CC BY
52
МЕТОД ВНУТРЕННЕЙ МОДЕЛИ В ЗАДАЧЕ АКТИВНОЙ ВИБРОЗАЩИТЫ
Г.В. Лукьянова, В.О. Никифоров, И.В. Сергачев
Представлен синтез регулятора компенсации внешних возмущений, основанный на использовании метода внутренней модели. Показано практическое применение предлагаемого регулятора для системы активной виброзащиты (CAB), приведены результаты экспериментов.
Введение
Задача компенсации внешних возмущений, в частности - вибраций, является одной из актуальных проблем современного машиностроения. Один из подходов к ее решению состоит в использовании принципа внутренней модели [1-4]. В соответствии с данным принципом внешнее детерминированное возмущение рассматривается в качестве выхода автономной системы (так называемого генератора возмущений), возбуждаемого ненулевыми начальными условиями. Для полной компенсации внешнего возмущения модель его генератора должна быть соответствующим образом учтена (воспроизведена) в структуре регулятора.
В настоящее время принцип внутренней модели хорошо разработан для широких классов линейных [1-6] и нелинейных систем [7-9], систем с неизвестными параметрами [10-12]. Также он нашел свое применение в задачах управления реальными техническими объектами [13-16]. Одним из примеров такого объекта может служить система активной виброзащиты.
Известно, что в низкочастотной области спектра возможности снижения уровня вибрации механизмов до требуемых норм традиционными пассивными средствами типа вибропоглощения и виброизоляции весьма ограничены. В транспортных средствах типа судов такие ограничения еще более существенны, поскольку практически отсутствуют резервы увеличения массы и объема для размещения пассивных средств защиты, тем больших, чем ниже граничная частота рабочего диапазона. Недостаточность реальных возможностей снижения уровня вибрации пассивными средствами привлекла пристальное внимание к системам активной защиты, не требующим больших масс и габаритов. В настоящее время можно считать общепризнанным, что активные системы защиты при снижении уровня вибрации являются органичным дополнением пассивным средствам в низкочастотной области спектра, расширяющими частотный диапазон в сторону более низких частот.
1. Постановка задачи
Конструкция макета системы активной виброзащиты представлена на рис. 1. Источник вибрации 1, расположенный на подвижной платформе 2, создает вибрации, условно представленные на рисунке в виде внешнего воздействия 5 . Для защиты виб-роизолируемого основания 7 от вибрации 5 в макете используются системы пассивного и активного подавления вибраций. Пассивной системой являются резиновые амортизаторы 3. Активным элементом CAB служит электромагнит (ЭМ) 8, расположенный на подвижной и неподвижной платформах 2 и 5, соответственно. Так как электромагнит содержит одну обмотку, то он может только притягивать к себе подвижную часть макета общей массой M.
Управление электромагнитом осуществляется следующим образом. Величины, снимаемые с датчиков силы 6, усредняются на сумматоре 12 и после преобразования в АЦП 13 подаются на один из входов регулятора 9. На второй вход регулятора подается сигнал с аналогово-цифрового преобразователя (АЦП) 11. На АЦП поступает сигнал с
датчика Холла 4, который преобразует величину напряженности магнитного поля в соответствующее ему напряжение. Регулятор на основе полученной информации вырабатывает управляющее воздействие, которое после преобразования цифро-аналоговым преобразователем (ЦАП) и усиления в ТТТИМ 10 подается в виде питающего напряжения на электромагнит 8.
13 <— 12 ^-
^-1
Рис. 1. Структурная схема САВ
Задача САВ состоит в компенсации внешних возмущений в виде вибраций в широкополосном диапазоне частот, т.е. необходимо синтезировать управление, которое:
• обеспечивает заданные динамические показатели качества (например, перерегулирование и время переходного процесса);
• обеспечивает заданную точность в установившемся или динамическом режиме, что в свою очередь требует компенсации возмущения.
2. Подключение обратной связи
Будем называть макет САВ с действующими на него возмущениями объектом управления (ОУ). Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) ОУ имеет вид, представленный на рис. 2 (кривая 1). АЧХ имеет ярко выраженный резонанс на частоте ш .
Этот резонанс может быть вызван включением упругих амортизаторов в кинематическую цепь виброизолирующего устройства.
К!
ш 1 ш р ш 2 ш
Рис. 2. Амплитудно-частотная характеристика ОУ
Стандартное решение задачи - синтез регулятора стабилизации на основе заданных динамических показателей качества. Структура регулятора стабилизации приведена на рис. 3, где Жс (р) - передаточная функция регулятора; Кс - приведенный коэффициент обратной связи. Амплитудно-частотная характеристика стабилизированной системы приведена на рис. 2 (кривая 2).
Рис. 3. Структурная схема стабилизированного ОУ
Для определения эффективности подавления возмущений рассматривают два показателя: разницу логарифмических амплитудных характеристик разомкнутого и замкнутого контуров на резонансной частоте А = Ь - Ь3 в дБ; диапазон подавления возмущений от ш1 до ш 2 (см. рис. 2).
Эффективность подавления может быть улучшена за счет увеличения приведенного коэффициента Кс (см. рис. 4), но на практике невозможно увеличивать Кс до бесконечно больших значений. Таким образом, остается нерешенной задача повышения эффективности компенсации внешних возмущений, не усиливая коэффициент Кс.
эффективность
Лч Лс2
' 1 х / / ' Vх
ш р ш
Рис. 4. Типичная характеристика эффективности подавления возмущений
Рис. 5. Структурная схема замкнутой системы
Один из способов повышения эффективности состоит в использовании принципа внутренней модели, включенной в главную обратную связь. Рассмотрим пример подавления одной гармоники. Структурная схема замкнутой системы приведена на рис. 5, где 1У/К,,(р) - передаточная функция регулятора стабилизации; Кос - коэффициент обратной связи; 1¡{р2 + С0д) - резонансный контур, обеспечивающий подавление возмущений на частоте со0 и повышающий эффективность подавления; / - внешнее возмущение, действующее на объект управления; и - сигнал управления. Данная модель позволяет обеспечить типичную характеристику, представленную на рис. 6. Из рисунка видно, что на частоте со0 происходит «вырезание» внешнего возмущения (кривая 1). Кривая 2 показывает эффективность подавления внешних возмущений.
Рис. 6. Типичная характеристика
Перечислим недостатки такой схемы:
• при изменении со 0 необходимо пересчитывать всю систему;
• стабилизация колебательной системы высокого порядка, что приводит к получению бесконечно больших коэффициентов обратной связи;
• сложность расчета регулятора стабилизации ре,(р), что делает невозможным экспериментальную подстройку.
3. Раздельный синтез
Раздельный синтез позволяет сначала решить задачу стабилизации объекта, а потом - задачу компенсации внешних возмущений без ухудшения динамических показателей качества системы.
Рассматривается линейный динамический объект
А(р)уа)=кв(р)(иа)+/а)), (1)
где у(7) - регулируемая переменная; р = сИЛ - оператор дифференцирования; А(р) = рп +ап_1р"^ +• +а0 - известный полином; В(р) = рт +Ът_1рт~1 +• +Ь0 - известный нормированный полином; к - постоянный коэффициент; и(7) - сигнал управления; /(/) - внешнее детерминированное возмущение. Полагаем, что на данный объект действует внешнее возмущение синусоидальной формы /(/) = тсо0, где А - амплитуда, со0 - частота возмущения. Необходимо синтезировать управление, обеспечивающее стабилизацию объекта управления путем задания неявной эталонной модели. Для этого задается желаемый полином с требуемыми динамическими показателями качества замкнутой системы:
<ад=--—i-=——, (2)
p"~m+ an_n_lP-m-1+- +а0 a(p) где - коэффициент усиления; а (р) - желаемый типовой характеристический полином. При решении сформулированной задачи полагаем, что В(р) гурвицев, а полином
f(t) имеет преобразование Лапласа: F(s) = b{f (?)}= ^ ^, где
ф(»
4. Структура регулятора стабилизации
Сформируем управление в виде
u(t) = Wl(p)ip(t)-W2(p)y(t)\ _ (3)
где Wx{p) = ———--, W2(p) = ^^ - передаточные функции регулятора, и(7) -
к D(p)B(p) у (р)
сигнал управления, компенсирующий внешнее возмущение, который мы определим позже.
Полиномы Т)(р) = р" "' ' + Jn m :р" "' 2 +• +d0 и R(P) = rn_lPn-1 +гп_2р"-2 +' +г0 являются решением уравнения
у (р)а (р) = А(р)Щр) + кЕ (p)R(p\ (4)
где У (р) = р"1 + У п_2Р" 2 +' + у g - произвольный гурвицевый полином, определяющий скорость сходимости переходного процесса. Следовательно, требуемое управление определяется выражением:
= ktttTW^ - •• (5)
к D(p)B(p)\K у (р) ) Разрешая уравнение (4) относительно D(p) и R(p), получим алгоритм нахождения полиномов D(p) и R(p) :
d„-m-2 — Cl„-m-l п-2 ~ап-1
d , =а т+Y -Л. ,+Y о-а ,d ^—а ^
п-т-3 п-т-2 1 п-2 п-т-1 1 п-3 п-1 п-т-2 п-2
dn= у +у , +у ^а п +• -а - a ±1d -a Д (6)
О lm I т+1 п-т-1 I т+2 п-т-2 т+1 т+2 п-т-2 п-1 1 V /
г , =у , +у , + • -а -а d -a ,dn
п-1 I т-1 I т+\ п-т-1 т т+1 п-т-2 п-1 О
/о = Уоао ~~ «0^0-Структурная схема замкнутой системы приведена на рис. 7.
5. Структура регулятора компенсации возмущений
Рассмотрим линейный динамический объект
a {p)y{t) = k^{t) + f{t)\ (7)
где y(t) - регулируемая переменная, a (р) = рп +ап_1рп~1 +• +а0 - известный нормированный полином; р -d /dt - оператор дифференцирования; къ - коэффициент уси-
ления; и (7) - сигнал управления; /(/) =--- внешнее возмущение, дейК У (Р)
ствующее на стабилизированный объект.
Рассматриваемая задача состоит в синтезе управления (построении контура компенсации возмущений), обеспечивающего компенсацию возмущений на заданной частоте со 0. Контур подавления возмущений состоит из регулятора О(р) и коэффициента усиления р (см. рис. 8).
К контуру компенсации возмущений предъявляются следующие требования:
1) для любых ртах > р > 0 не нарушает устойчивость всей системы;
2) не изменяет коэффициента передачи по возмущению замкнутой системы;
3) минимально искажает частотную характеристику.
Рис. 7. Структурная схема замкнутой системы с внешним возмущением
Рис. 8. Структурная схема замкнутой системы при нулевом задающем воздействии
Сформируем управление u(i) в виде:
"(О = -mp)y(t) = -Р yd), (В)
Ф (p)D(p)
где полиномы D{p) = р"'1 + dn_2p"-2 + • +d0 и R{p) = rn+]i_lPn++ rn+]i_2pn++ • + r0 являются решением уравнения
5 (р) = a(pMp)D(p) + k,R(p), (9)
а 8 (р) = p2n+li~1 +52„+1л-2Р2п+>1~2 +* ~ нормированный полином;
Исходя из требований к контуру компенсации возмущений, было определено, что 5(р)=а(р)а(р),
где а (р) = pn+l +апрп + • +а0. R(p) = rxpa(p),
тогда управление имеет вид:
и (г) = -кЕ .
" Е 1 ф (р) р)
Приведем коэффициенты полиномов О(р) и Я(р) для объекта управления 1,2,3,4 и 5-го порядков: п = 1:
О(р) = 1; г1 - любой. п = 2:
d0 = 3а/3ш 0, r1 =
= — 8ш 02.
kS kS
n = 3:
d1 =(4 + 4л/2)в0, d0 = (l7 + 12л/2)в
rj = —(24 +
kS
1 (24 + 16л/2 )w03.
n = 4:
d2 = 5(5 + 2V5 f w0, d1 = (49 + 20V5 )w 02, d0 = (45 + 20л/5 )5 + 2л/5 )/2w03,
(l76 + 80л/5 )a 04.
Г =— (176 + 80
ks
n = 5:
d3 = (l2 + 6л/3)в 0, d2 = (l04 + 60л/3)в02.
d1 =(508 + 294л/3 )b03, d0 =(l
= 1351+780
'V3 )to 04,
Г = f (l
r = — (1664 + 960
ks
'V3 )a 05.
6. Результаты экспериментов
Эксперимент проводился на экспериментальном образце системы активной виброзащиты, собранном в ЦНИИ «Электроприбор».
7060-
л
Е
н
30 -Q=F¡
-20-,
OJO 20Я 40л 60л 80JO 100J0 120J0 140J0 160J0 180J0 200J0 220J0 240J0 260Л 280J0 300Л
Частота [Гц] Рис. 9. ГрафикАЧХ при выключенной системе
При возбуждении стенда синусоидальным сигналом на частоте 200 Гц были сняты амплитудно-частотные характеристики сигнала с датчиков силы при выключенной и
включенной системе. Уровень вибрационных сил при выключенной системе на частоте 200 Гц имел значение 18,823016 дБ. Соответствующее значение для включенной системы на частоте 200 Гц составило -2,63887 дБ. Уровень подавления вибрационных сил К на частоте 200 Гц составил 21.5 дБ.
Графики АЧХ, полученные при эксперименте, приведены на рис. 9, 10.
0J0 2QJ0 40Я 60Л 80Л 100.0 120Л 140J0 160Л 180Л 200Л 220Л 240Л 260Л 280Л 300Л
Частота [Гц]
Рис. 10. ГрафикАЧХ при включенной системе
Работа выполнена при финансовой поддержке в рамках тематического плана НИР
СПбГУИТМО
Литература
1. Johnson C.D. Accommodation of external disturbances in linear regulator and servomechanism problems // IEEE Transactions on Automatic Control, 1971, vol. 16, No.
2. Francis B.A., Wonham W.M. The internal model principle for linear multivariable regulators // Applied Mathematics and Optimization, 1975, No. 2.
3. Davison E.J. The robust control of a servomechanism problem for linear time-invariant multivariable systems \\ IEEE Transactions on Automatic Control, 1976, vol. 21, No. 1.
4. Уонем M. Линейные многомерные системы управления: Геометрический подход. М.: Наука, 1980.
5. Синтез дискретных регуляторов при помощи ЭВМ / В.В. Григорьев, В.Н. Дроздов, В.В. Лаврентьев, А.В. Ушаков - Л.: Машиностроение, 1983.
6. Акунов Т.А., Алишеров С., Оморов P.O., Ушаков А.В. Матричные уравнения в задачах управления и наблюдения непрерывных объектов. - Бишкек: Илим, 1991.
7. Di Benedetto M.D. Synthesis of an internal model for nonlinear output regulation // International Journal of Control, 1987, vol. 45.
8. Khalil H.K. Robust servomechanism output feedback controller for feedback linearizable systems // Automatica, 1994, vol. 30, No. 10.
9. Никифоров B.O. Нелинейная система управления с компенсацией внешних детерминированных возмущений // Известия РАН. Теория и системы управления, 1997, № 4.
10. Никифоров В.О. Адаптивная стабилизация линейного объекта, подверженного внешним детерминированным возмущениям // Известия РАН. Теория и системы управления, 1997, № 2.
11.Nikiforov V.O. Adaptive non-linear tracking with complete compensation of unknown disturbances // European Journal of Control, vol. 4, No. 2, 1998.
12. Nikiforov V.O. Nonlinear servocompensation of unknown external disturbances // Automatica, 2001, vol. 37.
13.Buchner H.J., Hemami H. Servocompensation of disturbance in robotic systems // International Journal of Control, 1988, vol. 48.
14. Никифоров B.O., Дроздов B.H. Адаптивное управление мехатронным поворотным столом // Мехатроника, автоматизация и управление, 2002. Часть I - № 4. Часть II -№ 5.
15. Дроздов В.Н., Мирошник И.В., Скорубский И.В. Системы автоматического управления с микроЭВМ. - Ленинград: Машиностроение, 1989.
16. Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления. - Санкт-Петербург: Наука, 1999.
