

1

Т

к — кх

ЛИТЕРАТУРА

1. Емельянов С. В. Системы автоматического управления с переменной структурой. М., „Наука“, 1967.

2. Б а р б а ш и н Е. А. Введение в теорию устойчивости. М., .Наука*, 1967.

3. Теория систем с переменной структурой. Под редакцией С. В. Емельянова. М., „Наука“, 1970.

4. Системы с переменной структурой и их применение в задачах автоматизации полета. Под ред. Б. Н. Петрова и С, В. Емельянова. М., „Наука“, 1968.

5. Хабаров В. С. К вопросу построения частотных характеристик одного класса САР с переменной структурой. „Автоматика и телемеханика“, т. XXVI, № 8, 1965.

Рукопись поступила 12/ VI /973 г.