Синтез ПИД-регулятора для корректирования показателей качества линейной непрерывной системы автоматического управления Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 681.515.8

Матяшов Дмитрий Витальевич Российский технологический университет (МИРЭА), Россия, г. Москва

DOI: 10.24411/2520-6990-2019-10875

СИНТЕЗ ПИД-РЕГУЛЯТОРА ДЛЯ КОРРЕКТИРОВАНИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ КАЧЕСТВА ЛИНЕЙНОЙ НЕПРЕРЫВНОЙ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Matyashov Dmitriy Vitalevich

Russian Technological University (MIREA), Russia, Moscow

SYNTHESIS OF PID CONTROLLER FOR THE ADJUSTMENT OF QUALITY PARAMETERS OF LINEAR CONTINUOUS SYSTEM OF AUTOMATIC CONTROL

Аннотация

В статье рассмотрено применение ПИД-регулятора для корректирования показателей качества линейной непрерывной системы автоматического управления. На примере такой системы показана эффективность работы регулятора, приведены методы настройки регулятора - метод Зиглера-Никольса и оптимальный метод настройки с использованием программного моделирующего комплекса МВТУ, сделаны выводы о преимуществах данных способов.

Abstract

The article deals with the use of PID-controller to adjust the quality parameters of linear continuous automatic control system. In the example shown the efficiency of the regulator, given controller configuration methods - Ziegler-Nichols method and the optimal settings using the modeling system MVTU, given conclusions about the advantages of these methods.

Ключевые слова: системы автоматического управления, регулирование, качество управления, переходные характеристики, устойчивость, программные комплексы.

Keywords: automatic control systems, regulation, control quality, transient characteristics, stability, software systems.

Введение

В большинстве современных технических объектов для осуществления регулирования происходящих в них процессов применяются системы автоматического управления (САУ). Качество их работы оценивают с помощью показателей качества, которые обычно разделяют на следующие классы: показатели запаса устойчивости, точности работы и быстродействия [1, с. 201]. Определяются данные показатели по переходной характеристике, по корням характеристического уравнения и по частотным характеристикам. Важнейшими показателями являются:

- Запас устойчивости по амплитуде - показывает, во сколько раз необходимо уменьшить усиление, чтобы система оказалась на границе устойчивости;

- Запас устойчивости по фазе - показывает, на сколько должно увеличиться запаздывание по фазе, чтобы система оказалась на границе устойчивости;

- Время переходного процесса - время, пройденное от начала воздействия входного сигнала до момента, начиная с которого переходная характеристика входит в трубу ± 5% от величины установившегося сигнала;

- Величина перерегулирования - характеризуется отношением максимального отклонения Ьдшг от установившегося значения к величине самого установившегося значения

^утг

- Статическая ошибка - разница между установившимся значением и входным (задающим);

- Степень быстродействия - коэффициент, характеризующий быстроту завершения переходного процесса;

- Степень колебательности - коэффициент, характеризующий число колебаний в системе [3, с. 73-74].

Зачастую показатели качества системы не соответствуют желаемым или допустимым. Тогда возникает задача изменения системы таким образом, чтобы она выполняла те же функции, но при этом имела иные показатели работы. Для этой цели служат регуляторы. Простейшими из них являются пропорционально-интегрально -дифференциальные регуляторы (ПИД-регуляторы). В сравнении с другими видами регуляторов они проще в настройке и требуют меньше вычислительной мощности, что и объясняет их широкое применение.

ПИД-регулирование осуществляется на основе объединения трёх видов регулирования: пропорционального, интегрального и дифференциального. Первый представляет собой случай, когда сигнал с выхода регулятора пропорционален ошибке управления (разнице между входным и выходным сигналом):

где ^ - коэффициент передачи регулятора,

- ошибка управления. Передаточная функция регулятора равна

TECHNICAL SCIENCE /

К достоинствам такого управления следует отнести снижение статической ошибки с увеличением коэффициента усиления. Однако ошибка никогда не достигнет нуля. Кроме того, в системе возникнут колебания, и при большом коэффициенте система вовсе выйдет из устойчивого состояния. Такое регулирование не подходит для точных систем, но все же может применяться в некоторых устройствах.

Интегральное регулирование выполняется по следующему закону

u(t)

е Ы d:

Применение одновременно пропорционального, интегрального и дифференциального регуляторов позволяет существенно снизить негативное воздействие каждого из них. Пропорциональный реагирует на текущую ошибку, дифференциальный на тенденцию изменения ошибки, интегральный накапливает предыдущие ошибки и сглаживает шумы [4, с. 10-11, 14-16, 20-22]. Управляющее воздействие ПИД-регулятора

Здесь ку_ - коэффициент передачи для интегральной составляющей. Передаточная функция регулятора равна

При таком управлении происходит «накапливание» всех предыдущих ошибок, что позволяет в конечном итоге свести статическую ошибку к минимуму, а также происходит сглаживание кривой переходного процесса. Но такой регулятор может как избавить от неточности, так и внести ее самостоятельно, так как введение интегральной составляющей ухудшает условия устойчивости. Поэтому интегральное управление обычно применяют совместно с пропорциональным.

Управляющее воздействие, формируемое дифференциальным регулятором, пропорционально производной от ошибки

Здесь кл - коэффициент передачи, определяющий величину воздействия по производной.

Регулятор описывается передаточной функцией

Такой регулятор «предсказывает» поведение величины ошибки в следующий момент времени, тем самым позволяет спрогнозировать последующее необходимое воздействие. Однако он чувствителен к шумам, из-за чего полученные данные будут неточными.

Передаточная функция

= ^ + ^ + кяР

Для расчета параметров Лд, кл ПИД-регулятора используются различные методы. Простейший из них - метод Зиглера-Никольса. Этот метод, предложенный в 1943 г., основан на использовании запасов устойчивости. [2, с. 4-6].

Среди прочих методов настройки существует численный метод оптимизации, при котором задаются пределы значений для параметров, подлежащих оптимизации. Далее с помощью методов минимизации критериальных функций находятся коэффициенты регулятора, удовлетворяющие заданному ограничению.

Синтез регулятора для системы управления частотой вращения

Найдем параметры ПИД-регулятора для системы автоматического регулирования частоты вращения газотурбинного двигателя (САР ЧВ ГТД) (рис. 1). Система работает следующим образом: на реостат Н поступает задающее напряжение , которое подается на магнитный усилитель (МУ), на входе которого формируется сигнал ошибки А= — и. Сигнал ошибки поступает на двигатель постоянного тока (ДПТ) с независимым возбуждением, на валу которого находится редуктор Р, перемещающий клапан подачи топлива в ГТД. Тахогенератор (ТГ) вырабатывает напряжение, пропорциональное частоте вращения ГТД, которое в обратной связи и формирует сигнал ошибки, который САР ЧВ сводит к нулю.

ТОПЛИВО

Рисунок 1. Схема работы САР ЧВ ГТД

Составим функциональную схему САР ЧВ ГТД (рис. 2).

Рисунок 2. Функциональная схема САР ГТД

где И'... - передаточная функция (ПФ) МУ, %1Т - Пф ДПТ. 1%д - ПФ ГТД, 11%- - ПФ тг, и0 - задающее воздействие, АН - ошибка, -напряжение на выходе МУ, р - положение регулирующего органа, Шлд - частота вращения ГТД, У7Г - напряжение на выходе ТГ.

^ггд

Т„р +1

где Т^. - постоянная времени (ПВ) МУ, 7м и - электромагнитная и электромеханическая ПВ, Гпд - ПВ ГТД, % - ПВ ТГ

'ГТД

Моделирование САР будем проводить в программном комплексе Sim[nTech. Собрав соответствующую модели схему, получим переходную характеристику (ПХ) (рис. 3), найдём корни характеристического уравнения (рис. 4) и логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ) (рис. 5).

W +1

G 1 Otffl JQM 3000 * D0Q 5-ООО fi ООО 10ОО SOOÜ 9000 10 К

Время 1, с.

Рисунок j Пербхосная тлракящшстика гистем ь; £е? ПИД-рвг^тятора

-0.0010036143311^91 0

-О.Ш)34244&47г1а о

-200025431132139 0 -10.1 (ИИ 1377016! о

-100.000000000532 0

■&аз.аз7ма55без5 о

Рисунок ■+. Корна характеристического уравнения системы безЛИД-рвгулятора

-ю

ий

^ -к.

-то -ю

-1К ■lit -14*

-1» аи -ж

К С4

t< CS i U Ы.Г"

14 1.« 1 t

Рисунок 5. ЛЧХ системы П11Л-рег;;.1лторя

По имеющимся данным можно определить показатели качества:

1) Статическая ошибка стремится к нулю.

2) Время переходного процесса 2988 с.

3) Колебания в системе отсутствуют.

TECHNICAL SCIENCE / <<Ш1ШетУМ~^®УГМа1>#2Щ49)),2(0]9

4) Все корни находятся в левой полуплоскости, значит, система устойчива.

5) Запас устойчивости по амплитуде 65 дБ, по фазе система абсолютно устойчива.

6) Степень быстродействия

ц = тт|ЛеР|| = 0.001

Полюс расположен слишком близко к мнимой оси, а также расстояние между полюсами невелико, что говорит о длительном времени переходного процесса.

7) Степень колебательности

где - мнимая часть ьго корня, - действительная часть ьго корня.

Следовательно, в переходном процессе отсутствуют колебания, что также было видно по графику переходного процесса.

В данном случае, время переходного процесса слишком велико. Введем регулятор с целью изменения данного показателя. Для синтеза ПИД-регулятора системы воспользуемся методом Зиг-лера-Никольса. Поставим после элемента сравнения усилитель. Путем подбора найдем коэффициент усиления, при котором на выходе появляются устойчивые колебания. Этот коэффициент равен К* = 1867.43. Период колебаний такой системы Т" = 8.63 с.

Значения параметров регулятора выбранного типа рассчитываются по формулам, приведенным в табл. 1.

Таблица 1

Формулы расчёта параметров П-, ПИ- и ПИД-регуляторов по методу Зиглера-Никольса

Кг.

П-регулятор 0,5 * К*

ПИ-регулятор 045 * К* 0.54 * КГ/Г

ПИД-регулятор 0.6 * К* 1.2 * К*Д" 0.075 «К'-Г

Исходя из таблицы 1 найдем значения коэффициентов для каждого звена. Для начала получим коэффициент для пропорционального регулирования:

Теперь в системе появились колебания, однако заметно сократилось время переходного процесса (рис. 6). Получим коэффициенты для ПИ-регулирования:

= 0.45 * К" = 0.45 * 1367.43 = 340.3435

Рисунок 6. ПХ системы с П-регулятором

Колебательность сильно увеличилась, как и время переходного процесса (рис. 7). Система приобрела астатизм 2-го порядка.

Наконец, получим коэффициенты для ПИД-регулирования:

' К,- = 0.6» К" = 0,6« 1367,43 = 1120.46 К* 1867.43

= L2* — = L2*

3.63

= 259,66

Кд = 0.075 *К* *Г= 0.075 - 1367.43 * 3.63 = 1203

Теперь по имеющимся ПХ (рис. 8), ЛАЧХ (рис. 9) и корням характеристического уравнения определим показатели качества:

Рисунок 7. ПХ системы с ПИ-регулятором

1) Статическая ошибка стремится к нулю.

2) Время переходного процесса 25 с.

3) Перерегулирование достигает 60%

4) Колебательность равна 2

5) Степень быстродействия г) = т*;п\ЯеП = 0,05

6) Степень колебательности

7) Система устойчива и имеет запасы устойчивости 24 дБ по амплитуде и 50 градусов по фазе.

<<ШУШетиМ~^®и©Мак>>#2Щ49)),2©1]9 / ТБСИМСЛЬ 8С!Б]ЧСБ

Для нахождения характеристик элементов ПИД-регулятора, необходимых нам для того, чтобы система имела нужные качества, применим динамическую оптимизацию. Для этого воспользуемся ПК МВТУ. Зададим глобальные перемен-

Оптивизируемые параметры: кр 1а к(1

ные, которые будем оптимизировать. Зададим критерии оптимизации. Допустим, мы хотим, чтобы время переходного процесса было не более 50 секунд, а перерегулирование не превышало 20%.

{ритерии оптимизации :утах 1 ЭР

№ кр к к(1 утах 1рр ?

1 432 1208 1,82163 97,2263 1,24929

4 1520 1520 1520 432 1208 1,82663 49,0304 0,783285

9 0 1208 1.41671 13,8526 0,27089

13 0 2000 1,2824 7,8116 0.103

17 1193,4 0 2000 1,19041 6,1618 0

Рисунок 10. Результат динамической оптимизации в ПК МВТУ

В результате оптимизации (рис. 10) был полу- тическая ошибка равна 0 (рис. 11). Запасы устой-чен ПД-регулятор, у которого время переходного чивости составляют 90 градусов по фазе 22 дБ по процесса 6 секунд, а перерегулирование 19%, ста- усилению (рис. 12).

TECHNICAL SCIENCE /

Заключение

Таким образом, ПИД-регулирование позволяет достичь хороших результатов при получении желаемых показателей качества системы. При этом достаточно простым и быстрым способом настройки регулятора является метод Зиглера-Никольса. Однако регуляторы, параметры которых рассчитаны по данному методу, не всегда обеспечивают требуемое качество процесса регулирования. Как правило, требуется дополнительная подстройка их параметров. Метод численной оптимизации позволяет добиться желаемых характеристик, задавая критерий оптимизации, но при этом данный метод требует больше затрат вычислительной мощности. Поэтому для нахождения коэффициентов регулятора, при которых достигаются требуемые параметры системы, целесообразно использовать динамическую оптимизацию в средах моделирования. Такой подход позволяет улучшить качество системы, при этом сохраняя устойчивость системы на должном уровне.

Список литературы

1. Бесекерский В. А. Теория систем автоматического регулирования, издание третье, исправленное /В. А. Бесекерский, Е. П. Попов. - М.: Наука, 1975. - 768 с.

2. Вадутов О. С. Настройка типовых регуляторов по методу Циглера-Никольса. Методические указания к выполнению лабораторной работы для студентов, обучающихся по направлениям 210100 «Электроника и наноэлектроника» и 201000 «Биотехнические системы и технологии». / О. С. Вадутов. - Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2014. - 10 с.

3. Тяжев А. И. Теория автоматического управления. Учебник. / А. И. Тяжев. - Самара: ПГУТИ, 2016. - 164 с.

4. Tim Wescott // PID Without a PhD, 2016 [Электронный ресурс]. Режим доступа: https://www.wescottdesign.com/articles/pid/pidWitho utAPhd.pdf (дата обращения 21.11.2019)