CC BY
81
УДК 537.86
СИНТЕЗ СИСТЕМ ФАЗОВОЙ АВТОПОДСТРОЙКИ, ОПТИМАЛЬНОЙ ДЛЯ ПРИЕМА 2-ФМ МАНИПУЛИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ (БР8К)
Ю.А. СИДОРКИНА, А.М. БАЛЫКИНА Статья представлена доктором технических наук Шахтариным Б.И.
В статье проводится синтез оптимальных демодуляторов BPSK и QPSK. В качестве критерия оптимальности используется критерий максимума апостериорной вероятности сообщения. В постановку задачи входит уравнение наблюдения и априорное уравнение сообщения. При синтезе оптимальных приемников решается два нелинейных дифференциальных уравнения: 1) ДУ относительно оцениваемых параметров; 2) ДУ относительно дисперсии ошибки. Синтез нелинейной фильтрации завершается структурной схемой нелинейного оптимального приемника.
Ключевые слова: фазовая автоподстройка, оптимальные демодуляторы, 2-ФМ демодуляция.
Введение
Уравнение наблюдения задается в виде [1]
х(1) = э(1, ф) + п(1) = Ад со$[Юд t + ф(1)] + п(1) , (1)
где э(1,ф) - сигнал; п^) - белый гауссовский шум (ГБШ); Ад,Юд - постоянные параметры.
Мд
ГБШ п(1) имеет нулевое среднее значение и корреляционную функцию (КФ) Вп(%)=—0 5(т),
где Мд - односторонний энергетический спектр (ЭС).
Фильтруемый параметр ф( t) является марковским случайным процессом, апостериорная плотность распределения вероятности (АПРВ) Ж (ф, t) этого случайного процесса описывается уравнением в частных производных. Это уравнение называется уравнением Стратоновича [1]
ММ = 1а (ф)ж(ф,г) + Г¥ (ф,г)-¥(ф,г)]Ж(ф,t), (2)
Эt -1
гдеЬа (ф) - оператор уравнения Фолкнера - Планка - Колмогорова (ФПК).
Э 1 Э2
К (ф) = -—[ К1 (ф, t )Ж (ф, t)] + [ К 2 (ф, t )Ж (ф, t)],
Эф 2 Эф2
где К^- коэффициент сноса; К2- коэффициент диффузии; ¥(ф,t) - функция Стратоновича, имеющая в данном случае вид
2
¥ ф 0=—х(0 s(t, ф) • (3)
Мо
¥(ф,t) - среднее значение этой функции ¥(ф,t) = |¥(ф,t)Ж(ф, t)ёф .
ф
Уравнение (2) позволяет описать изменение во времени АПРВ Ж (ф, t) фильтруемого параметр ф(У) сигнала^(7,ф).
Априорное ДУ (уравнение формирующего фильтра (ФФ)) имеет вид
ф = -аф( 1:) + пф( 1:) , (4)
Эt т
где a = const, а случайный процесс j (t) - БГШ с нулевым средним значением и КФ в виде
\W=
где Nj - односторонний ЭС.
В этом случае коэффициенты сноса и диффузии имеют вид
N,
Ki (ф, t ) = -ф, К2 (ф, t ) =
ф
2
(5)
ДУ (4) соответствует ФФ в виде апериодического звена, на вход которого подается ГБШ пф (t) .
Что касается аппроксимации АПРВ, то обычно используют [1] гауссовскую аппроксимацию
I | ф — фф 4 2
Ж (ф, t)
1
г exp
2ps
(Ф-Фо)2
2s
(6)
где jo =jo (t) и s2 =s2 (t) - среднее значение и дисперсия фильтруемого параметра.
2
Таким образом, система ДУ для оценки фд = ф и её дисперсии а имеет вид ё ф
dt
2 2A0 . ч M ds2 N,
-(р — s —- х (t) sin (w0t + ф),
N
dt
ф — 2as2 — s4^° х (t) cos (w0t + ф). (7)
N
о
(8)
Синтез системы ФАП оптимальной для приема 2-ФМ манипулированного сигнала (BPSK)
Функция Стратоновича [2] при входном воздействии
x(t) = s(t, j, a) + n(t) = Ao сов[Юо t + j(t) + ap] + n(t),
где a принимает значение 0 или 1, имеет вид F1 (t, j) = 2Aox (t) cos [wot + j] = -F2 (t, j).
N 0
Таким образом, сигналы Si(t) и S2(t) определяются равенствами
Si (t, j) = -S2 (t, j) = Ao cos [wot + j( t)].
В этом случае Fi + F2 = 0; F1+ F^ = 0; Fi - F2 = 2Fi = —0 x (t) cos [wot + j];
N
Fi — F2 = 2 Fi
—4 A0 N
х
(t) sin [wot + Ф]; Fi — F2 = 2Fi//= —A°х (t) sin [wot + ф] = —2Fi.
N
Уравнения (7) принимают вид ф sj zx (t) sin (w0t + ф ) = 0 ;
+
dt N
0
d sj Np
2
sj z'
- = —z + (l — z2 )
dt
V
2 A0 N 0 2 A0
N
х (t) cos (w0t + ф) =-spzFi (t, ф),
cos (o^t + ф ) = — z + (i — z2 )
(9)
при этом i — z > 0.
Заметим, что при z = th
J F (t, j ) d j
структурная схема алгоритма (рис. 1) практически
совпадает со схемой приемника, оптимального по критерию максимума апостериорной вероятности (МАВ), и при Ш x » x (при слабых сигналах) вырождается в схему Костаса [2].
л-00
I.
(Jc+l)T
JCT
pi/2
X ФНЧ2
Рис. 1
Найдем стационарное значение дисперсии оценки в виде oj = VNj/( 2 zFi), где z - стационарное решение третьего уравнения (9). При x(t) » A ^s[®o t + j(t) + ap], пренебрегая второй гармоникой, получим
22 2 Ao , „ Ao Г „И Г "I
F »-x (t) ras^t + j + ap] ^s[Wot + j] = — cos [j-j] cos [ap].
N
N
Полагаяa = 0, а синхронизацию совершенной, когда j-j » 0, получимFi »--------. Тогда
значение дисперсии oj = .JNoNjj( 2Az ) .
Полагая C = (l - 0,5oj ), Fi =( A,2/No )(l - 0,5oj ) = q (l - 0,5oj ) , находим стационарное
— —2 1 — значение z из квадратного уравнения z +— z -1 = 0.
C
При ОСШ q ® ¥ находим Y = ±1, также z = th (±q) при q > 2 .
Структурная схема приемника сигналов фазовой телеграфии (2-ФМ) принимает вид (рис. 2), где Фz - формирователь величины z; ФД - фазовый детектор; СД - синхронный детектор;
ФАП - фазовая автоподстройка частоты, Ü1 = ( 2A0/N0 )oj.
Как следует из рис. 2, схема приемника характеризуется обратной связью по решению: на ФАП подается решающая функция z = z (t) . Схема рис. 2 также называется схемой Костаса [2; 3]. При большом ОСШ по (9) в стационарном режиме находим
- - A2 -
z @ ¿0 F1 = — ¿0 cos [ap] = ¿1 cos [j - ] cos [ap].
N0
На входе первого умножителя в верхней ветви рис. 2 получим
х(t)sinKt + j]» A0 cosKt + j(t) + ap]sin[^t + j].
t
k
Пренебрегая второй гармоникой, находим
A
(t)sin [w0t + ф] ~ — sin [ф - ф]cos[ap].
г
ФНЧ1
Л ФД
sin(co0t + ф)
pi/2
x(t)
УГ ■*
cos(ai0t + ф)
► X
ФНЧЗ
Ф,
СД
Рис. 2
щ
После второго умножителя (на aj) в верхней ветви напряжение Пу принимает вид
A
uy =— aysin [ф-ф ] cos [ap] = é^sin [ф-ф ] cos [ap].
2
Таким образом, на выходе правого умножителя находим напряжение
U2 = UyZ = (byb2/2) sin 2[ф — cp]cos2 [ap]
Следовательно, на входе УГ формируется напряжение со снятой манипуляцией. В то же время на выходе нижней ветви при ф - ф » 0 (при совершенной синхронизации) формируется
информационное сообщение Z = by cos [ap]; a = 0 v 1.
С помощью системы MATLAB Simulink было проведено имитационное моделирование приемника 2ФМ сигнала, структурная схема которого представлена на рис. 2.
Таблица
q, дБ 0 -10 -30 -50
Пфнч/Пфл 1:1 9:10 2:10 4:100
И -0,001723 -0,00433 0,03259 0,03815
2 О 0,0006562 0,0007173 0,001173 0,00315
Было показано, что с расширением полосы фильтра системы ФАП наблюдается уменьшение динамической ошибки слежения при увеличении флуктуационной ошибки. В таблице приведены математические ожидания и дисперсии плотности распределения ошибок слежения при разных отношениях сигнал шум.
Выводы
Был произведен синтез оптимальных приемников фазоманипулированных сигналов на основе систем фазовой синхронизации с использованием методов нелинейной оптимальной фильтрации, проведено их имитационное моделирование.
ЛИТЕРАТУРА
1. Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем: учеб. пособие для вузов. - 2-е изд. - М.: Радио и связь, Горячая линия - Телеком, 2004.
2. Шахтарин Б.И. Фильтры Винера и Калмана. - М.: Гелиос АРВ, 2008.
3. Фоменко А.Ю., Шахтарин Б.И. Синтез и моделирование схемы Костаса // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. - 2012. - № 2.
РИЛ8Е LOCKED LOOP (PLL) SYSTEM’S SYNTHESIS BEST TO RECEIVE BPSK
Sydorkina Ju.A., Balycina Л.М.
The synthesis of the optimal demodulators BPSK and QPSK was done. As the criterion of optimality the maximum of a posteriori probability was used. The problem statement is including the equation of observation and the equation a priori. By the synthesis of optimal receivers solved two of nonlinear differential equations (DE): 1) DE about the parameter’s estimate; 2) DE about the dispersion’s error. Synthesis of nonlinear filter is ended by the structural scheme of a nonlinear optimal receiver.
Key words: phase lock loops, optimal demodulators, BPSK demodulation.
Сведения об авторах
Сидоркина Юлия Анатольевна, окончила МГТУ им. Н.Э. Баумана (1984), кандидат технических наук, доцент кафедры СМ-5 «Автономные информационные и управляющие системы» МГТУ им. Н.Э. Баумана, автор более 30 научных работ, область научных интересов - статистический анализ и синтез цифровых систем.
Балыкина Анна Михайловна, окончила РОСНОУ (2005), ассистент кафедры информационных технологий естественно - научных дисциплин Российского Нового университета (РОСНОУ), автор 2 научных работ, область научных интересов - новые методы математического моделирования сигналов, процессов, устройств и систем связи.
