Синтез робастного цифрового регулятора для системы магнитной левитации Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Сотникова М.В.

факультет ПМ-ПУ СПбГУ, доцент кафедры компьютерных технологий

и систем s_margosha@mail.ru

Синтез робастного цифрового регулятора для системы

магнитной левитации

1. Введение

Вопрос обеспечения робастных свойств систем управления является одним из ключевых при решении практических задач. Значимость этого вопроса определяется наличием различных неопределенностей в задании математических моделей, используемых при синтезе алгоритмов управления, включая дополнительную неучтенную динамику и внешние возмущения.

В работе рассматривается задача синтеза цифрового регулятора, обеспечивающего робастную устойчивость замкнутой системы с учетом желаемых модальных свойств. Важной особенностью предлагаемой процедуры синтеза является построение такого регулятора, для которого собственные числа замкнутой номинальной системы располагаются внутри заданной области в единичном круге, а любая замкнутая возмущенная система устойчива. При этом неопределенность математической модели объекта управления представляется в частотной области.

В качестве практического приложения приводится задача синтеза цифрового регулятора для системы магнитной левитации. Неопределенность математической модели этой системы вызвана сложностью точного описания силы магнитного поля, воздействующей на объект управления. Работоспособность и эффективность предложенного подхода к синтезу иллюстрируется примером компьютерного имитационного моделирования в среде МА^АВ^тиНпк.

2. Математическая модель магнитной левитации

На рис. 1 представлена общая схема системы магнитной левитации. На стальной шарик, находящийся в воздухе, действует две силы: сила тяжести Fg, направленная вертикально вниз, и сила притяжения Рш, создаваемая электромагнитом, когда по нему течет ток I. На рисунке приняты следующие обозначения: V - напряжение, подаваемое на катушку, R - сопротивление катушки, ь - ее индуктивность, хь - расстояние от электромагнита до шарика. Начало системы координат 0ху расположено на поверхности электромагнита, ось Ох направлена вертикально вниз.

Запишем систему нелинейных дифференциальных уравнений, представляющих математическую модель магнитной левитации. Для этого введем переменные: х1 = х = хь = х2 = хь = хз =1 = и = V. На основе законов

электрических цепей и второго закона Ньютона, а также с учетом выражения для силы притяжения электромагнита [2], составим уравнения математической модели:

х, = Я -

1 «

R

1

Хо — Хо ь ~~ и.

(1)

р.

2 Мх2 ' " L L

Здесь м- масса шарика, 8-гравитационная постоянная, к,„-магнитная постоянная. Управляющим воздействием является напряжение и, а контролируемой переменной смещение шарика ч.

В рассматриваемой системе измеряются две величины: сила тока / в контуре и положение шарика ч. Последняя величина измеряется с помощью оптического датчика, встроенного в пьедестал. Дополним систему (1) уравнениями измерений:

V, =х,, у, И

Важно отметить, что уравнения (1), (2) приближенно представляют динамику системы ввиду сложности описания электромагнитного поля и наличия дополнительных неучтенных воздействий с его стороны. При этом наибольшие трудности возникают при описании поведения шарика вблизи поверхности электромагнита.

Составим уравнения линейного приближения для системы (1) в окрестности положения равновесия (ХюАХзо) = (х>оА 1о), соответствующего фиксированному напряжению и = ио. Заметим, что значения х>о и 1о связаны соотношением: хьо — ^кт/2. Пусть Х1 = Х1-хю, х2 = х2, хз = хз-Хзо и и = и-ио -переменные, определяющие отклонения динамических параметров от положения равновесия. Тогда система в отклонениях примет вид

Х1 — х2, х2 — Х1 ~Т~ х3, Х3 — ~ Х3 и • (3)

ХЬ0 10 L L

Аналогично, из (2) получаем уравнения измерений:

у1 = Х1' у2 = Х3' (4)

где у1 = У1- Ую' у 2 = у 2- У20. Запишем линейную модель (3), (4) в матричной форме:

Рис Л. Схема системы магнитной левитации

( х ^ г

1 0 у х ^

21 0 а03

0 0 а

0 23 0 33

( 0 ^

V Ь0 У

(хЛ

1 0 0 001

(5)

1

0

+

и

2

2

2

V х3 У

V х3 У

3

Здесь «21 = — , а2з = —р, а33 =--г, ьо = —. Теперь, если подставить в (5)

хЬ0 1о ь ь

значения физических параметров устройства магнитной левитации, то получим номинальную линейную модель, представляющую динамику системы в окрестности положения равновесия.

Отметим, что нулевое положение равновесия системы (5) является неустойчивым, что соответствует неустойчивости равновесия исходной нелинейной системы (1) по вертикальному положению шарика.

В силу неточности описания магнитного поля, значения коэффициентов в модели (5) являются приближенными. При этом линейные модели, соответствующие различным положениям шарика х, отличаются главным образом значением коэффициента «21 [2]. В связи с этим, будем считать, что модель (5) является номинальной, а область неопределенности для модели объекта ограничим, варьируя значение коэффициента «21 в заданных пределах.

3. Синтез робастного цифрового регулятора

Рассмотрим процедуру синтеза робастного цифрового регулятора на примере SISO-системы, представленной в дискретном времени математической моделью:

У = Рп (2)и , (6)

где Рп(г) - номинальная передаточная функция объекта. Будем считать, что объект (6) стабилизируется регулятором

и = W (z, Ц У, (7)

где № (л Ю - передаточная функция регулятора с фиксированной структурой (заданы степени полиномов в числителе и знаменателе), h е ег - вектор настраиваемых параметров, подлежащих выбору при синтезе закона управления.

В дальнейшем будем полагать, что объект управления с номинальной математической моделью (6) подвержен воздействию неструктурированных возмущений и его действительная модель имеет вид:

У = Р(2)и, (8)

где Р(г) - передаточная функция возмущенного объекта, отличная от номинальной. Введем допустимую границу возмущения номинальной математической модели. Для этого, согласно [1], зададим ограничение сверху амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) относительного возмущения модели:

Р(е^ ) - Рп (е& )

\\>(е* )| =

<Р, ае [0, п], (9)

Рп (е'а)

где Р>0 - заданное фиксированное число. Условие (9) определяет допустимый «коридор» для вариаций АЧХ фактического (возмущенного) объекта. Тогда множество всевозможных передаточных функций (8) возмущенных моделей имеет вид:

Ф={ P :P = Pn (1+ A 0), |A 0(ejw )| < p, w e [0, я]}.

Потребуем, чтобы регулятор (7) с вектором настраиваемых параметров h стабилизировал любой объект с возмущенной моделью (8), при условии P( z) еф, то есть обеспечивал робастную устойчивость замкнутой системы. Известно, что достаточным условием сохранения устойчивости замкнутой системы (8), (7) для любых относительных возмущений модели объекта, удовлетворяющих (9), является выполнение следующего неравенства [1]:

T(^h)ll-=®lT(J,h) <17p ,(10)

где T(z,h) = W(z,h)(l + Pn(z)W(z,h))^Pn(z).

Помимо требования робастной устойчивости, будем также учитывать желаемые модальные свойства замкнутой системы. Обозначим через A3(z,h) - характеристический полином замкнутой номинальной системы (6), (7). Тогда выбор вектора параметров h регулятора должен обеспечивать выполнение условия

5,.(h) e Ca, i = lnd, nd = degAз(z,h), (ii) где 5, - корни характеристического полинома Аз(z,h), nd - степень полинома A3(zh), Ca - область желаемого расположения корней внутри единичного круга. Рассмотрим два варианта задания области Ca внутри единичного круга, показанные на рис. 2.

Формальное определение указанных областей имеет вид: Ca = Caí = {z e с1: |z| < r}, где r e (o,l) - заданное вещественное число; Ca= Ca2 = {zeC1:z = P-e±j,o<P<r, o<Ф<^(р)}, где re(o,i) - заданное вещественное число, v(x) - вещественная функция переменной Xe(0,r], принимающая значения из отрезка [o, я], причем v(r )=0.

Смысл введения этих областей состоит в следующем. Первая из них определяет ограничение снизу на степень устойчивости, т.е. на длительность переходных процессов в замкнутой системе, а вторая, в дополнение к этому, определяет ограничение на меру колебательности.

На основе требования робастной устойчивости (10) и с учетом

желаемых модальных свойств (11), введем следующее определение допустимого множества настраиваемых параметров регулятора (7):

□я ={ h е Е: 5,.(11) е Сд, i = ТЩ, \Т(2,Щ< 1/р} . (12)

Поставим задачу об оптимальном выборе вектора параметров 1 регулятора (7) на допустимом множестве (12). Для этого на движениях замкнутой номинальной системы (6), (7) зададим некоторый функционал, характеризующий качество процессов управления, вида

J = J ({Я;]}, {«[/]})=J Из, 1)=J (ь) > о.

Здесь М;]} и {у[;]} - последовательности, представляющие цифровые сигналы на входе и выходе номинальной модели (6).

Рассмотрим следующую задачу параметрического синтеза:

7=7 (ь) ^ ьпн, (13) где - допустимое множество (12) настраиваемых параметров. Отметим, что задача оптимизации (13) является специфическим вариантом задачи нелинейного программирования, для решения которой удобно выполнить параметризацию рассматриваемых областей Сд с использованием л-мерных вещественных векторов, как показано в [3]. Обозначим через ь* решение задачи (13). Тогда результатом синтеза является оптимальный регулятор вида (7) с передаточной функцией w (2, ь*).

4. Реализация для системы магнитной левитации

Рассмотрим пример синтеза цифрового робастного регулятора для реального устройства MAGLEV магнитной левитации [4]. В силу конструктивных особенностей устройства, положение шарика хь может

варьироваться в диапазоне от 0 до 0.014 м. При этом

х = о

когда шарик

«прилипает» к магниту и хь =0014 м, если шарик находится на пьедестале. Ниже приведены значения физических параметров системы:

L =0.4125 Н, R =11 Ом, кт =б.5308Е-005 н• м2 /А2, м =0.068 кг.

Рассмотрим положение равновесия системы для смещения шарика хь о =0006 м. Учитывая уравнения (1), получаем, что этому смещению соответствует равновесное значение силы тока 10 = 086 А. Подставив данные величины в (5), построим номинальную грубую модель, описывающую поведение системы в окрестности положения равновесия:

0 1 0 У х} ( 0 ^

(- \ х

(

3270 0

0 - 22.88 0 - 26.67

0

V 2.42 /

(14)

Собственные числа матрицы разомкнутой

что свидетельствует

1= 57.18 1 =-57.18

13 = -26.67

3 ,

системы (14) равны о её неустойчивости.

шагом

Сформируем уравнения дискретной модели на основе (14) с дискретности Ts = 0.002 секунды. В результате получим:

+1] ^ (1.0065 0.002 0 У ХЩ ^ ( 0 ^

х2^ +1] V ХД +1]

6.5543 1.0065 - 0.0447 0 0 0.9481

х2^ ] V ]

-0.0001 0.0047

u[k ]. (15)

Собственные числа матрицы разомкнутой системы (15) равны ^ = от, ц2 = 0.8919, = 0.9481. Найдем номинальную передаточную функцию рп(г) объекта (15) от входа й к выходу х = х -хьо.

Ограничим область неопределенности модели (15), варьируя значение коэффициента аи непрерывной модели (14) в пределах ±30% от номинального значения. На рис. 3 показаны амплитудно-частотные характеристики номинальной модели и возмущенных моделей, со значением коэффициента ~21 равным 07а21 и 13а21. Выберем значение р в условии (9) таким образом, чтобы допустимый «коридор» вариации АЧХ возмущенного объекта включал в себя все построенные кривые. На рис. 3 показан допустимый «коридор», соответствующий значению р = 0 5 . То есть, будем в дальнейшем считать, что АЧХ относительного возмущения удовлетворяет условию: |до(^ш ^ < 05, ю 6 [0, %].

x 10

Magnitude frequency response

9 8 7

_ 6

8 c a. 5

x ф

4

3 2 1

0.05 0.1

0.25 0.3

0.4

w 1/c

Рис. 3. Допустимый «коридор» вариации частотной характеристики Примем следующую структуру регулятора для модели (15):

й^] = Кх^], (16)

где к 6 е3 - вектор настраиваемых параметров, подлежащих выбору в процессе синтеза закона управления. Зададим область Сд желаемого расположения корней характеристического полинома замкнутой номинальной системы (15), (16) как показано на рис. 4. Данная область определяется параметрическими уравнениями:

^(е)1п(г / р), г ехр(- % / tg(e)) < р < г, 0 < р < гехр(-%/tg(e)), где г = 0.95, е = %/6.

В итоге, рассмотрим следующую задачу параметрического синтеза:

J = J(К) ^ inf з (17)

КбОсЕ3 , ' )

где допустимое множество о., с учетом заданных ограничений на допустимые вариации АЧХ возмущенного объекта и желаемой области Сд расположения корней, имеет вид:

v(p) =

1.5

HS

-0.5

-1.5'— -1.5

Unit Circle

^ = {К е Е3: 5,(к)е Сд,, = 1,3, \Г(2,К||ш <2}.

Здесь 5, - собственные числа замкнутой номинальной системы (15), (16). В результате решения задачи синтеза (17) получаем следующий вектор параметров оптимального регулятора:

К = (0.18 -27.36 -0.2б).

Важно отметить, что управляющий сигнал ", который подается на катушку с током, вычисляется как сумма двух компонент:

г/[А] = г/ДА] + г7[А] = г/ДА] + К(х[А] - х*), где "с ="с(хьо)- постоянное слагаемое, компенсирующее силу тяжести в положении 1.5 равновесия, а х*- заданный командный сигнал. Величина 1<с вычисляется на основе уравнений (1) по следующей формуле: ис(хьо) = кр8м/ктхьо- Так как значение

коэффициента кт зависит от положения шарика х> и известно только его приближенное значение, то для обеспечения астатизма замкнутой системы по выходу хь необходимо вместо приведенного выше закона управления перейти к его аналогу, в котором участвуют не сами компоненты вектора состояния, а их производные. Естественно, что реализация такого закона управления возможна только с использованием асимптотического наблюдателя. На рис. 5 представлен пример использования синтезированного регулятора для стабилизации шарика в заданной точке х* = 0.006 м.

-1 -0.5

Û.5

Рис.4. Область желаемого расположения корней

Ball position Input Voltage

Рис. 5. Стабилизация заданного положения шарика Хъ = 0.006м 5. Заключение

В работе рассмотрена задача синтеза робастного цифрового регулятора для системы магнитной левитации. Выполнена формализованная постановка задачи параметрического синтеза регулятора с учетом требований робастной устойчивости и обеспечения желаемых

модальных свойств замкнутой системы. Результат синтеза продемонстрирован для системы магнитной левитации на примере стабилизации положения шарика в заданной точке.

Литература

1. Веремей Е.И. Анализ в среде MATLAB робастных свойств систем стабилизации плазмы // Exponenta Pro: Математика в приложениях: Науч.-практ. журн. 2003. №3. С. 20-27.

2. Сотникова М.В. Идентификация линейной модели магнитной левитации в среде MATLAB // Тр. IV международной научной конференции «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB». 2009. C. 507-522.

3. Веремей Е.И., Сотникова М.В. Стабилизация плазмы на базе прогноза с устойчивым линейным приближением // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. 2011. Вып. 1. С. 116-133.

4. MAGLEV: Magnetic Lévitation Plant. User Manual. Quanser.